Dynamic Programming

  • View
    50

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Dynamic Programming. Modul-7 : Analisis Algoritma dan Struktur data. Apa itu dynamic programming?. Teknik pemrograman yang menghindari komputasi berulang dari hal-hal yang sama dengan cara menyimpan hasil setiap langkah (subproblem) dalam memory atau suatu tabel / vektor - PowerPoint PPT Presentation

Text of Dynamic Programming

  • Modul-7 : Analisis Algoritma dan Struktur data

  • Teknik pemrograman yang menghindari komputasi berulang dari hal-hal yang sama dengan cara menyimpan hasil setiap langkah (subproblem) dalam memory atau suatu tabel / vektorTeknik pemrograman bottom-up, dimulai dari subproblem kecil selangkah-demi selangkah, dengan antisipasi hal-hal yang mungkin berulang (diperlukan lagi) sehingga dapat disimpan dalam suatu tabel.

  • Rekursif Fibonacci:% algoritma rekursifFungsi fibo1(n)if (n < 2) return nelse return fibo1(n-1) + fibo1(n-2);Misalnya: fibo1(4) = fibo1(3) + fibo1(2), sehingga fibo1(3) dihitung = fibo1(2)+fibo1(1), dan fibo1(2) juga dihitung = fibo1(1) + fibo1(0). Disini fibo1(2) dua kali dihitung, demikian pula fibo1(1). Komputasinya tidak efisienKarena F(n+1)/F(n) = golden ratio = 1.61803, maka kompleksitasnya adalah O(1.62n)Algoritma yang menerapkan dynamic programming diharapkan memiliki kompleksitas linier O(n)

  • Solusi dinamis:% algoritma non rekursifFungsi fibo2(n)i 1; j 0;for k 1 to n do {j i + j;i j i;}return j;Atau sbb:F(0) = 0; F(1)=1for i=1 to nF(i) = F(i-1) + F(i-2)end.

  • Andaikan ada dua tim olahraga, tim A dan tim B, bertanding sebanyak maksimum 2n-1 pertandingan, dimana tim yang pertama memenangkan n pertandingan dianggap sebagai pemenang. Assumsi pertama yang harus diterapkan adalah tidak pernah ada pertandingan dengan hasil draw, kedua, setiap pertandingan adalah independen, tidak bergantung dengan pertandingan sebelumnya.Anggaplah bahwa kebolehjadian untuk tim A menang adalah p, dan tentu saja kebolehjadian tim B menang adalah q = 1 p.

  • Apabila P(i,j) adalah kebolehjadian untuk A menang perlu i kemenangan, dan untuk B perlu j kemenangan.Pada awal pertandingan kebolehjadian=P(n,n)Ketika A menang maka P(0,j)=1, p=1, q=0, dan ketika B menang maka P(i,0)=1, p=0 dan q=1Secara umum P(i,j)=p*P(i-1,j) + q*P(i,j-1)

    Fungsi P(i,j)if i = 0 then return 1else if j = 0 then return 0else return p*P(i-1,j) + q*P(i,j-1)

    Kompleksitasnya: T(k) 2T(k-1) + dAsimptotik : O(2k) = O(4n) bila i=j=n

  • Solusi dinamik adalah dengan menyimpan hasil perhitungan P(i,j) dalam suatu tabel/array, kemudian bila diperlukan tinggal diakses dari tabel

    Fungsi Pertandingan(n, p) array P[0..n, 0..n]; q = 1 p; for s = 1 to n {P[0,s] 1; P[s,0] 0;for k = 1 to (s-1) { P[k,s-k] = p*P[k-1,s-k] + q*P[k,s-k-1];} } for s = 1 to n {for k = 0 to (n-s) { P[s+k,n-k] = p*P[s+k-1,n-k] + q*P[s+k,n-k-1];} } return P[n,n].

    Kompleksitas-nya hanya O(n2)

  • Perkalian dua matriks A,B bisa dilakukan bila jumlah kolom A = jumlah baris B

    Fungsi Kali-Matrix(A, B)if columns(A) rows(B)then error dimensi tidak sesuai;else {for i 1 to rows(A)for j 1 to columns(B){C[i,j] 0;for k 1 to columns(A)C[i,j] C[i,j] + A[i,k]*B[k,j];}

  • Andaikan ada 4 matriks A1,A2,A3, dan A4 akan diperkalikan maka ada 5 kemungkinan perkalian:(A1(A2(A3A4)))(A1((A2A3)A4))((A1A2)(A3A4))((A1(A2A3))A4)(((A1A2)A3)A4)Andaikan dimensinya sbb:A1 : 13 x 5A2 : 5 x 89A3 : 89 x 3A4 : 3 x 34Maka (A1A2) perlu: 13 x 5 x 89 = 5785 perkalian, (A1A2)A3 perlu: 13 x 89 x 3 = 3471, dan ((A1A2)A3)A4 perlu : 13 x 3 x 34 = 1326Total perlu 5785 + 3471 + 1326 = 10582 perkalian

  • dapat dibuktikan bahwa :((A1A2)A3)A4 = 10582 perkalian(A1A2)(A3A4) = 54201 perkalian(A1(A2A3))A4 = 2856 perkalianA1((A2A3)A4) = 4055 perkalianA1(A2(A3A4)) = 26418 perkalianDengan kata lain kompleksitas tergantung pada cara perkalian yang dipilih, dimana yang paling efisien adalah (A1(A2A3))A4 = 2856Persoalannya: bagaimana menemukan cara perkalian matriks berantai yang efisien? Apakah dengan cara coba-coba satu persatu?

  • Secara teoritis cara coba-coba tdk efisien:Andaikan jumlah percobaan yang harus dilakukan adalah P(n) untuk n buah matriks. Karena tanda kurung bisa disisipkan antara matriks ke-k dan ke (k+1) untuk semua nilai k mulai dari 1 hingga (n-1), maka akan diperoleh rekurensi:P(n) = 1 bila n = 1

    = bila n 2Solusinya adalah catalan number C(n-1) = dengan (4n/n3/2).

  • Solusi dinamik:Function Matrix-Chain-Order(d) arrayn length[d] 1;for i = 1 to n A[i,i] 0;endFor;for l = 2 to n for i = 1 to (n l + 1) j i + l 1; A[i,j] ; for k = i to j-1 q A[i,k] + A[k+1,j] + d(i-1)*d(k)*d(j); if (q < A[i,j]) then A[i,j] q; s[i,j] k; endIf endFor; endForendForreturn A, s;

  • d : adalah vektor yang menyatakan dimensi dari n buah matriks, misalnya: M1 : d0 x d1, M2 : d1 x d2 Mn : d(n-1) x d(n)Contoh: d = [13, 5, 89, 3, 34] adalah dimensi dari 4 matriks A1, A2, A3, dan A4Tabel A[n,n] memuat biaya perkalian setiap kombinasi perkalian matriksTabel s[n,n] berisi indeks, dimana s[i,j] berisi indeks k pada saat A[i,j] optimum

  • the call PRINT-OPTIMAL-PARENS(s, 1, 6) prints theparenthesization ((A1 (A2 A3)) ((A4 A5)A6)).

  • Algoritma Matrix-Chain-Multiply(A, s, i, j)if (j > i)then X Matrix-Chain-Multiply(A, s, i, s[i,j]); Y Matrix-Chain-Multiply(A, s, s[i,j] + 1,j); return Matrix-Multiply(X, Y);else return A(i)endIf

    Algoritma ini menggunakan tabel A[ ] dan tabel s[ ] dari algoritma matrix-chain-order untuk menujukkan cara melakukan perkalian matriksnya. Mula-mula algoritma ini dipanggil dengan argumen (A, s, 1, n)

    *************