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Chapter17강체의 평면 동역학 힘과 가속도강체의 평면 동역학(힘과 가속도)
Planar Kinetics of a Rigid Body :g yForce and Acceleration
17장 1/28
17.1 관 성 모 멘 트(Moment of Inertia)(Moment of Inertia)
질점의 운동 질점 (크기 ) 회전 효과 병진운동만 의미 질점 동역학의질점의 운동: 질점 (크기 x) 회전 효과 x 병진운동만 의미 o 질점 동역학의
표현 병진운동의 변화에 저항하는 성질인 관성의 척도인 질량만 필요
강체의 운동: 회전 효과 o 강체동역학 병진관성의 척도인 질량 + 회전관성의강체의 운동: 회전 효과 o 강체동역학 병진관성의 척도인 질량 회전관성의
척도인 관성모멘트( ) 필요I
----운동방정식----
질점 동역학 혹은 평면 운동하는 강체의 회전 동역학
강체의 병진 동역학
aF rrm= 모멘트힘의
αM rrI=
가속도질량힘 ×= 각가속도관성모멘트 ×=
Fr
17장 2/28
aF r=
m일정 힘에 대해 m이 클 수록 가속도 작다. 즉 저항하는 정도 크다
αM rr
=I일정 모멘트에 대해 I가 클 수록 각가속도 작다. 즉 저항하는 정도 크다
(회전운동에 저항하는 성질의 척도)
관성모멘트 (moment of inertia)z : 물체의 미소질량의 특정 축(z)에 대한 2차 모멘트의 적분.
∫= dmrI 2
모멘트 팔 r : z축에서 미소질량 dm 까지의 수직 거리
dm
r
∫m
1.관성모멘트를 언급할 때는 반드시 축을 언급해야 한다.
주의!dm
Fig17-1x
y
즉 다른 축에 대한 관성모멘트의 값은 달라진다.2.관성모멘트는 항상 양(Positive)의 값을 갖는다
Vddm ρ= 부피차지하는미소질량이밀도 :,: dVρ
∫=V
VdrI ρ2
Vddm ρ= 부피차지하는미소질량이밀도 : ,: dVρ
, r2 = x2 + y2, ρ = ρ (x, y, z), dV = dxdydzV
17장 3/28
밀도가 균일하면
(6 2)∫= VdrI 2ρ
미소 요소가 3방향으로 크기를 가지면
(6-2)
3중 적분으로 표시 된다.∫∫∫∫ == xdydzdrVdrI 22 ρρ (6-3)
But, 물체가 한방향으로만 두께를 갖거나 대칭성을 가지면 3중 적분을 1차 적분으로 단순화할 수 있다.
Solid bodyshell or disk element
①셸( h ll) 요소 높이 반경 두께 d d
Solid body
Expressing a solid body using a shell or disk element
①셸(shell) 요소
rzdrVd π2=
높이 z, 반경 r = y, 두께 dy=dr
zdyyVd )2( π=
∫∫ ==∴ zdrrVdrI 32 2πρρ 1차 적분
Fig17-217장 4/28
* 셸요소는 매우 얇아서 축 z로부터 떨어진
거리 r이 하나의 셸요소 전체에 걸쳐서 동일
원판은 두꺼워서 원판을 구성하는 모든 요소들이 축 z로부터 떨어②원판(disk)요소
dzrdV 2π=원판은 두꺼워서 원판을 구성하는 모든 요소들이 축 z로부터 떨어
진 거리가 전 요소에 걸쳐서 동일하지 않으므로 식 (6-2, 3)을 이용
하여 직접 관성모멘트를 계산할 수가 없다.
즉 ,dII = ∫
22 dVdmrdI == ρηDisk 전체의 dV
0
32 22 ddzdzd
dVdmrdIr
==
==
∫∫ ηηπρηπηρη
ρη원판요소의관성모멘트
24
21
2rdmdzr == ρπDisk를 구성하는
얇은 shell의 dV
결국 ∫= dzrI 4πρdzr 2πρ원판의 질량
η ηdr결국 ∫= dzrI
2dz
∫∫∫ ∫∫∫ ==== ddzdzddVrdmrIr
0
3222 22 ηηπρηπηηρρ
17장 5/28∫∫
∫∫∫ ∫∫∫== dzrrdz 44
0
2412 ρππρ
ηηρηηηρρ
Example 17.1Determine the moment of inertia of the cylinder about the z axis. The density of the material, ρ, is constant.y ρ
SolutionShell ElementShell Element• Volume, dV = (2πr)(h) dr• Mass, dm = ρ dV = ρ(2πhr dr)• Since the entire element lies at the same distance r from theSince the entire element lies at the same distance r from the
z axis, for moment of inertia of the element, dIz = r2 dm = ρ(2πhr3dr)
• Integrating over entire region of the cylinder,Iz = ∫r2 dm = ρ2πh∫R0r3dr = (ρπ/2)R4hIz ∫r dm ρ2πh∫ 0r dr (ρπ/2)R h
• For mass of the cylinder, m = ∫m dm = ρ2πh∫R0r dr = ρπh R2
so thatso that Iz = ½ mR2
Ex) 17.2
Using disk element,
21
0
844 873.025
22mMgdyydyxdzrI ⋅==== ∫∫∫
ππρπρ
예제17-1z′ l l
Thin rod(가느다란 봉)
zx dxz
2 2
d ′x′G
xd ′x두께 무시
[ ]123
1 22/
2/32/
2/222 mlx
lmdxx
lmdx
lmxdmxI
ll
l
lZ ===== −−∫∫∫
222 1 mlxdxmdmxI lZ =′′=′= ∫∫′ 0 3
mlxdxl
dmxIZ ∫∫
17장 8/28
평행축 정리(Parallel-Axis Theorem)
물체의 질량중심(G )를 지나는 축( )에 대한 관성모멘트( )와 이 축으로부터
d만큼 떨어진 평행축( )에 대한 관성모멘트( I )사이의 관계GIz′
z
∫∫ ′++′+==m yxm
dmydxddmrI 222 ])()[(y′
ydm
22yx dd +
∫∫∫∫∫∫
+′+′+′+′=mmymxm
mm
dmddmyddmxddmyx 222 22)(
∫ 2
G x′y′
x′dd
r′dm
GIdmr =′∫ 2 0 2md0xdx
dy
2d ∫= dmrI 22차 모멘트
질량중심의 정의에서
2mdII G += ∫m
dmrI
0=∫ xdm2차 모멘트
1차 모멘트
0 )(
=′∴′
+=′+
==≡ ∫∫∫∫ dmxm
dmxd
m
dmxd
m
xdmxd x
xx
즉, 물체의 미소질량의 질량중심에 대한 1차 모멘트의 적분은 0이다.17장 9/28
축 축회전반경(Radius of Gyration) 축 축
mIkmkI == , 2 k
m m=m
I I=회전반경의 물리적 의미
Ipoint mass Irigid body
특정 축에 대한 물체(질량 m)의 관성모멘트와 같은 관성모멘트를 갖게 되는, 그물체와 같은 질량을 가진 질점이 그 축으로부터 떨어져 있는 거리.
물체의 모든 질량이 한 점에 모여있다고 가정할 때 그 물체의 관성 모멘트와 같은 관성 모멘트를갖게 하는 거리
17장 10/28
예제17-2예제17-2l
G
축′ 축
zk ′ zk
21 mlII ==
축z′ 축z
lIk G ==12
mlII Gz ==12m
k z ==
2 11 l ⎞⎛ 22
22
31
2121 mllmmlmdII Gz =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=+=′
zz
z klIk 23=== ′
′ m 3
17장11/28
C i b di (복합 물체)Composite bodies (복합 물체)
단순 물체의 조합으로 이루어진 복합물체의 z축에 대한 관성모멘트= z축에 대한 각 물체의 관성모멘트의 합
각 체의 질량 심이 축에 있지 않 경 평행축 정리 사각 물체의 질량중심이 z축에 있지 않은 경우 평행축 정리 사용
)( 2mdII G +=∑GIWhere : 각 물체의 질량중심에 대한 관성 모멘트
1 cylinder 2⎞⎛
( )( ) ( )( ) ( )222 ]05.0025.011.01121[8025.03
21
+⋅+⋅+=AI
1 cylinder= ½ mR2 8 thin rods =
222
2121
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=+=′
lmmlmdII Gz
( )( ) ( )( ) ( )2mkg 0526.0
]12
[2
⋅=
A
Example 17.3If the plate has a density of 8000kg/m3 and a thi k f 10 d t i it t f i tithickness of 10mm, determine its moment of inertia about an axis directed perpendicular to the page and passing through point O.
SolutionDisk • For moment of inertia of the disk about centroidal axis perpendicular to the plane of p p p
the disk,
• Mass center is located 0.25m from point OTh [ ]
2
21 mrIG =
• Thus,
[ ]
( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )( ) 22222
2
.473.125.071.1525.071.1521
21
71.1501.025.08000
mkgdmrmI
kgVm
dddOd
ddd
=+=+=
=== πρ
( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )( ) 22222
2
.276.025.093.3125.093.321
21
93.301.0125.08000
mkgdmrmI
kgVm
hhhOh
hhh
=+=+=
=== πρ
• For moment of inertia of the plate about point O
( ) ( )27604731
III OhOdO −=
2.20.1276.0473.1
mkg=
−=
예제17-3 Prob. 17.9 Determine Iy
a. 원판요소를 사용하면 dy 2
21 rdmdI =
y
2dyrdm 2πρ=
( ) ( )22
21 2
11021 xdmdmdI −= yx
292 =
( ) ( ) dyxdmdydm 22
21 , 10 πρπρ ==
2
( ) ]2910[
21 8
02
28
04
∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= dyydyI πρ
= 원기둥의 관성모멘트 포물면(Paraboloid)을회전하여 얻은 물체의 관성모멘트
b. as a composite
17장 14/28∫∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=−= dyymRdzrmRI 2
2242
29
221
221 πρπρ
17.2 평면동역학에서의 운동방정식(Planar Kinetic Equations of Motion)
강체의 평면운동강체의 평면운동: 강체에 작용한 힘이 운동평면에 대해 대칭적일 때
즉 힘의 모멘트의 총합은 운동평면에 수직한 축 방향의 성분만 가진다.
물체 내의 한 점 P를 원점으로 하는 병진기준계 xyz를 고려하자
(Fig17-8)17장 15/28
• 병진운동방정식( Eq ation of Translational Motion)• 병진운동방정식( Equation of Translational Motion)
강체는 특수한 질점계이므로 질점계 동역학의 여러 원리가 강체 동역학에서도 그
대로 적용된다 즉대로 적용된다. 즉
∑ = GmaF ) )( , )( ( yGyxGx amFamF ∑∑ ==
강체에 작용한 모든 외력의 총합 = 강체의 질량 강체의 질량중심의 가속도×
• 회전운동방정식( Equation of Rotational Motion)
총합내력의작용하는에
총합외력의작용하는에
: :
ii
ii
mm
fF
iiiim fFa +=
17장 16/28Fig17-8(a)
( ))(
에 작용한 힘의 점 P에 대한 모멘트im iP )(M
( ) iiiiiP m arfFrM ×=+×=)(rrαaa 2ω−×+= Pi 이므로
( )])([
)(2 rrrαrar
arM
×−××+×=
×=
ωPi
iiiP
m
m 0
Fig17-8(b), (c)
( )])([ Pi
( ) ( ))]}([)(
][){()()(jikji
jijikM aayxmM yPxPiiPiP
+++
+×+==
)]}([)( jikji yxyx +××++ α
kkk 222 ryx ααα =+
G
r y( ) ( ) ][-)( 2raxaymM yPxPiiP α++=
질량 mi에 대한 방정식
aP
x강체 전체에 대한 방정식 강체의 전 영역에 걸쳐 합(적분)
( )( ) ( )( ) ( )α∫∫∫∑ ++−= yPxPP dmraxdmaydmM 2
17장 17/28
( )( ) ( )( ) ( )∫∫∫∑ myPmxPmP y점 P의 운동 aP와 강체의 각가속도 α가 mi에 무관하므로 적분기호 밖으로
묶어 낼 수 있다.
( )( ) ( )( ) ( )α∫∫∫∑ ++−=myPmxPmP dmraxdmaydmM 2
(외력의 모멘트 합+내력의 모멘트 합)뉴턴의 운동 제 3법칙으로부터 0
∫∫질량중심의 정의로부터
m
ydmy
m
xdmx ∫∫ == ,
IM∑ )()( αPyPxPP IamxamyM ++−=∑ )()(
zPmyx }){( aji ×+ )( Pmar×
만약 점 P를 질량중심 G와 일치하게 선택하면
αPPP ImM +×=∑ )( ar
만약 점 P를 질량중심 G와 일치하게 선택하면
0== yx ( G에서 G까지의 거리가 0) 이므로
αIM =∑ : equation of rotational motionαGG IM =∑외력의 질량중심에 대한 모멘트의 총합 =
물체의 질량중심에 대한 관성모멘트 물체의 각가속도×
: equation of rotational motion
물체의 질량중심에 대한 관성모멘트 물체의 각가속도×
17장 18/28
αPyPxPP IamxamyM ++−=∑ )()(Expressing in terms of and Ga GI
Y
y im
외력 Fi
병진기준계
관성기준계주
: )(:
PxyzOXYZ
y
P x
irr G
iρ
O X
P xn : 질점의 갯수
( )
∑∑
∑∑∑∑∑ ×+×=×+=×==
iiiiiii
n
iPi
FFrFrFrM1
ρρ
∑
O
∑∑∑
+×=
×+×=
GG
iii
m Mar
FFr
ρ ( 는 mi와 무관하므로 밖으로
나올 수 있다.)r ∑
질량중심에 작용한다고 본 외력의 총합(합력)의 점 P에 대한 모멘트
IGα k
질량중심에 작용한다고 본 외력의 총합(합력)의 점 P에 대한 모멘트
17장 19/28
αGGGG
n
P Immi
+×=+×= ∑∑ arMarM
이므로 , kkMkM αGGGPP IMM === ∑∑∑∑i
i=1
∑ F ( ) ∑∑ = GzG MM= =
( ) αGzGP ImM +×=∑ ar
식의 의미
외력의 점 P에 대한 모멘트의 총합 =질량중심에 작용한다고 본 외력의 총합의 P점에 대한 모멘트 +
외력의 질량중심에 대한 모멘트의 총합
외력 Fi
Gm
P GPma
αGI
r r=
17장 20/28
Gmar r
( ) αGzGP ImM +×=∑ ar
결국 강체의 평면 운동에 관한 세 개의 스칼라 운동방정식을 얻게 된다.
( )amF∑ ( )( )
( )yGy
xGx
amF
amF
=
=
∑∑∑∑
∑ GM=병진운동방정식
주의
( ) αα GzGPGG ImMIM +×== ∑∑ ar 또는회전운동방정식
강체 운동학에서 강체내의 한 점의 운동과 강체의 회전을 알면 강체내의 모든 점의
운동을 알 수 있다는 점을 확인하였다
주의
운동을 알 수 있다는 점을 확인하였다.이제 위의 세 운동방정식은 강체에 작용한 힘과 힘의 효과인 모멘트로부터 강체내
의 한 점인 질량중심의 운동( )과 강체의 회전( )을 구하게 함으로GG aa )()( 와 α( ) ( )
써 강체의 평면운동의 원인(힘)과 결과(운동의 변화)사이의 관계를 제공한다.yGxG aa )()( 와 α
17장 21/28
강체에 모멘트가 직접 작용하지 않아도 힘이 작용한 결과모멘트 발생 (강체이므로, 질점이라면 모멘트 팔의 길이가
0이되어 모멘트 발생하지 않는다)
강체에 힘이 작용한 결과질량중심에 maG크기의 가상의 힘이 발생하고
크기의 모멘트 발생αGI
)
F1
크기의 모멘트 발생αGI
FBD Kinetic Diagram
maG ∑ F 의 결과에 의해αGI
G G
Pr
==
F2
G축에서 보면 αGG IM =∑( ) ( )( )ααα rmrImarIM GGGP ××+=×+=∑
( )GGP marIM ×+=∑ α그러나 P축에서 보면
( ) ( )( )( ) ( )ααα 22 rmIrmI GG
GGGP
+=+=
∑
( )GGP∑즉, G가아닌 다른축에 대한 모멘트 = G 축에 대한 모멘트 + 두 축이 떨어짐에 따라생기는 보정항 ( )Gmar ×
SummarySummary
α•• =∑ IM
Subscript could be any thing임의의 축에 대한 모멘트의 합= 그 축에 대한 관성모멘트 x
•
α2rmII G +=•
거리사이의축축과 : •Gr
ααα
ωωααα•
+=+=
××+××+=×+=∑rmIrmI
rrmrImarIM GGG
)(
))(( 22
αααα
•=+=+=
IrmIrmI GG )(
( )( )yGy
xGx
amF
amF
=
=
∑∑
운동방정식
αα PPGG
yy
IMIM == ∑∑∑
또는
17.3 운동방정식:병진의 경우(Equations of Motion: Translation)
( )∑ = xGx amFa. 직선병진
( )∑∑∑
∑+==
=
GGAG
yGy
MdmaMM
amF
0 또는
( )zGmar×
b. 곡선병진
( )∑ = nGn amF ( )( )
( ) ( ) ∑∑∑∑∑
+−==
=
GnGtGBG
tGt
nGn
MahmaemMMamF
0 또는 ( ) ( ) ∑∑∑ GnGtGBG
( )zGmar×=17장 24/28
예제17-4The bicycle and rider have a mass of 80 kg withThe bicycle and rider have a mass of 80 kg with center of mass located at G. If the coefficient of kinetic friction at the rear tire is μB = 0.8, determine the normal reactions at the tires A and B, and the deceleration of the rider, when the rear wheel locks f b ki Wh t i th l ti t thfor braking. What is the normal reaction at the rear wheel when the bicycle is traveling at constant velocity and the brakes are not applied? Neglect the y pp gmass of the wheels.
αGI( )am
①감속운동의 경우
( )xGam
( )yGam
=
( )( )
=
∑∑ xGx
FamF
( ) 081980808.0 = GxB
NNaN
( ) 0=
=
∑∑
G
yGy
M
amF ( )( ) 02.18.04.055.0
081.980=×+×+−×
=−×++
BBA
BA
NNNNN
17장 25/28
0 대신에=∑ GM( )( ) 4.081.98095.0
2.1 0
를
대신에
××+−×=−×=∑
∑
A
GB
G
NmaM
M)( GGB marIM ×+=∑ α
( ). 있다수사용할
A
N226 ,N559,m/s26.2 2 === BAG NNaQ
②등속운동의 경우
,, BAG
②등속운동의 경우
: 0=∑ xF 00 =
: 0
: 0
=
=
∑∑
G
y
M
F
( ) 04.055.0081.980=×+−×
=×−+
BA
BA
NNNN
N454 ,N330 ==∴ BA NN
17장 26/28
Example 17.7A uniform 50-kg crate rest on a horizontal surface f hi h th ffi i t f ki ti f i ti i 0 2for which the coefficient of kinetic friction is 0.2. determine the acceleration if a force of P = 600N is applied to the crate. Solution: don’t know whether to slide or tip over,
so first assume to slide;)(=∑→+ amF xGx
Equations of Motion
05490
;)(
)50(2.0600
=∑↑+
=−
NN
aF
akgNN
yGy
GxC FBD
0)5.0(2.0)()3.0(600;0
05.490
=−+−=Μ∑
=−
mNxNmN
NN
CC
G
C
)()()( CCSolutionEquations of Motion• Solving sma G /0.10 2 →= ma
αGIK.D.
• x < 0 5m the crates slides as assumedmxNN C
G
467.0490
==
maG
• x < 0.5m, the crates slides as assumed• If x > 0.5m, sliding assumption no longer valid so problem would be reworked with the
assumption that the crates tips • In that case, NC acts at corner point A and F ≤ 0.2NC
Example 17.8The 100kg beam is supported by two rods having negligible mass Determine the force created innegligible mass. Determine the force created in each rod if at the instant θ = 30° and ω = 6rad/s.
BD translates only aG = aB = aD (강체내 두점 가속도는 같다)
(aB)n=(aG)n = ω2r = (6 rad/s)2(0.5m) = 18m/s2
FBD
BD translates only aG aB aD (강체내 두점 가속도는 같다)
FBD • Three unknowns TB, TD and (aG)t
Equations of Motion
)(∑F
;)()/18(10030cos981
;)(2
=∑=−+
=∑
aFsmkgNTT
amF
DB
nGno
maGn
;0)(10030sin981
;)(
=Μ∑=
=∑
akg
aF
G
tG
tGto
Note, BD translates only!αGImaGt
0)3.0)(30sin()4.0)(30cos( =+− mTmT DB
Goo
2/90.4)(
32.1
sma
kNTT
tG
DB
=
==
17.4 운동방정식:고정축에 대한 회전운동방정식 정축에 대한 회전(Equations of Motion: Rotation about a Fixed Axis)
물체의 고정축에 대한 회전운동에선 물체의 모든 점이 고정축을 중심으로 원운동을 하물체의 고정축에 대한 회전운동에선 물체의 모든 점이 고정축을 중심으로 원운동을 하
게 된다. 원운동을 나타내는 데는 접선-법선 좌표계가 편리하므로 운동방정식을 다음
과 같이 정리할 수 있다.
FBD K.D.
Fig17-14
점 O는 고정점, 즉 vO = aO = 0. ( ) ααα GGGtGGO ImrIamrM +=+=∑ 2
∑ GM
17장 29/28
( )( ) αα OGG
GGGtGGO
IImr =+=
∑2
식 (17-9)에서
( )∑ 2
∑ GM
( )( ) αα
ααα
OGG
GGGtGGO
IImr
ImrIamrM
=+=
+=+=∑2
2
( )
주의!회전운동을 위하여 와 중 어느 것을 사용해도
좋으나 전자를 사용하면 점 G , 후자를 사용하면 점 O 에 작용하는 힘이 모멘
주의!αGG IM =∑ αOO IM =∑
좋으나 전자를 사용하면 점 G , 후자를 사용하면 점 O 에 작용하는 힘이 모멘
트 방정식에 나타나지 않는다.
17장 30/28
Example 17.9The 30kg disk is pin supported at its center, if it starts from rest,determine the number of revolutions it must make to attain anangular velocity of 20 rad/s. also, what are the reactions at the pin? The disk is acted upon by a constant force F = 10N, which is applied to a cord wrapped around its periphery,
d t t t l t M 5Nand a constant moment couple moment M = 5N.m. Neglect the mass of cord in the calculation.
SolutionSolutionFBD• Mass center is not subjected to an acceleration• Disk has a CW angular accelerationDisk has a CW angular acceleration• For moment of inertia of the pin,
IO = ½mr2 = ½(30kg)(0.2m)2
= 0.6kg.m2g• Three unknowns, Ox, Oy and α
SolutionEquations of Motion maG ∑ FEquations of Motion
0;)(
OamF
x
xGx
==∑→+
G ∑
0103.294
;)(
NNO
amF
y
yGy
=−−
=∑↑+
;
304
IM
NO
OO
y
y
=∑
=
α
=
2
2
/1.17).6.0(.5)2.0(10
sradmkgmNmN
OO
−=
−=−−
α
α
αI
=
( )yGam
)(222OCO −+= θθαωω
G
αGI
i i i
( )xGam
)(73.2211.17
)0)(/1.17(20)/20( 22
CWrevrevrad
sradsrad
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−−+=−
θ
θ Kinetic Diagram
2 rev ⎠⎝ π
Example 17.10The 20kg slender rod is rotating in the vertical l d h i h l l i fplane, and at the instant, has an angular velocity of ω = 5 rad/s. Determine the rod’s angular acceleration and the horizontal and vertical components of reaction at the pin at this instant.
ω ;2rmF Gn =∑←+ FBD
α ;
)5.1()/5)(20( 2
rmF
msradkgO
Gt
n
=∑↓+
=
αα
;)5.1)()(20()81.9(20
2
IMmkgNO
GG
t
=∑=+−
α])3)(20(2/1[.60)5.1( 2mkgmNmOt =+ K.D.
2
0.19750
NONO
t
n
==Ans))
2/90.5 srad=α
Example 17.11The drum shown has a mass of 60kg and a radius of gyration kO = 0.25m.A cord of negligible mass is wrapped around the periphery of the drum andg g pp p p yattached to a block having a mass of 20kg. If the block is released, determine the drum’s angular acceleration.
Kinetic Diagram222 .75.3)25.0)(60( mkgmkgmkI OO ===
IM∑αGI
Kinetic Diagram
( )
( )yGam
FmkgmT
IM OO
)().75.3()4.0(
;2
∑↑
=
=∑
α
αG
αG ( )xGam Drum
aTN
amF yGy
20)81.9(20
;)(
−=+−
=∑↑+
( )
Block
)4.0(;
ara
==αα( )yBam
2/524106
smaNT
=
=
2/3.11/52.4
sradsma
=α
FBD K.D.
SolutionSolutionMethod 2
;)(M∑=Μ∑
2
2
/311)4.0)](4.0(20[).75.3()4.0()81.9(20
;)(
sradmmkgmkgmN
M OkO
+=
∑=Μ∑
α
αα
/3.11 srad=α
Example 17.12The unbalanced 25kg flywheel has a radius of gyration of kG = 0.18m about an axis passing through its mass center G. if it has angularabout an axis passing through its mass center G. if it has angular velocity of 8 rad/s at the instant, determine the horizontal and Vertical components of reaction at the pin O.
FBD222 .18.0)18.0)(25( mkgmkgmkI GG ===
ω ;2rmF∑←+
FBD
α
ω
;
)15.0()/8)(25(
;2
rmF
msradkgO
rmF
Gt
n
Gn
=∑↓+
=
=∑←+
αα
;)15.0)()(25()81.9(25
;
2
IMmkgNO
GG
t
Gt
=∑=+−
K.D.
α).81.0()15.0(.0.12 2mkgmOmN t =+
240NO
2/2114
2.193240
srad
NONO
t
n
=
−==
α /2.114 sradα
Example 17.13The slender rod has a mass m and length l and is release from rest when θ = 0° Determine the horizontal and verticalfrom rest when θ = 0 . Determine the horizontal and vertical components of force which the pin at A exerts on the rod at the instant θ = 90°. 3
31 mlI A = 3
αωθ
ω
=∑=−
=∑2
2
;)2/(sin
;
rmFlmmgA
rmF
n
Gn
I( )Gam
ααθ
α
⎞⎛
=∑=+
=∑
1;
)2/(sin;
IMlmmgA
rmF
AA
t
GtG αGI
( )tGam
( )nGam
=3g
αθ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 2
31)2/(cos mllmg
4 unknowns need 1more equation
θα cos23
lg
=
ωα ,,, tn AA
Kinematics
h dlddd
)/51(90=
θθθ
θαωωo
q,,, tn
• when• when
dld
dlgd
)/51(
,0,0cos)/5.1(,90
90
==
==
∫∫ θθ
θω
θθωωθ
ω o
o
00
5.2
===
αt
n
AmgA
lg
dlgd
/3
cos)/5.1(2
00
=
= ∫∫ω
θθωωo
0=α
예제17-5(problem 17-71)
The variable-reluctance motor is often used for appliances pumps and blowers ByThe variable reluctance motor is often used for appliances, pumps, and blowers. By applying a current through the stator S, an electromagnetic field is created that “pulls in” the nearest rotor poles. The result of this is to create a torque of about the bearing at A. If the rotor is made from iron and has a 3-kg cylindrical core of 50-mm diameter and eight
mN4 ⋅e o o s de o o d s 3 g cy d c co e o 50 d e e d e g
extended slender rods, each having a mass of 1kg and 100-mm length,determine its angular velocity in 5 seconds starting from rest.
αAA IM =
( )( ) ( )( ) ( )222 ]050025011011[8025031+++I
Thin rodcylinder
( )( ) ( )( ) ( )2mkg 0526.0
]05.0025.011.0112
[8025.032
⋅=
+⋅+⋅+=AI
2rad/s04.76 0526.04 =⇒=∴ αα
각가속도 가 일정하므로
( ) rad/s3805047600
=+=+= tαωω각속도
각가속도 가 일정하므로α
( ) rad/s380504.760 =+=
Starting from rest17장 38/28
17 5 운동방정식:일반적인 평면운동17.5 운동방정식:일반적인 평면운동(Equations of Motion: General Plane Motion)
일반적인 평면운동에 해당하는 운동방정식은 식(17-11)과 같다.
즉 ( )( )
xGx
F
amF =
∑∑
( )αα GZGPGG
yGy
ImMIM
amF
+×==
=
∑∑∑
)( ar혹은 …..(17-17)
αPI=마찰구름문제(Frictional rolling problems)는 특히 주의를 요하는 문제이
므로 자세한 해석과정을 소개하기로 한다므로 자세한 해석과정을 소개하기로 한다.
17장 39/28
Note.
Sμ : 최대 정지 마찰 계수
정지해 있는 물체가 막 움직이기(미끄러지기) 시작할 때의 마찰 계수(즉 미끄러지지 않는 상태에서 가질 수 있는 최대의 마찰계수)(즉 미끄러지지 않는 상태에서 가질 수 있는 최대의 마찰계수)(정지 상태에서의 마찰 계수가 아님)
물체를 1N의 힘으로 밀었을 때, does not move10N d tF 10N , does not move
100N , 막 움직이기 시작하려 한다면
F
세 경우 모두 물체와 바닥면 사이의 마찰력의 크기는 다르다세 경우 모두 물체와 바닥면 사이의 마찰력의 크기는 다르다그러나 모두 100N으로 밀었을 때의 마찰력보다는 작다.즉 정지상태의 마찰력의 크기는 모른다. 다만 막 밀리기 시작할 때의 마찰력보다는 작거나 같다.
NF sμ≤정지상태에서의 마찰력
운동이 막 일어나려 할 때의 마찰력 NFNF kμ=운동 중일 때의 마찰력
운동이 막 일어나려 할 때의 마찰력 NF sμ=
자유물체도로부터 운동방정식 (17-17)을 이용하면Known force
다음을 얻는다.
GmaFP =−
0
αGG IFrMmgN
==
=−
∑ GG∑
이 세식은 4개의 미지수( )을 포함하α,,, GaNF므로 하나의 식이 더 필요하다.
4번째 식?
1.구름(rolling)의 경우
구름의 구속 방정식 arxr =→= αθ
상대운동 없다
구름의 구속 방정식
2.미끄럼(sliding)의 경우
GG arxr =→= αθ
Fig17-21NFar kG μα =≠ ,
17장 41/28
3.구름인지 미끄럼인지 모를 경우
구름을 가정
를 네 번째 방정식으로 사용하여 마찰력 F를 구한 후 구름마찰arα 를 네 번째 방정식으로 사용하여 마찰력 F를 구한 후 구름마찰
의 조건 을 만족하면 구름이 확실Gar =α
NFF SS μ≡≤정지상태의 마찰력(미끄럼이 막 일어나려고 할 때)
이면 구름이 아니라 미끄럼이 확실하므로
을 네 번째 방정식으로 사용하여 해석
NFF SS μ≡>
NF kμ= kμ
주의:마찰력의 방향주의:마찰력의 방향
1.미끄럼의 경우
물체의 지면에 대한 상대운동에 의해 결정 회전방향(진행방향)과 반대방향
2.구름의 경우
구름과 반대방향으로 가정한 후 계산결과에 의해 결정구름과 반대방향으로 가정한 후 계산결과에 의해 결정
17장 42/28
Example 17.14The spool has a mass of 8kg and has a radius of gyration of kG = 0.35m. If the cords of negligible mass are wrapped around the inner hub and outer g g pprim as shown, determine the spool’s angular acceleration.
Method 1222 .980.0)35.0)(8( mkgmkgmkI GG ===
;)(amF =∑↑+
α ;)8(48.78100
;)(
IMakgNNT
amF
GG
G
yGy
=∑=−+
=∑↑+
α).980.0()5.0()2.0(100
;2mkgmTmN
GG
=−
∑
8.19 NT =A에 대한 구름운동이므로
2
2
/3.10
/16.58.19
srad
smaNT
G
=
=
αMethod 2)5.0(
;αα
==
ara
2 )5.0]()8[().980.0()5.0(48.78)7.0(100
;)(
makgmkgmNmN
M
G
AkA
+=−
∑=Μ∑
α2/3.10 srad=α
Ex 17.15
αGI
Gma=
No slipping assumption
4 equations for 4 unknowns
FA violates the rolling assumption
미끄러지지 않는 상태에서 가질 수 있는 최대의 마찰력(73.6)보다 큰 마찰력(100N)이 있어야구른다는 얘기는 구름가정이 틀렸다는 것임
slipping condition
Wheel slips as it rolls
Solving 3 e.o.m’s & slipping condition altogether
줄이 바퀴의 안쪽 원통에 감겨 있고, 200N의 힘으로 평행하게잡아당긴다. 바퀴는 질량이 50Kg이고 회전반경이 70mm이다.
이고 일 때 바퀴의 G의 가속도와 각가속도를150
Ex)
이고 일 때, 바퀴의 G의 가속도와 각가속도를구하라
2.0=sμ 15.0=kμ
Solution) a) 미끄럼 없는 구름운동을 가정 αα 1.0== raG
바퀴의 관성모멘트 222 245.007.050 mKgmkI ⋅=⋅==
마찰력 F 의 방향을 일단 구르는 방향과 반대로 가정
200 GmaF =+운동방정식:
1.0)06.0(2005.490
αGG IFMNmgN
=⋅−⋅−=
==
∑
smasrad
G /074.1/74.10
2
2
=
=αGar =αRolling assumption
NFG
3.146−=
최대마찰력 NNF 198)5490(20 === μ
구름운동이 일어나려면 146.3N의 마찰력이 필요NFF sμ=> max
최대마찰력 NNF s 1.98)5.490(2.0max === μ
이 조건에서 구름운동은 일어날 수 없다!미끄러짐이 없을 때 생길 수 있는 최대 마찰력
b) 미끄럼이 있는 회전운동을 가정) 있
바퀴가 회전하면서 미끄러지므로 와 가 서로 무관Ga α
회전중심Note. 회전중심Rolling 접촉점Slipping G
마찰력의 방향: 미끄러지므로 운동의 방향과 반대방향
방향설정 중요!
NNF k 6.73)5.490(15.0 =⋅== μ마찰력의 방향: 미끄러지므로 운동의 방향과 반대방향
200673 ma=+운동방정식:
마찰력의 크기:
1.0)06.0(2005.490
2006.73
αGG
G
IFMNmgN
ma
=⋅+⋅−=
===+−
∑
운동방정식:
2
2
/53.2/94.18
smasrad
G =
−=α
)( GG∑
Example 17.16The uniform slender pole has a mass of 100kg and a moment of inertiaIG = 75kg.m2. If the coefficient of static and kinetic friction between theend of the pole and the surface are μs = 0.3 and μk = 0.25 respectively. Determine the pole’s angular acceleration at the instant the 400Nhorizontal force is applied. The pole is originally at rest
Sol) Don’t know whether to tip over w.r.t. w/o slipping or sliding forward
So first assume tipping over without slipping
α
)75()1(400)51(0981)100(400
;;)(;)(2kNFNNkFN
IMamFamF GGyGyxGx =∑=∑↑+=∑→+
So first assume tipping over without slipping
α).75()1(400)5.1(0981)100(400 2mkgmNmFNNakgFN AAGA =−=−=−
Considering the circular path of G
Kinematics (No slipping))5.1(
;a
ra==αα yGam )(
xGam )(
• Solving,300981
NFNN
A
A==
αGI
2
2
/667.0
/1
srad
smaG
=
=
α
Solution• 300N > 0.3(981N) = 294N (Slips at A)Kinematics (Slipping)
Solving,25.0 NF AA =
2/551
245981
NFNN
A
A==
2
2
/428.0
/55.1
srad
smaG
−=
=
α
Example 17.17The 30kg wheel has a mass center at G and has a radius of gyrationk 0 15 If th h l i i i ll t t d l d d t ikG = 0.15m. If the wheel is originally at rest and released, determine its angular acceleration. No slipping occurs.
22 )15.0)(25( mkgmkI GG == 0=ω
2.675.0 mkg=
;)(M AkA ∑=Μ∑
)1.0()(30)25.0()(30).675.0()1.0()81.9(30
2 makgmakgmkgmN
yGxG ++= α
)25.0(;
==αα
o
o
ara
0=ω
/2
/ ωα −×+= OGOGOG rraa rrrrr
0)1.0()()25.0()()( αα −−×+−=−− yGxG ikijaiarrrrr
2/3.10
2634.77
srad
NNNF
A
A
=
==
α
)1.0()()25.0()(
αα
==
yG
xG
aa
2
2
/03.1)(
/58.2)(
sma
sma
yG
xG
=
=
Prob 17-98
The truck carries the spool which has a weight of 200lbThe truck carries the spool which has a weight of 200lb and a radius of gyration of kG = 2 ft. Determine the angular acceleration of the spool if it is not tied down on the truck and the truck begins to accelerate at 5 ft/s2. The coefficients of static and kinetic friction between the spool and the truck bed are and150=μ 150=μthe spool and the truck bed are and respectively.
15.0=sμ 15.0=kμ
자유물체도운동방정식
200 lb
ft3
( )
( )2 200ft/s2.32 1 200,0200 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
===−
GG amaF
gNN
αIma
yGma ,
=
NF
ft3 ( )
( ) ( ) ( )3 22.32
2003
2.32
22 αα ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛===
⎟⎠
⎜⎝
∑ GG
GG
mkFM
xGma ,=
N ⎠⎝
IG
17장 51/54마찰력 방향: unknown
구름인지 미끄럼인지 모르므로바닥이 정지되 있으면 4번째 식을 그냥 으로계산하면 되지만 바닥의 가속도가 주어져 있고 G의 가속도를구해야 하므로 바닥점 와 사이의 관계식을 이용
αraG =
구름을 가정
접촉점 A에서 미끄럼이 발생하지 않으므로
구해야 하므로 바닥점 A와 G사이의 관계식을 이용
접촉점 A에서 미끄럼이 발생하지 않으므로
( ) ( )AA2
ttangential ft/s5aa =≡접촉점의 수평
가속도 성분= i = 차의 가속도
( )GAGAGA // rraa ××+×+= ωωα가속도 성분
접선성분 ( ) ( ) ( )αα
3]3[5t
+=−×+== xGA
aa jka
...(4)α3 += Ga ( )
(1)~(4)를 풀어 F를 구하면
( ) lb30200150lb5569 < NFF ( ) lb3020015.0lb556.9 ===<= NFF SS μ
구름이 확실하므로 와 을 미리 구하면Ga α22 rad/s15.1 ,ft/s538.1 == αGa
17장 52/54
Homework
Ch. 17 연습문제1 2 7 17 19 23 26 35 39 45 49 57 64 65 66 67 73 75 78 841, 2, 7, 17, 19, 23, 26, 35, 39,45, 49, 57, 64, 65, 66, 67, 73, 75, 78, 84, 8591, 93, 99, 101, 104, 108, 110