Upload
ronia
View
59
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
CH6 Static Magnetic Field. Electric force Magnetic force Elecmagnetic fore. (N) ~ Lorentz’s force equation. Static Electric Field. Static Magnetic Field. Free space. Steady current. Permeability of free space. No magnetic flow sources Magnetic flux lines always close - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Electromagnetic
1
CH6 Static Magnetic Field
Electromagnetic
2
• Electric force
• Magnetic force
• Elecmagnetic fore
( )F qE N
( )mF qu B N
( )F q E u B
(N) ~ Lorentz’s force equation
Electromagnetic
3
Free space
• Static Electric Field • Static Magnetic Field
0
D
E
0
o
B
B J
74 10 ( )oHenry
m
0J
Steady current
Permeability of free space
Electromagnetic
4
• No magnetic flow sources• Magnetic flux lines always
close• Low of conservation of
magnetic flux
• Each magnets has a northsouth
• Magnetic poles cannot be isolated
0 0s
B B ds
pole
Electromagnetic
5
( )o os sB J B ds J ds
ocB d I
Ampere’s circuital law
0 0s
o oc
B B ds
B J B d I
summary
Electromagnetic
6
EX 6-1
• Inside conductor
• Outside conductor
1 1 1
2
1 1 1 1 11 0
22 1
1 12
11 1 12
ˆ ˆ
2
ˆ ˆ2
c
o
B a B d a r d
B d B r d r B
rII r I
b b
r IB a B a r b
b
2 2 2
2 2 22
ˆ ˆ
2c
B a B d a r d
B d r B
2 2 22
ˆ ˆ2
oIB a B a r b
r
C2 outside conductor encloses I
Electromagnetic
7
b
If 空心圓柱 ( 柱座標 )
ˆ ( )
2
s z s
s
AJ a J mI bJ
0
ˆ os
r bB b
a J r br
Electromagnetic
8
EX 6-2 (Toroidal Coil)
A circular contour C with radius r
(b - a) < r < (b + a)
2 oB d rB NI ˆ ˆ(1)
2o NI
B a B ar
(b - a) < r < (b + a)
(2) 0 ( )
& ( )
B r b a
r b a
(No source)
Electromagnetic
9
(a) Direct application of Ampere Law
(b) Special case of torid
Ex 6-2,
o
o
BL nLI
B nI
b
2o
o
NB I
b
B nI
EX 6-3 (Solenoid Coil)
Electromagnetic
10
6-3 Vector Magnetic Potential
2
0 ,
0 ,
( ) ( )
o
o
B B A A
E E
B J
A A A J
c.f
: magnetic potential [Vector]
: electric potential [Scalar]
取 20 oA A J
Coulomb gauge Vector
Poisson’s equation
Electromagnetic
11
In Cartesian coordinates,
2
2
' '2
2
'
' '( )4 4
. . '4
x o x
o x oy o y x u u
z o z
o
uo
A JJ J WbA J A du A du mr r
A J
c f dur
Vector
Electromagnetic
12
Magnetic Flux through a given area S which is bounded by contour C
( )
( ) ( )
s
s c
B ds Web
A ds A d Web
Electromagnetic
13
6-4 Biot-Savart Law and applicationsMagnetic: Vector source
3-dimVolume current
density
2-dimSurface current
density
1-dimcurrent
0-dim
Current distribution
Current element
2sec
coulj
m
secs
coulj
m
sec
coulI
q coul
sec
couljdv m
secs
coulj da m
sec
coulId m
sec
coulqv m
qv
I
d
da
dv
Electromagnetic
14
Biot-Savart Law : [Valid in steady current]
3
( )
4o r r
dF Id I dr r
3
1
4qo
r rF qq
r r
c.f
.
因次分析2
0
1[ ]
[ ]o v
0
q
r
q
r
r r
0
r
rr r
d d
I I
Electromagnetic
15
Biot-Sarvart Law : 3
( )
4o r r
dB I dr r
dF Id dB
Action at a distance : fieldB
BI d
Id
Electromagnetic
16
op sB d j da
0sB da
3. .
( )( ) ( )
4o
a s
r rB r j r dv
r r
( ) 0r B r
. .
( )
( )( )
4
r
o
a s
B A r
j rA r dv
r r
2 ( )r oA r j
( ) ( )r oB r j r
Stoke Thm.
Gauss thm.
Poission Eqe.
特殊式
Biot-Sarvart Law
Ampere’s Law
Electromagnetic
17
3. .
( )( ) ( )
4o
a s
r rB r j r dv
r r
(1) ( ) 0r B r
PF:
3. .
3. .
3 3. .
( )( )
4
( )( )
4
( ) ( )( ) ( )
4
0
or r a s
ora s
or ra s
r rB j r dv
r r
r rj r dv
r r
r r r rj r j r dv
r r r r
=0=0
2( ) 0re
r
0
o
B
E
C.F封閉磁迴路
孤立電單極
N
S
( )
( ) ( )
A B
A B B A
Electromagnetic
18
( ) 0r B r
3. .
( )( )
4o
a s
r rB j r dv
r r
From
. .
( )(2) ( )
4o
r a s
j rB A r A dv
r r
. .
. .
. .
( ) 1( )
4
( )
4
( )
( )( )
4
or ra s
or a s
r
o
a s
j rj r dv
r rr r
j rdv
r r
A r
j rA r dv
r r
其中
( )
( ) ( )
fA
f A f A
1r r r
0
Electromagnetic
19
From ( ) ( )r A r B r 2 ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
o
o
A r j r
B r j r
A A A r
Steady current ( ) 0j r
Static magnetic field
2
. . o
o
c f
E
: [ ( )] [ ( )] ( ) ( )r r r r r rpf A r A r A ra
其中:. . . .
. .
( ) ( )( )
4 4
1 1( ) ( )
4
( )0
4
o or r ra s a s
or ra s
o
s
j r j rA r dv dv
r r r r
j r j r dvr r r r
j rda
r r
0A
Coulomb Gauge
0j
Steady state
1lim 0r r r
Electromagnetic
20
( ) 1 1( ) ( )r r r
j rj r j r
r r r r r r
2( ) ( ) ( ) ( )r r r rB r A r A r
其中:2 2 2
. . . .
( ) ( )( )
4 4
( )
o or r ra s a s
o
j r j rA r dv dv
r r r r
j r
2 1
( ) ( )rj rr r
2 3
2 3
1( ) 4 ( )
14 ( )
rr
r rr r
2
( ) ( ) :
( ) ( ) :
r o
r o
B r j r
A r j r
Ampere’ Law
Poission Equ.
Electromagnetic
21
( ) 0
: ( ) 0
( ) 0
( ) 0
s
v
s
aaa
B r da
pf B
aaa
r
B r dv
B r da
Gauss
Thm.
( ) ( )
: ( ) ( )
[ ( )] ( )
( ) ( )
oC s
o
os
oC
B r d j r da
pf B r j r
B r da j r da
B r d j r da
������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������
Electromagnetic
22
Example 6-4
2 2
ˆzd a dz
R z
��������������
2 2
2 2
2 2
2 2
ˆA=4
ˆ ln( )4
ˆ ln4
Lo
z L
Lo
zL
oz
I dza
z
Ia z z
L LIa
L L
��������������
(a)
z z
z z
z
ˆB= A= (a A )
A A1ˆ ˆ=a
A. 0
a
cylindrical sya ma
��������������������������������������������������������
Electromagnetic
23
2 2
2 2
2 2
ˆB=- a ln4
a2
;
ˆB a2
o
o
o
L LI
L L
IL
L
if L
I
��������������
��������������
32 2 2
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ( ) ( )
ˆ
ˆ4 ( )
ˆ2
z
z z
Lo
L
o
r r a a z
d r r a z a a z
a dz
I dzB d B a
z
ILa
L
������������� �
������������� �
����������������������������
Electromagnetic
24
Example 6-5
From 6-4
2
2 2ˆ ˆ4
2o o
z z
wL
I IB a a
ww
��������������
Electromagnetic
25
Example 6-6
12 2 2
2
222
3 30 2 2 2 22 2
ˆ
ˆ ˆ
( )
ˆ ˆ ˆ( )
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ( )4 ( ) 2( )
z
z
z
o oz z
d a bd
R r r za ba
r r z b
d r r a bd za ba
a bzd a b d
a
I Ibb dB a a T
z b z b
��������������
��������������
is canceled due to cylindrical sym.
Electromagnetic
26
6-5 Magnetic Dipole
2
( )( )
4 | |
( ) ( )( )...
4 4
o
v
ro v o v
j rA r dv
r r
j r dv j r r a dv
r r
����������������������������
( )( )
1( )
2
r rv
v
j r r a dv m a
m r j r dv
m Ida
��������������
電流 面積
( ) 0j r
20 pole = 0 2’ pole = 0
0
( )j r
r
r
( )A r����������������������������
Electromagnetic
27
1( )
21 1
( )2 2
dp
dp dp
m r j r dv
r Id I r d
Ida
2 2
sin
4 4o orm a m
A ar r
2 2
1 1 cos
4 4r
o o
P a P
r r
za
m r
za
1
2da r d
Ir
d
I
da
c.f.
Electromagnetic
28
2
2
2 2
2
3
sin
1
4 sin
sin0 0 sin
1 sin sin( ) ( )
4 sin
2cos sin
4
r
o
or
o r
a ra r a
B A mr r
rr
m a rar r r r
a am
r
2 2
3 3
1 cos 1 cos( 1) ( ) ( )
4
2cos sin
4
ro
ro
E P a ar r r r
Pa a
r r
c.f.
2
2 2
2
sin 2sin cos( )
sin sin( )
r r
r r r
Electromagnetic
29
Electromagnetic
30
Scalar Magnetic Potential
0 0o zzB J if J B
2
12 1
2
,
1 1
4
4
0,
o m m
pm
m m mp vo
m n
rm
B
B d dvr
m q d a IS
m a
r
if J B
: Scalar Magnetic Potential
: Non conservative (path dependent)
(not physical)
Electromagnetic
31
6-6 Magnetization and Equivalent Current Density
free electronConductor
polarized ionNon-conductor
sourceComponents磁性物質
fj E
mj M
1
0lim ( )
.
n v
kk
v
mAM mv
mag dipole m nena a o t
��������������
體積
定義
o3
( )A(r)= ( )
4 | |v
r rM r dv
r r
��������������
1 1( ) ( )| | | |
r rr r r r
����������������������������
1( ) ( )
| |
1 1( )( ( )) ( )| | | |
r
r r
M rr r
M r M rr r r r
����������������������������
��������������������������������������������������������
( ) ( )f A f A f A ������������������������������������������������������������������������������������
Electromagnetic
32
( )( )( )
4 4| | | |
( )( )
4 4| | | |
( )
4 4| |
o o r
v vr
o o r
S v
o o r
S
M rM rA r dv dv
r r r r
M rM rda dv
r r r r
M r nda
r r
������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������
������������������������������������������
( )
| |
4 4| | | |
v
o ms o m
S v
M rdv
r r
j jda dv
r r r r
����������������������������
2( )
( )
m
nms
Aj Mm
Aj M a m
�������������������������� ��
������������� �
;p sp na ������������������������������������������
c.f.
Electromagnetic
33
Electromagnetic
34
EX : 6-8
( )n o z r omsj M a M a a M a ������������� �
2
32 2 2
2
32 2 2
0
2 2 2 2
ˆ2( )
ˆ2 ( )
ˆ2 ( )
oz
o oz
L
o oz
IbB a
z b
M b dzdB a
z z b
B d B
M z z La
z b z L b
��������������
Electromagnetic
35
靜磁學 (包含導體與磁性材料 )
0
( )
( )
1
1 1
o f m
o f
fo
f
o o r
B
B j j
j M
B M j
H j
H B M B
����������������������������
��������������������������������������������������������
�������������������������� ��
��������������������������������������������������������
������������������������������������������
��������������������������������������������������������
0
1( )
1( )
f po
fo
o f
f
o
E
E
P
E P
D
D E P
����������������������������
����������������������������
����������������������������
������������������������������������������
����������������������������
������������������������������������������
C.F.
Electromagnetic
36
Static Magnetic
Source :
Conductor :
Magnetic material :
,fj
mH B L ����������������������������
B H����������������������������
m B d s ����������������������������
1 f
m
I
L
M��������������
mj��������������
msj��������������
m ms
M����������������������������
nM a����������������������������
fH j ������������������������������������������
(permeativity)
M ����������������������������
nM a����������������������������Copy 電學
數學上等效,無物理
Electromagnetic
37
24
ˆ
r
aMd r
m
vd
r
Msd
r
aM
vdr
aM
vs
n
v
rm
4
1ˆ
4
1
ˆ
4
12
M ; aM mnms
ˆ
AB ,vdrr
jad
rr
jA j j
v
m
s
msmms
4
,, 0◎
HBH ,vdrr
adrr
mv
m
s
msmmms
1
4
1,,◎
Electromagnetic
38
Ex 6-9
wall side
face bottom M
face top M
o
o
ms
0
sinˆcos2ˆ4 3
0
0
aaR
M
B
rT
m
與( Dipole 類似)電場
inside m 0
022 Mbbq msm
RR
qmm
11
4
Dipole bR
02
2
20
2
2
4
cos4
cos
4
cos
LMb M; R
MR
LMb
R
Lq
TT
mm
Electromagnetic
39
6-7fJH
M
BH
0
SdJSdHss
IdH
Ampere’s circuital law
H
HB
r
m
0
0 1
BH
1
;0
1 mru
relative permeability
Electromagnetic
40
6-8 Magnetic Circuits
Electric circuit : Voltage / Current source ; V, I, …
Magnetic circuit : Transformer / Generator / Motor …
c mVNIldH
JH
B
0
; closed path c to enclose N turns of I
(m.m.f) magnetomotive force [Amp]
Electromagnetic
41
Ex 6-10
Sol :
B
NIldH oc
is identical in different material ; 0 B
o
fg
ff
fgf
BaH
BaH
BaBB
ˆ;ˆ
ˆ
f : ferromagneticg : gap
Ampere law
000
0
0
0
;2
ˆ;2
ˆ
2ˆ
2
f
g
ggo
og
ggo
of
ggo
of
ogo
fgo
f
H
H
llr
NIaH
llr
NIaH
llr
NIaB
NIlB
lrB
Electromagnetic
42
Magnetic Flux ; S : cross-section SB f
gf
m
o
ggo
of
o
ggo
o
ggo
of
RR
V
S
l
S
lrNI
SB
llrNI
llr
NIB
2
220
0
S
lR
lrlS
l
S
lrR
o
gg
goffgo
f
2;2
: length of ferromagnetic core.
: Reluctance:ferromagnetic core
:air gap
fR
gR
Analog to : [Electric circuit]
gf RR
vI
Electromagnetic
43
Magnetic circuit Electric circuit
S
lR
RR
V
gf
m
;
S
lR
RR
vI
gf
;
mmf
mag. flux
reluctance
Permeability
emf
electric current ,
resistance ,
conductivity ,
NIVm
R
V
R
I
Electromagnetic
44
An exact analysis of magnetic circuits is difficult
◎Leakage Fluxes ◎Fringing effect H)H,B(B
◎
2 conditions must be satisfied
gogf
offgg
HBB
NIlHlH
o
g
of
g
fof NI
lH
l
lB
Similar to
Kirchhoff’s voltage Law
j k
kkjj RIN
Kirchhoff’s current Law
0j
j 0B
Electromagnetic
45
EX.6-11
c
33
c
22
c
11
S
lR
S
lR
S
lR
221112211
2113111
)R(RRININ
R)R(RIN
323121
2211121 RRRRRR
INRINR
K.V.L. (Time Independent)
Loop1:
Loop2:
Electromagnetic
46
6-9 Behavior of Magnetic Materials
omr
mm
1 , B1
H
litysusceptibi magnetic: , HM
1r
1r
1r
◎Paramagnetic:
◎Diamagetic:
◎Ferromagnetic: number) positive large:(
number) positive small:(
number) negative small:(
m
m
m
Electromagnetic
47
6-10 Boundary Conditions for Magnetostatic Field
S21n2
sn2t1t
sn2abcda 1
C
2n21n1
2n1n
J)H-H(a
JH-H
WJ)W(-HWHldH
0)hda(bc IldH
JH
HH
BB
0B
Electromagnetic
48
o1 2 2 , =0
o2 1 2 , =90
sin
2 2 2 22 2t 2n 2 2 2 2
1/2
2 211 1 1
2
H = H +H = (H sin ) +(H cos )
=H +( cos )
tan -1 22 1
1
= ( tan )
tan
tan2 2
1 1
=
tH
cos cos2 2 2 1 1 1H = H
2H
Ex 6-12
Bn component
sin sin2 2 1 1H =H component
or
Magnitude ofSimilar to E-field
In ferromagnetic parallel interface
Originates in a ferromangeitc ,
Flux perpendicular to interface
H
H
Electromagnetic
49
0
BH= -M
p1 p 1 poB =B <B
ˆ 0 0
p1 z p 12 2
M LB =a =B
2 (L) +b
ˆ 0 0po z
2 2
M LB =a
2 L( ) +b2
ˆms 0J =M a
Ex 6-13
Surface current
Example 6-8 [p246]
EndCenter
at interface quantity
Electromagnetic
50
1212
1
dL (H)
dI
12
121
LI
12 12 1L I
212 1 2S
B dS
12 12 1L I
12 2 12N
6-11 Inductances & Inductors
Mutual flux
12L : mutual inductance
between loops C1 and C2
If loop C2 has N2 turns ,
Generalizes to
Electromagnetic
51
L=I
=N
S= B dS
03v
(r-r )B= J(r ) dv
4 r-r
1111
1
dL =
dI
1111
1
L =I
11 1 11 1 12=N >N
Some of produced by I1 links only with C1 loop itself, not with C2
Self inductance of C1 loop
Procedure for Finding Inductance
B
1. Appropriate coordinate system
2. Find
3.
4.
5.
Electromagnetic
52
EX 6-14
rB
rdBldB
ardld
aBB
C
2
ˆ
ˆ
2
0
a
bNIh
hdrar
NIa
sdB
r
NIB
NIrB
S
S
ln2
ˆ2
ˆ
2
2
0
0
0
0
total current NI
flux linkage
2
ln20
ab
IhN
N
2
ln20
ab
hN
IL
Electromagnetic
53
EX 6-15 Long solenoid
From(Ex6-3) p231
SInn
nISBS
nIB
20
'
0
0
Inductance per unit length
156
146
2
20
'
Ex
Exin
NL
sl
snL
Electromagnetic
54
EX 6-16
a) Inside inner conductor.
ar 0
20
11 2ˆˆ
a
rIaBaB
b) Between inner & outer conductors
bra
r
IaBaB
2ˆˆ 0
222
)ln(2
)(4
22
0222
0
02
0
21'
a
bIra
a
Ir
drIdrr
a
I
drBdrBd
b
a
a
r
a
r
b
a
Current in annular ring
22
22
a
rdr
a
rdr
'2
' 2 d
a
rdrd
' '
0
2 202 2 0 0
0
1( ) (ln )
2
1ln
2 4
r a
r
a a
d
I ba r rdr rdr
a a a
I b
a
]/[)ln(28
00'
' mHa
b
IL
Electromagnetic
55
EX 6-17
Internal8
0' selfL
2 wires :
482 00' iL
external : ., compyonlyplanexz
)(2
2
02
01
xd
IB
x
IB
y
y
)ln()ln(
11
2
)(
00
0
21'
a
dI
a
adI
dxxdx
I
dxBB
b
a
ad
a yy
)ln(0'
'
a
d
ILe
total
a
dLLL ei ln
4
10'''
Electromagnetic
56
2
2
1
1
1 2
12 21
212 1 2
1
11
2112 2
1
21 2
1
11 1 1
1 2 1 212
?
( )
( )
( )4
4
S
S
C
o
C
o
C C
L L
NL B d S
I
B A
NL A d S
I
NA d
I
dA N I
R
N N d dL
R
����������������������������
������������������������������������������
������������������������������������������
����������������������������
����������������������������
����������������������������
Neumann Formula
Electromagnetic
57
EX : 6-18
2112 1
1
212 2 12 1 2 1
1
21212 1 2
1 1
( )( )N
a I
N N N a I
L N N aI
Outer coil has N2 turns,
Electromagnetic
58
EX : 6-19Find B2 is caused by long wire I2.
1
22
21 21
2 121
1
221
2
ˆ2,
ˆ
3 1
2
3ln 1
2
o
S
d bo
d
o
IB a
r
B d s
d s a zdr
z d b r
Id b r dr
r
I bd b b
d
��������������
����������������������������
2121
2
3ln 1
2o b
L d b bI d
Electromagnetic
59
6-12 Magnetic Energy
Loop 1 11 1
diV L
dt
1
1 1 1
1 1 10
21 1 1 1
1 1
2 2
I
W V i dt
L i di
L I L
Loop 2 : C1 & C2
2
21 21 1
21 1 20
21 1 2
I
W V I dt
L I di
L I I
222 2 2
1
2W L I
Similary
Total work at C2
2 1 12 22
2 21 1 1 1 2 2 2
2 2
1 1
1 1
2 21
2 jk j k
j k
W W W W
L I L I I L I
L I I
Generalizing I1, I2, I3, … IN,
1 1
1
2
n n
m jk j kj k
W L I I
21
2mW LI
1 1I C 2 2I C
Electromagnetic
60
Consider Kth loop of N coupled loops
k k k
k k
kk
dW V i dt
i d
dV
dt
Magnetic energy
1 1
N N
m k k kk k
dW dW i d
Total magnetic energy
1
01
1
1
2
N
m m k kk
N
k kk
W dW I d
I
k k k ki I
1
1
1
2
N
m k kk
N
k jk jj
W I
L I
61
Heng-Ming Hsu
Electromagnetic
61
6-12.1 Wm in terms of Field Quantities
1
1
2
( )
,
1
2
k k
k
k n k kS C
N
m k kCk
k k k k k
k
m v
B a dS A d
W I A d
I d J a d J v
N v dv
W A Jdv
����������������������������
��������������
��������������
����������������������������
Vector identity
( ) ( ) ( )
= ;
( ) ( ) ( )
A B B A A B
A A B H
A B H A A H
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������取
其中 H J A B ������������������������������������������������������������������������������������
( )
1( )
21
( )2
m v
nS
A J H B A H
W H B dv
A H a ds
��������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������
����������������������������
All space
22
1 1lim( ) 0
1( )
2
s
m v
rr r
W H B dv
����������������������������
Electromagnetic
62
2
2
22
1( )
2
1
2
1
2
1( )
2
1 1
2 2
m v
m v
m v
e v
e v v
W H B dv
BH
BW dv
W H dv
W E D dv
DW E dv dv
����������������������������
����������������������������
����������������������������
or
c.f.
Magnetic energy density Wm
22
2
1 1
2 2 2
2
m mv
m
m
W W dv
BW H B H
WL
I
����������������������������
Electromagnetic
63
Ex 6-20 (Ref. Ex 6-16)
Wm in inner conductor Wm between inner & outer
16
4
22
1
20
0
34
20
0
2
01 1
I
drra
I
rdrBW
a
a
m
a
bI
drr
I
rdrBW
b
a
b
am
ln4
1
4
22
1
20
20
2
02 2
Hence,
a
bWW
IL mm ln
28
2 00212
Electromagnetic
64
6-13 Magnetic forces & Torques
uNqaJJ ; aBB
BuqF
yz
m
ˆˆ 00
dBudxEVd
hh 000
electron move toward to x-dir.
Creating a transverse -field.
Steady state, net force is Zero.
E
hE
xzyh
y
h
h
h
aBuaBauE
auu : type-N
feild. Hall : E
effect. Hall ; BuE
BuE
ˆˆˆ
ˆ
0
0000
0
65
Heng-Ming Hsu
Electromagnetic
65
6-13.2 Force & Torques
2
1
1 11
:
:
c
I source
I field
I dl
��������������
��������������
������������������������������������������
21
21
21 21
B
F
F B
0 2 2 2122
21
0 1 2 211 2 21 2
21
0 2 1 212 1 21 2
21
?1 2 21 2 1 21
? rd
4
( )
4
( )
4
[ ( )] ( )
: Newton 3 Law
c
c c
c c
I dl a
dl dl aI I
dl dl aI I
dl dl a dl dl a
��������������
��������������
��������������
����������������������������
21
21
21
21 12
B
F
F
F F
d Idl ������������������������������������������
mF B
cI dl
������������������������������������������mF B
1 1I C 2 2I C
ICB
66
Heng-Ming Hsu
Electromagnetic
66
Vector triple product
1 2 21 2 1 21 21 1 22 2 2
21 21 21
2 1 21 1 212 2 1 12 21 2 2 1 2 1
21 21 21
22 121
( ) ( ) ( )
1 term
( ) 1( )
1 ( ) 0
st
c c c c c c
c c
dl dl a dl dl a a dl dl
dl dl a dl adl dl dl
dl d
������������������������������������������
��������������
代回
0 21 1 21 2 21 2
21
21 12
( )
4
,
c c
a dl dlI I
a a
����������������������������
21 12
rd
F F
Newton 3 Law Hold
67
Heng-Ming Hsu
Electromagnetic
67
6 21Ex
12
12 2 12
12 1
0 112
0 1 212
1 2
force on wire 2
( )
source at wire1(I )
2
2 Attraction
[Same polarity of current & ]
z
x
y
F
F I a B
B
IB a
dI I
F ad
I I
��������������
����������������������������
��������������
��������������
��������������
68
Heng-Ming Hsu
Electromagnetic
68
// 1 1
2 2
1 2
: expand loop 6-30(a)
no net force to more loop
: produce on upward force on
downward force on
=
B
B d F dl
d F dl
d F d F
��������������
������������������������������������������
����������������������������
����������������������������
//B B B ������������������������������������������
69
Heng-Ming Hsu
Electromagnetic
69
//
2 2//
1 2 1 2
2 2// 0
2//
= ( )2 sin
= ( sin )2 sin
= 2 sin
= ;
= 2 sin
= ( )
x
I
I
x
x
dT a dF b
a IdlB b
a Ib B d
dF dF dF dl dl dl bd
T dT a Ib B d
a I b B
��������������
����������������������������
70
Heng-Ming Hsu
Electromagnetic
70
2
Magnetic dipole moment
m ( )
,I Na I b a IS
Hence
T m B
��������������
������������������������������������������
DC-motor
Torque rotates at clockwise + X-dir
71
Heng-Ming Hsu
Electromagnetic
71
6 22Ex
/ /
/ /
1 1 1 3
2 2 2 4
4
1
13 1 2 1 3
24
;
produes the following forces
( )
( ) ( )
0
;[ & ]
Z Z X x y y
X x x y y Z y
y X x y y Z x
NET ii
x y
B a B B a B a B
B
F Ib a a B a B a Ib B F
F Ib a a B a B a Ib B F
F F
T a Ib b B F F
T
����������������������������
��������������
����������������������������
����������������������������
����������������������������
������������������������������������������
1 2 2 4 ;[ & ]y xa Ib b B F F
������������������������������������������
13 24 1 2
1 2
( )
( )
x y y x
z
x y y x
T T T Ib b a B a B
m a Ib b
T m B m a B a B
������������������������������������������
��������������
��������������������������������������������������������
72
Heng-Ming Hsu
Electromagnetic
72
6 13.3 Forces and Torques in terms of Wm
Z
Constant Flux Linkages
[Source Spply No energy]
( )
rotate about z-axis
(T )
m m
m
m
F dl dW W dl
F W
W
��������������������������������������������������������
����������������������������
Constant Currents
[ sorce increase Wm]
1
2
( )
( )
s m
m s
I m m
I m
mI Z
Current
dW dW dW
dW dW
dW F dl dW W dl
F W
WT
��������������������������������������������������������
����������������������������
I
S.W.(OFF)
S.W.(ON)
s.w. system
73
Heng-Ming Hsu
Electromagnetic
73
6 23Ex
2
m m0
2
0
2m
0
Contant Flux
dW (W ) 2( )2
Wa ( ) a
air
y y
Bd Sdy
dyS
dF
dy S
��������������
2m
0
0
2
0
2 22
I0
0
2
0
Constant Current
1W Core : c
2NI
= 2Gap:2c+2( )
N
c+2( )
1 Na a [ ]
2 c+2( )
a
y y
y
LI
yy SS
NL
yIS
I dLF
ydy SS
S
��������������
74
Heng-Ming Hsu
Electromagnetic
74
(6 13.4)force and toraues
in terms of mutual inductance
2 21 1 12 1 2 2 2
I 1 2 12
121 2
1 1
2 2Conotant currents
( )
( )
m
I Z
W L I L I I L I
F I I L
LT I I
����������������������������1 1I L 2 2I L
Two coils
75
Heng-Ming Hsu
Electromagnetic
75
6 24Ex 2 2
0 1 1 1 0 1 1 1 212 32 2 2 2
2
2 22
0 1 1 1 212 12 2 12 2 32 0 2 2 2
2
2 20 1 2 1 22 12
12 32 2 21 2
1212 1 2
2 20 1 2 1 2
12 1 2
N I b N I b bA =a sin a
4R 4[Z +b ]
N I b bA A b
2[Z +b ]
N N b bNA
I 2[Z +b ]
F a I IdZ
3 N N b bF a I I
c
Z
Z d
Z
dl d
dL
d
��������������
����������������������������
��������������
��������������
52 2 222(d +b )
2 22 1 1 1 1 2 2 2 2
0 1 212 4
; m =N b ; m =N b
3 m mF a
2Z
d b I I
attractiond
��������������
1 : [Ex6-7,p239]I source
76
Heng-Ming Hsu
Electromagnetic
76
Home Work #6David Cheng: Chapter6
P6-2, P6-4, P6-5, P6-6, P6-10,P6-11,P6-12P6-13,P6-15,P6-18,P6-19,P6-22,P6-26,
P6-27,P6-29,P6-32,P6-37,P6-38,P6-39,P6-40,P6-41,P6-42,P6-43,P6-44,P6-46,P6-50,P6-53Due: 2 weeks