Chap 4. The Propagation of Light

Wavefront: 같은 위상(phase)을 가진 파의 면.

[A surface over the optical disturbance with a constant phase].

Huygens's principle: 일차 wavefront에 있는 모든 점은 2 차 구형파의 작은 파도(wavelet)

source로서 역할하며, 어떤 시간 후 그 일차 wavefront는 이러한 2 차 wavelet들의 envelop이

다. 또한 그 wavelet들은 각 점의 공간에서 일차 파와 같은 속도와 주파수로서 진행한다.

[Every point on a primary wavefront serves as the source of spherical secondary wavelets,

such that the primary wavefront at some later time is the envelope of these wavelets.

Moreover, the wavelets advance with a speed and frequency equal to those of the primary

wave at each point space]

4.1 빛의 반사와 굴절

용어의 정의

Plane of incidence: 입사광과 입사면에 수직인 선이 만드는 평면 [Plane due to the incident ray

and the normal to the interface].

Coplanar vectors: 동일 평면상에 있는 벡터.

Specular reflection(정반사): 고르고 편편한 표면의 반사[Reflection on a smooth surface].

Diffuse reflection(난반사): 거친 표면에서의 반사[Reflection on a rough surface].

Ray: 방사 에너지의 흐름 방향과 일치하는 공간으로 그려진 선.

반사(Reflection)와 굴절(Refraction)

입사평면: 경계면에 수직인 법선과 입사광이 이루는 면.

입사각 ( i ): 법선과 입사광 사이의 각.

반사각( r ): 법선과 반사광 사이의 각.

굴절각( t ): 법선과 굴절광 사이의 각.

반사법칙: i r (4.1)

굴절법칙(Snell's law): sin sini i t tn n (4.2)

sin

sin

i tti

t i

nn

n

(4.3)

여기서 in 와 tn 는 입사광과 굴절광이 지나가는 물질의 굴절률(refractive index)이다. 굴절률은

입사광의 파장에 따라 다르며 파장이 짧은 광의 굴절률은 긴 파장의 굴절률보다 크다.

(예) 물방울 속에 입사한 백색광은 두 번 굴절하여 되돌아 공기 속으로 나온다. 이때 굴절률이 색

깔마다 다르기 때문에 무지개가 형성된다.

푸른색 광의 굴절률 > 붉은색 광의 굴절률, 즉 푸른색 파장 < 붉은색 파장

2

전반사(Total reflection)

빛은 굴절률이 큰 매질에서 작은 매질로 진행할 때 어느 각 이상

이 되면 입사광은 두 물질의 경계면을 따라 나간다. 이 입사각을

임계각(critical angle)이라 하며 그 이상의 입사각에서는 빛이 밖

으로 나감이 없이 경계면에서 반사하고 이것을 전반사라 한다. 이

경우 Snell's law 를 적용하면

o 1sin sin90 sin t

i c t t c

i

nn n n

n (4.4)

전반사를 이용하는 대표적인 물질은 광섬유(optic fiber)이다.

반사에 의한 편광(polarization)

편광되지 않은 입사광이 어떤 일정한 각이 되면 입사면에

수직성분만 반사된다. 편광을 시작하는 이때의 각을

Brewster’s angle이라 하고, 입사각과 굴절각 사이에는

다음의 수식이 성립한다.

o90B t (4.5)

여기에 Snell's law 를 적용하면

osin sin sin(90 ) cosi B t t t B t Bn n n n

1sintan ( )

cos

t tBB

B i i

n n

n n

(4.6)

4.2 Fermat's Principle

빛은 두 점 사이의 거리를 지날 때 가장 짧은 시간이 걸리는 경로를 택한다.

[The actual path between two points taken by a beam of light via a reflecting surface is the

one that is traversed in the least time]

이 원리로부터 Snell’s law를 유도할 수 있다. 우측 그림에서 점

S 를 출발한 광이 점 O를 거쳐 점 P 에 도달하는 시간은 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2( ) [ ( ) ]

i t i t

SO OP h x b a xt

v v v v

(4.7)

( )t x 의 최소화 조건: 0dt

dx

2 2 1/ 2 2 2 1/ 2

( )0

( ) [ ( ) ]i t

dt x a x

dx v h x v b a x

(4.8)

o

2 2 1/ 2cos(90 ) sin

( )i i

x

h x

(4.9)

2 2 1/ 2

( )sin

[ ( )]t

a x

b a x

(4.10)

3

(4.9)와 (4.10)에 의해 (4.8)은

sin sini t

i tv v

(4.11)

물질 내에서 빛의 속도: c

vn

(4.12)

여기서 n은 물질의 굴절률이다. 따라서 (4.11)은 Snell's law(Law of refraction)의 또 다른 표현

이다. 즉 /iv c n , /t tv c n 를 대입하면 (4.2)의 Snell's law 가 얻어진다.

sin sinsin sin

/ /

i ti i t t

i t

n nc n c n

다양한 물질로 이루어진 물체에서의 Fermat's principle

각 물질에서 빛이 통과하는 거리를 1 2 3, , ,s s s 그리고 빛의 속도를 각각 1 2 3, , ,v v v 라 하면 빛

이 출발점으로부터 최종점에 도달하는 데 걸린 최소시간은

1 2

1 2

m

m

ss st

v v v (4.13)

1 1 1

1

/

m m mi i

i i

i i ii i

s st t n s

v c n c

(4.14)

광로(OPL: optical path length): 1

OPLm

i i

i

n s

(4.15)

굴절률 n이 위치(position)의 함수일 때 광로: OPL ( )P

Sn s ds (4.16)

4.3 Fresnel Equations

편광된 전자기파가 반사와 굴절할 때 굴절률에 따라 어떻게 편광이 변하는지 수식의 유도를 통해

알아본다. 입사 전기장 iE 에 대한 반사 rE 과 굴절 rE 의 비, 즉 /r iE E 과 /t iE E 를 구하는 것

이 최종 목표이다.

4.3.1 입사평면에 iE 는 수직, iB 는 평행

각 평면에 놓인 벡터들은 다음의 관계가 성립한다.

k E vB (4.17)

k 0E (4.18)

여기서 k 은 전자기파의 진행방향에 대한 unit vector.

각 부분에서의 E 와 B 의 관계

ii

i

EB

v , r

r

r

EB

v , t

t

t

EB

v (4.19)

입사평면과 반사평면의 굴절률은 i rn n , 그리고 /v c n 를 이용하면 (4.19)는

i ii

n EB

c , i rr r

r

n En EB

c c , t t

t

n EB

c (4.20)

4

물질 속에서 자기장은 /H B 이고, 경계(boundary)에서 이것의 접선성분은 연속이어야 한다.

cos cos cosi tri r t

i r t

B BB

(4.21)

강자성 물질(ferromagnetic material)이 아닌 경우 i r t , 그리고 반사에서 i r .

따라서 (4.21)은 다음과 같다.

cos cos cosi i r i t tB B B (4.22)

(4.20)의 관계식을 (4.22)에 대입하면

( )cos cosi i r i t t tn E E n E (4.23)

그림에서 E 는 평면에 수직성분만 있으므로 두 물질의 경계에서 전기장은 아래 수식이 성립하여

야 한다(전기장의 연속조건).

i r tE E E (4.24)

(4.24)의 tE 를 (4.23)에 대입하고 /r iE E 의 비를 구하면

( )cos ( )cosi i r i t i r tn E E n E E

( cos cos ) ( cos cos )i i t t i i i t t rn n E n n E

cos cos( )

cos cos

i i t tr

i i i t t

n nE

E n n

(4.25)

이번에는 (4.23)의 rE 에 (4.24)의 r t iE E E 를 대입하여 /t iE E 를 구하면

[ ( )]cos cosi i t i i t t tn E E E n E

(2 cos ) ( cos cos )i i i i i t t tn E n n E

2 cos

( )cos cos

t i i

i i i t t

E n

E n n

(4.26)

(4.25)와 (4.26)은 linear, isotropic, homogeneous media에 대한 두 개의 Fresnel 방정식이다.

여기서 는 E 가 입사평면(The plane of incidence)에 수직임을 나타내는 기호이다.

4.3.2 입사평면에 E 가 평행이며 B 가 수직

입사하는 물질의 경계에서 E 의 접선성분은 연속성을 가지

며 다음의 경계조건이 성립한다. i r 을 이용하면

cos cos cosi i r r t tE E E

( )cos cosi r i t tE E E (4.27)

두 물질의 경계에서 B 는 아래 수식이 성립한다.

i r t

i r t

B B B

(4.28)

강자성 물질(ferromagnetic material)이 아닌 경우 i r t . 그림에서 B 들은 평면에 수직인

성분, 즉 z 축 성분만 존재하므로 (4.28)은 다음 수식으로 간략하게 된다.

i r tB B B (4.29)

(4.20)의 관계식을 (4.29)에 대입하면

5

( )i i r t tn E E n E (4.30)

(4.27)을 tE 로 표현하여 이것을 (4.30)에 대입하고 /r iE E 을 구하면

cos( )( )

cos

it i r

t

E E E

cos( ) ( )( )

cos

ii i r t i r

t

n E E n E E

( cos cos ) ( cos cos )i t t i i i t t i rn n E n n E

cos cos( )

cos cos

t i i tr

i i t t i

n nE

E n n

(4.31)

다시 (4.27)을 rE 로 표현하여 (4.30)에 대입하고 /t iE E 를 구하면

cos( )cos

tr i t

i

E E E

cos[ ( ) ]

cos

ti i i t t t

i

n E E E n E

(2 cos ) ( cos cos )i i i i t t i tn E n n E

2 cos( )

cos cos

t i i

i i t t i

E n

E n n

(4.32)

sin( )i oiE E kr t , sin( )r orE E kr t , sin( )t otE E kr t 이므로 위에서 구한 4 개의

Fresnel 방정식을 요약하면 다음과 같다. 여기서

r : Amplitude reflection coefficient

t : Amplitude transmission coefficient

cos cos( )

cos cos

or i i t t

oi i i t t

E n nr

E n n

(4.33)

2 cos( )

cos cos

ot i i

oi i i t t

E nt

E n n

(4.34)

cos cos( )

cos cos

or t i i t

oi i t t i

E n nr

E n n

(4.35)

2 cos( )

cos cos

ot i i

oi i t t i

E nt

E n n

(4.36)

입사각 0i (수직입사)인 경우 cos cos 1i t 이므로 위의 4 개의 방정식은 다음과 같다.

i t

i t

n nr

n n

(4.37)

2 i

i t

nt

n n

(4.38)

t i

i t

n nr

n n

(4.39)

2 i

i t

nt

n n

(4.40)

6

4.4 Fresnel 방정식의 물리적 해석

4.4.1 수직 입사일 때 Amplitude Coefficients

Normal incidence ( 0i : 면에 수직입사)일 때 (4.37)은 부호가 반대인 (4.39)와 같고, (4.38)은

(4.40)과 같다.

0 0[ ] [ ] t i

t ii i

n nr r

n n

(4.41)

0 0

2[ ] [ ] i

t ii i

nt t

n n

(4.42)

(예) 공기( 1in )와 유리( 1.5tn )의 경계에 수직으로 들어온 빛의 반사계수 r 과 투과계수 t 는

0 0

1.5 1[ ] [ ] 0.2

1.5 1i ir r r

0 0

2(1)[ ] [ ] 0.8

1.5 1i it t

4.4.2 굴절률이 소거된 r 과 t 의 분석

Snell’s law 를 이용하여 굴절률들을 소거한 후, 파가 반사와 굴절할 때 위상변화를 조사한다.

Snell’s law: sin

sin sin ( )sin

t ii i t t

i t

nn n

n

cos cos cos ( / )cos

cos cos cos ( / )cos

i i t t i t i t

i i t t i t i t

n n n nr

n n n n

cos (sin / sin )cos

cos (sin / sin )cos

i i t t

i i t t

cos sin sin cos sin( )

cos sin sin cos sin( )

i t i t i t

i t i t i t

2 cos 2cos

cos cos cos ( / )cos

i i i

i i t t i t i t

nt

n n n n

2cos

cos (sin / sin )cos

i

i i t t

2cos sin 2cos sin

cos sin sin cos sin( )

i t i t

i t i t i t

cos cos ( / )cos cos

cos cos cos ( / )cos

t i i t t i i t

i t t i t t i i

n n n nr

n n n n

(sin / sin )cos cos

cos (sin / sin )cos

i t i t

t i t i

cos sin cos sin tan( )

cos sin cos sin tan( )

i i t t i t

i i t t i t

2 cos 2cos

cos cos cos ( / )cos

i i i

i t t i t t i i

nt

n n n n

2cos sin

sin( )cos( )

i t

i t i t

※ tan tan (sin / cos ) (sin / cos )

tan( )1 tan tan 1 (sin / cos )(sin / cos )

i t i i t t

i t

i t i i t t

sin cos sin cos

cos cos sin sin

i t t i

i t i t

위의 식들을 종합하면

7

sin( )

sin( )

i t

i t

r

(4.43)

2cos sin

sin( )

i t

i t

t

(4.44)

tan( )

tan( )

i t

i t

r

(4.45)

2cos sin

sin( )cos( )

i t

i t i t

t

(4.46)

(i) External case ( t in n 인 경우로 i t )

(a) sin( )

sin( )

i t

i t

r

0 for all ir

입사평면에 수직인 iE 는 반사할 때 위상변화(phase

shift) rad 가 발생하며 그 결과 0r 이다. 즉

iE 와 rE 의 위상차는 rad 로 out-of-phase이며,

서로 반평행(antiparallel)하다. 파장으로 말하면 입사파와

반사파의 파장 차는 반 파장이다.

(b) 2cos sin

sin( )

i t

i t

t

0 for all it

투과한 빛은 모든 각에 대하여 0t , 따라서 위상변화는 0 이다. 즉 iE 와 tE 는 in-

phase이며 둘은 평행(parallel)하다.

(c) tan( )

tan( )

i t

i t

r

0 or 0 or 0 depends on ir r r

(1) o90i t : 0r 로 반사파는 위상변화(phase shift)가 없다( 0 ).

(2) o90i t 이면 분모가 무한대가 되므로 반사는 없다. 이 조건의 입사각 i 를

polarization angle P 또는 Brewster’s angle B 라 한다.

(3) o90i t 이면 0r 로 반사파는 rad 의 위상변화가 발생한다.

(d) 2cos sin

sin( )cos( )

i t

i t i t

t

0 for all it

분모가 cos( ) 0i t 이고, 또한 o90i t p 라고 하더라도 sin( ) 0i t 이기 때문에

0t 이며 그 결과 위상변화는 0 이다. 따라서 iE 와 tE 는 in-phase 으로 둘은 평행하다.

8

다음 그림은 iE 가 입사면에 평행이고 o90i t ,

o90i t o90i t 일 때 입사광에

대한 반사광 및 굴절광의 위상변화를 보여준다. 특히 o90i t 일 때 반사는 없다. 이때의 입

사각 i 를 polarization angle 또는 Brewster’s angle 이라 한다.

(e) 특수한 경우로 o90i 이면

o0t .

1r r , 0t t

이 경우 입사하는 빛은 물질이 어떤 것이든 표면에서 거울처럼 모두 반사한다.

여름날 멀리 아스팔트 위를 바라보면 마치 물이 있는 것처럼 반짝반짝 빛나는 것을 볼 수 있다.

rayX 는 이와 같은 원리를 사용하여 반사시킨다.

(예제) 다음 그림은 external case로 공기( 1.0in )와 유리( 1.5tn )의 경계에서 입사각 i 에 따

른 ,r t의 amplitude coefficient와 반사광의 phase shift 를 보여준다. 그림들의 x 축은 입사

각 i 를 나타내며 좌측 그림의 y 축은 amplitude coefficient, 우측 그림의 y 축은 입사광에 대

한 반사광의 위상변화를 나타낸다.

9

(ii) Internal case ( t in n 인 경우로 i t )

(a) sin( )

sin( )

i t

i t

r

0 for all i cr

2cos sin

sin( )

i t

i t

t

0 for all i ct

o90t 가 되는 입사각 i c (critical angle)가 있다.

Snell’s law에 의해 c 는

o 1sin sin90 sin ( )ti c t c

i

nn n

n

i c 에서는 모든 빛이 표면에서 반사하므로 c 를 기준으로 r , t 는 다음과 같이 구분하여

생각할 수 있다.

(1) i c 일 때: i t 이므로 sin( ) 0i t , sin( ) 0i t . 따라서 모든 i c 에 대해

0r , 0t 이다. 따라서 반사하는 빛과 투과하는 빛의 위상변화는 없다. 즉 0 이다.

(2) 입사각이 i c 일 때: 전반사하므로 1r 이고 t 는 없다. 전반사한 빛은 입사각이

커질수록 phase shift 가 증가하여 o90i 일 때 rad 에 도달한다.

(b) tan( )

tan( )

i t

i t

r

0 or 0 depends on ir r

가장 해석이 복잡한 경우에 해당한다. 먼저 i t 이므로 분자 tan( ) 0i t 이다.

분모의 경우 o90i t 가 될 때의 입사각 i 가 polarization angle 'p 일 때와 전반사가 일어

나는 각 c 가 있다. 따라서 r 의 해석은 다음의 세 구간으로 나누어 생각하여야 한다.

(1) 'i p 일 때, 0r 으로 phase shift

(2) 'p i c 일 때, 0r 으로 phase shift 0

(3) i c 일 때, 전반사가 일어나고 0r 이며 phase shift 는 입사각에 의존하고 입사각이

커질수록 서서히 증가하여 o90i 될 때 rad 에 도달한다.

(c) 2cos sin

sin( )cos( )

i t

i t i t

t

0 for all i ct

(1) 'i p (o

' 90p t )에서 위의 삼각함수는 모두 양수이므로 0t . 0

(2) i c 에서도 위의 삼각함수는 모두 양수이므로 0t . 0

(3) i c 에서는 파가 전반사 되므로 투과하는 빛은 없다.

10

(예제) 다음 그림은 Internal case로 유리( 1.5tn )와 공기( 1.0in )의 경계에서 입사각 i 에 따

른 ,r t의 amplitude coefficient와 반사광의 phase shift 를 보여준다. 그림들의 x 축은 입사

각 i , 좌측 그림의 y 축은 amplitude coefficient, 우측 그림의 y 축은 반사광의 위상변화이다.

4.5 반사율과 투과율(Reflectance and Transmittance)

물질 속에서의 intensity:

2

2

oEI S

v (4.47)

경계면의 면적을 A라 할 때 입사면, 반사면 및 굴

절면의 면적: cos iA , cos rA , cos tA

각 면을 통과하는 power: cosi iI A , cosr rI A ,

cost tI A 2 2 2

2 2 ( / ) 2

oi oi i oii

i i i i i

E E n EI

v c n c

2

2

r orr

r

n EI

c ,

2

2

t ott

t

n EI

c

여기서 i r , i rn n 그리고 ferromagnetic

material이 아닌 물질의 경우 i r t

Reflectance R 의 정의: 입사강도 대 반사강도

11

2 2( cos )( )

( cos )

orr r r r

i i i i oi

EA I I IR R r

A I I I E

(4.48)

Transmittance T 의 정의: 입사강도 대 투과강도

( cos ) cos( )( )

( cos ) cos

t t t t

i i i i

A I IT

A I I

22 2

2

cos / 2 cos cos( )( ) ( )( ) ( )cos / 2 cos cos

t t ot t t t ot t t

i i oi i i i or i i

n E c n E nT t

n E c n E n

(4.49)

흡수가 없는 물질: 1R T (4.50)

2 2 2 2cos sin( ) cos 2cos sin( ) ( )( ) [ ] ( )[ ]

cos sin( ) cos sin( )

t t i t t t i t

i i i t i i i t

n nR T r t

n n

Snell’s law 에서 sin

sin sin ( )sin

ii i t t t i

t

n n n n

2 2sin( ) sin cos 2cos sin[ ] ( )[ ]

sin( ) cos sin sin( )

i t i t i t

i t i t i t

R T

2

2

sin ( )1

sin ( )

i t

i t

같은 방법으로 1R T

입사각 0i 인 경우 (4.48)과 (4.41)로부터 (4.42)로부터

2( )i t

i t

n nR R R

n n

(4.51)

그리고 (4.49)와 (4.42)로부터

2

2

2 4( )

( )

t i i t

i i t i t

n n n nT T T

n n n n n

(4.52)

다음 그림은 external case로 공기-유리(굴절률 1.5n )의 경계면에서 입사각 i 에 따른

reflectance와 transmittance를 보여준다. 이때 polarization angle(Brewster’s angle)은

o56.3p 이다.

12

4.6 반사와 굴절의 Stockes Treatment

이것은 9 장에서 Febry-Perot interferometer의 위상차 분석을 하는 데 중요한 이론적 배경을 제

공한다. 1in n , 2tn n 그리고 r 과 t 는 각각 반사와 투과의 fractional amplitude, oE 는 입사

incident amplitude로 정의하자. 그림 (a)는 두 물질의 경계면에 빛이 입사하여 반사와 굴절하는

모습을 나타내고 그림 (b)는 Fermat's principle에 의한 역(reversibility)의 원리로부터 추론된 것

으로 모든 광선방향은 물리적으로 역전이 가능하다.

에너지의 확산(dissipation)이나 흡수(absorption)가 없다는 조건을 가진다면 한 파의 길들은 역전

되어야만 한다. 현대 물리의 관점에서 표현하면 time-reversible invariance, 즉 한 process가 일

어나면 reversible process도 역시 일어날 수 있다. 따라서 그림 (c)를 시험해 보면, amplitude는

oE r 과 oE t 인 두 개의 입사(incident) 파들이 있다. amplitude가 oE t 인 파의 일부는 표면에서

반사하고 투과한다. 어떤 가정 없이 'r 과 't 을 아래로부터 입사하는 파에 대한 amplitude

reflection and transmission coefficients라 하자. 그러면 결과적으로 반사된 부분은 'oE t r 이고

투과된 부분은 'oE tt 이다. 유사하게 amplitude가 oE r 인 파는 oE rr 과 oE rt 로 분리된다. 만일

그림 (c)의 구성이 그림 (b)와 동등하다면, 이것은 분명히 다음을 만족한다.

'o o oE tt E rr E (4.53)

' 0o oE r E tr (4.54)

위의 식들은 각각 다음 수식으로 이끈다.

2' 1tt r (4.55)

'r r (4.56)

(4.55)와 (4.56)을 Stock's relation 이라 한다. amplitude coefficients 는 입사각에 의존하기 때문

에 두 식은 각의 함수로 표시하는 것이 더 일반적이다.

2

1 2 1( ) '( ) 1 ( )t t r (4.57)

2 1'( ) ( )r r (4.58)

여기서 1 1 2 2sin sinn n

(4.58)은 minus 이므로 내부와 외부에서 반사된 광(internally and externally reflected beam) 사

이에는 rad 위상 차가 발생한다. 주목할 것은 1n 이 2n 보다 크다거나 작다고 하지 않았기 때

문에 (4.57)과 (4.58)은 어떤 경우에도 성립한다.

13

Fresnel 방정식 중 하나로 돌아가서 2 1n n (external) case 를 생각하자.

sin( )

sin( )

i t

i t

r

(4.59)

이 경우에 1i , 2t . 그러므로 위의 식은 다음으로 계산된다.

1 2

1 2

sin( )

sin( )r

이와 반대로 파가 아래로부터 똑 같은 incident angle로 입사하는 경우(internal case) 1i 이

지만 2t 이다. 따라서 굴절각의 internal과 external의 값은 다르다. 이번에는

2i 라 가정

하면 1t 이다(위의 reverse case에 해당). 이때 위의 식은 다음과 같이 변경된다.

' 2 12

2 1

sin( )( )

sin( )r

(4.60)

(4.59)과 비교하면

'

2 1( ) ( )r r (4.61)

같은 방법으로

'

2 1( ) ( )r r (4.62)

i c 이상에서는 transmitted wave 가 없기 때문에 (4.57)이 적용되지 않으며 더 이상 위상 차

가 rad 가 아니다. 이러한 현상으로부터 다음과 같은 일반적인 결론을 내릴 수 있다.

Externally reflected beam의 평행과 수직 성분들은 rad phase change가 일어난다.

한편 internally reflected beam 은 어떤 phase shift 도 일어나지 않는다.

4.7 Light in Matter

4.7.1 Derivation of the Dispersion Relation(확산 이론)

유전체 물질(dielectric material)이 전자기파에 노출되면 유전체의 전하들은 교류 전기장의 세기

에 비례하는 힘을 받는다. 이러한 경우 물질 내에서 일어나는 현상을 굴절률(refractive index)로

분석하는 것이 가능하며, 굴절률이 진동수에 의존하는 것을 확산(dispersion)이라 한다.

Dissipative absorption: 원자가 공명 주파수의 에너지를 흡수하고 확산과정을 통해 에너지를 잃

는 것을 dissipative absorption이라 한다.

14

구속된 전자들이 양전하의 핵에 대해 진동을 시작하면 그 계는 진동하는(oscillating) dipole을 형

성하고 그 결과 즉시 똑 같은 frequency를 발산한다.

(i) 운동의 역학 방정식

유전체 물질(투명한 유리 또는 플라스틱)에서 굴절률이 입사하는 파의 진동수와 어떤 관계에 있는

지를 조사하기 위하여 homogeneous, isotropic dielectric(물리적 성질이 방향에 따라 다르지 않

은 유전체)에 전자기파의 운동방정식을 적용한다. 그리고 그 결과를 전도체 금속에도 적용하여 빛

이 어떻게 작용하는 지를 알아 본다.

원자 내에서 구속된 전자가 원위치로 돌아가려는 복원력(restoring force)과 외부 전자기파에 대한

반응은 다음의 운동방정식으로 기술된다.

복원력: F kx (4.63)

고유진동수: 2 /o ek m (4.64)

여기서 em 는 전자의 질량, k 는 용수철 상수.

전자가 각 진동수(angular frequency) 인 외부 전기장 ( )E t 에 의해 작용 받는 힘은

( )E e e o

i tF q E t q E e (4.65)

여기서 eq 는 전자의 전하

운동 방정식: 2

.. .

e e e o e o

i tm x m x m x q E e (4.66)

첫째 항: 가속도에 의한 힘

둘째 항: 마찰에 의한 힘. 는 감쇄에 따른 상수로 1/ ( : relaxation time)이다.

셋째 항: 복원력으로 전자가 원위치로 돌아가려고 하는 힘.

우측 항: 전자에 가한 외부 힘(driving force) EF .

(4.66)은 다음과 같은 형태의 해를 갖는다.

( ) o

i tx t x e (4.67)

(4.67)을 미분하여 (4.66)에 대입하고 위치진폭 ox 를 구하면 .

( ) o

i tx i x e , 2

..

( ) o

i tx x e

2 2( ) ( )e o e o e o o e o

i t i t i t i tm x e m i x e m x e q E e

2 2( )e o o e om i x q E

2 2

( / )e eo o

o

q mx E

i

(4.68)

(4.68)을 (4.67)에 대입하면 외부전기장 ( )E t 에 반응하는 전자의 위치, 즉 핵의 양전하에 대한 전

자의 상대적인 변위가 다음과 같이 구해진다.

2 2 2 2

( / ) ( / )( ) ( )e e e e

o

o o

i tq m q mx t E e E t

i i

(4.69)

15

(ii) 유전상수와 굴절률과의 상관관계

Dipole moment: eq x (4.70)

Electric polarization: eP Nq x (4.71)

여기서 N 는 단위체적당 dipole moment의 수

유전체 속에서 electric polarization: ( )oP E (4.72)

(4.72) (4.71): ( )o eE Nq x (4.73)

(4.69)의 x 를 (4.73)에 대입하면 2

2 2 2 2

( / ) ( / )( ) ( ) [ ( )]e e e e

o e o

o o

q m Nq mE t Nq E t

i i

2

2 2

11 ( )[ ]e

o o e o

Nq

m i

(4.74)

(4.74)는 단위체적당 N 개인 원자(atom)계가 외부 전기장 ( )E t 에 반응하는 한 종류의 dipole

moment ep q x 와 그 dipole moment는 단 하나의 고유진동 수 o 를 가지고 있을 때 얻어진

수식이다. 이것을 확장하여 한 종류의 분자(molecules)가 단위체적당 N 개가 있으며, 이 분자가

여러 dipole moment가 있고 그에 따라 여러 개의 고유 각 진동수(natural angular frequency)

o j ( 1,2,j )를 가진다고 가정하자. 그러면 각각의 진동자는 외부전기장에 의해 ground state

로부터 excited state로 전이할 확률(transition probability), 즉 진동자 강도(oscillator strength)

jf 를 갖는다. 이러한 경우 (4.74)는 다음과 같이 수정되어 표현된다.

2

2 21 ( ) [ ]

je

jo o e oj

fNq

m i

(4.75)

여기서 jf 는 확률, 즉 1j

j

f (4.76)

(4.74)의 경우 1jf 이다.

여기서 plasma frequency를 정의하고 물질에 따라 다양한 의미를 부여할 것이다.

Plasma frequency:

21/ 2( )e

p

o e

Nq

m

(4.77)

p 가 frequancy의 단위인 [rad / s]임을 확인해 본다.

각 요소의 단위: 3[ ] [1/ m ]N , [ ] [C]eq ,

2 2 2 2 3[ ] [C / N m ] [C s / kg m ]o , [ ] [kg]em

2 3 31/ 2 1/ 2

2 2 3

(1/ m )(C ) rad[( ) ] [ ] [ ]

(C s / kg m )(kg) s

ep

o e

Nq

m

Plasma frequency의 정의

(a) 유전체는 dipole로 구속된 단위체적당 전자들의 density가 natural frequency p 로 진동하

는 요소가 존재한다.

(b) p 는 고정된 atomic sites에 구속된 이온들(ions)에 적용될 수 있고 이때 질량 em 는 무거운

이온의 질량 m 으로 대치되어야 한다.

16

(c) 도체 금속에서는 자유전자(free electrons)와 양전하를 plasma라 하고 이것의 density가

natural frequency p 로 진동한다.

여기서는 유전체에 대한 것이므로 p 는 위의 해석 중 (a)에 해당한다. 진동자가 하나만 있다고

가정하면 2

2 21

p

o o i

(4.78)

굴절률과 상대 유전률과의 관계

물질 내에서의 전자기파 속도: 1

v

(4.79)

절대굴절률(absolute index of refraction): ( )( )o oo o

cn

v

(4.80)

상대투자율(relative permeability): m

o

K

(4.81)

상대유전률(relative permittivity): e

o

K

(4.82)

(4.81)과 (4.82)의 정의에 의해 (4.80)의 굴절률은 다음과 같이 표현된다.

m en K K (4.83)

강자성(ferromagnetic) 물질을 제외한 대부분의 물질은 nonmagnetic으로 1mK 이다. 특히 유

전체 물질은 자성물질이 아니므로 (4.83)의 굴절률은 다음처럼 상대유전률의 함수이다.

en K (4.84)

2

e

o

n K

(4.85)

(4.85)는 희박한 개스(gas)에서 잘 맞지만 밀도가 높은(dense) 개스나 물질은 그 값이 많이 벗어

난다. 그 이유는 각 원자가 local electric field 및 induced field와 상호작용하기 때문이며, 따라

서 위의 단순한 수식은 이러한 값들을 보완한 것으로 대치되어야 한다. 복잡성을 피하기 위하여

여기서는 그러한 상호작용이 없다고 가정하고 굴절률을 해석해 본다. (4.78)과 (4.85)를 연립하면 2

2

2 21

p

e

o

n Ki

(4.86)

(4.86)을 실수부분과 허수부분으로 나타내면 2 2 2

2

2 2 2 2

[( ) ]1

[( ) ][( ) ]

p o

e

o o

in K

i i

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( )[1 ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

p o p

o o

i

(4.87)

(4.87)의 우측 항과 일치시키기 위하여 eK 를 실수부분과 허수부분으로 쓸 수 있다.

e r iK K iK (4.88)

17

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( )[1 ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

p o p

r i

o o

n K iK i

(4.89)

유전체는 다음의 조건에 따라 실수부분과 허수부분의 값들이 특징적으로 나타난다.

--------------------------------------------

조건 rK iK

--------------------------------------------

(a) o 21 ( )

p

o

0

(b) o 1

2

p

(c) o 1 0

--------------------------------------------

(예) 유리의 경우 고유진동수 o 의 파장은 자외선 영역인 100nm이다.

(a) 외부에서 유리에 비치는 가 가시광선 영역(400-780 nm)일 때 o 이므로 굴절률은

rn K 로 거의 일정하다.

(b) 가 o 에 접근하면 n 는 점진적으로 증가한다( / 0dn d ). 이러한 이유로 푸른 색의 빛은

붉은 색 보다 굴절률이 더 크며, 이때를 normal dispersion이라 한다. o 이면 굴절률은

iK 즉 damping 부분이 지배적으로 나타나며 / 0dn d 로 굴절률이 크게 감소한다. 이 과

정을 anomalous(abnormal) dispersion이라 한다.

(c) 가 rayX 영역이면 o 로 n 는 거의 1에 가깝기 때문에 유전체를 그대로 통과한다.

다음 그림은 고유진동수가 3 개인 물질에 대한 refractive index의 변화를 진동수에 따라 어떻게

변하는 가를 보여준다.

4.7.2 Optical Properties of Metals

전도체 금속은 유전체와 달리 구속되지 않은 자유전자(free electrons)가 있고 이것으로 인해 전기

전도도(conductivity) 를 갖는다. 따라서 금속은 단지 전자들의 충돌에 의한 에너지변화만 있을

뿐으로 고유진동수 o 는 없기 때문에 이로 인한 흡수가 없으며 오직 입사파에 대한 재 방출

18

(reemission)만 있다. 여기서는 위에서 구한 굴절률을 전도체 금속에 적용하여 금속이 반응하는

빛의 특성을 조사한다.

(i) Maxwell equations in continuous medium

E

(4.90)

0B (4.91)

0B

Et

(4.92)

EB E

t

(4.93)

(4.92)의 양변에 curl 을 취하고 (4.93)을 시간으로 미분한다.

2( ) 0 ( ) ( ) 0E B E E Bt t

(4.94)

2

2( )

E EB

t t t

(4.95)

(4.94)에 (4.90)과 (4.95)를 대입하면

22

2( ) 0

E EE

t t

(4.96)

대전된 전하가 없는 물체(uncharged medium)는 0 , 즉 전기적으로 중성이므로 (4.69)는 다

음과 같다.

22

2

E EE

t t

(4.97)

마지막 항은 일차 미분으로 진자(pendulum) 또는 용수철 모델에서 마찰력과 같은 감쇄 힘

(damping force)을 나타낸다.

(ii) The response of free electrons in metals in visible and UV region

유전체에서의 관계식 (4.89)를 이곳에 다시 쓰고 시작한다. 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( )[1 ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

p o p

o o

n i

[4.89]

금속에서 자유전자는 고유 진동수 o 가 없기 때문에 (4.89)는 다음과 같다. 2 2 2

2

4 2 4 2

( )[1 ] [ ]

( ) ( )

p pn i

(4.98)

여기서 p 는 유전체 속에서 dipole에 구속된 전자와 달리 금속 내의 자유전자(free electrons)와

양이온(positive ions)의 밀도(density)가 natural frequency p 로 진동하는 것을 의미한다. 이

수식도 이곳에 다시 쓴다.

19

Plasma frequency:

21/ 2( )e

p

o e

Nq

m

[4.77]

알칼리 금속의 plasma frequency를 예로 들면 다음과 같다.

※ 일부 알칼리 금속(alkali metal)의 plasma frequency 와 wave length -----------------------------------------------------------

금속 명 Plasma frequency pf Wavelength p

-----------------------------------------------------------

Lithium(Li) 151.94 10 Hz 155 nm

Sodium(Na) 151.43 10 Hz 210 nm

Potassium(K) 150.95 10 Hz 315 nm

Rubidium(Rb) 150.88 10 Hz 340 nm

-----------------------------------------------------------

(4.98)의 분자와 분모를 4 으로 나누고 1/ ( 는 relaxation time)로 바꾸면

2 2 2 3

2

2 2 2 2

/ /[1 ] [ ]

1 (1/ ) 1 (1/ )

p pn i

(4.99)

가시광선(visible light)과 자외선(UV)은 1 이다. 이때 (4.99)는 2n 의 실수부분이 지배한다.

2

2

21

pn

(4.100)

2 21 ( / )pn (4.101)

(4.100)은 에 대한 p 의 상대적인 크기에 따라 굴절률의 실수부분과 허수부분이 결정된다.

2 21 ( / )r i pn n in (4.102)

(a) p ( rayX 영역): 2 21 ( / )r pn n (4.103)

전도체는 투명(transparent)하다. 즉 이 조건을 만족하는는 흡수 없이 금속을 투과한다.

(b) p (visible 영역): 2 2 2 2( / ) 1 ( / ) 1i p i pn in i n (4.104)

금속의 표면을 들어간 파(penetrating wave)는 지수적으로(exponentially) 강하게 감소한다.

알칼리 금속에 입사한 가시광선 ( 400 ~ 780nm) 은 (b)의 조건과 일치하기 때문에 굴절률은

허수부분이 지배함을 알 수 있고 따라서 표면에서 강하게 감쇄(attenuation)한다. 이것을 수식적

으로 확인해 보자.

알칼리 금속에 들어오는 visible light의 전자기파: ( )

( )o o

i kr t i t i krE E e E e e (4.105)

k 를 복소(complex) 굴절률이 포함된 수식으로 표현하면

( )2 2

/

r in inf nk

f v c n c c

(4.106)

위의 (b)에서 본 바와 같이 알칼리 금속에서 가시광선 영역의 굴절률은 순수 허수부분의 굴절률

로 나타나므로 0rn . 따라서 (4.106)은 다음과 같다.

20

iink

c

(4.107)

(4.107)을 (4.105)에 대입하면

( / ) ( / )( ) ( )o o

i ii i n c r n c ri t i tE E e e E e e (4.108)

Irradiance (intensity): *I EE

( / ) ( / ) (2 / )[( ) ][( ) ]*o o o

i i in c r n c r n c ri t i tI E e e E e e I e (4.109)

여기서 r 은 진행하는 파의 금속 내 침투거리이고, 2

o oI E 으로 초기 입사강도(initial intensity)

이다. 그리고 감쇄상수(attenuation coefficient) 는 다음과 같이 정의된다.

Attenuation coefficient: 2 in

c

(4.110)

감쇄상수로 표현된 (4.109)는 다음과 같다.

o

rI I e (4.111)

(4.111)을 화학자들은 Beer-Lambert law라 한다.

Skin depth (Penetration depth): 금속에 입사한 빛이 투과할 수 있는 거리로 다음과 같이 정의

한다

1'

2 i

cr

n (4.112)

'r 에서 intensity는 1 1/ 2.7e 만큼 준다. 이때 금속의 표면에서 강하게 감쇄된 파(attenuated

wave)는 강하게 반사한다.

(iii) 굴절률과 전기 전도도와의 관계

전기전도도(electrical conductivity)의 유도

금속 내의 단위체적당 전하의 밀도: N

면적 A , 길이 L 인 원통 속에 있는 전하: ( ) edQ NAL q

금속 내에서 전류: /i dQ dt

전하의 drift velocity dv 로 길이 L 을 통과하는 데 걸린 시간: / ddt L v

/

ee d

d

NALqdQ ii J Nq v

dt L v A (1)

d

e

Jv

Nq (2)

또한 dv 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

e

d

e e

q EFv a

m m

(3)

(2) (3):

2

e e

e e e

q E NqJJ E

Nq m m

(4)

전류밀도와 전기장의 관계: J E (5)

21

(4) (5):

2

e

e

Nq

m

(4.113)

Plasma frequency 를 전기전도로 나타내면 2

2 e

p

o e o

Nq

m

(4.114)

이것을 유전체에 적용하여 외부 전기장이 공명진동수, 즉 o 일 때 굴절률과 전기전도도의 관

계를 조사해 보자. 2

2

2 21

p

o

ni

[4.86]

(4.86)이 o 일 때 r in n in 로 나타내어 분석하면 2

2 2 2( ) (2 ) 1p

r i r in n n i n n i

(4.115)

2 2 21 1r i i r rn n n n n

2 2

2 1/ 22 2 ( )2

p p

r i i in n n n

(4.116)

(4.114)를 대입하면 o 일 때 굴절률은 다음으로 표현된다.

1/ 2( )2

i

o

n

(4.117)

연습문제

4.1 선형으로 편광된 빛이 공기 중에서 crown 유리( 1.52n ) 법선에 o30 로 입사한다. 굴절각을

구하여라. 그리고 경계에서 반사와 투과계수를 구하여라.

4.2 물과 유리 사이의 경계면에 법선에서 o45 각도로 빛이 물로부터 유리면에 입시할 때 굴절각

(transmission angle)을 구하여라.

4.3 파장이 12cm 인 평면 microwave beam이 o45 각도로 유전체(dielectric material) 표면에 입

사한다. 만일 (sin / sin ) 4 /3i t tin 라면 (a) 투과물질(transmitting medium)에서의 파장을

계산하라. (b) 각 t 를 구하라.

4.4 진공에서 파장이 600nmo 인 빛이 굴절률이 1.5n 인 유리에서 공기 경계 면에 입사각

o45 로 입사하여 전반사한다. 그 침투 파(evanescent wave)의 amplitude가 경계면에서 최대

amplitude의 1/ e가 되는 공기침투 거리를 구하여라.

4.5 tan /p t in n 임을 보여라. 그리고 공기 속에서 crown glass( 1.52gn )에 external 입사일

때 polarization angle을 구하여라.

4.6 한 주어진 경계에서 internal과 external에 대한 polarization들은 서로 complementary, 즉

' o90p p 관계에 있음을 보여라.

4.7 유전체 경계에서 i c 일 때, r 과 r는 복소수(complex)이고 * * 1r r r r 임을 보여라.