ch03linear programming

edited for 321310 by..Benchaporn 1

Chapter 3Linear Programming

Models


Learning Objectives• เข้�าใจสมมติฐานเบื้��องติ�นและคุ�ณสมบื้�ติพื้��นฐานข้อง

กำ�าหนดกำารเชิงเส�น linear programming (LP)

• สร�างติ�วแบื้บื้กำ�าหนดกำารเชิงเส�นแทนปั#ญหาได� • ใชิ�กำราฟเปั(นเคุร�)องม�อในกำารหาผลล�พื้ธ์,ข้องติ�วแบื้บื้

กำ�าหนดกำารเชิงเส�นท-)ม-สองติ�วแปัรได�• เข้�าใจกำารใชิ�โปัรแกำรมติารางคุ�านวณปัระเภทสเปัรด

ชิ-ท เพื้�)อแทนปั#ญหา และใชิ� solver ในโปัรแกำรม MS Excel ในกำารแกำ�ปั#ญหาได�


Introduction• ในกำารติ�ดสนใจข้องผ0�บื้รหารในหน1วยงานและ

องคุ,กำารติ1างๆ เปั(นกำารติ�ดสนใจท-)เกำ-)ยวกำ�บื้– กำารใชิ�ทร�พื้ยากำรท-)ม-อย01อย1างจ�ากำ�ด ให�ได�อย1างเติ4มท-)

และได�ร�บื้ผลติอบื้แทนส0งส�ด ทร�พื้ยากำรด�งกำล1าว ได�แกำ1 เคุร�)องจ�กำร, คุนงาน, เงน, เวลา, ท-)ว1างในคุล�งสนคุ�า และว�ติถุ�ดบื้ เปั(นติ�น

– กำารผลติสนคุ�า เชิ1น คุอมพื้วเติอร,, เคุร�)องยนติ,, หร�อเส��อผ�า

– กำารให�บื้รกำาร เชิ1น กำารจ�ดส1งสนคุ�า, กำารให�บื้รกำารด�านส�ข้ภาพื้ หร�อกำารติ�ดสนใจด�านกำารลงท�น


Linear programming (LP)Linear programming (LP)

• กำ�าหนดกำารเชิงเส�น กำ�าหนดกำารเชิงเส�น Linear programming (LP)Linear programming (LP)

เปั(นวธ์-กำารเชิงคุณติศาสติร,ท-)ได�ร�บื้คุวามนยมในกำารแกำ�ปั#ญหาท-)เกำดข้7�นในธ์�รกำจ โดยม-สมมติฐานเบื้��องติ�นในกำารสร�างติ�วแบื้บื้ว1าข้�อม0ลเข้�า และ คุ1าติ�วแปัรท-)เกำ-)ยวข้�องติ1างๆ ติ�องทราบื้คุ1าแน1นอน (deterministic models)

• ในปั#จจ�บื้�นคุอมพื้วเติอร,ถุ0กำน�ามาใชิ�เปั(นเคุร�)องม�อในกำารหาคุ1าผลล�พื้ธ์,จากำติ�วแบื้บื้กำ�าหนดกำารเชิงเส�น


Development of a LP Model• กำ�าหนดกำารเชิงเส�นสามารถุน�าไปัปัระย�กำติ,ใชิ�ได�กำ�บื้ปั#ญหา

ติ1างๆ เชิ1น – กำารแพื้ทย,, กำารข้นส1ง, กำารปัฏิบื้�ติงาน– กำารเงน, กำารติลาด, กำารบื้�ญชิ-– ด�านกำารจ�ดกำารทร�พื้ยากำรมน�ษย, และด�านกำารเกำษติร

• กำารสร�างติ�วแบื้บื้กำ�าหนดกำารเชิงเส�นม- 3 ข้��นติอนได�แกำ1 :– (1) การสร�างตั�วแบบก�าหนดการเชิ�งเส�น(formulation)

– (2) การแก�ปั�ญหาก�าหนดการเชิ�งเส�น(solution)

– (3) การว�เคราะห�ผลล�พธ์�(interpretation)


Three Steps of Developing LP Problem

การสร�างตั�วแบบก�าหนดการเชิ�งเส�น(formulation) – เปั(นกำระบื้วนกำารแปัลโจทย,ปั#ญหาให�อย01ในร0ปัติ�วแบื้บื้กำ�าหนดกำารเชิงเส�น

แบื้บื้ง1าย และแสดงคุวามส�มพื้�นธ์,เชิงคุณติศาสติร,ระหว1างติ�วแปัรติ1างๆ

การแก�ปั�ญหาก�าหนดการเชิ�งเส�น(solution) – คุวามส�มพื้�นธ์,เชิงคุณติศาสติร, ท-)ได�จากำข้��นติอนกำารสร�างติ�วแบื้บื้ จะถุ0กำ

น�ามาหาผลล�พื้ธ์, เพื้�)อให�ได�ผลล�พื้ธ์,ท-)เหมาะสมท-)ส�ด

การว�เคราะห�ผลล�พธ์�(interpretation) – ในข้��นติอนน-�ผ0�แกำ�ปั#ญหาหร�อน�กำวเคุราะห, จะท�างานร1วมกำ�บื้ผ0�บื้รหารเพื้�)อ

• แปัลคุวามหมายข้องผลท-)ได�จากำข้��นติอนแกำ�ปั#ญหา• ลองเปัล-)ยนคุ1าติ�วแปัรติ1างๆในติ�วแบื้บื้ และส�งเกำติผลล�พื้ธ์,หร�อผลท-)

เกำดข้7�น


Properties of a LP Model1 .ท�กำปั#ญหาม-ว�ติถุ�ปัระสงคุ,หล�กำเพื้-ยงว�ติถุ�ปัระสงคุ,เด-ยว

คุ�อพื้ยายามคุ�นหาปัรมาณส0งส�ดหร�อติ�)าท-)ส�ด เชิ1น หากำ�าไรส0งส�ด หร�อติ�นท�นติ�)าท-)ส�ด เร-ยกำว1าฟ#งกำ,ชิ�นว�ติถุ�ปัระสงคุ, (objective function).

2. ติ�วแบื้บื้กำ�าหนดกำารเชิงเส�น ปัระกำอบื้ด�วย ข้�อจ�ากำ�ด(restrictions) หร�อ เง�)อนไข้บื้�งคุ�บื้(constraints) ซึ่7)งเปั(นกำรอบื้หร�อข้�อจ�ากำ�ดท-)ม-ผลโดยติรงติ1อคุ1าข้องว�ติถุ�ปัระสงคุ,

3. ติ�องม-ทางเล�อกำในกำารปัฏิบื้�ติได�หลายทาง4. ว�ติถุ�ปัระสงคุ,และเง�)อนไข้จ�ากำ�ดในปั#ญหากำ�าหนดกำารเชิง

เส�น ติ�องสามารถุเข้-ยนอย01ในร0ปัข้องสมกำารหร�ออสมกำารเชิงเส�น


Linear Equations and Inequalities

• ติ�วอย1างสมกำารเชิงเส�น :2A + 5B = 10

• สมกำารติ1อไปัน-�ไม1เปั(นสมกำารเชิงเส�น:2A2 + 5B3 + 3AB = 10

• ในติ�วแบื้บื้กำ�าหนดกำารเชิงเส�น อาจม-กำารใชิ�อสมกำารในร0ปัแบื้บื้ :

A + B C หร�อ A + B C


Basic Assumptions of a LP Model

1. Certainty ติ�องทราบื้ข้�อม0ลติ1างๆแน1นอน

2. Proportionality กำารเปัล-)ยนแปัลงคุ1าติ�วแปัรจะม-ผลกำระทบื้เปั(น

ส�ดส1วนแน1นอนท��งในฟ#งกำ,ชิ�นว�ติถุ�ปัระสงคุ,และในเง�)อนไข้บื้�งคุ�บื้ (เชิ1น 1 หน1วย ใชิ�เวลา 3 ชิม. ถุ�าผลติ 3 หน1วย จะใชิ�เวลา 9 ชิม.)

3. Additivity ผลรวมท��งหมดได�มาจากำกำารบื้วกำกำ�นข้องกำจกำรรมแติ1ละ

กำจกำรรมติ1างๆ(เชิ1น กำ�าไรรวม ได�จากำกำ�าไรจากำกำารข้ายสนคุ�าชินดท-)1+ชินดท-) 2)

4. Divisibility คุ1าติ�วแปัรสามารถุม-คุ1าเปั(นเศษส1วนได�หร�อทศนยมได�


Formulating a LP Problem• กำารปัระย�กำติ,ใชิ�กำ�าหนดกำารเชิงเส�นท-)พื้บื้ได�บื้1อยๆ เชิ1น

ปั#ญหากำารกำ�าหนดส�ดส1วนกำารผลติ– ได�แกำ1 ปั#ญหาเกำ-)ยวกำ�บื้กำารผลติสนคุ�า 2 ชินดหร�อมากำกำว1า

ภายใติ�ข้�อจ�ากำ�ดด�านทร�พื้ยากำร เชิ1น ด�านจ�านวนคุน,

เคุร�)องจ�กำร, ว�ติถุ�ดบื้ ฯลฯ

• กำ�าไรส0งส�ดท-)บื้รษ�ทติ�องกำาร ข้7�นอย01กำ�บื้กำ�าไรติ1อหน1วยข้องสนคุ�าแติ1ละชิ�น และจ�านวนผลติข้องสนคุ�าแติ1ละชินด

• ส)งท-)บื้รษ�ทติ�องกำารทราบื้ ได�แกำ1 -– คุวรผลติสนคุ�าแติ1ละชินดอย1างละเท1าใด– โดยได�ร�บื้ผลกำ�าไรส0งส�ด ภายใติ�ข้�อจ�ากำ�ดด�านทร�พื้ยากำรท-)ม-


LP Example: Flair Furniture Company

ข้�อมู!ลและเง"#อนไข้บ�งค�บข้องบร�ษั�ท -• Flair Furniture Company ผลติโติ<ะและเกำ�าอ-� • โติ<ะแติ1ละติ�วใชิ�เวลา : 4 ชิม. ในกำารปัระกำอบื้ และ 2 ชิม. ในกำารทาส-• เกำ�าอ-�แติ1ละติ�วใชิ�เวลา : 3 ชิม. ในกำารปัระกำอบื้ และ 1 ชิม. ในกำารทาส- • คุวามสามารถุในกำารผลติท-)ม-อย01: แผนกำปัระกำอบื้ม-เวลา 240 ชิม.

และ แผนกำทาส-ม-เวลา 100 ชิม.

• เน�)องจากำในคุล�งสนคุ�าม-เกำ�าอ-�เหล�อคุ�างอย01 ด�งน��นบื้รษ�ทจะติ�องไม1ผลติเกำ�าอ-�ใหม1เกำนกำว1า 60 ติ�ว

• กำารข้ายโติ<ะได�กำ�าไรติ�วละ $7 ส1วนเกำ�าอ-�ได�กำ�าไรติ�วละ $5

ปั�ญหาข้องบร�ษั�ท Flair Furniture:• จงหาว(าตั�องผล�ตัโตั*ะและเก�าอ+,อย่(างละก+#ตั�วเพ"#อให�ได�ก�าไรส!งส/ด

ภาย่ใตั�เง"#อนไข้บ�งค�บและข้�อจ�าก�ดข้องบร�ษั�ท


ติ�วแปัรท-)ติ�องติ�ดสนใจ(Decision Variables)

• ปั#ญหาข้องบื้รษ�ท Flair คุ�อ ติ�องกำารทราบื้ว1าติ�องผลติโติ<ะและเกำ�าอ-�จ�านวนอย1างละเท1าใด เพื้�)อให�ได�กำ�าไรส0งท-)ส�ด?

• ในปั#ญหาน-� ม-ติ�วแปัรท-)ติ�องติ�ดสนใจ หร�อติ�วแปัรท-)เราติ�องกำารหาคุ1าผลล�พื้ธ์,ม- 2 ติ�วได�แกำ1

T - จ�านวนโติ<ะท-)ผลติ

C - จ�านวนเกำ�าอ-�ท-)ผลติ


ฟ#งกำ,ชิ�นว�ติถุ�ปัระสงคุ,(Objective Function)

• ฟ#งกำ,ชิ�นว�ติถุ�ปัระสงคุ, แสดงเปั=าหมายข้องปั#ญหา– ว�ติถุ�ปัระสงคุ,หล�กำท-)ติ�องกำารแกำ�ปั#ญหาคุ�ออะไร?

– กำ�าไรส0งท-)ส�ด!

• ติ�วแบื้บื้กำ�าหนดกำารเชิงเส�นติ�องม-ฟ#งกำ,ชิ�นว�ติถุ�ปัระสงคุ,เพื้-ยงว�ติถุ�ปัระสงคุ,เด-ยวเท1าน��น

ในปั#ญหาข้องบื้รษ�ท Flair กำ�าไรรวมคุ�านวณได�ด�งน-� : ใชิ�ติ�วแปัรท-)ติ�องติ�ดสนใจโดย T แทนจ�านวนโติ<ะ และ C แทน

จ�านวนเกำ�าอ-� Maximize P = $7 T + $5 C

(ก�าไร $7 ตั(อโตั*ะหน1#งตั�ว ) x (จ�านวนโตั*ะท+#ผล�ตั) + (ก�าไร $5 ตั(อเก�าอ+,หน1#งตั�ว) x (จ�านวนเก�าอ+,ท+#ผล�ตั)


เง�)อนไข้บื้�งคุ�บื้(Constraints)• แทนเง�)อนไข้ เพื้�)อหล-กำเล-)ยงกำรณ-ท-)อาจม-กำาร

เล�อกำคุ1าติ�วแปัรท-)ติ�องติ�ดสนใจ นอกำข้อบื้เข้ติเง�)อนไข้ท-)ม-

• ในปั#ญหาข้องบื้รษ�ท Flair Furniture ม-ข้�อจ�ากำ�ด 3 ข้�อได�แกำ1– ข้�อจ�ากำ�ด 1 และ 2 เปั(นข้�อจ�ากำ�ดเกำ-)ยวกำ�บื้กำารผลติ

ภายในเวลาท-)ม-อย01ข้องแผนกำปัระกำอบื้ และแผนกำทาส-

– ข้�อจ�ากำ�ด 3 เปั(นข้�อจ�ากำ�ดเกำ-)ยวกำ�บื้จ�านวนผลติเกำ�าอ-�ส0งส�ดท-)ยอมได�


เง�)อนไข้บื้�งคุ�บื้(Constraints)• เวลาว1างข้องแผนกำปัระกำอบื้ คุ�อ 240 ชิม.

4T + 3C 240

• เวลาว1างข้องแผนกำทาส- คุ�อ 100 ชิม. 2T + 1C 100

• ข้�อจ�ากำ�ดข้องจ�านวนผลติเกำ�าอ-�C 60

• เง�)อนไข้บื้�งคุ�บื้ท-)ติ�วแปัรท�กำติ�วติ�องม-คุ1าไม1ติดลบื้T 0 (จ�านวนโติ<ะท-)ผลติ 0)

C 0 (จ�านวนเกำ�าอ-�ท-)ผลติ 0)


A Simplified Model

Uncontrollable variables:240, 100, and 60

(Time available, marketing limitation)

Decision variables(Independent variables):

T, C(What quantities of Table

and Chair should be produced?)

Dependent variable:

P = 7 T + 5 C (Total Profit)

Mathematical relationship:Mathematical relationship:

Maximize Maximize ProfitProfit

ObjectiveObjective

ConstraintConstraintSubject to:Subject to:

4T + 3C 2402T + 1C 100C 60


ผ0�จ�ดกำารบื้รษ�ทพื้�ฒนาอ�ติสาหกำรรม ติ�องกำารผลติวทย� 2 แบื้บื้ คุ�อ แบื้บื้มาติรฐาน และแบื้บื้พื้เศษ ซึ่7)งผลติ

เท1าไรกำ4ข้ายได�หมดแผนก เวลาท+#ใชิ� เวลาว(างข้องแตั(ละแผนก

แบบมูาตัรฐา

น(นาท+)

แบบพ�เศษั

(นาท+)

ในแตั(ละว�น(ชิมู.)

ปัระกำอบื้ 20 30 55

ทดสอบื้ 10 6 18

บื้รรจ� 3 3 6

โดย วทย�แบื้บื้มาติรฐานข้ายได�กำ�าไรเคุร�)องละ 250 บื้าท และ แบื้บื้พื้เศษได�กำ�าไรเคุร�)องละ 290 บื้าท

Example 1


บื้รษ�ทพื้�ฒนาอ�ติสาหกำรรม จ�ากำ�ด•ตั�วแปัรท+#ตั�องตั�ดส�นใจ :

จ�านวนการผล�ตัว�ทย่/แบบมูาตัรฐาน และ จ�านวนการผล�ตัว�ทย่/แบบพ�เศษั

•ฟั�งก�ชิ�นว�ตัถุ/ปัระสงค� : ก�าไรส!งส/ด

•เง"#อนไข้บ�งค�บ : ทร�พย่ากรท+#มู+อย่!(ในแตั(ละว�น (เวลาว(าง,เวลาท+#ใชิ�ในแตั(ละแผนก)

Example 1


•ตั�วแปัรท+#ตั�องตั�ดส�นใจ : ให� x 1 แทนจ�านวนวทย�แบื้บื้มาติรฐานท-)จะผลติในหน7)งว�น หน1วย : เคุร�)อง x2 แทนจ�านวนวทย�แบื้บื้พื้เศษท-)จะผลติ ในหน7)งว�น หน1วย : เคุร�)อง

•ฟั�งก�ชิ�นว�ตัถุ/ปัระสงค� : กำ�าไร = (กำ�าไรติ1อเคุร�)องข้องวทย�แบื้บื้มาติรฐาน ) (จ�านวนวทย�แบื้บื้มาติรฐาน ) + (กำ�าไรติ1อติ1อเคุร�)องข้องวทย�แบื้บื้พื้เศษ ) (จ�านวน วทย�แบื้บื้พื้เศษ)

Maximize Z =250x 1 + 290x

2

บื้รษ�ทพื้�ฒนาอ�ติสาหกำรรม จ�ากำ�ดExample 1


แผนก เวลาท+#ใชิ�(ตั(อเคร"#อง)

เวลาว(างข้องแตั(ละแผนก


น(นาท+)

แบบพ�เศษั

(นาท+)

ในแตั(ละว�น(นาท+)

ปัระกำอบื้ 20 30 5560 = 3,300

X1 X2

เง"#อนไข้บ�งค�บ :Example 1

20x1 + 30x2 3,300





น(นาท+)

แบบพ�เศ

ษั(นาท+)


ทดสอบื้ 10 6 1860 = 1,080


X1 X2

10x1 + 6x2 1,080





น(นาท+)

แบบพ�เศ

ษั(นาท+)


บื้รรจ� 3 3 660 = 360


X1 X2

3x1 + 3x2 360


คุ1าติ�วแปัรท-)ติ�องติ�ดสนใจท�กำติ�วจะติ�องม-คุ1าไม1ติดลบื้

ข้�อจ�าก�ด:

Example 1

x1 , x2 0


ตั�วแบบก�าหนดการเชิ�งเส�น

Example 1

Maximize Z = 250x1 + 290x2

Subject to

20x1 + 30x2 3,300

10x1 + 6x2 1,080

3x1 + 3x2 360

x1 , x2 0


โรงงานผลติแชิมพื้0สระผมแห1งหน7)งท�ากำารผลติแชิมพื้0 3 แบื้บื้คุ�อ

1.แบื้บื้ธ์รรมดา 2.แบื้บื้เข้�มข้�น 3.แบื้บื้ผสมคุร-มนวดผม

โดยใชิ�ว�ติถุ�ดบื้ท-)เปั(นสารเคุม-ท-)ส�าคุ�ญ 3 ชินดคุ�อ A ,B และ C ในส�ดส1วนด�งติารางถุ�าโรงงานคุาดว1าจะข้ายแชิมพื้0แบื้บื้เข้�มข้�นได�ไม1

เกำน 100 ลติร โรงงานคุวรผลติอย1างไร

Example 2


อ�ตัราส(วนผสมูใน 1 ล�ตัรสารเคมู+ แบบ

ธ์รรมูดาแบบ

เข้�มูข้�นแบบผสมูคร+มูนวด

ปัร�มูาณสารท+#หาได�(ล�ตัร)

A 0.3 0.5 0.2 1,000B 0.6 0.3 0.1 1,500C 0.1 0.2 0.7 2,000

ก�าไร (บาท/ล�ตัร)

15 20 25

Example 2


โรงงานผลติแชิมพื้0 กำารผลติแชิมพื้0 3 ชินด

(แบื้บื้ธ์รรมดา, แบื้บื้เข้�มข้�น, แบื้บื้ผสมคุร-มนวดผม)•ตั�วแปัรท+#ตั�องตั�ดส�นใจ :

จ�านวนแชิมูพ!แตั(ละชิน�ดท+#จะผล�ตั•ฟั�งก�ชิ�นว�ตัถุ/ปัระสงค� :

ก�าไรส!งส/ด•เง"#อนไข้บ�งค�บ :

สารเคมู+ท+#ใชิ� A, B, C

Example 2


กำ�าหนดติ�วแปัรท-)ติ�องติ�ดสนใจให� X1 จ�านวนแชิมพื้0แบื้บื้ธ์รรมดา ท-)จะผลติ (ลติร)

X2 จ�านวนแชิมพื้0แบื้บื้เข้�มข้�น ท-)จะผลติ (ลติร)

X3 จ�านวนแชิมพื้0แบื้บื้ผสมคุร-มนวด ท-)จะผลติ (ลติร)

Example 2


Maximize Z = 15X1 + 20X2 + 25X3

ภายใติ�เง�)อนไข้บื้�งคุ�บื้และข้�อจ�ากำ�ด ด�งน-�0.3 X1 + 0.5 X2 + 0.2 X3 1,000

0.6 X1 + 0.3 X2 + 0.1 X3 1,500

0.1 X1 + 0.2 X2 + 0.7 X3 2,000

X2 100

X1 , X2, X3 0

Example 2


โรงงานผลติอาหารส�ติว,แห1งหน7)ง คุวรจะผลติอาหารส�ติว,อย1างไร หากำในข้บื้วนกำารผลติจะติ�อง

น�าว�ติถุ�ดบื้ปัระเภทติ1างๆมาผสมกำ�นเพื้�)อให�ได�คุ�ณคุ1าทางอาหารติามข้�อกำ�าหนดเหล1าน-�

โปัรติ-น อย1างน�อยเท1ากำ�บื้ 18 หน1วยคุาร,โบื้ไฮเดรติ อย1างน�อยเท1ากำ�บื้ 31

หน1วยไข้ม�น อย1างน�อยเท1ากำ�บื้ 25

หน1วยโดยว�ติถุ�ดบื้ ราคุาว�ติถุ�ดบื้ และสารอาหารแติ1ละ

ชินด ม-รายละเอ-ยดด�งน-�

Example 3


ว�ติถุ�ดบื้

ปัรมาณสารอาหารติ1อกำโลกำร�ม(กำกำ.)

ราคุาติ1อหน1วย

(บื้าท/กำกำ.)โปัรติ-น คุาร,โบื้ไฮเดรติ

ไข้ม�น

A 0.18 0.43 0.31 200

B 0.31 0.25 0.37 300

C 0.12 0.12 0.37 150

D 0.18 0.50 0.12 100

Example 3


กำารผสมอาหารส�ติว,กำารผสมอาหารส�ติว, 4 ชินด (A, B, C, D)•ตั�วแปัรท+#ตั�องตั�ดส�นใจ :

จ�านวนว�ตัถุ/ด�บแตั(ละชิน�ดท+#จะน�ามูาผสมูเปั7นอาหารส�ตัว�

•ฟั�งก�ชิ�นว�ตัถุ/ปัระสงค� : ค(าใชิ�จ(าย่ตั�#าส/ด

•เง"#อนไข้บ�งค�บ : ปัร�มูาณสารอาหารท+#ตั�องการ

Example 3


กำ�าหนดติ�วแปัรท-)ติ�องติ�ดสนใจให� X1 จ�านวนว�ติถุ�ดบื้ A ท-)จะน�ามาผสม (กำกำ.)

X2 จ�านวนว�ติถุ�ดบื้ B ท-)จะน�ามาผสม (กำกำ.) X3 จ�านวนว�ติถุ�ดบื้ C ท-)จะน�ามาผสม (กำกำ.)

X4 จ�านวนว�ติถุ�ดบื้ D ท-)จะน�ามาผสม (กำกำ.)

Example 3


Minimize Z = 200X1 + 300X2 + 150X3 + 100X4

ภายใติ�ข้�อจ�ากำ�ด

0.18X1 + 0.31X2 + 0.12 X3 + 0.18 X4 18

0.43X1 + 0.25X2 + 0.12 X3 + 0.50 X4 31

0.31X1 + 0.37X2 + 0.37 X3 + 0.12 X4 25

X1 , X2, X3, X4 0

Example 3


บื้รษ�ทพื้�ฒนากำารผลติ จ�ากำ�ด ติ�องกำารโฆษณาปัระชิาส�มพื้�นธ์, สนคุ�าข้องตินเอง เพื้�)อให�เข้�าถุ7งกำล�1ม

เปั=าหมาย (ผ0�บื้รโภคุสนคุ�า) ให�ได�มากำท-)ส�ด โดยจะใชิ�ส�)อท-)ม-อย01 4 ชินด คุ�อ

ส�)อโทรท�ศน,, ส�)อหน�งส�อพื้มพื้, และส�)อวทย� 2 รายกำาร

ท��งน-�ส�)อแติ1ละชินดสามารถุเข้�าถุ7งล0กำคุ�าข้องบื้รษ�ทฯ โดยม-คุ1าใชิ�จ1ายในกำารโฆษณาติ1อคุร��ง และจ�านวนคุร��งท-)

สามารถุท�ากำารโฆษณาได�ส0งส�ดติ1อส�ปัดาห, เปั(นด�งน-�

Example 4


จ�านวนล0กำคุ�าท-)เข้�าถุ7ง

(ติ1อคุร��ง)

คุ1าใชิ�จ1ายติ1อคุร��ง

จ�านวนคุร��ง

ส0งส�ด

โทรท�ศน� ( เวลา 15 ว�นาท+) 5,000 800 12

หน�งส"อพ�มูพ�(ข้นาดเตั8มู1 หน�า)

8,500 925 5

ว�ทย่/ราย่การเพลงสากล

(1 spot)

2,400 290 25

ว�ทย่/ราย่การหล�งข้(าวด�ง

(1 spot)

2,800 380 20

Example 4


•ถุ�าบื้รษ�ทติ��งงบื้ปัระมาณคุ1าโฆษณาติ1อส�ปัดาห,ไว� 8,000 บื้าท •โดยกำ�าหนดว1าจะติ�องโฆษณาทางวทย�อย1างน�อยส�ปัดาห,ละ 5 คุร��ง

แติ1ติ�องใชิ�งบื้ปัระมาณไม1เกำน 1,800 บื้าท

อยากำทราบื้ว1าบื้รษ�ทฯ จะติ�องติ�ดสนใจโฆษณาแติ1ละส�ปัดาห,อย1างไร

Example 4


กำารเล�อกำส�)อโฆษณา กำารเล�อกำส�)อโฆษณา 4 ชินด (โทรท�ศน,,

หน�งส�อพื้มพื้,, วทย�1, วทย�2)•ตั�วแปัรท+#ตั�องตั�ดส�นใจ : จ�านวนคร�,งท+#โฆษัณาในแตั(ละส"#อ

•ฟั�งก�ชิ�นว�ตัถุ/ปัระสงค� : จ�านวนผ!�ชิมูส!งส/ด

•เง"#อนไข้บ�งค�บ : งบปัระมูาณ , จ�านวนคร�,งส!งส/ด

Example 4


กำ�าหนดติ�วแปัรท-)ติ�องติ�ดสนใจให� X1 จ�านวนคุร��งท-) โฆษณาทางโทรท�ศน,

X2 จ�านวนคุร��งท-) โฆษณาทางหน�งส�อพื้มพื้, X3 จ�านวนคุร��งท-) โฆษณาทางวทย�รายกำารเพื้ลงสากำล

X4 จ�านวนคุร��งท-) โฆษณาทางวทย�รายกำารหล�งข้1าวด�ง

Example 4


Maximize Z = 5000X1 + 8500X2 + 2400X3 + 2800X4 ภายใติ�ข้�อจ�ากำ�ด

800X1 + 925X2 + 290X3 + 380X4 8000

X3 + X4 5

290X3 + 380X4 1800

X1 12

X2 5

X3 25

X4 20

X1 , X2, X3, X4 0

Example 4


Graphical Solution of a LP With Two Variables

• ข้�อด+ข้องกำารใชิ�กำราฟ ได�แกำ1 สามารถุใชิ�แกำ�ปั#ญหากำ�าหนดกำารเชิงเส�นท-)ม-ติ�วแปัรท-)ติ�องติ�ดสนใจ 2

ติ�วแปัร โดยกำารใชิ�กำราฟสองมติได�• ข้�อเส+ย่ คุ�อ ในกำรณ-ท-)พื้��นท-)ผลล�พื้ธ์,เปั(นร0ปัหลาย

เหล-)ยมท-)ม-จ�ดยอดม�มหลายจ�ด จะท�าให�เส-ยเวลาในกำารคุ�านวณมากำ อ-กำท��งกำารใชิ�กำราฟแกำ�ปั#ญหาย�งไม1สามารถุใชิ�ได�กำ�บื้กำารแกำ�ปั#ญหาท-)ม-ติ�วแปัรท-)ติ�องติ�ดสนใจมากำกำว1า 3 ติ�วแปัร


Graphical Representation of

Constraints ตั�วแบบเชิ�งเส�นข้องโจทย่�ปั�ญหา Flair Furniture Company

Maximize profit = $7T + $5C (objective function)

Subject to constraints -

4T + 3C 240 (carpentry constraint)

2T + 1C 100 (painting constraint)

C 60 (chairs limit constraint)

T 0 (non-negativity constraint on tables)

C 0 (non-negativity constraint on chairs)


Graphical Solution of a LP With Two Variables

1 .ลากแกนแนวนอน แทนตั�วแปัรตั�วท+# 1 (T) และ ลากแกนแนวตั�,งแทนตั�วแปัรตั�วท+# 2 (C)

2. เปัล+#ย่นฟั�งก�ชิ�#นเง"#อนไข้บ�งค�บ จากร!ปัแบบอสมูการเปั7นร!ปัแบบสมูการ

3. หาจ/ดตั�ดระหว(างฟั�งก�ชิ�#นเง"#อนไข้บ�งค�บท/กอ�น ก�บแกนแนวนอนและแนวตั�,ง

4. หาจ/ดตั�ดระหว(างเส�นฟั�งก�ชิ�#นเง"#อนไข้บ�งค�บท+#ตั�ดก�นในกราฟั5. หาพ",นท+#ผลล�พธ์�ท+#น(าจะเปั7นผลเฉลย่(Feasible Area) รวมูถุ1ง

หาจ/ดตั�ดย่อดมู/มูข้องพ",นท+#ด�งกล(าว6. หาผลเฉลย่ท+#เหมูาะสมูท+#ส/ด(The Optimal Solution) ด�วย่

ว�ธ์+การแทนค(าจ/ดตั�ดย่อดมู/มูลงไปัในฟั�งก�ชิ�#นว�ตัถุ/ปัระสงค�


Graphical Representation of ConstraintsCarpentry Time Constraint

4T + 3C 240เปัล+#ย่นฟั�งก�ชิ�#นเง"#อนไข้บ�งค�บ จากร!ปัแบบอสมูการเปั7นร!ปัแบบสมูการ ได�ด�งน+,4T + 3C = 240แทน T = 0 จะได�

4 (0 )+ 3C = 240C = 80ด�งน�,น จ/ดตั�ดก�บแกนแนวตั�,ง ค"อ ( 0 , 80 )

(T=60,C=0)

4T + 3C = 240แทน C = 0 จะได�4 T + 3(0) = 240T = 60ด�งน�,น จ/ดตั�ดก�บแกนแนวนอน ค"อ ( 60 , 0 )


Graphical Representation of Constraints

Carpentry Time Constraint

หาพ",นท+#ผลล�พธ์� โดยสมมติจ�ดใดๆ เพื้�)อทดสอบื้ โดยส�งเกำติได�ว1าจ�ดใดๆท-)อย01บื้นเส�น จะเปั(นไปัติามเง�)อนไข้เชิ1น (30,40)•ทดสอบื้ จ�ด(30,20)4(30) + 3(20) 240 จร�ง•ทดสอบื้ จ�ด(70,40)4(70) + 3(40) > 240 ไมู(เปั7นไปัตัามูเง"#อนไข้ด�งน�,นพ",นท+#แรเงาจะอย่!(ใตั�เส�นกราฟั

4T + 3C 240


Graphical Representation of ConstraintsPainting Time Constraint

2T + 1C 100เปัล+#ย่นฟั�งก�ชิ�#นเง"#อนไข้บ�งค�บ จากร!ปัแบบอสมูการเปั7นร!ปัแบบสมูการ ได�ด�งน+,2T + 1C = 100แทน T = 0 จะได�

2 0( )+ 1C = 100C = 100ด�งน�,น จ/ดตั�ดก�บแกนแนวตั�,ง ค"อ (0 , 100)หาพ",นท+#ผลล�พธ์� โดยสมมติจ�ดใดๆ เพื้�)อทดสอบื้ เหม�อนเง�)อนไข้กำ1อนหน�า(Carpentry Time Constraint) จะได�ว1าพื้��นท-)แรเงาจะอย01ใติ�เส�นกำราฟ

2T + 1C = 100

แทน C = 0 จะได�2 T + 1(0) = 100T = 50 ด�งน�,น จ/ดตั�ดก�บแกนแนวนอน ค"อ ( 50 , 0 )


Graphical Representation of ConstraintsChair Limit Constraint and Feasible Solution Area

พื้��นท-)ผลล�พื้ธ์,ท-)เปั(นไปัได� จะถุ0กำกำ�าหนดโดยเง�)อนไข้บื้�งคุ�บื้ท��ง 3 แสดงได�ด�งร0ปั

C 60

2T + 1C 100

4T + 3C 240


Graphical SolutionIsoprofit Line Solution Method

• ผลเฉลยเหมาะท-)ส�ด จะเปั(นจ�ดภายในพื้��นท-)แรเงา ท-)ให�คุ1ากำ�าไรส0งส�ด

• อาจม-ผลเฉลยท-)เปั(นไปัได�มากำกำว1าหน7)งผลเฉลย ภายในบื้รเวณพื้��นท-)แรเงา ด�งน��นในกำารเล�อกำจ�ดท-)ด-ท-)ส�ด ท-)จะให�คุ1าผลกำ�าไรส0งท-)ส�ดท�าได�โดย

• กำ�าหนดให�ฟ#งกำ,ชิ�นว�ติถุ�ปัระสงคุ, ($7T + $5C) เท1ากำ�บื้คุ1าสมมติคุ1าหน7)ง โดยคุ1าน��นจะติ�องสอดคุล�องกำ�บื้จ�ด ซึ่7)งอย01ภายในพื้��นท-)แรเงา

• ลากำเส�นฟ#งกำ,ชิ�)นว�ติถุ�ปัระสงคุ,ซึ่7)งเท1ากำ�บื้คุ1าท-)กำ�าหนด โดยจะได�กำราฟเปั(นเส�นติรง


Isoprofit Line Solution Method • ฟ#งกำ,ชิ� )นว�ติถุ�ปัระสงคุ, คุ�อ: $7 T + $5 C = Z

• เล�อกำสมมติคุ1า Z ให�เปั(นคุ1าคุ1าหน7)ง ติ�วอย1าง เชิ1น เล�อกำคุ1า Z ให�เท1ากำ�บื้ $210 ด�งน��นจะได�ว1า : $7 T + $5 C =

$210

• กำารวาดกำราฟข้องเส�นแสดงผลกำ�าไร ท�าได�โดย:

ก�าหนดให� T = 0 และแก�สมูการฟั�งก�ชิ�#นว�ตัถุ/ปัระสงค� เพ"#อหาค(า C

– ให� T = 0 จะได�ว1า $7(0) + $5C = $210 หร�อ C = 42

ก�าหนดให� C = 0 และแก�สมูการฟั�งก�ชิ�#นว�ตัถุ/ปัระสงค� เพ"#อหาค(า T

– ให� C = 0 จะได�ว1า $7T + $5(0) = $210 หร�อ T = 30


Isoprofit Line Solution Method

จากำน��นท�ากำารเล�อกำสมมติคุ1า Z ให�ส0งข้7�น เพื้�)อหาว1าเปั(นผลเฉลยท-)เหมาะสมหร�อไม1

จากำร0ปัจะเห4นว1า คุ1า Z=210 ท-)เราเล�อกำ ย�งไม1ใชิ1คุ1าส0งส�ดท-)เปั(นไปัได�


Isoprofit Line Solution Method

ร0ปัในหน�าน-� แสดงเส�น Isoprofit lines ติ1างๆ เม�)อเล�อกำกำ�าหนดคุ1า Z ให�เท1ากำ�บื้ $350 และ $280 ซึ่7)งจะเห4นว1าท�กำเส�นจะข้นานกำ�บื้เส�นผลกำ�าไรแรกำท-)กำ�าหนดให� Z= $210


Optimal Solutionผลเฉลย่ท+#เหมูาะท+#ส/ด(Optimal Solution) :อย่!(ท+#จ/ดมู/มูหมูาย่เลข้ 4 ค"อ: T=30 (โติ<ะ) และ C=40 (เกำ�าอ-�) โดยได�ร�บื้กำ�าไร เท1ากำ�บื้ $410


Optimal Solution• ผลเฉลยเหมาะท-)ส�ด จะอย01ท-)จ�ดส0งส�ดในพื้��นท-)แรเงา• โดยจะเห4นว1า อย01ท-)จ�ดติ�ดกำ�นระหว1าง เง�)อนไข้บื้�งคุ�บื้ด�านกำารปัระกำอบื้

(carpentry constraints) และเง�)อนไข้บื้�งคุ�บื้ด�านทาส-(painting

constraints):

- สมกำาร Carpentry constraint คุ�อ: 4T + 3C = 240 ----

- สมกำาร Painting constraint คุ�อ: 2T + 1C = 100 ----

หากำเราแกำ�สมกำารเพื้�)อหาจ�ดติ�ดข้องกำราฟเง�)อนไข้บื้�งคุ�บื้ท��งสอง(ท-)จ�ดหมายเลข้ 4)จะได�ผลเฉลยท-)เหมาะสมท-)ให�คุ1ากำ�าไรส0งส�ด ท�าได�ด�งน-� น�า 2 จะได� 4T + 2C = 200 และ น�าไปัลบื้กำ�บื้ จะได�ว1า C = 40 น�าคุ1า C = 40 ท-)ได�ไปัแทนใน เพื้�)อหาคุ1า T จะได� T=30 T=30 (โติ<ะ) และ C=40 (เกำ�าอ-�) โดยได�ร�บื้กำ�าไร เท1ากำ�บื้ $410


Corner Point Solution Method Corner Point Property “คุ�า

ติอบื้ข้องปั#ญหาท-)เหมาะสม ข้องปั#ญหากำ�าหนดกำารเชิงเส�น ม�กำจะเกำดข้7�นท-)จ�ดม�ม”

จากำร0ปัจะท�าให�ทราบื้บื้รเวณพื้��นท-)ข้องผลล�พื้ธ์,ท-)เปั(นไปัได�ส�าหร�บื้โจทย,ท-)กำ�าหนด ซึ่7)งบื้รเวณด�งกำล1าวม-จ�ดม�ม 5 จ�ด คุ�อจ�ด 1, 2, 3, 4, และ 5 ติามล�าด�บื้

ในกำารหาว1าจ�ดใดท-)ให�กำ�าไรมากำท-)ส�ด ท�าได�โดยน�าจ�ดม�มแติ1ละจ�ดไปัคุ�านวณหาคุ1ากำ�าไร ในฟ#งกำ,ชิ�)นว�ติถุ�ปัระสงคุ,


Corner Point Solution Method • จ�ดท-) 1 (T = 0, C = 0)

กำ�าไร = $7(0) + $5(0) = $0

• จ�ดท-) 2 (T = 0, C = 60) กำ�าไร = $7(0) + $5(60) = $300

• จ�ดท-) 3 (T = 15, C = 60) กำ�าไร = $7(15) + $5(60) = $405

• จ�ดท-) 4 (T = 30, C = 40) กำ�าไร = $7(30) + $5(40) = $410

• จ�ดท-) 5 (T = 50, C = 0) กำ�าไร = $7(50) + $5(0) = $350


Setting Up and Solving LP Problems Using Excel’s Solver

การใชิ� solver เพ"#อหาผลเฉลย่ปั�ญหา Flair Furniture

จากำโจทย,ติ�วแปัรติ�ดสนใจคุ�อ T ( Tables ) และ C ( Chairs ) :

Maximize profit = $7T + $5C

Subject to constraints

4T + 3C 240 (carpentry constraint)

2T + 1C 100 (painting constraint)

C 60 (chairs limit constraint)

T, C 0 (non-negativity)


• Changing Cells เพื้�)อคุวามชิ�ดเจน จากำร0ปัจ7งใส1พื้��นหล�งส-เหล�องให�กำ�บื้เซึ่ลล,ท-)เกำ4บื้คุ1าติ�วแปัรติ�ดสนใจ

Solver Spreadsheet Setup

Changing Cells ให�ระบ/ตั�วแปัรตั�ดส�นใจ B5 และ C5


LP Excel and Solver PartsTarget Cell

Objective function จะถุ0กำอ�างองลงในส1วน target cell ข้อง solver

ในแผ1นงานให�กำ�าหนดส0ติร = SUMPRODUCT(B6:C6,$B$5:$C$5) ซึ่7)งม-คุวามหมายเชิ1นเด-ยวกำ�บื้กำารใส1ส0ติร =B6*B5+C6*C5

Target Cell


LP Excel and Solver PartsConstraints ในแติ1ละเง�)อนไข้�อจ�ากำ�ด(constraint) จะแบื้1งเปั(น 3 ส1วน คุ�อ - • ส(วนด�านซ้�าย่มู"อ(LHS) ปัระกำอบื้ด�วยท�กำๆคุ1าท-)อย01ด�านซึ่�ายม�อข้อง

เคุร�)องหมายสมกำาร(=) หร�อเคุร�)องหมายอสมกำาร( , )• ส(วนด�านข้วามู"อ(RHS) ปัระกำอบื้ด�วยท�กำๆคุ1าท-)อย01ด�านข้วาม�อข้อง

เคุร�)องหมายสมกำาร(=) หร�อเคุร�)องหมายอสมกำาร( , ) • ส(วนเคร"#องหมูาย่สมูการ(=) หร"อเคร"#องหมูาย่อสมูการ( , )

1 23


Entering Information in Solverเร-ยกำใชิ�งาน Solver โดยคุลBกำเมน0 ToolsSolver • ระบ/ Target Cell (D6)• ระบ/ Changing Cells (B5, C5)

Flair Furniture

T CTables Chairs

Number Of UnitsProfit 7 5 0 <-ObjectiveConstraints:Carpentry Hours 4 3 0 <= 240Painting Hours 2 1 0 <= 100Chairs Limit 1 0 <= 60

LHS Sign RHS


Constraints

Specifying Constraints

• คุลBกำปั�Cม "Add" เพื้�)อเพื้)มเง�)อนไข้ข้�อจ�ากำ�ดท-)อ�างองถุ7งส1วน LHS

และ RHS

• โดยอาจเพื้)มเง�)อนไข้ข้�อจ�ากำ�ดคุร��งละหน7)งเง�)อนไข้ หร�ออาจเพื้)มเง�)อนไข้ข้�อจ�ากำ�ดท��งชิ�ดในคุร��งเด-ยวกำ�นได� หากำท��งชิ�ดเง�)อนไข้น��นม-เคุร�)องหมาย (<=, >=, หร�อ =) เด-ยวกำ�น

• จากำโจทย,ปั#ญหาน-� เง�)อนไข้ข้�อจ�ากำ�ดท��งหมดม-เคุร�)องหมาย <=

เหม�อนกำ�น ด�งน��นจ7งกำ�าหนดให�ส1วนซึ่�ายม�อ(LHS) เปั(น D8:D10

และส1วนข้วาม�อ(RHS) ข้องเคุร�)องหมาย <= เปั(น F8:F10


Constraints Specifying Constraints


Solver Options

• คุลBกำปั�Cม Options เพื้�)อกำ�าหนดติ�วเล�อกำข้อง Solver

• ติ�องเชิ4คุเคุร�)องหมายถุ0กำท-) checkbox– Assume Linear Model – Assume Non-Negative


Solving Model • เม�)อกำดปั�Cม Solve , Solver จะร�นติ�วแบื้บื้(Model) และแสดงผลล�พื้ธ์,ท-)ได�

• หน�าติ1าง Solver Results จะแสดงรายงานได�สามแบื้บื้ คุ�อ - Answer

- Sensitivity

- Limits


Solution• ผลเฉลย่ท+#เหมูาะสมู(Optimal solution) แสดงว1าติ�อง

ผลติโติ<ะ 30 ตั�ว และเก�าอ+, 40 ตั�ว ซ้1#งจะท�าให�ได�ก�าไรมูากท+#ส/ดค"อ $ 410Flair Furniture

T CTables Chairs

Number Of Units 30 40Profit 7 5 410 <-ObjectiveConstraints:Carpentry Hours 4 3 240 <= 240Painting Hours 2 1 100 <= 100Chairs Limit 1 40 <= 60

LHS Sign RHS


Possible Messages in Results Window


Flair Furniture Solver Answer Report


Solving LP Problems Using QM for Windows


Using QM for Windows




A Minimization LP Problemปั#ญหากำ�าหนดกำารเชิงเส�นหลายๆปั#ญหา อาจม-ฟ#งกำ,ชิ�นว�ติถุ�ปัระสงคุ, เพื้�)อหาคุ1าติ�)าส�ด เชิ1น ติ�นท�นติ�)าส�ด แทนกำารหาคุ1ากำ�าไรส0งส�ด

ติ�วอย1าง เชิ1น:

– ร�านอาหารติ�องกำารจ�ดติารางกำารท�างานข้องพื้น�กำงาน ให�ท�างานได�ติามท-)ติ�องกำาร โดยจ�างพื้น�กำงานจ�านวนน�อยท-)ส�ด

– ผ0�ผลติอาจจะติ�องกำารส1งสนคุ�าข้องตินจากำโรงงานหลายๆโรงงาน ไปัย�งคุล�งสนคุ�าท-)อย01ในหลายๆท-) โดยให�คุ1าใชิ�จ1ายในกำารข้นส1งน�อยท-)ส�ด

– โรงพื้ยาบื้าลอาจจะติ�องกำารวางแผนรายกำารอาหารให�กำ�บื้คุนไข้� โดยคุนไข้�ติ�องได�ร�บื้สารอาหารติามเกำณฑ์,มาติรฐาน โดยให�เกำดติ�นท�นกำารซึ่��ออาหารติ�)าท-)ส�ด


Example of a Two Variable Minimization LP Problem

Holiday Meal Turkey Ranch• ติ�องกำารเล�อกำซึ่��ออาหารส�าหร�บื้ลา 2 ย-)ห�อ โดยม-

ติ�นท�นติ�)าท-)ส�ด• อาหารส�ติว,แติ1ละย-)ห�อม-สารอาหาร 3 ชินด ได�แกำ1

โปัรติ-น, วติามน และธ์าติ�เหล4กำ • Brand A 1 ปัอนด, ปัระกำอบื้ด�วย:

– โปัรติ-น 5 หน1วย– วติามน 4 หน1วย – ธ์าติ�เหล4กำ 0.5 หน1วย

• Brand B 1 ปัอนด, ปัระกำอบื้ด�วย: – โปัรติ-น 10 หน1วย – วติามน 3 หน1วย – ธ์าติ�เหล4กำ 0 หน1วย


Example of Two Variable Minimization Linear Programming Problem

Holiday Meal Turkey Ranch

• ตั�นท/นข้องอาหาร Brand A เท1ากำ�บื้ $0.02 ติ1อปัอนด,

ส1วน Brand B ม-ตั�นท/น $0.03 ติ1อปัอนด,

• เจ�าข้องร�านติ�องกำารอาหารท-)ม-ติ�นท�นติ�)าท-)ส�ด โดยอาหาร

ย-)ห�อน��นจะติ�องม-สารอาหารแติ1ละชินดข้��นติ�)า ติามท-)ลาจะ

ติ�องได�ร�บื้ในแติ1ละเด�อน


Summary of Holiday Meal Turkey Ranch Data


Formulation of LP Problem:

Minimize cost (in cents) = 2A + 3BSubject to: 5A + 10B 90 (protein constraint)

4A + 3B 48 (vitamin constraint)

½A 1½ (iron constraint)

A 0, B 0 (nonnegativity constraint)

โดยท-): A แทนปัรมาณข้องอาหาร Brand A หน1อยเปั(นปัอนด, B แทนปัรมาณข้องอาหาร Brand B หน1อยเปั(นปัอนด,


Graphical Solution of Holiday Meal Turkey Ranch Problem

กำราฟแสดงเง�)อนไข้บื้�งคุ�บื้ :

5A + 10B 90

4A + 3B 48

½A 1½

Nonnegativity Constraint A 0, B 0


Isocost Line Method.กราฟัแสดงตั�นท/น (cost line) ท+#ตั�นท/นเท(าก�บ 54-cent 2A + 3B = 54


Isocost Line Method

• Isocost line จะถุ0กำข้ย�บื้ข้นานเส�นแสดงติ�นท�นท-) 54-cent ลงไปัใกำล�กำ�บื้จ�ดกำ�าเนด.

• จากำร0ปัแสดงจ�ดส�ดท�ายท-)เส�น isocost line ส�มผ�ส โดยท-)ย�งอย01ภายในบื้รเวณแรเงา(ผลล�พื้ธ์,ท-)เปั(นไปัได�) คุ�อจ�ดม�มหมายเลข้ 2


• หาพ�ก�ดข้องจ/ดตั�ดหมูาย่เลข้ 2 ท+#สมูการเง"#อนไข้บ�งค�บท�,งสองตั�ดก�น จะได�ว(า A= 8.4 และ B=4.8 ด�งน�,นผลเฉลย่เหมูาะท+#ส/ดท+#มู+ตั�นท/นตั�#าส/ดค"อ:

2A + 3B = (2)(8.4) + (3)(4.8) = 31.2

Isocost Line Method


Corner Point Solution Method

• Point 1 - (A = 3, B = 12)

– ตั�นท/นค"อ 2(3) + 3(12) = 42 cents

• Point 2 - (A = 8.4, b = 4.8)

– ตั�นท/นค"อ 2(8.4) + 3(4.8) = 31.2 cents

• Point 3 - (A = 18, B = 0)

– ตั�นท/นค"อ (2)(18) + (3)(0) = 36 cents

• ผลเฉลย่ท+#เหมูาะสมูท+#มู+ตั�นท/นตั�#าท+#ส/ดค"อ:จ/ดมู/มูท+# 2, ตั�นท/น = 31.2 cents

5A + 10B 90

4A + 3B 48


Summary of Graphical Solution Methods

1 . วาดกำราฟข้องแติ1ละสมกำารเง�)อนไข้บื้�งคุ�บื้

2. หาพื้��นท-)ผลล�พื้ธ์,ท-)เปั(นไปัได� ซึ่7)งพื้��นท-)ด�งกำล1าวจะเปั(น

ไปัติามเง�)อนไข้บื้�งคุ�บื้ข้องปั#ญหาท�กำเง�)อนไข้

3. เล�อกำวธ์-กำารหาผลเฉลย จากำกำารวาดกำราฟ จากำน��น

จ7งท�ากำารหาผลเฉลย

1 .วธ์-หาจ�ดม�ม (Corner Point Method)

2. วธ์-ลากำเส�นผลกำ�าไร(Isoprofit) หร�อเส�น

ติ�นท�น(Isocost)


Summary of Graphical Solution Methods (Continued)

Corner Point Method• หาจ�ดติ�ด ท-)เปั(นม�มข้องพื้��นท-)ผลล�พื้ธ์,ท-)เปั(นไปัได�

โดยกำารด0จากำกำราฟ หร�อโดยกำารแกำ�สมกำาร• คุ�านวณหาผลกำ�าไร หร�อติ�นท�น โดยกำารแทนคุ1า

จ�ดติ�ดติ1างๆ ลงในฟ#งกำ,ชิ�นว�ติถุ�ปัระสงคุ,• หาผลเฉลยท-)เหมาะท-)ส�ด โดยเล�อกำจ�ดม�มท-)ให�คุ1า

กำ�าไรส0งส�ด หร�อให�คุ1าติ�นท�นติ�)าส�ด


Summary of Graphical Solution Methods (continued)

Isoprofit or Isocost Method• เล�อกำคุ1ากำ�าไรหร�อคุ1าติ�นท�นหน7)งคุ1า และวาดเส�นกำราฟกำ�าไร/เส�นกำราฟ

ติ�นท�น เพื้�)อแสดงให�เห4นถุ7งคุวามชิ�นข้องกำราฟ• ส�าหร�บปั�ญหาการหาค(าส!งส/ด ให�ท�ากำารข้ย�บื้เส�นกำราฟข้7�นไปัทางด�าน

ข้วา จนกำระท�)งส�มผ�สกำ�บื้ข้อบื้หร�อจ�ดม�มข้องพื้��นท-)ผลล�พื้ธ์,ท-)เปั(นไปัได� • ส�าหร�บปั�ญหาค(าตั�#าส/ด ให�ท�ากำารข้ย�บื้เส�นกำราฟลงไปัทางด�านซึ่�าย

จนกำระท�)งส�มผ�สกำ�บื้ข้อบื้หร�อจ�ดม�มข้องพื้��นท-)ผลล�พื้ธ์,ท-)เปั(นไปัได�• หาผลเฉลยท-)เหมาะสมได�จากำจ�ดพื้กำ�ด ท-)เส�นกำราฟกำ�าไร หร�อเส�นกำราฟ

ติ�นท�นส�มผ�สเปั(นจ�ดส�ดท�ายข้องบื้รเวณพื้��นท-)ผลล�พื้ธ์,ท-)เปั(นไปัได�• น�าผลเฉลยท-)ได� แทนลงในฟ#งกำ,ชิ�นว�ติถุ�ปัระสงคุ, เพื้�)อหาคุ1ากำ�าไรหร�อ

ติ�นท�นท-)เหมาะสมท-)ส�ด


Special Situations in Solving LP Problems

Redundancy: เง�)อนไข้ข้�อจ�ากำ�ดซึ่��าซึ่�อนเกำดข้7�นในกำรณ-ท-)ม-เง�)อนไข้ข้�อจ�ากำ�ดบื้างเง�)อนไข้ ท-)ไม1ม-ผลท�าให�พื้��นท-)แรเงา(พื้��นท-)ผลล�พื้ธ์,ท-)เปั(นไปัได�)เปัล-)ยนแปัลง

Maximize Profit = 2X + 3Ysubject to:X + Y 202X + Y 30X 25X, Y 0


Special Situations in Solving LP ProblemsInfeasibility: เกำดข้7�นเม�)อปั#ญหากำารโปัรแกำรมเชิงเส�นน��นไม1ม-

ผลเฉลยท-)เปั(นไปัติามเง�)อนไข้ข้�อบื้�งคุ�บื้ท��งหมด

X + 2Y 6

2X + Y 8

X 7


Special Situations in Solving LP Problems

Unboundedness: เกำดข้7�นในกำรณ-ท-)ปั#ญหากำารโปัรแกำรมเชิงเส�นน��นไม1ม-ผลเฉลยท-)จ�ากำ�ด จ7งไม1สามารถุหาผลเฉลยได�

Maximize profit

= $3X + $5Y

subject to:

X 5

Y 10

X + 2Y 10

X, Y 0


Alternate Optimal Solutions

• An LP problem may have more than one

optimal solution.

– Graphically, when the isoprofit (or isocost) line

runs parallel to a constraint in problem which lies

in direction in which isoprofit (or isocost) line is

located.

– In other words, when they have same slope.


Example: Alternate Optimal Solutions

Maximize profit = $3x + $2ySubject to:

6X + 4Y 24

X 3

X, Y 0


Example: Alternate Optimal Solutions

• At profit level of $12, isoprofit line will rest directly on top of first constraint line.

• This means that any point along line between corner points 1 and 2 provides an optimal X and Y combination.


Using Solver to Solve Holiday Meal Turkey Ranch Problem

LP formulation for this problem is as follows:

Minimize cost (in cents) = 2A + 3B

subject to constraints

5A + 10B 90 (protein constraint)

4A + 3B 48 (vitamin constraint)

½A 1½ (iron constraint)

A, B 0 (nonnegativity)


Holiday Meal Turkey Ranch Problem Spreadsheet


Excel Layout and Solver Entries


Solver Answer Report


Solving LP Problems Using QM for Windows




Summary• Introduced a mathematical modeling technique

called linear programming (LP). • LP models used to find an optimal solution to

problems that have a series of constraints binding objective value.

• Showed how models with only two decision variables can be solved graphically.

• To solve LP models with numerous decision variables and constraints, one need a solution procedure such as simplex algorithm.

• Described how LP models can be set up on Excel and solved using Solver.

Documents

ch03linear programming