On ne peut pas comprendre les mathmatiques sans les fairei.

Alain CONNES

Mdaille Fields (1982), Prix Clay (2000), Prix Crafoord (2001), Mdaille d'or du CNRS (2004)

"Il n'est pas possible d'tre mathmaticien sans avoir l'me d'un

pote."

Sofia KOVALEVSKAA

"Il est plus facile dapprendre les mathmatiques que dapprendre sen

passer."

Henri CARTAN

Les mathmatiques ressemblent beaucoup la posie. Ce qui fait un bon

pome - un grand pome - c'est qu'il exprime beaucoup de pense en

trs peu de mots. En ce sens, des formules comme

ou

sont des pomes."

Lipman BERS

Chantiers de Pdagogie Mathmatique Dcembre 2011 n151

Bicentenaire de la naissance dvariste Galois

Lettre sur l'enseignement des sciences

Des professeurs - Des ouvrages - Des examinateurs

Plutt que de faire un loge de ce mathmaticien hors du commun nous

avons prfr lui donner la parole. En dcembre 1830 Galois dcide de

rendre public ses diffrends avec M. Guigniaut le directeur de l'cole

Normale. Le 2 janvier 1831, deux jours avant son exclusion dfinitive, il fait paratre cette lettre dans la Gazette des coles.

Bien que les collges de 1830 naient rien voir avec les lyces de 2011 reste-t-il des points communs ?

Monsieur le Rdacteur,

Je vous serais oblig, si vous voulez bien accueillir les rflexions

suivantes, relatives l'tude des mathmatiques dans les collges de

Paris. D'abord dans les sciences, les opinions ne comptent pour rien ;

les places ne sauraient tre la rcompense de telle ou telle manire de voir en politique ou en religion. Je m'informe si un professeur est bon ou

mauvais, et je m'inquite fort peu de sa faon de penser dans des

matires trangres ses tudes scientifiques. Ce n'tait donc pas sans

douleur et indignation que, sous le gouvernement de la Restauration, on

voyait les places devenir la proie des plus offrants en fait d'ides monarchiques et religieuses. Cet tat de choses n'est pas chang ; la

mdiocrit, qui fait preuve de sa rpugnance pour le nouvel ordre de

choses, est encore privilgie ; et cependant les opinions ne devraient pas

tre mises en ligne de compte, lorsqu'il s'agit d'apprcier le mrite scientifique des individus.

Commenons par les collges ; l les lves de mathmatiques se

destinent pour la plupart l'Ecole polytechnique ; que fait-on pour les mettre en tat d'atteindre ce but ? Cherche-t-on leur faire concevoir le

vritable esprit de la science par l'expos des mthodes les plus simples ?

Fait-on en sorte que le raisonnement devienne pour eux une

seconde mmoire ? N'y aurait-il pas au contraire quelque

ressemblance entre la manire dont ils apprennent les mathmatiques et

la manire dont ils apprennent les leons de franais et de latin ? Jadis un

lve aurait appris d'un professeur tout ce qui lui est utile de savoir ;

maintenant il faut le supplment de un, de deux rptiteurs pour

prparer un candidat l'cole polytechnique.

Jusques quand les pauvres jeunes gens seront-ils obligs d'couter

ou de rpter toute la journe ? Quand leur laissera-t-on du temps pour

mditer sur cet amas de connaissances, pour coordonner cette foule de propositions sans suite, de calculs sans liaison ? N'y aurait-il pas quelque

avantage exiger des lves les mmes mthodes, les mmes calculs,

les mmes formes de raisonnement, s'ils taient la fois les plus simples

et les plus fconds ? Mais non, on enseigne minutieusement des thories tronques et charges de rflexions inutiles, tandis qu'on omet

les propositions les plus simples et les plus brillantes de l'algbre ; au lieu

de cela, on dmontre grands frais de calculs et de raisonnements

toujours longs, quelquefois faux, des corollaires dont la dmonstration se fait d'elle-mme.

D'o vient le mal ? Assurment ce n'est pas des professeurs des

collges ; ils montrent tous un zle fort louable ; ils sont les premiers

gmir de ce qu'on ait fait de l'enseignement des mathmatiques un vritable mtier. La cause du mal, c'est aux libraires de MM. les

examinateurs qu'il faut la demander. Les libraires veulent de gros

volumes: plus il y a de choses dans les ouvrages des examinateurs, plus

ils sont certains d'une vente fructueuse ; voil pourquoi nous voyons apparatre chaque anne ces volumineuses compilations o l'on voit les

travaux dfigurs des grands matres ct des essais de l'colier.

D'un autre ct, pourquoi les examinateurs ne posent-ils les questions aux candidats que d'une manire entortille ? Il semblerait qu'ils

craignissent d'tre compris de ceux qu'ils interrogent ; d'o vient cette

malheureuse habitude de compliquer les questions de difficults

artificielles ? Croit-on donc la science trop facile ? Aussi qu'arrive-t-il ?

L'lve est moins occup de s'instruire que de passer son examen. Il lui faut sur chaque thorie une rptition de chacun des quatre examinateurs

; il doit apprendre les mthodes qu'ils affectionnent, et savoir l'avance,

pour chaque question et chaque examinateur, quelles doivent tre ses

rponses et mme son maintien. Aussi il est vrai de dire qu'on a fond depuis quelques annes une science nouvelle qui va grandissant chaque

jour, et qui consiste dans la connaissance des dgots et des

prfrences scientifiques, des manies et de l'humeur de MM. les

examinateurs.

tes-vous assez heureux pour sortir vainqueurs de l'preuve ? tes-

vous enfin dsign comme l'un des deux cents gomtres qui on porte

les armes dans Paris ? Vous croyez tre au bout : vous vous trompez, c'est ce que je vous ferai voir dans une prochaine lettre.

E.G.

Lintuition en quatre tapes

Cest pendant que vous essayez de comprendre et que vous ne trouvez

pas, que vous faites le trou. [Alain Connes]

Cette curieuse phrase quAlain Connes a prononce lors dun entretien pour la chane Arte dcrit en fait le premier stade dans le processus qui mne une intuition.

Tout dabord, le mathmaticien est confront une question quil va essayer de rsoudre consciemment. Supposons que la question soit

extrmement ardue, un point tel que malgr tous ses efforts et ses

approches diffrentes, le mathmaticien ne voit aucune piste sur laquelle

se lancer.

ce stade, dfaut de cerner la solution, on pourrait dire que le

mathmaticien a acquis, non sans mal, une bonne comprhension du

problme. Cest ltape quHadamard appelle la prparation, durant laquelle le mathmaticien se fidlise au problme. En gnral, il faut au

moins quelques jours defforts intenses et infructueux pour que lon puisse parler de prparation. (Le trou dont parle Alain Connes, cest celui que lon creuse dans le mur des obstacles, pour atteindre la solution qui se trouve derrire.)

La seconde tape vient naturellement lorsque le mathmaticien dclare

forfait et abandonne provisoirement le problme. Il tourne alors son esprit

vers dautres occupations et intrts. Cependant, son inconscient va prendre le relais et continuer ses investigations sur la question. Libr ainsi de la pression qui pesait sur le conscient, linconscient peut travailler dans une plus grande libert et explorer un plus grand ventail de pistes.

Suivant Hadamard, cest ltape de lincubation.

On pourrait prendre comme mtaphore celle dun archologue qui cherche un hiroglyphe prcis sur un norme mur couvert de symboles. Imaginons

quil soit dans le noir et doive saider dune lampe de poche dont il peut rgler la taille du faisceau. Le travail conscient correspondrait chercher

le hiroglyphe avec un faisceau intense, mais trs concentr de sorte quil ne couvre quune petite zone du mur la fois. Un tel travail est prcis mais trs lent.

Lors de lincubation, le travail de linconscient correspondrait utiliser un faisceau plus diffus (qui, dans lobscurit, rendrait les symboles moins distincts), mais qui couvre une plus grande zone. Il est alors possible

dapercevoir plus rapidement, moyennant une certaine imprcision, le hiroglyphe recherch.

Si cela se produit, linconscient communique sa trouvaille au conscient par le biais dune illumination subite : cest la troisime tape. Il suffit alors de reprendre sa lampe avec un faisceau que lon concentre cette fois sur la nouvelle piste. Cest ltape de la vrification consciente de la piste obtenue par intuition.

Rsumons brivement les quatre tapes qui interviennent dans le processus de lintuition :

le mathmaticien sche sur la question : cest la prparation, il laisse le problme et sadonne dautres activits tandis que son

inconscient prend le relais : cest lincubation, linconscient trouve une piste prometteuse et la communique

subitement au conscient : cest lillumination, le mathmaticien explore (par acquis de conscience) la piste intuitive

quil vient dobtenir, cest la vrification. Cependant, une question demeure : que fait exactement linconscient durant lincubation ?

Linconscient et la beaut mathmatique

En gnral, quand on tudie un problme donn, on essaie de combiner

ensemble divers lments dj connus (typiquement des proprits, des

thormes, des exemples) dans lespoir de trouver, par associations dides, la bonne solution.

Daprs Hadamard, le travail de linconscient consiste justement raliser des combinaisons dides, mais dune faon plus libre que ne le fait le conscient. Si ce dernier ne cherche que du ct des ides lies au

problme trait, linconscient peut travailler avec des ides provenant dailleurs, sans lien direct avec le sujet.

Inventer, cest choisir

Ainsi, linconscient explore un ventail de possibilits plus large. Une illumination se produit lorsquil tombe sur une combinaison remarquable et la communique au conscient. Lapparition dune intuition, cest donc finalement le rsultat dune slection : celle des combinaisons remarquables dides. Inventer, cest choisir (Hadamard).

Mais quel est le critre suivant lequel linconscient juge du caractre remarquable dune combinaison dides ? Il semblerait que ce critre ne soit rien dautre que llgance, la beaut mathmatique de la combinaison en question.

La question complexe de lesthtique en mathmatiques mriterait un ouvrage entier, et je serais bien incapable de la traiter. Je me contenterai

ici de mentionner subjectivement quelques aspects qui interviennent dans

un rsultat mathmatique peru comme lgant.

La symtrie, et plus gnralement la notion dinvariance. Ces considrations sont trs fortes dans les mathmatiques lies la

physique. Un objet (abstrait ou gomtrique) qui est invariant sous certaines transformations traduit lide que cet objet renferme quelque chose de fondamental et dessentiel. Des pans entiers des mathmatiques se sont consacrs ltude de structures invariantes, comme la prolifique thorie des groupes.

La gnralit dun rsultat. Il est ais de se dire quun thorme qui repose sur des hypothses trs faibles possde une gnralit beaucoup plus grande que le simple exemple particulier. La gnralit

traduit ici une ide de puissance qui participe llgance du thorme.

Ce que jappelle lunit dun rsultat avec la thorie qui lenglobe. Certains rsultats relient entre eux des entits mathmatiques a priori

trs loigns (au sens o ils sont dfinis dans des cadres totalement diffrents). Le fait que ces entits se retrouvent dans un mme

rsultat est alors surprenant et suscite un tonnement admiratif. Un

exemple connu est lidentit dEuler, quun sondage ralis en 2004 par le magazine Physics World a dclar comme tant la plus grande

quation de tous les temps :

ii

Ainsi, lintuition serait un processus inconscient qui accompagne le travail conscient en effectuant librement des combinaisons dides et en slectionnant celles qui satisfont des critres dlgance mathmatique. Je ne rsiste pas au plaisir de citer une trs belle phrase dAlain Connes ce sujet, que lon pourrait mme prendre comme une seconde dfinition :

Lintuition, cest la tension vers la beaut.

Lintuition comme moteur

Bien que la plupart des citations et exemples qui prcdent soient tirs de

grands mathmaticiens, il est bon de remarquer que lintuition est un processus qui intervient chez tout mathmaticien impliqu dans une

activit de recherche mentale. De plus, lintuition nest videmment pas exclusive au mathmaticien, loin de l ! En ralit, elle semble tre

prsente dans toute activit de cration mentale, notamment en posie o

elle est dcrite dune faon trs proche de lactivit mathmatique comme le tmoigne le pote Paul Valry :

Ce quon appelle gnie est bien moins lacte qui combine, que la

promptitude comprendre la valeur de ce qui vient de se produire et

saisir ce produit.

Lintuition agit comme moteur car elle fournit une piste prometteuse au mathmaticien qui, impatient, va sempresser de la vrifier (ce qui peut reprsenter un travail laborieux). Cette vrification est ncessaire et

importante, car une intuition peut bien sr tre errone (le contraire et

t trop beau).

Scher sur un problme, cest avancer vers sa rsolution.

Prendre conscience du rle de lintuition apporte galement une vision trs optimiste de lactivit mathmatique. La premire tape ncessaire au processus intuitif est la prparation durant laquelle le mathmaticien, quil soit apprenti ou expriment, reste dsarm face au problme malgr ses

efforts. Loin dtre un chec, il sagit en fait dun stade ncessaire pour aller plus loin et atteindre, dans le meilleur des cas, la bonne solution. Scher sur un problme, cest avancer vers sa rsolution.

Poincar me semble tre la meilleure personne pour apporter la conclusion

cet article :

Cest par la logique que nous prouvons, cest par lintuition que nous

inventons.

http://cer1se.free.fr/principia/index.php/intuition-en-mathematiques/

Le rle de lintuition selon Alain Connes

Pour Alain Connes, le mathmaticien est un explorateur qui se dplace dans une

sorte de gographie. Il doit avoir un moteur interne, et ce moteur est de nature

essentiellement potique. Ce qui vraiment tonnant la lecture de certains potes,

ce quon saperoit quils arrivent condenser dans certaines phrases des

aspirations, des intuitions dont le but essentiel est de mettre en route , et non de

donner un rsultat quensuite les gens pourraient vrifier. Dans la partie de la

recherche qui est la plus mal dfinie, o lintuition joue un grand rle, le moteur cest

ce qui donne un lan, et cest quelque chose qui est impossible transmettre,

traduire en formule ou en criture mathmatique ordinaire. Cest quelque chose qui

ne peut se transmettre que de manire potique.

Alain Connes dveloppe un exemple. Il y a quelques annes il travaillait en thorie

des nombres, et il sest aperu que dans une formule quil tudiait il y avait un signe

qui tait faux, invers : la place dun + il y avait un - . Personne ne

comprenait la raison de cette interversion. Cest en consultant des livres de

physiques que la solution devient accessible. Il faut considrer ce quon appelle les

spectres dmission. Si on regarde le spectre dun corps on constate des raies claires

sur un fond noir. Et quand on regarde les toiles on saperoit quelles ont un spectre

dabsorption, qui signifie tout autre chose : au lieu quil y ait des rayons lumineux

mis avec des frquences prcises, le spectre dabsorption revient dire que dans

latmosphre de ltoile, il y a des corps chimiques qui absorbent certaines

frquences. Alain Connes avait eu lide que le signe - devait venir de l. Bien

sr, dit-il, on ne peut pas crire un article comme a. Mais une telle ide donne une

attirance, une force potique et intuitive. Elle lui a permis davancer jusquau jour o il

a russi mettre cela en formule, et montrer que lide tait parfaitement juste.

Il y a donc une priode dans la crativit mathmatique quon ne peut pas codifier. Il

ne faut pas chercher le rsultat trop vite. Pendant cette priode, lide est comme un

enfant en bas-ge, il faut la protger pour quelle puisse se dvelopper. Elle ne

donnera quelque chose de concret que longtemps aprs, et a cest entirement du

ressort de la posie. Certains pomes sont merveilleux parce quils arrivent faire

percevoir un mystre, montrer que derrire certaines choses il y en a dautres qui

se cachentLes mathmatiques et la posie se rejoignent sur ce point.

Nature et art sont les deux versants dun mme fait.

La posie, comme la science a une racine abstraite.

Le profond mot Nombre est la base de la pense de lhomme ; il signifie harmonie aussi bien que mathmatique.

Le nombre se rvle lart par le rythme, qui est le battement de cur de linfini.

Sans le nombre, pas de science ; sans le nombre, pas de posie.

La strophe, lpope, le drame, la palpitation tumultueuse de lhomme, lexplosion de lamour, lirradiation de limagination, toute cette nue avec ses clairs, la passion, le mystrieux mot nombre rgit tout cela, ainsi que la gomtrie et larithmtique.

En mme temps que les sections coniques et le calcul diffrentiel et intgral, Ajax, Hector, Hcube, les Sept Chefs devant Thbes, dipe, Ugolin, Messaline, Lear et Priam, Romo, Desdemona, Richard III, Pantagruel, le Cid, Alceste, lui appartiennent.

Il part de deux et deux font quatre et il monte jusquau lieu des foudres.

Victor Hugo. William Shakespeare.

Je suis lhallucin de la fort des Nombres. Ils me fixent avec leurs yeux de leurs problmes ;

Ils sont, pour ternellement rester : les mmes.

Primordiaux et dfinis,

Ils tiennent le monde entre leurs infinis ;

Ils expliquent le fond et lessence des choses,

Puisqu travers les temps planent leurs causes.

[]

Mes yeux ouverts ? dites leurs prodiges !

Mes yeux ferms ? dites leurs vertiges !

Emile Verhaeren. Les Nombres.

Deux aspects ncessaires pour le cours correspondant une double impulsion, deux sortes dmotion car nous pouvons chercher la connaissance dun objet soit que nous aimons lobjet soit que nous souhaitons avoir du pouvoir sur luiiii.

1. Ce qui exige la rptition seule, savoir dans le cadre du schma situations-rflexes des ouvrages de techniques/mthodes en mathmatiques). Mais Il ne faut donc pas confondre problmes et exercices

dapplication. Les exercices dapplication sont ncessaires lentrainement des lves mais ne peuvent pas constituer, eux seuls, le travail sur la rsolution de problmes.

2. Ce qui demande leffort/lacte courageux de cration pour comprendreiv.

Il ne faut pas rompre lquilibre (en mouvement la faon dun quilibriste) entre les

deux approches.

La science, qui a commenc comme la poursuite de la vrit, est en train de

devenir incompatible avec la vracit, puisque la vracit complte tend de

plus en plus rendre complet le scepticisme. Quand la science est

considre de faon contemplative, et non pas pratique, nous dcouvrons

que ce que nous croyons, nous le croyons en vertu dune foi animale, et ce

sont seulement nos incroyances qui sont dues la science. Quand, en

revanche, la science est considre comme une technique pour la

transformation de nous-mmes et de notre environnement, on trouve quelle

nous donne un pouvoir tout fait indpendant de sa validit mtaphysique.

Mais nous ne pouvons exercer ce pouvoir quen cessant de nous poser des

questions mtaphysiques propos de la nature de la ralit. Nanmoins ces

questions constituent la preuve dune attitude aimante lgard du monde.

Par consquent, cest seulement dans la mesure o nous renonons au

monde en tant quamoureux de lui que nous pouvons le conqurir comme

ses techniciens. Mais cette division dans lme est fatale ce quil y a de

meilleur en lhomme. Ds que lon a pris conscience de lchec de la science

considre comme une mtaphysique, le pouvoir confr par la science

comme technique ne peut tre obtenu que par quelque chose danalogue

ladoration de Satan, cest--dire par la renonciation lamourv.

PETIT MANUEL DUNE BONNE REDACTION

PARADOXES

2 2 ? : Le paradoxe de la diagonale

On prend un carr de ct 1, et on dcompose ses cts en n segments gaux, donc

un quadrillage de n petits carrs qu'on va densifier. On trace la courbe violette

qui part, comme la diagonale, d'en bas gauche pour aller en haut droite, mais en

suivant des marches d'escalier comme indiqu.

La longueur de la courbe violette est toujours 2, puisque ses lments verticaux se

superposent au ct vertical de longueur 1, et ses lments horizontaux se

superposent au ct horizontal de longueur 1.

Quelle que soit la valeur de n (par exemple si l'on dcompose en deux chaque fois,

n= 2 puissance p), la surface comprise entre la courbe violette et la diagonale se

compose de 2n triangles de ct 1/2n donc de surface 1/8n. Cette surface vaut 2n x

1/8n = 1/4n elle tend vers 0 quand on fait crotre n : la courbe violette se

rapproche de la diagonale. On a donc une courbe de longueur 2 qui tend vers une

courbe de longueur 2, longueur de la diagonale. Soit ce paradoxe qui nous ferait

dire 2 = 2.

La phrase : "et l'tape infinie, si les deux "courbes" deviennent identiques,

logiquement, elles ont la mme longueur..." contient une erreur grossire :

une succession de triangles, aussi petits que l'on veut, n'est pas une droite :

puisque chaque triangle, aussi petit que l'on veut, contient des points non

aligns. Et si vous dites : "mais, la limite, chaque minuscule triangle

devient un point unique et tous ces points sont aligns", alors vous ne

pouvez plus calculer la longueur du segment car un point n'a pas de

primtre (donc pas de longueur et par consquent, pas d'addition possible

de ces longueurs).

La courbe compose des petits triangles est de primtre constant gal 2 et

dlimitant une surface (comprise entre la courbe et la diagonale) nulle l'infini

(1/4n). C'est une fractale de dimension infrieure 1, une poussire de

points (ou poussire de Cantor) (pour ceux qui connaissent les dimensions

fractales, voir mon livre chapitre XXI, on a P = facteur de similarit = 2, Q = facteur

d'homothtie = 4, Dimension= LogP/LogQ= ). Dans le flocon fractal, on cre de

la matire (dimension fractale comprise entre 1 et 2) ; dans les poussires de

points, on vide de la matire (dimension fractale comprise entre 0 et 1) ;

mais cette poussire de points reste non dnombrable, ce qui explique qu'en

fait 2 n'est pas gal 2 .

Albert Jacquard, L'quation du nnuphar : il invoque aussi Cantor pour indiquer que

le nombre de tournants de la courbe violette tend vers l'infini des nombres

entiers (aleph 0), alors que la diagonale reprsente l'infini des nombres

rels (aleph 1) : ces deux infinis sont diffrents, donc 2 n'est pas gal 2 .

i Ou les refaire ! Le rle de lcriture nest pas de consigner les rsultats dune recherche, mais bien le processus mme de la recherche Grothendieck. ii Dont Euler lui-mme disait qu'elle montrait la prsence de la main de Dieu. iii Lamour de la connaissance auquel est d le dveloppement de la science est lui-mme le

produit dune double impulsion. Nous pouvons chercher la connaissance dun objet parce

que nous aimons lobjet ou parce que nous souhaitons avoir du pouvoir sur lui. La premire

impulsion conduit au genre de connaissance qui est contemplatif, la deuxime au genre qui

est pratique. Dans lvolution de la science limpulsion qui vise le pouvoir la emport de

plus en plus sur limpulsion qui cherche lamour. Limpulsion qui vise le pouvoir est incarne

dans lindustrialisme et dans la technique gouvernementale. Elle est incarne galement

dans les philosophies connues sous les noms de pragmatisme et dinstrumentalisme.

Chacune de ces philosophies soutient, au sens large, que nos croyances concernant un objet

quelconque sont vraies dans la mesure o elles nous rendent capables de le manipuler de

faon avantageuse pour nous-mmes. Cest ce que lon peut appeler une conception

gouvernementale de la vrit. De la vrit ainsi conue, la science nous offre une quantit

importante ; effectivement il ne semble pas y avoir de limite ses triomphes possibles.

lhomme qui dsire changer son environnement la science offre des outils dune puissance

tonnante, et si la connaissance consiste dans le pouvoir de produire des changements que

lon a en vue, alors la science nous procure la connaissance en abondance. Russell, The Scientific Outlook, op. cit., p. 270. iv Mais le dsir de connatre peut prendre galement une autre forme, qui appartient un

univers motionnel diffrent. Russell souligne que le mystique, lamoureux et le pote sont

galement des chercheurs de connaissance peut-tre pas des chercheurs dont les efforts

sont couronns de beaucoup de succs, mais des chercheurs nanmoins dignes de respect

pour cette raison v Russell, the Scientific Outlook, op. cit., p. 273. Ce nest pas la victoire de la science qui

constitue ce qui distingue notre XIXe sicle, mais la victoire de la mthode scientifique sur la

science.

Lerreur et lignorance sont funestes. Laffirmation que la vrit est l et que lon en a fini

avec lignorance et lerreur est un des garements les plus grands quil y ait. Si on pose

quelle est crue, alors la volont dexamen, de recherche, de prudence, dexprimentation se

trouve paralyse : elle peut passer elle-mme pour sacrilge, savoir comme doute lgard

de la vrit.

La vrit est par consquent plus funeste que lerreur et lignorance, parce quelle

entrave les forces avec lesquelles on travaille la recherche des lumires et de la

connaissance.

Laffect de la paresse prend prsent parti pour la vrit ( Penser est une dtresse ,

une misre ! ) ; de mme lordre, la rgle, le bonheur de la possession, lorgueil de la

sagesse la vanit in summa : il est plus commode dobir que dexaminer ; il est plus

flatteur de penser Jai la vrit que de ne voir autour de soi que de lobscurit avant

tout : cela tranquillise, cela donne confiance, cela facilit la vie cela amliore le

caractre, dans la mesure o cela diminue la mfiance. La paix de lme , le repos de la

conscience ; autant dinventions qui ne sont possibles que sous le prsuppos que la vrit

est l. Friedrich Nietzsche, Aus dem Nachlass der Achtziger Jahre. Briefe (1861-1889), Werke IV,

herausgege (...)