磨璞见玉砺剑生辉—— 赠2012级新同学

任课教师： 张兴永

联系电话：13852433632

邮 箱：zhangxingyong163@163.com

2

在科学上没有平坦的大道 , 只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人 , 才有希望到达光辉的顶点 .

欢迎同学们！学习《高等数学》课程

马克思

3

基本要求：安定思想；学会生活；

适应学习；严格要求。

聪明在于勤奋 , 天才在于积累 .

学习方法及基本要求：课后复习课堂学习课前预习

具体要求：

、遵守课堂纪律；1

、认真听课、记笔记；2

、按时完成作业；3

.4、有问题及时答疑

.5、适应多媒体教学

两个作业本轮流交，课代表统一收发.

答疑时间：周一9—10节，周三7—8节.

答疑地点：教一楼C300答疑室.

5

教 材： 《高等数学》第六版

高等教育出版社

参考材料 （1）《高等数学指导》

中国矿业大学出版社 2011.9

（2）《高等数学》十年考题

高等数学课件放在下列信箱中：

cumt221116@163.com

密码：123456

6

要性：《高等数学》课程的重

（2）通过各个教学环节，培养学生具有抽象概括

能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力及自学能力，特别是具有比较熟练的综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

（1）《高等数学》是工科大学生的一门重要的基

础理论课，通过课程的学习，为学习后继课程和进一步获得数学知识，奠定必要的数学基础。

（3）数学在现代科学技术各个领域应用越来越广泛和重要。

早在100多年前马克思就指出：“一门科学只有成功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步．”

7

的对象：二、《高等数学》研究

间的关系。主要研究变量与变量之

具体内容：

）一元函数微积分；（1

）多元函数微积分；（2

（3） 无穷级数；

（4） 向量代数与空间解析几何;

（5） 常微分方程.

8

一、集合:

二、函数概念

四、函数的特性

五、反函数

六、基本初等函数

七、复合函数 初等函数

映射与函数第一节

三、映射

9

}{ 具有特定性质xxM

有限集

无限集

映射与函数第一节

一.集合:

、集合1

},,,,{ 9210 M如

}),({ 122

2 yxyxM如

、集合间的关系：2

）子集；（1 ）集合相等；（2 ）空集；（3

10

）集合运算：（4

}{ BxAxxBA 且如

}{ BxAxxBA 或者

、常用数的集合：3

N----自然数集 Z----整数集

Q----有理数集 R----实数集

数集间的关系:

.,, RQQZZN

11

4.区间与记号:

.,, baRba 且

}{],[ bxaxba 闭区间：

o xa b

o xa b

开区间： }{),( bxaba

12

}{),[ bxaxba

}{],( bxaxba

半开区间：

}{),[ xaxa

}{),( bxxb

无限区间

}{),( Rxx

13

5.邻域:

., 0 且是两个实数与设a

),( aU记作

,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径

.}{),( axaxaU即

:邻域的去心的点 a

.}{),( axxaU 0

,}{ 邻域的称为点数集 aaxx

a)(aa

14

、两闭区间的直积6

]},[],,[),{(],[],[ dcybaxyxdcba

平面上的矩形区域。它表示xoy

15

7.常量与变量:

在某过程中数值保持不变的量称为常量,

通常用字母a, b, c等表示常量,

而数值变化的量称为变量.

用字母x, y, t等表示变量.

16

二、函数概念

引例 匀速直线运动:

),[, 0ttvs

圆的面积与半径的关系：

),(, 02 rrA

定义：是两个变量，和设 yx 是一个给定的数集，D

按照一定法则变量如果对于每个数 yDx ,

应，总有确定的数值和它对 的函数，是则称 xy

17

)(xfy 记作

x x D称为自变量， 的取值范围 称为定义域；

1、函数的三要素: 定义域、值域和对应关系；

说明：

xy sin如

的函数，是xy

),,[ 0定义域为 ].,[ 11值域为

.cos

)(,sin)(2

21 xxgxxf

如

).()( xgxf

18

、单值函数：2 4xy 如

多值函数： 122 yx如

值域。、会求函数的定义域及3

例1. 求下列函数的定义域:

;)( 21

11

2

x

xy

解 ,,

02

1

x

x由 故定义域为

),1()1,1()1,2[ D

19

)(lg)(arccos)( xxy 2112

解因

11 x

021 x即

20 x

21x

故定义域为 ),0[21D

20

(1) 符号函数

01

00

01

x

x

x

xy

当

当

当

sgn

3、几个特殊的函数举例

1

-1

x

y

o

xxx sgn

( , ),D 定义域 { 1,0,1}W 值域

图形：

21

(2) 取整函数： y=[x]

1 2 3 4 5

-2

-4

-4 -3 -2 -1

4 3

2 1

-1

-3

x

y

o

阶梯曲线

]5

3[如 ,0 [ 3] ,1 ]8[ ,8 ]8.3[ .4

( , ),D 定义域 W Z值域

图形：

[x]表示不超过 的最大整数x

22

（3）分段函数

函数。用几个式子表示的一个

0,1

0,12)(,

2 xx

xxxf例如

12 xy12 xy

),( D定义域

)2(f ,3 )(3f .5

23

(4) 取最值函数

)}(),(max{ xgxfy )}(),(min{ xgxfy

y

xo

)(xf

)(xg

y

xo

)(xf

)(xg

24

例2 .)3(,212

101)( 的定义域求函数设

xf

x

xxf

解

1 0 3 1( 3)

2 1 3 2

xf x

x

1 0 1( )

2 1 2

xf x

x

122

231

x

x

]1,3[: D故

25

三、映射、映射的定义1

、定义1 存在一个是两个非空集合，如果、设 YX

,fxXf ，按照法则中每个元素，使得对法则

为与之对应，则称中有唯一确定的元素在 fyY

记作的映射到从 ,YX ,: YXf

其中 即下）的像，并记作（在映射称为元素 ),(xffxy

),(xfy

下）的一个原像；（在映射称为元素 fyx

;, XDDfX ff 即的定义域，记作称为映射集合

26

的值域，的集合称为映射中所有元素的像所组成 fX

})({)(),( XxxfXfRXfR ff 即或记作

：从映射定义中，需注意

:)1( 映射构成的三要素

,X定义域 ,YR f 值域 ;f对应法则

是唯一的，的像元素任 yxXx ,)( 2

,)(,:1 2xxfRRf 设例

RYRRDf ff 但是一个映射， ,

,sin)(],1,1[]2

,2

[:2 xxff

设例

]1,1[],2

,2

[ ff RDf

是一个映射，

;YRf 反之不一定，即不一定

27

、定义2 ,, YRYXf f 若的映射到集合是从集合设

上到为则称中某元素的像都是中任一元素即 YXfXyY ,

上的映射或满射；

),()(

,

21

21

xfxf

xxX

它们的像中任意两个不同元素若对

;的单射到为则称 YXf

映射（或双射）。

为一一则称既是单射，又是满射，若映射 ff

,)(,:1 2xxfRRf 设例

既非单射，又非满射；

,sin)(],1,1[]2

,2

[:2 xxff

设例

一一映射）；既是单射，又是满射（

28

映射又称为算子；

上的泛函；的映射称为到数集若从非空集 XYX

上的变换；到它自身的映射称为若从非空集 XX

上的函数；称为定义在

的映射到数集）若从实数集（或其子集

X

YX

用映射定义函数：

上为定义在集，则称映射设数 DRDfRD :

的函数，通常简记为

,),( Dxxfy

.,, 称为定义域称为函数称为自变量 Dyx

29

：定义3 有的单射，即对每个到是设 ,fRyYXf

.)( yxfXx ，适合唯一的 于是可定义一个

,gXR f 的新映射到从 即

,: XRg f

,)(,)( yxfxxygRy f 满足这里，规定对每个

,1ffg 的逆映射，记作称为这个映射

., 11 XRRD fff 值域其中定义域

由此知： ；只有单射才存在逆映射

,)(,:1 2xxfRRf 设例 不存在逆映射；

,sin)(],1,1[]2

,2

[:2 xxff

设例

30

,sin)(],1,1[]2

,2

[:2 xxff

设例

逆映射 ]1,1[,arcsin)(1 xxxf

],1,1[1

fD其定义域 ].2

,2

[1

fR值域

4定义 设有两个映射

,: 1YXg ,: 2 ZYf

,21 YY 其中 ,)]([ ZxgfXx ，则对任

构成的复合映射，和此映射称为映射 fg 即记作 ,gf

,: ZXgf .)],([))(( Xxxgfxgf

由定义知：

31

的定义域内；的值域必须在）（ fg1

一定有意义。有意义并不表示）（ fggf 2

3例 ],2

,2

[,sin)(

xxxg

];1,1[,1)( 2 uuuf

xx

xfxgfxgf

cossin1

)(sin)]([))((

2

32

四、函数的特性

,)(,,, 成立有若 MxfXxMDX 0

1．函数的有界性:

）上有界，，在（如

22 x

xy

cos

）上有界，，在（ 211

2xy

）上无界。，在（ 10

..)( 否则称无界上有界在则称函数 Xxf

33

2．函数的单调性:

,, Ixx 21当

21 xx 时,

),()( 21 xfxf 若 上的单调增加函数；为称 Ixf )(

,)()( 21 xfxf 若 上的单调减少函数；为称 Ixf )(

单增如 3xyxy ,

?2xy

34

3．函数的奇偶性:

偶函数

有对于关于原点对称设 ,, DxD

)()( xfxf

y

x

)( xf

)(xfy

o x-x

)(xf

;)( 为偶函数称 xf

35

有对于关于原点对称设 ,, DxD

)()( xfxf

;)( 为奇函数称 xf

奇函数

)( xf

y

x

)(xf

o x-x

)(xfy

36

偶函数如 24 2xxxgxxf )(,cos)(

)ln()(,ln)(,)( 11

1 2

32

3

1

xxxf

x

xxfxxf

均为奇函数

xxxf cos)( 都不是

37

4．函数的周期性:

通常说周期函数的周期是指其最小正周期

,, 0 lDx )()( xflxf 使

为周期函数。称 )(xf

x o2

y

2

xy sin如

38

五、反函数

)()( yxxfy 所确定的函数由

).(xy 也可记作为

12 xy如：

,2

1

yx反函数： ;

2

1

xy也可写成：

xey

,ln yx 反函数： .ln xy 也可写成：

39

)(xfy 直接函数

x

y

o

),( abQ

),( baP

)(xy 反函数

说明：

对称；图形关于）原函数与其反函数的（ xy 1

40

一定是单值函数，）单值函数的反函数不（2

2xy 如：

.yx 反函数：

单调增（减），）若（ )(xfy 3

）。其反函数也单调增（减

41

六、基本初等函数

1.幂函数 )( 是常数xy

o x

y

)1,1(

1

1

2xy xy

xy

1

xy

42

2.指数函数 ),( 10 aaay x

xay x

ay )(

1

)1( a

)1,0(

xey

43

3.对数函数 ),(log 10 aaxy a xy ln

xy alog

xya

1log

)( 1a)0,1(

44

4.三角函数

正弦函数

xy sin

xy sin

45

xy cos

xy cos余弦函数

46

正切函数 xy tan

xy tan

47

xy cot余切函数

xy cot

48

正割函数 xy sec

xy sec

49

xy csc余割函数

xy csc

50

5.反三角函数

xy arcsin

xy arcsin反正弦函数

51

xy arccos

xy arccos反余弦函数

52

xy arctan

xy arctan反正切函数

53

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.

xarcy cot反余切函数

xarcy cot

54

七、复合函数 初等函数

1.复合函数

,uy 设 ,21 xu 21 xy

定义: 设函数 )(ufy 的定义域 fD , 而函数

)(xu 的值域为 Z , 若 ZD f , 则称

函数 )]([ xfy 为x 的复合函数.

,自变量x ,中间变量u ,因变量y

55

注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函

数的;

,arcsinuy 例如 ;22 xu )arcsin( 22 xy

2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.

,cot2

xy 例如 ,uy ,cot vu .

2

xv

2.初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有

限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.

56

例1. 求

212

10

01

1

2

xe

xx

xx

yx ,

,ln

,

的反函数及其定义域.

解 时，当 01 x ,],( 102 xy

]1,0(, yyx

时，当 10 x ,]0,(ln xy

时，当 21 x ,]2,2(2 1 eey x

],(, 0 xey x即

反函数

],(, 10 xxy即

反函数 ]0,(, yex y

57

反函数

y],(,ln exx 221

2

],(, 10 xx

]0,(, xe x

定义域为 ],(],( e221

]2,2(,ln12

eyxy

反函数

]2,2(,ln12

exy x 即

58

八、双曲函数与反双曲函数

2sinh

xx eex

双曲正弦

xy cosh

xy sinh),,(: D

奇函数.

2cosh

xx eex

双曲余弦

),,(: D

偶函数.

1.双曲函数

xey2

1

xey 2

1

59

xx

xx

ee

ee

x

xx

cosh

sinhtanh双曲正切

奇函数,),(: D 有界函数,

60

双曲函数常用公式

;sinhcoshcoshsinh)sinh( yxyxyx

;sinhsinhcoshcosh)cosh( yxyxyx

;1sinhcosh 22 xx

;coshsinh22sinh xxx

.sinhcosh2cosh 22 xxx

61

九、小结

基本概念集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值.

函数的概念

函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.

反函数

62

函数的分类

函数

初等函数

非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)

代数函数

超越函数

有理函数

无理函数

有理整函数(多项式函数)

有理分函数(分式函数)

63

2111 P习题

18,17,16),5)(3)(1(14),5)(3)(1(12

,11,10),1(7,6),3)(2(5),9)(7)(5)(3)(1(4,1

作业