Ch1-Proba[1

Calcul des probabilités

Issam Elhattab

École Nationale de Commerce et de Gestion - CasablancaUniversité de Hassan II

2010 - 2011

I. Elhattab (ENCG) Calcul des probabilités 2010 - 2011 1 / 26

Sommaire

1 Expérience aléatoire et ensemble fondamental

2 Événement

3 Opérations sur les événements

4 Définition de probabilité

5 Probabilité conditionnelle et indépendance


Expérience aléatoire et ensemblefondamental


Expérience aléatoire

DéfinitionNous appellerons expérience aléatoire toute action ou processus quiengendre des résultats ou des observations et dont on ne peutprédire avec certitude le résultat.

Exemple

1 Le lancement d’une pièce de monnaie.

2 Le jet d’un ou de plusieurs dés.

3 L’attente d’une rame de train.

4 Le prix d’un actif financier.


Ensemble fondamental

DéfinitionNous supposons que l'on peut décrire l'ensemble de tous lesrésultats possible d'une expérience aléatoire. Cet ensemble estgénéralement désigné par Ω et est appelé ensemble fondamental ouencore espace échantillon.

Exemple

1 Considérons l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé.L’ensemble fondamental qui lui est associé contient tous lesrésultats possibles de ce lancement :

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.


Événement


Événement

DéfinitionNous appellerons événement tout sous-ensemble (ou partie) del'ensemble fondamental Ω. Un événement sera dit élémentaire s'ilne contient qu'un seul élément de Ω, et, composé s'il contientplusieurs éléments de Ω.

Exemple

1 Considérons l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé.L’ensemble fondamental qui lui est associé contient tous lesrésultats possibles de ce lancement :

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.


Opérations sur les événements


Vocabulaires

Considérons, tout au long de ce paragraphe, les événements E, E1 et E2 de l'ensemble

fondamental Ω, et reprenons l'exemple du jet d'un dé.

Implication

L'événement E1 implique l'événement E2 si le sous-ensemble E1 estinclus dans E2. On écrit E1 ⊂ E2. L'événement E2 se réalise doncchaque fois que E1 est obtenu.

Égalité

Les événements E1 et E2 sont égaux s'ils sont représentés par deuxsous-ensembles composés des mêmes éléments. On écrit E1 = E2.L'événement E2 se réalise donc chaque fois que E1 est obtenu et viceversa.


Opérations sur les événements

IntersectionL'intersection des deux événements E1 et E2 est le sous-ensemblecomposé des éléments communs de E1 et E2. On écrit E1 ∩ E2. C'estdonc l'événement qui se réalise quand E1 et E2 sont obtenusimultanément.

RéunionLa réunion des deux événements E1 et E2 est le sous-ensemblecomposé des éléments de E1 et de E2. On écrit E1 ∪ E2. C'est doncl'événement qui se réalise quand au moins un deux événements E1ou E2 se réalise.


Opérations sur les événements (suite)

La différenceLa différence entre E1 et E2 est l'ensemble composé des élémentsde E1 qui n'appartiennent pas à E2. On écrit E1 \ E2. L'événement E1se réalise donc sans que ce soit le cas pour E2.

Le complémentaire

L'événement complémentaire ou contraire de E est le sous-ensemblecomposé des éléments de Ω qui n'appartiennent pas à E. On écrit E.C'est l'événement qui se réalise donc quand E ne se réalise pas (etvice-versa).


Diagramme de Venn

A B

A ∪ B

A B

A ∩ B

A B

A \ B

A

A


ThéorèmeSoit A, B et C trois ensembles de Ω :

1 A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B.2 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).3 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).


Partition de l’ensemble fondamental

DéfinitionNous appellerons une partition toute suite d'événementsE1,E2, . . . ,En, mutuellement exclusifs deux à deux(Ei ∩ Ej = ∅,∀i 6= j), tels que

E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En = Ω.

ExempleConsidérons le jet d’un dé. Les suites d’événements suivantesconstituent des partition de Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 :

1 1, 2, 3, 4, 5, 6;2 1, 2, 4, 3, 5, 6;3 1, 3, 5, 2, 4, 6.


Définition de probabilité


Définition classique :DéfinitionSoit une expérience aléatoire pouvant conduire à n résultats distinctset de rôle symétrique ou équiprobable, et que parmi cesderniers, on peut dénombrer N(E) qui sont favorable à l'arrivée d'unévénement E, la probabilité de voir se réaliser celui-ci est donnépar :

P(E) =N(E)

n=

Crad(E)

Card(Ω).

ExempleLancement d’un dé équilibré. Soit les événements suivants :

A = avoir 1.

B = avoir un nombre divisible par 3.

C = avoir un nombre pair .

Donc P(A) = 1/6,P(B) = 1/3,P(C) = 1/2.


Définition fréquentiste :

DéfinitionSoit une expérience aléatoire répétée n fois de manièreindépendante et identique et n(E) le nombre de réalisation de E aucours des n répétitions. On constate que, lorsque n s'accroît, lafréquence fn(E) = n(E)/n se stabilise autour d'une valeur limitequ'on identie à la probabilité d'obtenir l'événement E :

P(E) = limn→∞

n(E)

n.


Définition axiomatique :

DéfinitionDénir la probabilité P(E) d'obtenir un événement E consiste àassocier à ce dernier un nombre réel satisfaisant aux axiomessuivants :

Axiom 1 : 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Axiom 2 : P(Ω) = 1.

Axiom 3 : Si E1,E2, . . . ,En sont n événements mutuellement exclusifs (Ei ∩ Ej = ∅,∀i 6= j) ; alors :

P(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En) = P(E1) + P(E2) + · · ·+ P(En), n = 1, 2, . . . ,∞.


ThéorèmeSoit E et F deux événements de Ω, alors :

1 P(E) = 1− P(E) ;

2 P(E ∪ F) + P(E ∩ F) = P(E) + P(F).

Démonstration

1 Il est claire que E ∪ E = Ω, donc : P(E ∪ E) = P(Ω). D’après l’axiom 2, P(Ω) = 1, et,d’après l’axiom 3, P(E ∪ E) = P(E) + P(E), par conséquent : P(E) + P(E) = 1,c’est-à-dire, P(E) = 1− P(E).

2 P(E ∪ F) + P(E ∩ F) = P(E) + P(F).


ThéorèmeSoit E et F deux événements de Ω, alors :

1 P(E) = 1− P(E) ;

2 P(E ∪ F) + P(E ∩ F) = P(E) + P(F).

Démonstration

1 Il est claire que E ∪ E = Ω, donc : P(E ∪ E) = P(Ω). D’après l’axiom 2, P(Ω) = 1, et,d’après l’axiom 3, P(E ∪ E) = P(E) + P(E), par conséquent : P(E) + P(E) = 1,c’est-à-dire, P(E) = 1− P(E).

2 P(E ∪ F) + P(E ∩ F) = P(E) + P(F).


Probabilité conditionnelle et indépendance


Probabilité conditionnelle

Définition

Soit E et F deux événements donnés. La probabilité, notéeP(E|F), que l'événement E se réalise sachant que l'événementF s'est réalisé est dénie par :

P(E|F) =P(E ∩ F)

P(F).

ExempleLancement d’un dé équilibré. Soit les événements suivants :

A = 1, 2, 3.B = avoir un nombre impair .

Donc

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

2636

=23.


ThéorèmeSoit A, B et C trois événements de Ω, alors :

1 P(B|A)× P(A) = P(A|B)× P(B) = P(A ∩ B) ;

2 P(A ∩ B ∩ C) = P(A)× P(B|A)× P(C|A ∩ B).


Indépendance

Définition

Soit E et F deux événements. Si P(E|F) = P(E), autrement dit,si l'information fourni par la réalisation de F ne modie enrien la probabilité de E, l'événement E est alors ditindépendant de F.

ExempleLancement de deux pièces de monnaie bien équilibrées. Sachant que face est le résultat dulancement de la première pièce, quelle est la probabilité que le résultat du lancement de ladeuxième pièce soit aussi face ?On a Ω = (P1,P2), (P1,F2), (F1,P2), (F1,F2). Soit A = (P1,F2), (F1,F2) et B = (F1,P2),(F1,F2). Remarquons que P(A ∩ B) = 1/4, et que, P(B) = 1/2, donc P(A|B) = 1/2, or,P(A) = 1/2, par conséquent :

P(A|B) = P(A).

Conclusion : A et B sont indépendants. Intuitivement, le résultat de la première pièce ne modifieen rien le résultat de la deuxième pièce.


ThéorèmeSoit E et F deux événements de Ω, alors on a l’équivalence suivante :

E et F sont indépendants ⇔ P(E ∩ F) = P(E)× P(F).

ExempleLancement de deux pièces de monnaie bien équilibrées. On a donc Ω = (P1,P2), (P1,F2),(F1,P2), (F1,F2). Soit A = (P1,F2), (F1,F2) et B = (F1,P2), (F1,F2). Remarquons queP(A ∩ B) = 1/4, et que, P(A) = 1/2 et P(B) = 1/2. D’où :

P(A ∩ B) = P(A)× P(B).

Conclusion : A et B sont indépendants.


Théorème (des probabilités totales)Si E1,E2, . . . ,En une partition de l’ensemble fondamental, et, A unévénement quelconque, alors :

P(A) =

n∑i=1

P(Ei)P(A|Ei).

Théorème (de Bayes)Si E1,E2, . . . ,En une partition de l’ensemble fondamental, et, A unévénement quelconque, alors :

P(Ei|A) =P(Ei)P(A|Ei)∑ni=1 P(Ei)P(A|Ei)

, i = 1, . . . , n.


ExempleOn classe les gérants de portefeuille en deux catégories : ceux quisont bien informés et ceux qui le sont pas. Lorsqu’un gérant bieninformé achète une valeur boursière pour son client, la probabilité quele cours de celle-ci monte est de 0.8 ; dans le cas d’un gérant malinformé, cette probabilité ne vaut que 0.5. Si on choisit au hasard ungérant dans un annuaire professionnel, la probabilité qu’il soit bieninformé est de 0.2. Calculer la probabilité que le gérant ainsi choisisoit mal informé, sachant que la valeur qu’il a acheté a monté.


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