Chamba Dinanmica Ultimo Peso 2

Pregunta Nº1:vibracion libre no amortiguada

Estudiar el caso cuando los elementos rigidamente unidos apoyan una masa M en las vigas AB y

CD como se nmuestran en las figuras adjuntas que tienen propiedades mecanicas EI constantes,

donde E=2039000 kg.f/ , I=2864 el resorte tiene K=2000kgf/cm si el peso es

W=2500kgf, encontrar para cada una de las alternativas mostradas la rigidez del sistema y la

frecuencia natural fundamental y el periodo. Comparar y discutir los resultados de ambos

casos.considerar L=2.0 metro

|

Solución

Para los datos

E = 2039000Kg f/cm2

I = 2864 cm4

K = 200 kg f/cm

W = 2500 kg f L = 2.0 m

Tenemos La longitud de las vigas son

LAB= 6.00 m LCD= 4.00 m

ASIGNATURA 1

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA

“ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL” DIAZ MEZA,R. Página 2

Obtenemos los modelos equivalentes

Luego de lo que sabemos de una vibración libre no amortiguada de un grado de libertad

Frecuencia angular: √

√

Frecuencia natural:

Periodo Natural:



ALTERNATIVA 2

De la misma forma en que resolvimos en la alternativa 1. Obtenemos el modelo

equivalente siguiente

Luego de lo que sabemos de una vibración libre no amortiguada de un grado de libertad


√

Frecuencia natural:

Periodo Natural:

Observaciones: Al aumentar un resorte al sistema de vigas se reduce la rigidez



equivalente del sistema que provoca que la periodo aumente, la frecuencia angular disminuya con la frecuencia natural.

P2

Pregunta Nº2:vibracion libre con amortiguamiento viscoso

El sistema estructural de la figura es de concreto armado y esta destinado a la aplicación de una

carga dinamica horizontal en el nivel superior. El peso del elemento superio se estima en P=3

KN/m ; las dimensiones de la columna son de 0.3x0.3 m, considerar E=2* y

K1=K2=12EI/ como parte del diseño de esta estructura se requiere analizar el sistema sin

amortiguacion y con amortiguacion, para lo cual debe determinar su frecuencia natural y

periodo, considerando que el coeficiente de amortiguacion sea de orden del 5% de la

amortiguacion critica

NOTA.- suponer que la masa de columnas es insignificante comparada con la masa en el piso

superior y quie la viga superior es infinitamente rigida como para impedir la rotacion de los

extremos. Puede utilizar como idealizacion del sistema el siguiente esquema



Solución

La masa de las columnas es despreciable comparado con la masa superior

La viga superior es suficientemente rígida como para impedir la rotación de los extremos de las columnas

Modelo equivalente

De la ecuación diferencial

2 Determinación de las propiedades

Rigidez (K)



Tenemos:

( )

( )( )

( )

Masa(m):

( )( )

s

3 Análisis del sistema sin amortiguamiento

Calcular frecuencias angular, natural y periodo natural


Frecuencia natural:

Periodo Natural:

4 Análisis del sistema con amortiguamiento

Frecuencia angular amortiguada: √ √

Frecuencia natural amortiguada:

Periodo Natural amortiguado:

√

P3

Pregunta Nº3:sistemas de varios grados de libertad

El sistema estructural de la figura corresponde a una edificacion aforticada construida en

cocreto armado. Las vigas de la edificacion tienen 0.35 metros de altura por 0.3 metros de

ancho y, las columnas son cuadradas de 0.35 metros de lado. Las masas de la estructura se

estiman en 200kg/m2 en la losa de primer nivel y de 100 kg/m2 en la cubierta. La estructura

cuenta con un modulo de elasticidad E=20000Mpa. Es de interes determinar las frecuencias, los

modos de vibracion del edificio y la respeusta dinamica de la estructura cuando vibra libremente

en la direccion X.



Se pide obtener las matrices de masa y rigidez, la ecuacion dinamica del sistema, el polinomico

caracteristico, los valores propios, las frecuencias y periodos correspondientes. Calcular los

modos de vibraciony el sistema homogeneo de ecuaciones, asi mismo graficar las formas de los

modos de vibrar.

NOTA: resolver considerando el modelo dinamico que cumpla la condicion de que toda la masa

se concentra al nivel de los pisos y las vigas son infinitamente rigidos respecto a las columnas.

Considerar K=12 EI/ para cada columna

Solución

La masa de las columnas es despreciable comparado con la masa de las plataformas Las vigas son suficientemente rígidas como para impedir la rotación de los extremos de las columnas

Analizamos la masa

En el Primer Piso: ( )

( )( )( ) =19.2 Tn

En el segundo piso:

( )( )( )

Determinamos la rigidez en un pórtico:



Para cada columna tenemos; K=12EI/L3

En el primer piso: ( )

( )( )

Y por el paralelismo con los dos pórticos del fondo

( )

De igual forma para el segundo piso

( )

( )( )

Y por el paralelismo con los dos pórticos del fondo ( )

)

Llevamos a Tn y cm:

)

Y con los datos de la masa

=192 Tn f

La matriz masa

, - 0 1

La matriz rigidez

, - 0

1

La ecuación dinámica del sistema

, - * + , - * +

0

1 [

] 0

1 0

1

0 1



| | 0 1

Los valores propios .58

Las frecuencias

126.80

Periodos 0.174 s

s Los modos de vibración

Para

Para

-1.7457

Las graficas de los modos de vibración

Primer modo de vibrar (graficado en MATLAB)

Segundo modo de vibrar (graficado en MATLAB)



P4

Pregunta Nº4:vibracion forzada amortiguada

Determinar la rigidez equivalente y al ecuacion del movimeinto forzado de la masa de la figura

adjunta

Solución



Para el resorte de rigidez K y la primera mitad de la viga se deforman igual (paralelo) y la otra

parte de la viga se deforma diferente (serie)

Obtenemos el sistema equivalente

Calculamos el Keq

( )

La ecuación es:

( )

(

( )

) ( )

P5

PREGUNTA N°5

Sistema N°01

3 masas iguales M se deslizan sin fricción sobre un plano horizontal. Se encuentran unidas

conjuntamente por medio de tres resortes iguales d constante K, como se muestra en la figura.

Determinar las formas de modo del sistema que tenga las frecuencias naturales de vibración

más bajas en conjunto para el siguiente caso.



Solución

Sabemos que la matriz de rigidez para este sistema es

m1 0 0

[M]= 0 m2 0

0 0 m3

de igual manera para la matriz de rigidez saldrá

K+K -K 0

[K]= -K K+ K -K

0 -K K

Llevamos a la forma

[K- ]=0=

Sacando K de la determinante

[K- -=K

Hacemos la sustitucion y=M

El polinomio caracteristico seria

Dodne los tres valores de y serian

M

, M

, M

La frecuencia (w) mas baja sera

2K-M -K 0

-K 2K-M -K

0 -k K-M

2-M

-1 0

-1 2-M

--1

0 -1 1-M



√ ( )

para el cual la matriz de rigidez

(

)

Donde se encuentra que

M

, =

(

)

(

)

Sistema N°02

Un modelo dinámico aproximado de un edificio de

tres pisos de estructura de acero, puede

originarse por medio de 3 masas concentradas y

tres resortes sin masa, como se muestra en la

figura. Durante las vibraciones laterales del

edificio, como por ejemplo durante un terremoto,

se supone que los pisos se mueven paralelamente

unos a los otros. Por lo que el efecto es

primordialmente el efecto cortante. Las masas de

los 3 pisos y las constantes de resorte para

esfuerzo cortante son las que se muestran en la

figura. Determinar la ecuación de la frecuencia

para pequeñas oscilaciones laterales

Solucion

La matriz masa y rigidez son

2m 0 0

[M]= 0 m 0

0 0 M

de igual manera para la matriz de rigidez saldrá

K1+K2 -K2 0

[K]= -K2 K2+ K3 -K3

0 -K3 K3

Ecuacion dinamica

[M][U]+[K][U=[0] levando a la forma de

2-M

-K 0

-K 2-M

-1

0 -K 1-M



[K- ]=0=

Finanlmente hallamos la determinante de a matriz solo se reemplazaria con los valores de K y m

P6

PREGUNTA N°6

Para el siguiente esquema mecánico-estructural que se muestra en la figura adjunta encontrar la

rigidez K, el periodo T y el desplazamiento Xmax si Vo=30cm/s en t=0

Asi mismo, indicar que ocurriría si la rigidez de la columna no fuera infinita

Solucion

Mediante

∑

( )

( )

.

/ si W > -9K

K1+K2-2m -K2 0

-K2 K2+K3-M -K3

0 -K3 K3-M



no hay mas vibracion

de aquí

c s( )

se ( )

x0= 0

c s( )

(

( )* ; n=1, 2, 3, ……….

Para el ejercicio n = 1

se ( )

se .

/

c s(√.

/

)

√ c s. √

/

Como no hay amortiguamiento el desplasamiento maximo sera cuando

c s( )

Luego

Xmax =

√



PREGUNTA N°07: sistemas dinámicos de un grado de libertad

Una caja que contiene una masa de 1000 kg. Es soltada desde 1m. de altura sobre el centro de la

luz de una viga simplemente apoyada de más despreciable. La viga tiene luz de L de 10 m. y su

sección tiene 0.2 m de ancho por 0.5 m de alto. Esta construida de un material cuyo módulo de

elasticidad E=25000 Mpa. En la figura se muestra el sistema.

Figura

Utilizando los datos enunciados y que ek sistema conjunto tiene frecuencia angular w

determinada se desea encontrar la máxima amplitud del movimiento dado que el sistema ahora

tiene un amortiguamiento c=5000 N.s/m

Cual es la diferencia que se obtendría si la caja se coloca sin dejarla caer

Nota : las deflexiones a obtenerse deben corresponder únicamente a la parte dinámica, osea

que las oscilaciones dinámicas son deflexiones relativas con respecto a esta deflexión estática

Soluciondebemos suponer que la caja queda totalmente adherida a la viga a partir del momento

del contacto inicial debe encontrarse una descripción de movimiento oscilatorio que se genera

máxima deflexión vertical que tiene la viga y las fuerzas máximas que se inducen en la viga

El primer paso en la resolucion consiste en formular el modelo de un sistema de un grado de

libertad que nos permita el momento ocilatorio que se genera. Es evidente que una ves que se

adiere a la viga se tiene un sistema dinamico en el cual la masa proviene solamente de la caja

dado que la viga tiene una masa despresiable. La rigides del sistema es la rigides de la viga.

Como la caja cae verticalmente las deflexciones de la viga seran transversales a la luz. Para

obtener la rigides se debe obtener la deflexion en el centro de la luz(sitio del inpacto) para una

carga unitaria colocada alli. Tal como se muestra en la figura



Utilizando formularios de estatica para calcular deflexiones en vigas (area momento. Viga

conjugada, etc.) es posible obtener la siquiente exprecion par la deflexion en el centro de la luz

de la viga.

Donde

L = luz de viga =10 metros

E = modulo de elasticidad del material de la viga=25 000 Mpa

I = momento de inercia de seccion de la viga = ⁄

Dado que P= k . Entonces

Y por tamto

⁄ ⁄

La masa m de la caja es de 1000 Kg por tanto la frecuencia natural del sistema(viga + caja) en

radianes por segundos se obtiene de:

√

√

⁄

√

⁄

⁄

Su frecuencia en ciclos por segundo

f= /2 = 50/2 = 7.96 Hz

y su periodo por segundo

T = 1/f = 1/7.96 = 0.126 s

Planteamos la ecuacion diferencial en equilibrio, el la cual se a tomado como nivel de

referencia(X=0) el nivel al cual se encuentra la viga con la caja colocada lentamente. o sea al

nivel de la deflexcion estatica de la viga en el centro de la luz ( ⁄ ⁄ ):

Dividiendo por m:

La solucion vendria a ser

( ) .

/ se ( ) c s( )



Donde x es la deflexion vertical de la viga. El cual se define como t=0 el desplasamiento de la

masa es cero por lo tanto x0=0.

Para obtener la velocidad que tiene la masa en el momento del impacto se debe hallar la

velocida que tiene la caja despues de haber caido un metro. La energia cinetica(mv2/2) que tien

la caja en el momento del impacto es igual a la energia potencial que tenia antes de soltarla

(wh). Entonces:

mv2/2= wh y dado que m=w/g se obtiene v2=2gh

v2 = 2gh = 19.6 m2/s2

la velocidad de la caja en el momento del inpacto seria:

v = 4.43 m/s

por tanto v0 es 4.43 m/s y la deflecion en el centro de la luz en cualquier intante despues dl

inpacto se puede obtener de:

( ) ( ⁄ ) ( ) ( ) ( ⁄ ) ( ) ( ) ( ) ( )

Para saber el tiempo que se da la maxima deflexion dinamica que tiene la viga podemos igualar

50t= donde t=0.0314 s

-si la caja se coloca sin dejarla caer la carga seria solo el peso de la caja 9800 N y la maxima

deflexion vertical seria

p-8

Un tanque de agua con una sección horizontal de 1

de área está colocado en la parte superior de una

columna tubular de 8 m de altura cuya sección: tiene

un diámetro d=0.25 m con una pared t=0.01 m de

espesor y construida de un material con un modulo de

elasticidad E=200000 MPa.

En la parte inferior del tanque hay una bomba de agua

que ejerce una fuerza horizontal armónica de

con una frecuencia Ω=5 rad/s. el tanque

vacio incluyendo la columna. Tiene una masa de 500

kg. El amortiguamiento del sistema es ξ=2% del circuito

En la figura2-15 se muestra como esta dispuesto el

sistema. Se desea saber la altura del agua del tanque para la cual se presentan las máximas

fuerzas horizontales inducidas por la bomba y el momento flector que producen estas fuerzas en

la base de la columna.



El sistema puede idealizarse como una columna en voladizo con una masa en la parte superior.

Al aplicar una fuerza horizontal P en la parte superior de la columna es posible obtener por

cualquier método de resistencia de materiales (véase la sección 1.5) la siguiente relación:

Reemplazando los valores apropiados:

E=200000 MPa

I=

( )

L=8m

Entonces

La masa corresponde a la masa del tanque y la columna. Mas la del agua que contenga el

tanque.

500+1000 h(kg)

La frecuencia natural del sistema es:

√

√

La máxima fuerza horizontal se produce cuando se tiene la máxima amplitud o sea cuando se

presenta resonancia. Esto ocurre cuando el cociente Ω/ω es igual .

√ √ ( )

√

=2.38 m

Cuando el agua tiene una altura igual a 2.38 m se presenta la máxima influencia de la vibración

causada por la bomba de agua. La máxima amplitud de la deflexión horizontal se obtiene por

medio de la ecuación (2-45):



=

. /

√* . /

+

.

/

√, ( ) - , ( )-

La máxima fuerza es por lo tanto: =2520N

Y el máximo momento en la base de la columna es:

* + , -* +

Los desplazamientos en los grados de libertad se pueden expresar como:

Sen (Ωt)-1.9637x1 cos (Ωt)

= 2.8629x1 sen (Ωt) +1.4691x1 cos (Ωt)

2.7542x1 sen(Ωt)+1.4692x1 cos(Ωt)

El valor máximo de desplazamiento para el grado de libertad se obtiene derivando contra el

tiempo la rotación:

( ) c s ( )

( ) se ( )

Haciendo esta ultima ecuación igual a cero y despejando t bte e s que te a u val r de

1.5385 radianes. En ese instante el desplazamiento son:

=

Y después de realizar las operaciones apropiadas para obtener los desplazamientos que se había

condensando obtenemos:

=

0.33960

=



Ahora el valor máximo de desplazamiento para el grado de libertad se obtiene derivando

contra el tiempo la ecuación:

= ( ) c s ( )

= ( ) se ( )

Haciendo la última ecuación igual a cero y despejando . Obtenemos que tenga un valor de

0.19246 radiantes. En ese instante los desplazamientos son:

=

Y después de realizar las operaciones apropiadas para obtener los desplazamientos que se

habían condensado encontramos.

=

Por última el valor máximo de desplazamiento para el grado de libertad se obtiene

derivando contra el tiempo la ecuación:

=



Y después de realizar las operaciones apropiadas para obtener los desplazamientos que

habían condensado. Obtenemos:

=

Para determinar el efecto en la imagen proyectada en el telón del teatro debemos identificar

los movimientos que ocurren en la cámara de proyección y su efecto en la imagen en el telón.

Los movimientos horizontales del proyector corresponden a los movimientos del grado de

libertad en estos son. Expresados en metros es:

m=0.006 mm

El cual es un desplazamiento muy menor que no afecta la imagen.

Los movimientos verticales del proyector corresponden a los movimientos máximos del grado

de libertad estos son. Expresados en metros:

m=1.5 m

Esta imagen no alcanza a afectar la imagen los movimientos verticales de la imagen en el telón

del teatro son además causados por la rotación del proyector en el grado de libertad

Al multiplicar estas rotaciones expresadas en radianes. Por los cuarenta metros que los separa.

Obteniendo el siguiente desplazamiento vertical de la imagen del telón.

Este movimiento alcanza a afectar la imagen. Deben tomarse medidas correctivas para reducir la

vibración por el generador

p-9

PREGUNTA N°09: sistemas dinámicos de varios grados de libertad

Considerar el esquema mostrado en la figura, se modela el efecto de un terremoto sobre un

edificio de varios pisos. Supondremos que el i -esimo piso de un edifico tiene masa mi, y que los

adyacentes están unidos por un conector elástico, cuya acción se parece a la de un resorte. Cada

unión suministra una fuerza de restitución cuando los pisos se desplazan entre si. Suponiendo

que es válida la ley de Hooke, cuando la constante de proporcionalidad de Ki, entre los pisos i-

esimo e (i-1)-esimo. Resolver según lo explicado el caso de un edificio de 3 pisos.



Supogamos que tenemos un edificio como el mostrado en la figura 12-1 . estamos interesados

en la respuesta del edificio en la direccion x unicamente . la regidez de cada uno de los pisos es

igual y se denomina k. La masa de los dos pisos imferiores es el doble , para cada uno . que la de

la cubierta , la cual se denomina m.

La matriz de la masa de la estructura es la siguiente :

Y la matriz de regidez . obtenido por el medio de la ecuacion de lagrange (seccion 10.5 ) es:

Por lo tanto las ecuaciones de movimiento son :

Ahora procedemos a encontrar la solucion de la respuesta del sistema para diferentes

condiciones iniciales . de la ecuacion tenemos :

|, - , -|



Que al reenplazar las matrices , -y , - , conduce a un determinante :

Y la ecuacion caracteristica , obtenida de la expansion del determinante es :

Al dividir la ecuacion anterior por 4 obtenemos :

Una simple inspeccion de la ecuacion anterior nos indica que =k/m es un raiz de la ecuacion

. y que aplicando division sintetica se obtiene :

(

* ( )

Y resolviendo la ecuacion de segundo grado del segundo termino :

√

*

√

+

Entonces la frecuencias naturales del sistema . debidamente ordenadasn , son :

Expandiendo la operacion anterior se obtiene

La tercera ecuacion encontramos la relacion entre el 2d0 termino del modo y el termino inferior



Y reemplazamos la tercera ecuacion en la 2da obteniendo la relacion entre el termino superior

y el 1er termino

Y ahora reemplazamos los valores de w2 uno a la vez obteniendo los siguientes valores

Dando valor de la unidad al termino inferior del modo. Entonces los modos de vibracion son:

Que graficamente se pueden representar como:

Ahora normalizando los modos de vibracion de tal manera que cumpla la ecuacion:



Asi obtenemos los siguientes modos :

Modo 1

Modo 2

Modo 3

Y la matriz modal:

p-10

En un teatro se piensa colocar un generador eléctrico que tiene una masa de 2000 kg=2 Mg

debe encontrarse la influencia que producen las vibraciones inducidas por el generador en

la máquina de proyección de cine. Cuando ambos estén operando.

La máquina de proyección también tiene una masa de 2000 kg =2 Mg .la porción de la

estructura donde están colocados ambos equipos tiene la forma descrita en la figura 14- 2

todos los elementos del pórtico de soporte tienen ancho b=0,4m y alto h=0,8 m. de un

material con un modulo de elasticidad E=25GPa y du disposición es la mostrada en la figura.



el generador está montado sobre una base que solo transmite vibración verticales y estas

inducen una fuerza sobre la estructura cuya amplitud es 3KN con una frecuencia de Ω=35

Nos interesa la influencia en la imagen proyectada en la pantalla del teatro .la cual se encuentra

a 40 metros de distancia del equipo de proyección . El amortiguamiento del sistema en todos los

modos en ξ=1% del crítico .puede despreciarse la contribución de la masa de la estructura.

Los nudos y elementos de la estructura se numeran como muestra la figura. el diafragma es

infinitamente rígido en su propio plano .por lo tanto los grados de libertad horizontales de los

nudos 2,3 y 4 se inhalan al grupo de libertad horizontal del nudo 1. Los grados de libertad de los

nudos 1 y 4. Así como todas las rotaciones de los nudos se condensan.

Elemento de viga.

L=3m

E=25GPa=25000000KPa

A=0,4m. 0,8 = 0.

L=0,4.0, / 12 =0.017θ67

gdl

, -

Elementos de columna:

L=5m

E=25GPa =25000000KPa

A=0,4.0, 8m=0,32

I=0,4 .0, /12=0,017067

gdl

, -

2666.7 0 0 -26667 0 0

0 189.63 284.45 0 -24845 284.45

0 284.45 568.89 0 -28445 284.45

-26667 0 0 2666.7 0 0

0 -18963 -28445 0 189.63 -28445

0 284.45 284.45 0 -28445 568.89

40.960 0 102.40 -40.960 0 102.40

0 1600.0 0 0 -1600.0 0

102.40 284.45 341.33 -102.40 0 170.67

-40.960 0 -102.40 40.960 0 -102.40

0 -18963 0 0 1600.0 0

102.40 284.45 170.67 -102.40 0 341.33



gdl La matriz de rigidez de toda la estructura. Suprimiendo de los términos de los apoyos. Y

eliminando las deformaciones axiales de las vigas y organizada para condensar .es:

, -

Después de condensar se obtiene la siguiente matriz. En unidades de KN/m.

gdl

, -

La masa tanto del generador como del proyecto es de 2Mg. Por lo tanto la matriz de masa tiene

la siguiente forma.

gdl

, -=

Y las ecuaciones. De equilibrio son las siguientes:

81.92 0 0 0 102.4 0 0 0 102.4

0 379.26 -189.63 -189.63 -284.45 0 284.45 0 0

0 -189.63 379.26 0 0 -284.45 0 -189.63 248.45

0 -189.63 0 1789.6 284.45 284.45 0 0 0

102.4 -284.45 0 284.45 910.22 284.45 0 0 0

0 0 -284.45 284.45 284.45 11137.8 284.45 0 0 0 284.45 0 0 0 284.45 11137.8 -284.45 284.45

0 0 -189.63 0 0 0 -284.45 1789.6 -284.45

102.4 0 284.45 0 0 0 284.45 -284.45 910.22

56.452 38.421 -38.421

38.421 205.08 -155.92

38.421 155.92 205.08

4 0 0

0 2 0

0 0 2

4 0 0

0 2 0

0 0 2

56.452 38.421 -38.421

0

+ 38.421 205.08 -155.62 = 3sen(Ωt)

-38.421 -155.92 205.08

0



Para este sistema los modos de vibración

son :

gdl

, - =

Con las siguientes frecuencias y periodos:

Modo f T

( ) ( ) (Hertz) (s)

1 11924 109.20 17.38 0.0575

2 24578 156.76 24.95 0.0401

3 182690 427.43 68.03 0.0147

Ahora calculamos:, - * ( )+

Por lo tanto podemos reducir el sistema de ecuaciones a las siguientes ecuaciones desacopladas

al introducir el amortiguamiento modal.

=-0.16983sen (Ωt)

=1.50000sen (Ωt)

=1.49034sen (Ωt)

Ahora calculamos: √

√[ .

/ ]

0 (

)1

0.496780 0.000000 0.056611

-0.056611 0.500000 0.496780

0.056611 0.500000 -0.496780

-θ.16983senΩt

1.50000senΩt

1.49034senΩt



Y (

)

(

)

En nuestro caso la frecuencia de la excitación es:

Por lo tanto:

Y la solución para las ecuaciones desacopladas es:

( )

( )

( )

Ahora utilizando:

( ) ( ) c s( )

Con lo cual las ecuaciones desacopladas se convierten en:

Y dado que los desplazamientos se obtienen de:

Desplazamiento estático del sistema ( ∫ ), el cual corresponde a la deflexión que tendría el

sistema si la fuerza se aplica lentamente.

En algunos casos es convincente expresar la ecuación (2-40) como una suma de seno y un

coseno, en vez de un seno más un ángulo de desfase. Definiendo

y utilizando sen

( ) , obtenemos:

Ecuación 𝜳

(KN)

(m)

(rad)

1 -0.16983 1.43846 -1.3316x -0.02690 -0.02690

2 1.50000 1.00191 2.9915x1 -5.23099 -0.98221

3 1.49034 0.36750 9.4312x1 0.00850 0.00850

ecuación cos sen

1 -0.02690 0.99964 -0.02690

2 -1.38191 0.18777 -0.98221

3 0.00850 0.00850 0.00850



( [

]*

√, - , - ( )

√, - , - ( )

( )

,, - , - -,( ) ( ) ( )-

PREGUNTA N°11

En una viga articulada en dos puntos, de masa por unidad d longitud y módulo de rigidez a

flexion constante, determinar las ecuaciones del movimiento, las tres frecuencias mas bajas y

los tres modos de vibración asociados a ellas concentrando la masa en tres puntos.(puede

utilizar los coeficientes de influencia par determinar las ecuaciones diferenciales de

movimiento).

Principio

Caso 2 principio de superposicion



Matriz de coeficiente de influencia

, - ⌈

⌉ formulario de vigas

ɗ =

los coeficientes de influencia

ɗ11 ( ⁄ )

( ⁄ )

( )

Resolucion de la ecuacion dinamica

[M][ ] + [K]X] = [0]

Nota: ecuacion de la viga

.

/

( ) t: diferencial de una viga

Donde

g = masa por unida de longitud

EI= modulo de ligado o flexion (constante)

Q= carga por unidad de longtud

V= fuerza cortante K= desplazamiento vertical a partida

m = momento flector la= pacicion de equilibrio

E.c. dinamica (matricial)

[M][Ẍ] + [K][x]=O O; ecuacion de valores y vectores propios

Recordando

X= s ( )

c s( )



s ( )

la ecuacion puede resultar como

, -,a]+[K][a]=0

Matriz dinamica

[D]=, - , - O , - , - , -

Lota

, - , -

Matriz

[

]

donde

Para el problema sistema de ecuaciones

( )

Operando resulta

P(λ) polinomio caracteristicos eigen valores

Los eigen valos son

√

√

Frecuencia

Los modos de vibracion son los siguientes



P12

PREGUNTA N°12

El desplamiento x(m) de una masa que experimenta una oscilación amortiguada varia con el

tiempo t(s) según el modelo

(c s( )

s ( )*

Al realizar mediciones se obtienen desplazamientos de de 0.0162 m en un instante de

0.41 s , y un desplazamiento en de -0.0026 m en un instante de 0.83 s. los valores de

y a los extremos del desplazamiento

la expresión para el desplazamiento podemos darle forma y expresarla en función de senos

( s ( ))

En el desplazamiento es máximo por ello s ( ) dando:

( ) ( )

En el desplazamiento es minimo por ello s ( ) dando:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

l ( ( )

( )) l ( ( ))

l ( ( ) ( )

)

( )

Sabemos que :

=



=

=

P13

PREGUNTA NUMERO 13.-

las ecuaciones del movimiento de sistema resorte-masa-amortiguador que se muestra en la

figura adjunta están dadas por:

.

/ (.

/ .

/* ( )=0

.

/ (.

/ .

/* ( )=0

Escribiendo

;

; las ecuaciones se pueden volver a escribir en la forma

Donde

1 0 0 0

B = 0 1 0 0

0 0 m1 0

0 0 0 m2

0 0 1 0

0 0 0 1

C = -k k -c c

k -2k c -c



x1

x= x2

x3

x4 Haciendo

igual a λX, se obtiene el problema de eigen valores

A.X= λX, ; A=

Empleando cualquier metodología, obtener la ecuación característica de la matriz A cuando

m1=4m2 =0.2 slugs, k= 50 lb/pie y c=2 lb.s/pie. Luego, calcule los eigen valores λ, de la matriz A

( ) ( )

( ) ( )

Ordenando la ecuación:

( ) ( )=0

( ) ( )

Entonces las ecuaciones resultan asi:

Llevándolo a matrices la ecuación.

[

] [

] 0

1 [

] 0

1 0

1

pero como dato nos dan que:

Entonces la nueva matriz resultaría:

[

][

] 0

1 0

1 0

10

1



De la antigua ecuación, realizando algunos cálculos encontramos que:

[

][

] [

][

]

[

][

] [

] [

]

De esta ecuación de matrices:

B.

- cx=0

B.

=0

Por el método que nos dice:

Ax= λ A

[

c c c c

]=0

Haciendo: λ A=

[

c c c c

]=0

[

c c c c

]=0

[

]=0

=

=

=

=



λ A=

A=B-1

Entonces los eigen valores:

λ1=

λ2=

λ3=

λ4=

P14

Problema 14.-Encontrar la matriz rigidez , - del sistema en la figura.

Determinar los periodos de vibracion del sistema dinamico

Encontrar los eigen valores ylos eigen vectores del sistema dinamico

( )

( )



Matriz de rigidez

, - [

] , - 0

1

masas

Matriz de masas

, - [

] , - 0

1

Matriz C:

, - , - , -

, - 0

1

Valores Propios o eigenvalores

| |

(

* .

/

Frecuencias de vibración



.

/ (

*

.

/ .

/

Periodos de vibración

( * .

/

VECTORES PROPIOS O FRECUENCIAS DE VIBRACION

| |

| |

0

1 (

*

| |

0

1 (

*



P1

PROBLEMA Nº 15

Considerar el esquema mostrado en la figura, se modela el efecto de un terremoto sobre un

edificio de varios pisos. Supondremos que el i -ésimo piso de un edificio tiene masa mi, y que los

adyacentes están unidos por conector elástico, cuya acción se parece a la de un resorte. Cada

unión suministra una fuerza de restitución cuando los pisos se desplazan entre si. Suponiendo

que es válida la ley de Hook, cuando la constante de proporcionalidad es ki, entre los pisos i -

ésimo e (i+1-esimo. Resolver según el caso explicado el caso de edificio de tres pisos.

Se pide obtener las matrices de masa i rigidez, la ecuación dinámica del sistema, el polinomio

característico, los valores propios, las frecuencias y periodos correspondientes.

Calcular los modos de vibración del sistema homogéneo de ecuaciones. Así mismo, graficar las

formas de modos de vibrar.

Ki=Rigidez del entrepiso "i" en Ton/cm

Wi=Pero del piso "i", en Ton



DATOS

SOLUCIÓN

Pesos y masas de los Pisos

Tercer piso

Segundo piso

Primer piso

Rigideces de los entrepisos

Tercer piso

q1 5000kg

m P1 10000kg I1 5000 cm

4

q2 5000kg

m P2 8000kg I2 6260 cm

4

q3 3000kg

m P3 5000kg I3 4000 cm

4

Ivigas Inf Inf E 2039000kg

cm2

W3 P3 5 m q3 W3 20000kg

m3W3

9.81m

s2

m3 2038.736kg s

2

m

W2 P2 15 m q2 W2 83000kg

m2W2

9.81m

s2

m2 8460.754kg s

2

m

W1 2 P1 15 m q1 W1 95000kg

m1W1

9.81m

s2

m1 9683.996kg s

2

m

L3 3.5 m k3 212 E I3

L33

k3 4.565458 105

kg

m



Segundo piso

Primer piso

Matriz de Masas

Inversa de la matriz de masas

Matriz de Rigideces

Matriz C

L2 3 m k2 412 E I2

L23

k2 2.26918 106

kg

m

L1 4 m

L12 3 m k1 212 E I1

L13

212 E I1

L123

k1 1.288535 106

kg

m

M

m1

0

0

0

m2

0

0

0

m3

M

9.683996 103

0

0

0

8.460754 103

0

0

0

2.038736 103

kg s2

m

M1

1.032632 104

0

0

0

1.181928 104

0

0

0

4.905 104

m

kg s2

K

k1 k2

k2

0

k2

k2 k3

k3

0

k3

k3

K

3.557715 106

2.26918 106

0

2.26918 106

2.725726 106

4.565458 105

0

4.565458 105

4.565458 105

kg

m

C M1

K

C

367.380903

268.200725

0

234.322739

322.161135

223.935701

0

53.96041

223.935701

1

s2



Valores Propios (Eigen Valores)

Frecuencias de Vibración

Periodos de Vibración

M

Vectores Propios o Modos de vibración (Eigen Vectores)

Antes de calcular los modos de vibración vamos a crear una matriz identidad de 3x3

Utilizaremos la siguiente fórmula para calcular los modos

Para tener vectores propios normalizados utilizaremos como vector de igualdad D, donde sus elementos

será igual a 1 en la posición (1,1) y en el resto de los caos cero

El resultado de la operación , también lo modificaremos poniendo cero en la primera

fila, pero en la posición (1,1), se asignara el valor de 1, obteniendo modificada.

Entonces:

1

2

3

eigenvals C( )

1

2

3

611.161879

52.299894

250.015966

1

s2

w1

w2

w3

eigenvals C( )( )0.5

w1

w2

w3

24.721688

7.231867

15.811893

1

s

T1

T2

T3

0.254157

0.868819

0.397371

s

I

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0 IC i

D

1

0

0

C i I

C i I



PREGUNTA NUMERO

15.-

Primer modo de vibración

Segundo modo de vibración

Tercer modo de vibración

( ) C i I 1D

1( )

C 1 I

243.780976

268.200725

0

234.322739

289.000744

223.935701

0

53.96041

387.226177

1

s2

1

2

3

1

268.201

0

0

289.001

223.936

0

53.96

387.226

11

0

0

1

2

3

1

1.040363

0.601651

2( )

C 2 I

315.081009

268.200725

0

234.322739

269.86124

223.935701

0

53.96041

171.635807

1

s2

1

2

3

1

268.201

0

0

269.861

223.936

0

53.96

171.636

11

0

0

1

2

3

1

1.344645

1.754378

3( )

C 3 I

117.364937

268.200725

0

234.322739

72.145168

223.935701

0

53.96041

26.080265

1

s2

1

2

3

1

268.201

0

0

72.145

223.936

0

53.96

26.08

11

0

0

1

2

3

1

0.500868

4.300702



P16

Problema numero 16.- se considera un sistema masa resorte mostrado en la figura adjunta . el

sistema consta de dos masas y , que están conectados a un marco fijo y entre si por

resortes lineales de rigideces y como se muestra . Se consideraran pequeñas vibraciones,

de modo que la rotación de los resortes es insignificante. Así para los resortes en las cuatro

direcciones de coordenadas, las fuerzas de los resortes son tensiones iguales a k veces la

extensión del resorte o compresiones iguales a k veces la compresión del resorte.

Si denota la aceleración

en cada dirección , entonces a partir de la segunda ley de

newton, obtener la segunda ecuación de newton, obtener las ecuaciones del movimiento. Una

frecuencia natural w para el sistema de la figura, es aquella para la que cada desplazamiento

se puede expresar como:

c s( )

Donde es la amplitud, es el tiempo y es el ángulo de fase. Entonces se observa que

las aceleraciones son iguales a ( ) se pide :

Expresar las ecuaciones de movimiento en forma matricial.

Obtener una solución trivial para las componentes

Proporcionar las frecuencias naturales del sistema

( )

( )



Matriz de masa = .[

]

Matriz de rigidez= .[

]

|, - , -|

, - , - , -

√

√

√

√

√



Polinomio característico:

P17

PROBLEMA Nº 17

Modelar el sistema mostrado en la figura adjunta considerando los principios de vibraciones

mecánicas y encontrar la matriz de rigidez [K] del sistema. Asimismo, determinar los periodos

del sistema dinámico.

Para resolver el problema deberá obtener los eigenvalores y los eigenvectores del sistema

dinámico para los siguientes datos:

VIGA A

VIGA B

Las vigas solo están apoyadas y se unen a las masas y resortes al centro de sus claros

W1 7000kg W2 10000kg

K1 3500kg

cm K2 3500

kg

cm K3 4000

kg

cm

IA 3671cm4

EA 2039000kg

cm2

LA 3.0m

IB 9923cm4

EB 2039000kg

cm2

LB 6.0m





SOLUCIÓN

Modelación dinámica de la estructura

Rigideces

Matriz de Rigidez

Matriz de masas

Por lo tanto la matriz de masa será:

KA3 EA IA

LA3

KA 8.317 104

kg

m

KB48 EB IB

LB3

KB 4.496 105

kg

m

K1 3.5 105

kg

m K2 3.5 10

5

kg

m

KIKA KB( ) K1

KA KB( ) K1 KI 2.112 10

5

kg

m

KII 3500kg

cm KIII 4.496 10

5

kg

m

KKI KII

KII

KII

KII KIII

K5.612 10

5

3.5 105

3.5 105

7.996 105

kg

m

m1W1

g m1 713.801

kg s2

m

m2W2

g m2 1.02 10

3

kg s2

m

Mm1

0

0

m2

M

713.801

0

0

1.02 103

kg s2

m



Inversa de la matriz de masa

Matriz C

Valores Propios (Eigen Valores)

Frecuencias de Vibración

Periodos de Vibración

Vectores Propios o Modos de vibración (Eigen Vectores)

Antes de calcular los modos de vibración vamos a crear una matriz identidad de 2x2

Utilizaremos la siguiente fórmula para calcular los modos

M1 1.401 10

3

0

0

9.807 104

m

kg s2

C M1

K C786.263

343.233

490.332

784.14

1

s2

1

2

eigenvals C( )1

2

1.195 103

374.958

1

s2

w1

w2

eigenvals C( )( )0.5

w1

w2

34.575

19.364

1

s

T1

T2

2

w1

w2

T1

T2

0.182

0.324

s

I1

0

0

1

0 IC i



Para tener vectores propios normalizados utilizaremos como vector de igualdad D, donde sus elementos

serán igual a 1 en la posición (1,1) y en el resto de los casos cero

El resultado de la operacion , también lo modificaremos poniendo cero en la primera fila,

pero en la posición (1,1), se asignara el valor de 1, obteniendo modificada. Entonces:

Primer modo de vibración

Segundo modo de vibración

D1

0

C i

I

C i

I

( ) C i

I 1

D

1( )

C 1 I409.181

343.233

490.332

411.305

1

s2

1

2

1

343.23275

0

411.304554

11

0

1

2

1

0.834

2( )

C 2 I411.305

343.233

490.332

409.181

1

s2

1

2

1

343.23275

0

409.181398

11

0

1

2

1

0.839



0.20m

0.20m

PREGUNTA NUMERO 18.-

Determinar la frecuencia natural y el periodo del sistema mostrado en la figura adjunta el cual

consiste en un anuncio de peso el cual esta ostenido por una viga en volsadizo a

traves de un cable. La viga con extremo empotrado, cuenta con una altura de y un

ancho de y un modulo de elasticidad y una longitud

Idealizamos el sistema para llevarlo a un sistema equivalente

Para determinar la inercia :

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L=1.0

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D puPU

BLICI

DADD

Kcable

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D puPU

BLICI

DADD

x

x

Kcable

PUBLICIDAD

D puPU

BLICI

DADD

Kviga

u

L



Rigidez equivalente

Calculo de la masa

Determinar la frecuencia natural (w)

√

Frecuencia natural es muy pequeña



TRABAJO TEORICO

MOVIMIENTO FORZADO DE UN GRADO DE LIBERTAD

En la Figura se presenta un sistema de un grado de libertad a cuya masa se le aplica una fuerza que varía en el tiempo con una periodicidad constante. Esta fuerza periódica puede describirse por medio de Fosen(Qt), de la cual podemos decir que su máximo valor es Fo Y que tiene una frecuencia de Q rad/s. Del cuerpo libre es posible plantear la siguiente ecuación de equilibrio:

La solución de esta ecuación diferencial no homogénea de segundo orden se divide en dos partes: una solución homogénea y una solución particular. La solución homogénea corresponde a la respuesta ante las condiciones iniciales, la cualse rige por la ecuación del amortiguamiento critico Y dependiendo del valor del coeficiente del amortiguamiento crítico tiene las diferentes soluciones planteadas anteriormente. La solución particular depende de la fuerza externa que se le impone al sistema. Es importante anotar que la parte de la respuesta correspondiente a la solución homogénea desaparece pasado algún tiempo pues el amortiguamiento la diminuye; por lo tanto, sólo la solución particular es de interés cuando ha transcurrido algún tiempo después de iniciado el movimiento.

Puede suponerse que la solución particular tiene la siguiente forma:

x =Xsen(Wt –Φ) derivando

ẋ=Xwcos(Wt –Φ), ẍ=-X ( t )

donde X es amplitud y desfase

dodne la amplitud tiene la forma de X=

√( ) ……..(a)

tambien



La ecuación describe un fenómeno clásico de resonancia. Cuando el coeficiente de amortiguamiento crítico ;, es igual a cero y la relación entre frecuencias (Q/ro), es igual a la unidad, el denominador de la ecuación (a) es cero y por lo tanto la amplificación se convierte en infinito.

y el angulo de desfase

MOVIMIENTO AMORTIGUADO-FORZADO DE UN GRADO DE LIBERTAD











MOVIMIENTO FORZADO SIN AMORTIGUAMIENGO DE VARIOS GRADO DE LIBERTAD

El modelo más sencillo con varios grados de libertad que se puede utilizar para describir el comportamiento dinámico de una estructura es el de edificio de cortante. Dicho modelo se representa esquemáticamente en la figura 0. Está basado en la hipótesis de que el edificio es simétrico, los forjado son infinitamente rígidos, los pilares no sufren deformación por axil y, en consecuencia, los únicos movimientos de los nudos son los horizontales. El modelo de la figura está sometido a una aceleración horizontal (t) a de

origen sísmico. Las ecuaciones del movimiento pueden deducirse estableciendo el equilibrio dinámico de cada masa, de acuerdo con el principio de d´Alembert. Aislando la masa r m e introduciendo todas las

fuerzas correspondientes, incluidas las de inercia, se obtiene el esquema de la figura 01. Expresando el equilibrio dinámico de la masa mr en un sistema de referencia no inercial, con el

origen en la posición inicial del edificio, se obtiene



Metodología para el cálculo dinámico de estructuras

Resumen La metodología desarrollada, utilizando la Transformada de Laplace y como herramienta de cálculo MATLAB, permite encontrar las amplitudes de oscilación de los distintos niveles en estructuras con múltiples grados de libertad, teniendo en cuenta su amortiguamiento estructural, cuando es solicitada sinusoidalmente desde su fundación. Metodología Se debe tener en cuenta que, para que esta transformada sea aplicable, el sistema debe cumplir con los siguientes requisitos: _ Las variables y sus derivadas e integrales de los diversos órdenes deben tener exponentes unitarios. _ Los términos no deben presentar operaciones entre variables. _ Los coeficientes de las variables deben ser constantes. En un sistema de 1 grado de libertad, si se desea conocer la respuesta referida a la excitación, es conveniente tratar directamente la función transferencia X1 X0 , siendo X1 y X0

las transformadas de los desplazamientos del primer nivel y de la fundación respectivamente, resultando:



TRES CASOS:

CASO 1

Esto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MAYOR QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Por lo tanto,

... y tenemos dos raíces reales. La solución es

donde m1 y m2 son negativos. La gráfica de esto es una exponencial que decrece, y que se puede ver a la derecha:

El eje vertical corresponte a la posición del cono y el horizontal al tiempo. La masa tenderá a su posición de reposo cada vez más lentamente.

A este caso se le llama MOVIMIENTO SOBREAMORTIGUADO

inicio

CASO 2

Si las dos raíces m1 y m2 son iguales,

y

Esto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES IGUAL QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Tenemos una raíz doble, m1=-a. La solución es

La gráfica de esto es como un lado de una campana de

Gauss. La masa también tenderá a su posición de reposo cada vez más lentamente, pero la velocidad al principio crece lentamente.

http://www.pcpaudio.com/pcpfiles/doc_altavoces/amortiguamiento/amortiguamiento.html#inicio

http://www.pcpaudio.com/pcpfiles/doc_altavoces/amortiguamiento/sobreamotiguado.gif

http://www.pcpaudio.com/pcpfiles/doc_altavoces/amortiguamiento/criticamenteamotiguado.gif



















Este es el caso del MOVIMIENTO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO. Su importancia radica en

que es el estado límite entre el comportamiento anterior (sobreamortiguado) y el siguiente, el subamortiguado.

inicio

CASO 3

En este caso, LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MENOR QUE LA CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Las raices que tenemos son complejas y conjugadas.

Para simplificar las ecuaciones, haremos:

Transformando la solución mediante la fórmula de Euler de las exponenciales de números complejos, tenemos una solución de la forma:

Aplicando las condiciones iniciales calculamos C1 y C2, y tendremos

Y con un último cambio,

tendremos la solución que nos indica cómo será el movimiento de una manera más sencilla que la anterior.

Es decir, es una onda senoidal con un desfase determinado, modulada por una exponencial que decrece con el tiempo y una constante.

La masa tenderá a su posición de reposo pero habrá la fuerza amortiguadora no es lo suficientemente fuerto como para frenerlo antes de que llegue al punto x=0 (punto de reposo).

Como se puede ver a la derecha, se pasará del punto de reposo.


http://www.pcpaudio.com/pcpfiles/doc_altavoces/amortiguamiento/subamotiguado.gif










Luego volverá en la otra direción, se pasará de nuevo del centro y volverá a pasarse cuando vuelva, cada vez la

oscilación será menor, así hasta en infinito donde teóricamente se detendrá.

En la gráfica de la derecha se puede ver el movimiento un tanto exagerado (para lo que sería un altavoz), y la

exponencial como módulo de la función coseno.

Este tipo de movimiento se llama MOVIMIENTO SUBAMORTIGUADO

En dos primeros casos el sistema resonante no llega a completar un sólo ciclo, por lo que no tiene sentido hablar de frecuencias, pero en este último caso, el sistema si tiene una frecuencia de resonancia que viene dada por alfa, el coeficiente que acompaña al tiempo en la función periódica coseno, que es:

Vemos como cuando la viscosidad del medio (amortiguamiento) se hace próximo a cero la fórmula tiende a la del caso donde no había amortiguamiento:

Es de imaginar también que cuanto menor es el amortiguamiento más se parecerá la última

fórmula a una función coseno, es decir: la vibración durará más tiempo cuanto menos amortiguada esté.

inicio

VIBRACIONES FORZADAS

Si añadimos una fuerza más al sistema anterior, tendremos algo más próximo a lo que sucede

en un altavoz, ya que el altavoz lo que hace es eso exactamente, es el sistema resonante que hemos estudiado, pero además existe un motor magnético que genera una fuerza que desplazará el cono. Fees la nueva fuerza añadida.

Podemos escribir la ecuación de esta forma, reuniendo todas las fuerzas presentes:

En el caso del altavoz, la fuerza de excitación es una suma de frecuencias puras, y resulta interesante examinar el caso de cuando f(t) es una onda cosenoidal pura:


http://www.pcpaudio.com/pcpfiles/doc_altavoces/amortiguamiento/subamotiguado2.gif







(ec2)

Como ya hemos resuelto la parte homogénea, aplicaremos el método de los coeficientes indeterminados para hallar la resolución, que será alguna de las tres posibles soluciones anteriores (soluciones homogéneas) más una solución particular. Tomaremos como solución:

Sustituimos en (ec2) y obtenemos el sistema

de donde otenemos A y B, que son:

Es decir, nuestra solución particular es la siguiente:

Para simplificar la ecuación hacemos el siguiente cambio:

y nos queda la siguiente solución particular:

Recordamos que la solución a una ecuación diferencial de 2º orden no homogénea es la suma de la solución homogénea más la particular (x=xh+xp), y que tenemos tres posibles soluciones

homogéneas que dependen de los parámetros c (coeficiente de rozamiento viscoso), M (masa móvil) y k (constante elástica), y que definen los casos estudiados anteriormente: sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado.

Sobreamortiguado:



Críticamente amortiguado:

Submortiguado:

En todos, como consecuencia del tipo de movimiento y con la única necesidad de que exista un

mínimo amortiguamiento, tenemos una parte que decrece, que tiende a cero (la que define el tipo de vibración) y una parte que es constante en el tiempo, consecuencia de la vibración forzada. A la primera parte se la denomina transitoria y a la segunda estacionaria, ya que con el transcurso del tiempo la primera desaparece, se hace cero, pero la segunda permanece.

¿de qué nos sirve esto?

Sirve para interpretar la respuesta temporal del sistema: Los sistemas sobreamortiguados son los que mejores características temporales poseen, mientras que los sistemas subamortiguados son los que peor se comportan.

Por decirlo de alguna manera, los tiempos de establecimiento (subida y bajada completa) de la onda (pensando más bien en valor abosluto, quizás en un valor RMS) son menores en los

sistemas sobreamortiguados que en los subamortiguados.

En la imagen de arriba a la derecha podemos ver la respuesta

ante tres ciclos de onda de un sistema resonante críticamente amortiguado (por ejemplo: caja cerrada con Q=0,5, Bessel).

El tiempo de subida puede interpretarse como parte del comportamiento paso alto que tiene la onda, al final vemos

que la onda desaparece dejando sólo una ligera sobreoscilación, que puede deberse a un error en la simulación.

En la imagen central podemos ver un ejemplo de sistema subamortiguado, en el caso una caja cerrada con Q=0,707 (Butterworth). La respuesta es buena pero la sobreoscilación al final es mayor.

La última imagen no corresponde con lo estudiado porque se trata de una caja bass-freflex, que es un sistema resonante de 4º orden, no de 2º. Conocemos las ventajas de extensión de

la respuesta de las BR, y también que se consigue a base de penalizar la respuesta temporal.

http://www.pcpaudio.com/pcpfiles/doc_altavoces/amortiguamiento/RESPUESTA_CAJA0.5.gif


http://www.pcpaudio.com/pcpfiles/doc_altavoces/amortiguamiento/RESPUESTA_CAJABR.gif


















Aquí vemos el porqué. La respuesta es mala, con sobreoscilaciones al principio pero muy especialmente al final, y sin que se llegue a alcanzar el valor máximo que debía alcanzar.

Esto da una idea de que el orden también es un elemento tan importante como el coeficiente de amortiguamiento.

inicio

RESONANCIA

Nos quedamos con la solución particular del apartado anterior, las vibraciones forzadas, que es la parte estacionaria.

De ella, una parte es periódica y otra no, es su coeficiente, y éste coeficiente depende del la frecuencia.

El módulo depende de las condiciones de masa (M), amortiguamiento (c) y la constante elástica (k), y por supuesto de la frecuencia y de F0.

Cuando c es muy pequeño hemos observado antes que la frecuencia de resonancia del sistema

tiende a

, y la gráfica del coseno modulada por la exponencial decreciente tarda mucho en decrecer, para

intervalos de tiempo razonablemente pequeños, el movimiento descrito con poco amortiguamiento se asemejará la un simple coseno, como si no existiese amortiguamiento.

Esto quiere decir que el sistema vibra con gran libertad a su frecuencia, pero ¿qué pasará si forzamos la vibración con una fuerza cosenoidal de frecuencia próxima a Fs?

Cuando se excita el sistema con una frecuencia próxima a la frecuencia de resonancia

En uno de los términos del denominador sucede lo siguiente:




Y como hemos dicho que c tiene un valor muy pequeño, el denominador entero tiende a cero, sólo pudría serlo si c fuese cero (pero entonces la ecuación sería diferente). Esto hace que se obtengan valores del módulo muy altos, y lo que sucede en la realidad es que la amplitud de la vibración es muy alta, tanto mayor como menor sea el amort iguamiento.

A este fenómeno que consiste en que a una frecuencia se obtienen amplitudes de vibración muy altas con muy poca fuerza se le denomina resonancia, y está presente en todos los sistemas resonantes por alto que sea su amortiguamiento.

En la gráfica de la derecha podemos ver una simulación de un sistema resonante con amortiguaciones bajas sometido a un barrido de frecuencias. El eje Y marca la amplitud (1 metro en

condiciones normales) y el eje x la frecuencia que se imprime al circuito

No es descabellado ver que se obienen amplitudes extremadamente grandes, 20 metros, pero se podían haber forzado más.

En el caso de altavoces es posible obtener ondas de salida que corresponden a valores varias

veces mayores de lo que serían en otras condiciones, y como hemos visto en el caso anterior, se

penaliza la respuesta temporal del sistema

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