76
Electromagnetic 1 CH6 Static Magnetic Field

CH6 Static Magnetic Field

  • Upload
    ronia

  • View
    59

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

CH6 Static Magnetic Field. Electric force Magnetic force Elecmagnetic fore. (N) ~ Lorentz’s force equation. Static Electric Field. Static Magnetic Field. Free space. Steady current. Permeability of free space. No magnetic flow sources Magnetic flux lines always close - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

1

CH6 Static Magnetic Field

Page 2: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

2

• Electric force

• Magnetic force

• Elecmagnetic fore

( )F qE N

( )mF qu B N

( )F q E u B

(N) ~ Lorentz’s force equation

Page 3: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

3

Free space

• Static Electric Field • Static Magnetic Field

0

D

E

0

o

B

B J

74 10 ( )oHenry

m

0J

Steady current

Permeability of free space

Page 4: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

4

• No magnetic flow sources• Magnetic flux lines always

close• Low of conservation of

magnetic flux

• Each magnets has a northsouth

• Magnetic poles cannot be isolated

0 0s

B B ds

pole

Page 5: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

5

( )o os sB J B ds J ds

ocB d I

Ampere’s circuital law

0 0s

o oc

B B ds

B J B d I

summary

Page 6: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

6

EX 6-1

• Inside conductor

• Outside conductor

1 1 1

2

1 1 1 1 11 0

22 1

1 12

11 1 12

ˆ ˆ

2

ˆ ˆ2

c

o

B a B d a r d

B d B r d r B

rII r I

b b

r IB a B a r b

b

2 2 2

2 2 22

ˆ ˆ

2c

B a B d a r d

B d r B

2 2 22

ˆ ˆ2

oIB a B a r b

r

C2 outside conductor encloses I

Page 7: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

7

b

If 空心圓柱 ( 柱座標 )

ˆ ( )

2

s z s

s

AJ a J mI bJ

0

ˆ os

r bB b

a J r br

Page 8: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

8

EX 6-2 (Toroidal Coil)

A circular contour C with radius r

(b - a) < r < (b + a)

2 oB d rB NI ˆ ˆ(1)

2o NI

B a B ar

(b - a) < r < (b + a)

(2) 0 ( )

& ( )

B r b a

r b a

(No source)

Page 9: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

9

(a) Direct application of Ampere Law

(b) Special case of torid

Ex 6-2,

o

o

BL nLI

B nI

b

2o

o

NB I

b

B nI

EX 6-3 (Solenoid Coil)

Page 10: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

10

6-3 Vector Magnetic Potential

2

0 ,

0 ,

( ) ( )

o

o

B B A A

E E

B J

A A A J

c.f

: magnetic potential [Vector]

: electric potential [Scalar]

取 20 oA A J

Coulomb gauge Vector

Poisson’s equation

Page 11: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

11

In Cartesian coordinates,

2

2

' '2

2

'

' '( )4 4

. . '4

x o x

o x oy o y x u u

z o z

o

uo

A JJ J WbA J A du A du mr r

A J

c f dur

Vector

Page 12: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

12

Magnetic Flux through a given area S which is bounded by contour C

( )

( ) ( )

s

s c

B ds Web

A ds A d Web

Page 13: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

13

6-4 Biot-Savart Law and applicationsMagnetic: Vector source

3-dimVolume current

density

2-dimSurface current

density

1-dimcurrent

0-dim

Current distribution

Current element

2sec

coulj

m

secs

coulj

m

sec

coulI

q coul

sec

couljdv m

secs

coulj da m

sec

coulId m

sec

coulqv m

qv

I

d

da

dv

Page 14: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

14

Biot-Savart Law : [Valid in steady current]

3

( )

4o r r

dF Id I dr r

3

1

4qo

r rF qq

r r

c.f

.

因次分析2

0

1[ ]

[ ]o v

0

q

r

q

r

r r

0

r

rr r

d d

I I

Page 15: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

15

Biot-Sarvart Law : 3

( )

4o r r

dB I dr r

dF Id dB

Action at a distance : fieldB

BI d

Id

Page 16: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

16

op sB d j da

0sB da

3. .

( )( ) ( )

4o

a s

r rB r j r dv

r r

( ) 0r B r

. .

( )

( )( )

4

r

o

a s

B A r

j rA r dv

r r

2 ( )r oA r j

( ) ( )r oB r j r

Stoke Thm.

Gauss thm.

Poission Eqe.

特殊式

Biot-Sarvart Law

Ampere’s Law

Page 17: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

17

3. .

( )( ) ( )

4o

a s

r rB r j r dv

r r

(1) ( ) 0r B r

PF:

3. .

3. .

3 3. .

( )( )

4

( )( )

4

( ) ( )( ) ( )

4

0

or r a s

ora s

or ra s

r rB j r dv

r r

r rj r dv

r r

r r r rj r j r dv

r r r r

=0=0

2( ) 0re

r

0

o

B

E

C.F封閉磁迴路

孤立電單極

N

S

( )

( ) ( )

A B

A B B A

Page 18: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

18

( ) 0r B r

3. .

( )( )

4o

a s

r rB j r dv

r r

From

. .

( )(2) ( )

4o

r a s

j rB A r A dv

r r

. .

. .

. .

( ) 1( )

4

( )

4

( )

( )( )

4

or ra s

or a s

r

o

a s

j rj r dv

r rr r

j rdv

r r

A r

j rA r dv

r r

其中

( )

( ) ( )

fA

f A f A

1r r r

0

Page 19: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

19

From ( ) ( )r A r B r 2 ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

o

o

A r j r

B r j r

A A A r

Steady current ( ) 0j r

Static magnetic field

2

. . o

o

c f

E

: [ ( )] [ ( )] ( ) ( )r r r r r rpf A r A r A ra

其中:. . . .

. .

( ) ( )( )

4 4

1 1( ) ( )

4

( )0

4

o or r ra s a s

or ra s

o

s

j r j rA r dv dv

r r r r

j r j r dvr r r r

j rda

r r

0A

Coulomb Gauge

0j

Steady state

1lim 0r r r

Page 20: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

20

( ) 1 1( ) ( )r r r

j rj r j r

r r r r r r

2( ) ( ) ( ) ( )r r r rB r A r A r

其中:2 2 2

. . . .

( ) ( )( )

4 4

( )

o or r ra s a s

o

j r j rA r dv dv

r r r r

j r

2 1

( ) ( )rj rr r

2 3

2 3

1( ) 4 ( )

14 ( )

rr

r rr r

2

( ) ( ) :

( ) ( ) :

r o

r o

B r j r

A r j r

Ampere’ Law

Poission Equ.

Page 21: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

21

( ) 0

: ( ) 0

( ) 0

( ) 0

s

v

s

aaa

B r da

pf B

aaa

r

B r dv

B r da

Gauss

Thm.

( ) ( )

: ( ) ( )

[ ( )] ( )

( ) ( )

oC s

o

os

oC

B r d j r da

pf B r j r

B r da j r da

B r d j r da

������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������

Page 22: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

22

Example 6-4

2 2

ˆzd a dz

R z

��������������

2 2

2 2

2 2

2 2

ˆA=4

ˆ ln( )4

ˆ ln4

Lo

z L

Lo

zL

oz

I dza

z

Ia z z

L LIa

L L

��������������

(a)

z z

z z

z

ˆB= A= (a A )

A A1ˆ ˆ=a

A. 0

a

cylindrical sya ma

��������������������������������������������������������

Page 23: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

23

2 2

2 2

2 2

ˆB=- a ln4

a2

;

ˆB a2

o

o

o

L LI

L L

IL

L

if L

I

��������������

��������������

32 2 2

2 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ

ˆ4 ( )

ˆ2

z

z z

Lo

L

o

r r a a z

d r r a z a a z

a dz

I dzB d B a

z

ILa

L

������������� �

������������� �

����������������������������

Page 24: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

24

Example 6-5

From 6-4

2

2 2ˆ ˆ4

2o o

z z

wL

I IB a a

ww

��������������

Page 25: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

25

Example 6-6

12 2 2

2

222

3 30 2 2 2 22 2

ˆ

ˆ ˆ

( )

ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ ( )4 ( ) 2( )

z

z

z

o oz z

d a bd

R r r za ba

r r z b

d r r a bd za ba

a bzd a b d

a

I Ibb dB a a T

z b z b

��������������

��������������

is canceled due to cylindrical sym.

Page 26: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

26

6-5 Magnetic Dipole

2

( )( )

4 | |

( ) ( )( )...

4 4

o

v

ro v o v

j rA r dv

r r

j r dv j r r a dv

r r

����������������������������

( )( )

1( )

2

r rv

v

j r r a dv m a

m r j r dv

m Ida

��������������

電流 面積

( ) 0j r

20 pole = 0 2’ pole = 0

0

( )j r

r

r

( )A r����������������������������

Page 27: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

27

1( )

21 1

( )2 2

dp

dp dp

m r j r dv

r Id I r d

Ida

2 2

sin

4 4o orm a m

A ar r

2 2

1 1 cos

4 4r

o o

P a P

r r

za

m r

za

1

2da r d

Ir

d

I

da

c.f.

Page 28: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

28

2

2

2 2

2

3

sin

1

4 sin

sin0 0 sin

1 sin sin( ) ( )

4 sin

2cos sin

4

r

o

or

o r

a ra r a

B A mr r

rr

m a rar r r r

a am

r

2 2

3 3

1 cos 1 cos( 1) ( ) ( )

4

2cos sin

4

ro

ro

E P a ar r r r

Pa a

r r

c.f.

2

2 2

2

sin 2sin cos( )

sin sin( )

r r

r r r

Page 29: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

29

Page 30: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

30

Scalar Magnetic Potential

0 0o zzB J if J B

2

12 1

2

,

1 1

4

4

0,

o m m

pm

m m mp vo

m n

rm

B

B d dvr

m q d a IS

m a

r

if J B

: Scalar Magnetic Potential

: Non conservative (path dependent)

(not physical)

Page 31: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

31

6-6 Magnetization and Equivalent Current Density

free electronConductor

polarized ionNon-conductor

sourceComponents磁性物質

fj E

mj M

1

0lim ( )

.

n v

kk

v

mAM mv

mag dipole m nena a o t

��������������

體積

定義

o3

( )A(r)= ( )

4 | |v

r rM r dv

r r

��������������

1 1( ) ( )| | | |

r rr r r r

����������������������������

1( ) ( )

| |

1 1( )( ( )) ( )| | | |

r

r r

M rr r

M r M rr r r r

����������������������������

��������������������������������������������������������

( ) ( )f A f A f A ������������������������������������������������������������������������������������

Page 32: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

32

( )( )( )

4 4| | | |

( )( )

4 4| | | |

( )

4 4| |

o o r

v vr

o o r

S v

o o r

S

M rM rA r dv dv

r r r r

M rM rda dv

r r r r

M r nda

r r

������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������

������������������������������������������

( )

| |

4 4| | | |

v

o ms o m

S v

M rdv

r r

j jda dv

r r r r

����������������������������

2( )

( )

m

nms

Aj Mm

Aj M a m

�������������������������� ��

������������� �

;p sp na ������������������������������������������

c.f.

Page 33: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

33

Page 34: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

34

EX : 6-8

( )n o z r omsj M a M a a M a ������������� �

2

32 2 2

2

32 2 2

0

2 2 2 2

ˆ2( )

ˆ2 ( )

ˆ2 ( )

oz

o oz

L

o oz

IbB a

z b

M b dzdB a

z z b

B d B

M z z La

z b z L b

��������������

Page 35: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

35

靜磁學 (包含導體與磁性材料 )

0

( )

( )

1

1 1

o f m

o f

fo

f

o o r

B

B j j

j M

B M j

H j

H B M B

����������������������������

��������������������������������������������������������

�������������������������� ��

��������������������������������������������������������

������������������������������������������

��������������������������������������������������������

0

1( )

1( )

f po

fo

o f

f

o

E

E

P

E P

D

D E P

����������������������������

����������������������������

����������������������������

������������������������������������������

����������������������������

������������������������������������������

C.F.

Page 36: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

36

Static Magnetic

Source :

Conductor :

Magnetic material :

,fj

mH B L ����������������������������

B H����������������������������

m B d s ����������������������������

1 f

m

I

L

M��������������

mj��������������

msj��������������

m ms

M����������������������������

nM a����������������������������

fH j ������������������������������������������

(permeativity)

M ����������������������������

nM a����������������������������Copy 電學

數學上等效,無物理

Page 37: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

37

24

ˆ

r

aMd r

m

vd

r

Msd

r

aM

vdr

aM

vs

n

v

rm

4

4

1

ˆ

4

12

M ; aM mnms

ˆ

AB ,vdrr

jad

rr

jA j j

v

m

s

msmms

4

,, 0◎

HBH ,vdrr

adrr

mv

m

s

msmmms

1

4

1,,◎

Page 38: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

38

Ex 6-9

wall side

face bottom M

face top M

o

o

ms

0

sinˆcos2ˆ4 3

0

0

aaR

M

B

rT

m

與( Dipole 類似)電場

inside m 0

022 Mbbq msm

RR

qmm

11

4

Dipole bR

02

2

20

2

2

4

cos4

cos

4

cos

LMb M; R

MR

LMb

R

Lq

TT

mm

Page 39: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

39

6-7fJH

M

BH

0

SdJSdHss

IdH

Ampere’s circuital law

H

HB

r

m

0

0 1

BH

1

;0

1 mru

relative permeability

Page 40: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

40

6-8 Magnetic Circuits

Electric circuit : Voltage / Current source ; V, I, …

Magnetic circuit : Transformer / Generator / Motor …

c mVNIldH

JH

B

0

; closed path c to enclose N turns of I

(m.m.f) magnetomotive force [Amp]

Page 41: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

41

Ex 6-10

Sol :

B

NIldH oc

is identical in different material ; 0 B

o

fg

ff

fgf

BaH

BaH

BaBB

ˆ;ˆ

ˆ

f : ferromagneticg : gap

Ampere law

000

0

0

0

;2

ˆ;2

ˆ

2

f

g

ggo

og

ggo

of

ggo

of

ogo

fgo

f

H

H

llr

NIaH

llr

NIaH

llr

NIaB

NIlB

lrB

Page 42: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

42

Magnetic Flux ; S : cross-section SB f

gf

m

o

ggo

of

o

ggo

o

ggo

of

RR

V

S

l

S

lrNI

SB

llrNI

llr

NIB

2

220

0

S

lR

lrlS

l

S

lrR

o

gg

goffgo

f

2;2

: length of ferromagnetic core.

: Reluctance:ferromagnetic core

:air gap

fR

gR

Analog to : [Electric circuit]

gf RR

vI

Page 43: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

43

Magnetic circuit Electric circuit

S

lR

RR

V

gf

m

;

S

lR

RR

vI

gf

;

mmf

mag. flux

reluctance

Permeability

emf

electric current ,

resistance ,

conductivity ,

NIVm

R

V

R

I

Page 44: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

44

An exact analysis of magnetic circuits is difficult

◎Leakage Fluxes ◎Fringing effect H)H,B(B

2 conditions must be satisfied

gogf

offgg

HBB

NIlHlH

o

g

of

g

fof NI

lH

l

lB

Similar to

Kirchhoff’s voltage Law

j k

kkjj RIN

Kirchhoff’s current Law

0j

j 0B

Page 45: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

45

EX.6-11

c

33

c

22

c

11

S

lR

S

lR

S

lR

221112211

2113111

)R(RRININ

R)R(RIN

323121

2211121 RRRRRR

INRINR

K.V.L. (Time Independent)

Loop1:

Loop2:

Page 46: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

46

6-9 Behavior of Magnetic Materials

omr

mm

1 , B1

H

litysusceptibi magnetic: , HM

1r

1r

1r

◎Paramagnetic:

◎Diamagetic:

◎Ferromagnetic: number) positive large:(

number) positive small:(

number) negative small:(

m

m

m

Page 47: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

47

6-10 Boundary Conditions for Magnetostatic Field

S21n2

sn2t1t

sn2abcda 1

C

2n21n1

2n1n

J)H-H(a

JH-H

WJ)W(-HWHldH

0)hda(bc IldH

JH

HH

BB

0B

Page 48: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

48

o1 2 2 , =0

o2 1 2 , =90

sin

2 2 2 22 2t 2n 2 2 2 2

1/2

2 211 1 1

2

H = H +H = (H sin ) +(H cos )

=H +( cos )

tan -1 22 1

1

= ( tan )

tan

tan2 2

1 1

=

tH

cos cos2 2 2 1 1 1H = H

2H

Ex 6-12

Bn component

sin sin2 2 1 1H =H component

or

Magnitude ofSimilar to E-field

In ferromagnetic parallel interface

Originates in a ferromangeitc ,

Flux perpendicular to interface

H

H

Page 49: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

49

0

BH= -M

p1 p 1 poB =B <B

ˆ 0 0

p1 z p 12 2

M LB =a =B

2 (L) +b

ˆ 0 0po z

2 2

M LB =a

2 L( ) +b2

ˆms 0J =M a

Ex 6-13

Surface current

Example 6-8 [p246]

EndCenter

at interface quantity

Page 50: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

50

1212

1

dL (H)

dI

12

121

LI

12 12 1L I

212 1 2S

B dS

12 12 1L I

12 2 12N

6-11 Inductances & Inductors

Mutual flux

12L : mutual inductance

between loops C1 and C2

If loop C2 has N2 turns ,

Generalizes to

Page 51: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

51

L=I

=N

S= B dS

03v

(r-r )B= J(r ) dv

4 r-r

1111

1

dL =

dI

1111

1

L =I

11 1 11 1 12=N >N

Some of produced by I1 links only with C1 loop itself, not with C2

Self inductance of C1 loop

Procedure for Finding Inductance

B

1. Appropriate coordinate system

2. Find

3.

4.

5.

Page 52: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

52

EX 6-14

rB

rdBldB

ardld

aBB

C

2

ˆ

ˆ

2

0

a

bNIh

hdrar

NIa

sdB

r

NIB

NIrB

S

S

ln2

ˆ2

ˆ

2

2

0

0

0

0

total current NI

flux linkage

2

ln20

ab

IhN

N

2

ln20

ab

hN

IL

Page 53: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

53

EX 6-15 Long solenoid

From(Ex6-3) p231

SInn

nISBS

nIB

20

'

0

0

Inductance per unit length

156

146

2

20

'

Ex

Exin

NL

sl

snL

Page 54: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

54

EX 6-16

a) Inside inner conductor.

ar 0

20

11 2ˆˆ

a

rIaBaB

b) Between inner & outer conductors

bra

r

IaBaB

2ˆˆ 0

222

)ln(2

)(4

22

0222

0

02

0

21'

a

bIra

a

Ir

drIdrr

a

I

drBdrBd

b

a

a

r

a

r

b

a

Current in annular ring

22

22

a

rdr

a

rdr

'2

' 2 d

a

rdrd

' '

0

2 202 2 0 0

0

1( ) (ln )

2

1ln

2 4

r a

r

a a

d

I ba r rdr rdr

a a a

I b

a

]/[)ln(28

00'

' mHa

b

IL

Page 55: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

55

EX 6-17

Internal8

0' selfL

2 wires :

482 00' iL

external : ., compyonlyplanexz

)(2

2

02

01

xd

IB

x

IB

y

y

)ln()ln(

11

2

)(

00

0

21'

a

dI

a

adI

dxxdx

I

dxBB

b

a

ad

a yy

)ln(0'

'

a

d

ILe

total

a

dLLL ei ln

4

10'''

Page 56: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

56

2

2

1

1

1 2

12 21

212 1 2

1

11

2112 2

1

21 2

1

11 1 1

1 2 1 212

?

( )

( )

( )4

4

S

S

C

o

C

o

C C

L L

NL B d S

I

B A

NL A d S

I

NA d

I

dA N I

R

N N d dL

R

����������������������������

������������������������������������������

������������������������������������������

����������������������������

����������������������������

����������������������������

Neumann Formula

Page 57: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

57

EX : 6-18

2112 1

1

212 2 12 1 2 1

1

21212 1 2

1 1

( )( )N

a I

N N N a I

L N N aI

Outer coil has N2 turns,

Page 58: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

58

EX : 6-19Find B2 is caused by long wire I2.

1

22

21 21

2 121

1

221

2

ˆ2,

ˆ

3 1

2

3ln 1

2

o

S

d bo

d

o

IB a

r

B d s

d s a zdr

z d b r

Id b r dr

r

I bd b b

d

��������������

����������������������������

2121

2

3ln 1

2o b

L d b bI d

Page 59: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

59

6-12 Magnetic Energy

Loop 1 11 1

diV L

dt

1

1 1 1

1 1 10

21 1 1 1

1 1

2 2

I

W V i dt

L i di

L I L

Loop 2 : C1 & C2

2

21 21 1

21 1 20

21 1 2

I

W V I dt

L I di

L I I

222 2 2

1

2W L I

Similary

Total work at C2

2 1 12 22

2 21 1 1 1 2 2 2

2 2

1 1

1 1

2 21

2 jk j k

j k

W W W W

L I L I I L I

L I I

Generalizing I1, I2, I3, … IN,

1 1

1

2

n n

m jk j kj k

W L I I

21

2mW LI

1 1I C 2 2I C

Page 60: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

60

Consider Kth loop of N coupled loops

k k k

k k

kk

dW V i dt

i d

dV

dt

Magnetic energy

1 1

N N

m k k kk k

dW dW i d

Total magnetic energy

1

01

1

1

2

N

m m k kk

N

k kk

W dW I d

I

k k k ki I

1

1

1

2

N

m k kk

N

k jk jj

W I

L I

Page 61: CH6 Static Magnetic Field

61

Heng-Ming Hsu

Electromagnetic

61

6-12.1 Wm in terms of Field Quantities

1

1

2

( )

,

1

2

k k

k

k n k kS C

N

m k kCk

k k k k k

k

m v

B a dS A d

W I A d

I d J a d J v

N v dv

W A Jdv

����������������������������

��������������

��������������

����������������������������

Vector identity

( ) ( ) ( )

= ;

( ) ( ) ( )

A B B A A B

A A B H

A B H A A H

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������取

其中 H J A B ������������������������������������������������������������������������������������

( )

1( )

21

( )2

m v

nS

A J H B A H

W H B dv

A H a ds

��������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������

����������������������������

All space

22

1 1lim( ) 0

1( )

2

s

m v

rr r

W H B dv

����������������������������

Page 62: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

62

2

2

22

1( )

2

1

2

1

2

1( )

2

1 1

2 2

m v

m v

m v

e v

e v v

W H B dv

BH

BW dv

W H dv

W E D dv

DW E dv dv

����������������������������

����������������������������

����������������������������

or

c.f.

Magnetic energy density Wm

22

2

1 1

2 2 2

2

m mv

m

m

W W dv

BW H B H

WL

I

����������������������������

Page 63: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

63

Ex 6-20 (Ref. Ex 6-16)

Wm in inner conductor Wm between inner & outer

16

4

22

1

20

0

34

20

0

2

01 1

I

drra

I

rdrBW

a

a

m

a

bI

drr

I

rdrBW

b

a

b

am

ln4

1

4

22

1

20

20

2

02 2

Hence,

a

bWW

IL mm ln

28

2 00212

Page 64: CH6 Static Magnetic Field

Electromagnetic

64

6-13 Magnetic forces & Torques

uNqaJJ ; aBB

BuqF

yz

m

ˆˆ 00

dBudxEVd

hh 000

electron move toward to x-dir.

Creating a transverse -field.

Steady state, net force is Zero.

E

hE

xzyh

y

h

h

h

aBuaBauE

auu : type-N

feild. Hall : E

effect. Hall ; BuE

BuE

ˆˆˆ

ˆ

0

0000

0

Page 65: CH6 Static Magnetic Field

65

Heng-Ming Hsu

Electromagnetic

65

6-13.2 Force & Torques

2

1

1 11

:

:

c

I source

I field

I dl

��������������

��������������

������������������������������������������

21

21

21 21

B

F

F B

0 2 2 2122

21

0 1 2 211 2 21 2

21

0 2 1 212 1 21 2

21

?1 2 21 2 1 21

? rd

4

( )

4

( )

4

[ ( )] ( )

: Newton 3 Law

c

c c

c c

I dl a

dl dl aI I

dl dl aI I

dl dl a dl dl a

��������������

��������������

��������������

����������������������������

21

21

21

21 12

B

F

F

F F

d Idl ������������������������������������������

mF B

cI dl

������������������������������������������mF B

1 1I C 2 2I C

ICB

Page 66: CH6 Static Magnetic Field

66

Heng-Ming Hsu

Electromagnetic

66

Vector triple product

1 2 21 2 1 21 21 1 22 2 2

21 21 21

2 1 21 1 212 2 1 12 21 2 2 1 2 1

21 21 21

22 121

( ) ( ) ( )

1 term

( ) 1( )

1 ( ) 0

st

c c c c c c

c c

dl dl a dl dl a a dl dl

dl dl a dl adl dl dl

dl d

������������������������������������������

��������������

代回

0 21 1 21 2 21 2

21

21 12

( )

4

,

c c

a dl dlI I

a a

����������������������������

21 12

rd

F F

Newton 3 Law Hold

Page 67: CH6 Static Magnetic Field

67

Heng-Ming Hsu

Electromagnetic

67

6 21Ex

12

12 2 12

12 1

0 112

0 1 212

1 2

force on wire 2

( )

source at wire1(I )

2

2 Attraction

[Same polarity of current & ]

z

x

y

F

F I a B

B

IB a

dI I

F ad

I I

��������������

����������������������������

��������������

��������������

��������������

Page 68: CH6 Static Magnetic Field

68

Heng-Ming Hsu

Electromagnetic

68

// 1 1

2 2

1 2

: expand loop 6-30(a)

no net force to more loop

: produce on upward force on

downward force on

=

B

B d F dl

d F dl

d F d F

��������������

������������������������������������������

����������������������������

����������������������������

//B B B ������������������������������������������

Page 69: CH6 Static Magnetic Field

69

Heng-Ming Hsu

Electromagnetic

69

//

2 2//

1 2 1 2

2 2// 0

2//

= ( )2 sin

= ( sin )2 sin

= 2 sin

= ;

= 2 sin

= ( )

x

I

I

x

x

dT a dF b

a IdlB b

a Ib B d

dF dF dF dl dl dl bd

T dT a Ib B d

a I b B

��������������

����������������������������

Page 70: CH6 Static Magnetic Field

70

Heng-Ming Hsu

Electromagnetic

70

2

Magnetic dipole moment

m ( )

,I Na I b a IS

Hence

T m B

��������������

������������������������������������������

DC-motor

Torque rotates at clockwise + X-dir

Page 71: CH6 Static Magnetic Field

71

Heng-Ming Hsu

Electromagnetic

71

6 22Ex

/ /

/ /

1 1 1 3

2 2 2 4

4

1

13 1 2 1 3

24

;

produes the following forces

( )

( ) ( )

0

;[ & ]

Z Z X x y y

X x x y y Z y

y X x y y Z x

NET ii

x y

B a B B a B a B

B

F Ib a a B a B a Ib B F

F Ib a a B a B a Ib B F

F F

T a Ib b B F F

T

����������������������������

��������������

����������������������������

����������������������������

����������������������������

������������������������������������������

1 2 2 4 ;[ & ]y xa Ib b B F F

������������������������������������������

13 24 1 2

1 2

( )

( )

x y y x

z

x y y x

T T T Ib b a B a B

m a Ib b

T m B m a B a B

������������������������������������������

��������������

��������������������������������������������������������

Page 72: CH6 Static Magnetic Field

72

Heng-Ming Hsu

Electromagnetic

72

6 13.3 Forces and Torques in terms of Wm

Z

Constant Flux Linkages

[Source Spply No energy]

( )

rotate about z-axis

(T )

m m

m

m

F dl dW W dl

F W

W

��������������������������������������������������������

����������������������������

Constant Currents

[ sorce increase Wm]

1

2

( )

( )

s m

m s

I m m

I m

mI Z

Current

dW dW dW

dW dW

dW F dl dW W dl

F W

WT

��������������������������������������������������������

����������������������������

I

S.W.(OFF)

S.W.(ON)

s.w. system

Page 73: CH6 Static Magnetic Field

73

Heng-Ming Hsu

Electromagnetic

73

6 23Ex

2

m m0

2

0

2m

0

Contant Flux

dW (W ) 2( )2

Wa ( ) a

air

y y

Bd Sdy

dyS

dF

dy S

��������������

2m

0

0

2

0

2 22

I0

0

2

0

Constant Current

1W Core : c

2NI

= 2Gap:2c+2( )

N

c+2( )

1 Na a [ ]

2 c+2( )

a

y y

y

LI

yy SS

NL

yIS

I dLF

ydy SS

S

��������������

Page 74: CH6 Static Magnetic Field

74

Heng-Ming Hsu

Electromagnetic

74

(6 13.4)force and toraues

in terms of mutual inductance

2 21 1 12 1 2 2 2

I 1 2 12

121 2

1 1

2 2Conotant currents

( )

( )

m

I Z

W L I L I I L I

F I I L

LT I I

����������������������������1 1I L 2 2I L

Two coils

Page 75: CH6 Static Magnetic Field

75

Heng-Ming Hsu

Electromagnetic

75

6 24Ex 2 2

0 1 1 1 0 1 1 1 212 32 2 2 2

2

2 22

0 1 1 1 212 12 2 12 2 32 0 2 2 2

2

2 20 1 2 1 22 12

12 32 2 21 2

1212 1 2

2 20 1 2 1 2

12 1 2

N I b N I b bA =a sin a

4R 4[Z +b ]

N I b bA A b

2[Z +b ]

N N b bNA

I 2[Z +b ]

F a I IdZ

3 N N b bF a I I

c

Z

Z d

Z

dl d

dL

d

��������������

����������������������������

��������������

��������������

52 2 222(d +b )

2 22 1 1 1 1 2 2 2 2

0 1 212 4

; m =N b ; m =N b

3 m mF a

2Z

d b I I

attractiond

��������������

1 : [Ex6-7,p239]I source

Page 76: CH6 Static Magnetic Field

76

Heng-Ming Hsu

Electromagnetic

76

Home Work #6David Cheng: Chapter6

P6-2, P6-4, P6-5, P6-6, P6-10,P6-11,P6-12P6-13,P6-15,P6-18,P6-19,P6-22,P6-26,

P6-27,P6-29,P6-32,P6-37,P6-38,P6-39,P6-40,P6-41,P6-42,P6-43,P6-44,P6-46,P6-50,P6-53Due: 2 weeks