Ch.4 강체 (등가력/모멘트계)steel.korea.ac.kr/UpLoad/note/0602/0610/공업역학... · 2017. 8. 1. · STATICS Page: 4 - 6 Tel: (02) 924-0190 Fax: (02) 921-5166 Instructor:

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Ch.4 강체 (등가력/모멘트계)

(Equivalent force/Moment systems)

o d

F

o M=F d

F2F1

d1 d2

o o

M 1 = F 1 d1

M 2 = F 2 d2

) ()(dFM 팔거리수직힘 ⋅=⋅=

모멘트를 구하는 방법

- 수직 팔거리를 이용하는 방법 (M = F ⋅ d): 2 차원에서 多用

- Varignon 의 정리를 이용하는 방법 (힘을 분해하여 모멘트 구함):

2 차원에서 多用

- 위치 벡터를 이용하는 방법 (M = r × F): 다양한 적용성(2,3 차원)


Ex 4-2≫

350 200 140

A

B

C

D

30

FB=150N

120

160

FD=120N

FC=90N

Unit : mm

① 힘 의 점 B에 관한 모멘트(MCF B)

② 힘 의 점 A에 관한 모멘트(MDF A)

③ 힘 의 점 C에 관한 모멘트(MBF C)

Sol≫

① mmN25200)mm280)(N90(dFM CB ⋅==⋅=

)(mN2.25 ⋅=

② mmN66000)mm550)(N120(dFM DA ⋅==⋅=

)(mN0.66 ⋅=

B

C

30

280mmd 30

FB=150N③

mmN1.36373 ⋅=

)(mN37.36 ⋅=

)30cosmm280)(N150(dFM BC °×=⋅=


Ex≫ 각 힘들의 점 A에 관한 모멘트(MA)=?

=90N F5 8cm

60 F4 =120N

F3 =75N DC

20cm

F2 =50N

F1 =100NBA

10cm

Sol≫ 0M;F A1 = , Why = 0 ?

)(mN5cmN500)cm10)(N50(dFM;F 2A2 ⋅=⋅==⋅=

)(mN15cmN1500)cm20)(N75(dFM;F 3A3 ⋅=⋅==⋅=

)(mN24cmN2400)cm20)(N120(dFM;F 4A4 ⋅=⋅==⋅=

)(mN9cmN900)60coscm20)(N90(dFM;F 5A5 ⋅=⋅=°×=⋅=

C

A

60

d60

90N

20cm30


In Class Exam >> ?M,M BA =

A B

60cm

30

F=100N

30cm

Sol≫

수직 팔거리를 이용하는 방법 (M = F ⋅ d)

i) MA:

A

C 30

F=100N

30

60

d60cm

)(mN96.51cmN15.5196

)30coscm60)(N100(M A

⋅=⋅=

°×=


i) MB:

A B

60cm

30

F=100N

30cm

60cm

30tan30 =17.32cmC

30

60

d 300

A B

C

d

67.08cm

26.57

3.43

60

60cm

30cm

F=100N

Case 1≫ Case 2≫

cm96.6643.3cos08.67d

=°=

cm96.6630cos32.77d

=°=

Case 1 의 d = Case 2 의 d ⇒ OK!

)(mN96.66cmN1.6696

)cm96.66)(N100(M B

⋅=⋅=

=∴

Note≫ F

A B

C

F

63.43

93.43

86.57

3030 62.43

26.5760

∴ 수선의 발은 lineCB 의 왼쪽에 존재

°< 90θC

°> 90θ

d

B

CB line


Another solution ≫ Varignon의 정리를 이용하는 방법

A B

60cm

30

F=100N

30cm

Sol≫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅=⋅=×°+×°=

×°+×°=⋅=

⋅=×°=×°=

)(mN96.66cmN2.66966030cos1003030sin100

6030cosF3030sinFM)(mN96.51

cmN15.51966030cos1006030cosFM

Varignon B

A

정리의

H.W. 6 ≫ 4-25, 4-29 (두 문제 모두 수직 팔거리를 이용하는

방법으로 풀고, 이를 Varignon 의 정리를 이용한 방법으로 검증하라)


* 모멘트의 벡터 표현:

위치 벡터를 이용하여 모멘트를 구하는 방법

FrM 0 ×= =(점 O 에서 힘의 작용선상의 한 점까지의 위치 벡터) ×

(힘 벡터)

1α

2α

2α3α

1r2r3r

d

O

1 A2A3A

F

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

α===

α=×=

F

Md

)sinrd,where(eMedF

esinFrFrM

0

0

0


1) 점에 관한 모멘트

ˆˆˆ

- 3 차원 -

kMjMiM

Fr(j)FrFr(i)FrFr(

)kk(Fr)jk(Fr)ik(Fr

)kj(Fr)jj(Fr)ij(Fr

)ki(Fr)ji(Fr)ii(Fr

)kFjFiF()krjrir(

FrM

zyx

yxzxxzyzzy

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

0

++=

−+−+−=

×+×+×

+×+×+×

+×+×+×=

++×++=

×=

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ×=×=×

ji

kij,kji,0iiwhere

kFjFiFF

krjrirr

zyx

zyx

++=

++=

k)Fr xy

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞−= k


0M 를 행렬식으로 표현하면

kMjMiM

k)FrFr(j)FrFr(i)FrFr(

kFFrr

jFFrr

iFFrr

rules'cramerFFFrrr

kji

FrM

zyx

xyyxxzzxyzzy

yx

yx

zx

zx

zy

zy

zyx

zyx

)3,1()2,1()1,1(

0

++=

−+−−−=

+−=

=×=

eMM,MMMM 002z

2y

2x0 =++=

{ kcosjcosicose zyx θ+θ+θ=321

방향코사인단위벡터

0

xx

MM

cos =θ , 0

yy

M

Mcos =θ ,

0

zz

MM

cos =θ

- 2 차원 -

kMk)FrFr(kFFrr

0FF0rrkji

FrM zxyyxyx

yx

yx

yx0 =−===×=


Ex 4-8≫ B0 d,M =?

B

A

200mm

150mm

x

4

3100mm

M0

dB O

F=1000Ny

r

Sol≫

ⅰ) N)j600i800()j53i

54(1000F +=+=

m)j2.0i1.0(rr0

A +== : O 점에서 A 점까지의 위치 벡터

)(mN100mN)k100(

k)16060(k)8002.06001.0(060080002.01.0kji

FrM 0

⋅=⋅−=

−=×−×==×=


ⅱ) m)j35.0i1.0(rB

A +=

)(mN220mN)k220(k)28060(

k)80035.06001.0(0600800035.01.0kji

FrMB

AB

⋅=⋅−=−=

×−×==×=

mm220m220.01000220

F

Md

BB ====

Ex 4-11≫ 00 d,M =? (See text 그림 4-22)

x

y

z

A

o

32.5in

40in

27.5in35in

800lb=F

rA/o

* 힘의 연장선을

한 평면상으로 연장하여

r을 구하라.

Sol≫

ⅰ) in)j35i5.27(r0

A +=

( )lbk4.599j5.524i93.74)40()35()5(

k40j35i5800F222

−+−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−++−

−+−=


[ ] [ ] [

inkip)k0.17j5.16i0.21(

inlb)k17046j16484i20979(

k)93.74)(35()5.524)(5.27(j0)4.599)(5.27(i0)4.599(35

k5.52493.74

355.27j

4.59993.7405.27

i4.5995.524

035

4.5995.52493.740355.27kji

FrM0

A0

⋅++−=

⋅++−=

−−+−−−−−×=

−+

−−−

−=

−−=×=

]

ⅱ) inkip7.31)0.17()5.16()0.21(M 2220 ⋅=++−=

in6.39kip8.0

inkip7.31F

Md

O0 =

⋅==


In Class Exam≫

Ex 4-10

H.W. 7 ≫ 4-36, 4-38, 4-46, 4-55


2) 선(축)에 관한 모멘트

nOOII eMM ⋅=

Step 1 ≫ OM 구한다 ( FrMO ×= ).

Step 2 ≫ OM 의 OB 방향의 scalar 성분( OBM )을 구한다.

scalareMM OBOOB =⋅=

Step 3 ≫ OBOBOB eMM ⋅= 를 구한다.

{( )

{ {43421

43421

3step

vector

n

scalar

OBn

2stepM

nOnOII

3step

OB

O

eMeeMeMM

)1step(FrM

OB

⋅=⋅=⋅=

×=

→

{ { n

zyx

zyx

scalar

vector

nvector

2step

nOOB eFFFrrrkji

e)Fr(eMM ⋅=⋅×=⋅=

=4 34 21

44 344 21

내적


Ex 4-13≫ lb)k120j100i60(F ++=

MBC=? (힘 F에 의한 선 BC에 관한 모멘트)

x

y

z

o

B

C

AF

18in30in

12in9in

32in

eBC

rA/B

Sol≫

in)k32j18i9(

k)032(j)1230(i)918(rB

A

++=

−+−+−=

Step 1 ≫ BM = 점 B 에 관한 모멘트

inlb)k180j840i1040(

k)60181009(j)32601209(i)3210012018(

k10060189

j12060329

i1201003218

1201006032189kji

FrMB

AB

⋅−+−=

×−×+×−×−×−×=

+−=

=×=


Step 2 ≫ BCM = BCM 의 선 BC 방향의 scalar 성분

j8944.0i4472.0)18()9(

j18i91e22BC +−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

+−=

!OKscalarinlb38.1216)0)(180()8944.0)(840()4472.0)(1040(

)j8944.0i4472.0()k180j840i1040(eMM BCBBC

←⋅=−++−−=

+−⋅−+−=⋅=∴

Step 3 ≫ BCM = BCBC eM ⋅ = 힘 F에 의한 선 BC에 관한 모멘트

inlb)j1088i544(

)j8944.0i4472.0(38.1216eMM BCBCBC

⋅+−=

+−=⋅=


In Class Exam≫

Ex 4-14

H.W. 8 ≫ Step 2 까지: 4-63, 4-68 Step 3 까지: 4-72, 4-74


* 우력 (Couples)

: 크기가 같고 동일 직선상에 있지 않은 반대 방향의 평행한 두 힘

n1n1AB

1B

A

1211211

2211O

edFesinFr

Fr

F)rr()F(rFr

FrFrM

=α=

×=

×−=−×+×=

×+×=

dFdFM 21O ⋅=⋅= : 多用


- See text 그림 4-31


* 동일 평면 역계

x

y

R

dR

합

R

443322110

dRdFdFdFdFM

⋅=

+++=Σ

RM

d 0R

Σ=

Ex ≫ A점에서 합력까지의 수직거리(dA)=?

10m

20m

30m

y

xA

B

100N

200N

100N

400N(합력)

20m

Sol≫

m20400

8000RMd

N400R)(mN8000

301002020010100M

AA

A

==Σ

=

=⋅=

×+×+×=Σ


In Class Exam≫ 합력(R), 합력의 A점에서의 수직거리(dA)=?

14in

y

xA

B

10in 20in16in

80lb 90lb75lb

Sol≫

)(lb95907580R ↑=+−=

)(inlb2470409030751480M A

⋅=×+×−×=∑

in2695

2470RMd A

A === ∑

H.W. 8 ≫ 4-113, 4-114, 4-117

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