chap2bméthnum

8/17/2019 chap2bméthnum

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M é t h o d e d e s D i f f é r e n c e s

F i n i s

c h a p i t r e 4

M a r c B u f f a t

U F R d e M é c a n i q u e

U n i v e r s i t é C l a u d e B e r n a r d ,

L y o n I

2 8 f é v r i e r 2 0 0 8

2

M a r c

B U F F A

T , U F R M é c a n i q u e , U C B L y o n



3 C h a p i t r e 4

C o n s t r u c t i o n d e s c h é m a a u x

d i f f é r e n c e s fi n i e s

4 . 1

P r o

b l è m e m o d è l e

a ∂ 2 u

∂ x 2

+ b

∂ u

∂ x

+ c

∂ u

∂ t

=

f

( 4 . 1

)

n o t é e s y m

b o l i q u e m e n t

L ( u ) =

f

M a r c

B U F F A T

, U F R M é c a n i q u e , U C B L y o n

4 . 2 .

A P P R O X I M A T I O N D E S D É R I V É E S P A R D I F F É

R E N C E S F I N I E S

4

u n i

u n i + 1

u n i − 1

u n + 1

i

∆ x

∆ t

t n + 1

t n

x i − 1

x i

x i + 1

0 0

τ

t

L x

F I G

. 4

. 1 – m a i l l a g e d i f f é r e n c e s fi n i e s

4 . 2

A p

p r o x i m a t i o n d e s d é r i v é e s p a r d i f f é r e n c e s fi -

n i e s

M a r c

B U F F A T , U F R M é c a n i q u e , U C B L y o n



5

4 . 2 . A

P P R O X I M A T I O N D E S D É R I V É E S P A R D

I F F É R E N C E S F I N I E S

O n p o s e

u ( x i , t n ) =

u [ i × h , n × ∆ t ] =

u n i

( 4 . 2

)

u ( x i +

1 ,

t n ) =

u [ ( i + 1 ) ×

h , n × ∆ t ] =

u n i + 1

( 4 . 3

)

u ( x i −

1 ,

t n ) =

u [ ( i − 1 ) ×

h , n × ∆ t ] =

u n i − 1

( 4 . 4

)

u ( x i , t n +

1 ) =

u [ i × h , ( n + 1 ) × ∆ t ] =

u n i

( 4 . 5

)

4 . 2 . 1

D i f

f é r e n c i a t i o n d é c e n t r é e a v a n c é e

D é v e l o p p e m

e n t e n s é r i e d e T a y l o r d e u ( x 0 +

h , t 0 ) a u t o u r

d u p o i n t ( x 0 ,

t 0 ) :

u ( x 0 + h , t 0 )

=

u ( x 0 ,

t 0 ) +

h 1 !

∂ u

∂ x

( x 0 , t 0

) +

h 2 2 ! ∂ 2 u

∂ x 2

( x 0 , t 0

) + · · ·

( 4 . 6

)

+

h n − 1

( n −

1 ) !

∂ n − 1 u

∂ x n −

1 (

x 0 , t 0

) +

h n n !

∂ n u

∂ x n

ζ

( 4 . 7

)

a p p r o x i m a t i o

n d é c e n t r é e a v a n c é e :

∂ u

∂ x

n i =

u n i + 1 −

u n i

h

r e p r é s e n t a t i o n e n D F

d e l a d é r i v é e

−

h 2 !

∂ 2 u

∂ x 2

n i

e r r e u r d e

t r o n c a t u r e ( E T )

( 4 . 8

)

s o i t :

∂ u

∂ x

n i =

u n i + 1 −

u n i

h

+

O ( h )

E T

( 4 . 9

)

4 . 2 . 2

D i f

f é r e n c i a t i o n d é c e n t r é e r e t a r d é e .

D é v e l o p p

e m e n t e n s é r i e d e T a y l o r d e u ( x 0 −

h , t 0 ) :

u ( x 0 −

h , t 0 ) =

u ( x 0 ,

t 0 ) −

h 1 !

∂ u

∂ x

( x 0 , t 0

) +

h 2 2 !

∂ 2 u

∂ x 2

( x 0 , t 0 )

− h 3

3 !

∂ 3 u

∂ x 3

( x 0 , t 0

) + · · ·

( 4 . 1

0 )

a p p r o x i m

a t i o n d é c e n t r é e r e t a r d é e :

∂ u

∂ x

( x 0 , t 0

) =

u ( x 0 ,

t 0 ) −

u ( x 0 −

h , t 0 )

h

+

h 2 ! ∂ 2 u

∂ x 2

( x 0 , t 0

)

( 4 . 1

1 )

M a r c

B U F F A T


4 . 2 .



6

∂ u

∂ x

n i =

u n i −

u n i − 1

h

+ O ( h )

( 4 . 1

2 )

4 . 2 . 3

D i f f é r e n c i a t i o n c e n t r é e

( 4 . 9

) - (

4 . 1

2 ) d o n n e l a d i f f é r e n c i a t i o n c e n t r é e :

∂ u

∂ x

n i =

u n i + 1 −

u n i − 1

2 h

+

O ( h 2 )

( 4 . 1

3 )

4 . 2 . 4

D i s c r é t i s a t i o n d e l a d é r i v é e s e c o n d e

( ? ? ) + ( ? ? )

d o n n e :

∂ 2 u

∂ x 2

n i =

u n i + 1 −

2 u n i + u n i −

1

h 2

+ O (

h 2 )

( 4 . 1

4 )

4 . 2 . 5

O p é r a t e u r d e d i f f é r e n c i a t i o n

O p é r a t e

u r s d e d i f f é r e n c i a t i o n d é c e n t r é e a v a n c é e e t r e t a r d é e :

∆ x u n i =

u n i + 1 −

u n i

( 4 . 1

5 )

∂ u

∂ x

n i =

∆ x u h + O ( h )

( 4 . 1

6 )

∇ x u n i =

u n i + 1 −

u n i

( 4 . 1

7 )

∂ u

∂ x

n i =

∇ x u

h +

O ( h )

( 4 . 1

8 )

O p é r a t e u r s

d e d i f f é r e n c i a t i o n c e n t r é e :

δ x

u n i =

u n i + 1 −

u n i −

1

( 4 . 1

9 )

δ x u n i =

u n i +

1 2 −

u n i − 1 2

( 4 . 2

0 )

δ 2 x u n i =

δ x

( δ

x u n i ) =

u n i + 1 −

2 u n i + u

n i − 1

( 4 . 2

1 )

O p é r a t e u r m

o y e n n e :

M a r c




7

4 . 2 . A

P P R O X I M A T I O N D E S D É R I V É E S P A R D

I F F É R E N C E S F I N I E S

µ x (

u n i ) =

( u

n i ) =

1 2

u n i +

1 2 + u n i −

1 2

( 4 . 2

2 )

( δ

x u n i ) =

δ x u n i

R e l a t i o n s :

δ x

u n i =

∆ x u n i + ∇

x u n i

( 4 . 2

3 )

δ 2 x =

∆ x u

n i − ∇

x u n i =

∆ x ∇ x u

n i

( 4 . 2

4 )

D i f f é r e n c e s c e n t r é e s p o u r l a d é r i v é e p r e m i è r e :

∂ u

∂ x

n i =

u n i + 1 −

u n i − 1

2 h

+ O ( h 2 ) =

δ x

u n i

2 h

+

O ( h 2 )

( 4 . 2

5 )

e t p o u r l a d é r i v é e s e c o n d e :

∂ 2 u

∂ x 2

n i =

u n i +

1 −

2 u

n i + u n i −

1

h 2

+

O ( h 2 ) =

δ 2 x u

n i

h 2

+ O ( h 2 )

( 4 . 2

6 )

O p é r a t e u r s d

e d i f f é r e n c i a t i o n a v a n c é e o u r e t a r d é e , d ’ o r d r e p l u s é l e v é :

∆ n x u

n i =

∆ x

∆

n − 1

x

u n i

( 4 . 2

7 )

∇ n x u n i =

∇ x

∇

n − 1

x

u n i

( 4 . 2

8 )

E x e m p l e :

δ 2 x u n i

h 2

=

δ x (

u n i +

1 2 −

u n i − 1 2

)

h 2

=

u n i + 1 −

2 u n i + u

n i − 1

h 2

∆ 2 x u n i

h 2

=

∆ x

u n i + 1 −

u n i

h 2

=

u n i +

2 −

2 u n i +

1 + u n i

h 2

( 4 . 2

9 )

D é r i v é e d ’ o r d r e m :

∂ m u

∂ x m

n i ≈

∆ mx

h m

u n i

( 4 . 3

0 )

E x e m p l e : m

=

4 ,

∂ 4 u

∂ x 4

n i ≈

∆ 4 x

h 4

u n i

( 4 . 3

1 )

P o u r l a d é r i v é e p r e m i è r e

M a r c

B U F F A T


4 . 2 .



8

∂ u ∂ x

n i =

u n i + 1 −

u n i

h

+ O (

h )

∂ u ∂ x

n i =

u n i −

u n i − 1

h

+ O (

h )

∂ u ∂ x

n i =

u n i + 1 −

u n i − 1

2 h

+ O (

h 2 )

∂ u ∂ x

n i =

− 3 u n i + 4 u n i +

1 −

u n i + 2

2 h

+ O (

h 2 )

∂ u ∂ x

n i =

3 u n i −

4 u n i −

1 + u n i −

2

2 h

+ O (

h 2 )

P o u r l a d é r i v é e s e c o n d e :

∂ 2 u ∂ x 2

n i =

u n i −

2 u n i +

1 + u n i +

2

h 2

+

O (

h 2 )

∂ 2 u ∂ x 2

n i =

u n i −

2 u n i −

1 + u n i −

2

h 2

+

O (

h 2 )

∂ 2 u ∂ x 2

n i =

u n i + 1 −

2 u n i + u n i −

1

h 2

+

O (

h 2 )

4 . 2 . 6

S c

h é m a s d ’ o r d r e é l e v é ( s c h é m a c o m p a c t e )

s c h é m a c o m p a c t e p o u r l a d é r i v é e p r e m i è r e

O n c h o i s i e c o m m e i n c o n n u e s l e s d é r i v é e s

∂ u ∂ x

n i = v

n i .

v n i =

δ x

u n i

2 h

+

δ 2 v n i

6

( 1 −

1 6 δ 2 ) v n i =

δ x

u n i

2 h

( 4 . 3

2 )

∂ u

∂ x

n i =

1 2 h

δ x u n i

1 −

1 6 δ 2

+

O ( h 4 )

( 4 . 3

3 )

( 4 . 3

2 ) f o u r n i t u n e r e l a t i o n i m p l i c i t e p o u r l e c a l c u l d e v n i

:

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

− 1 6

1 +

1 3

− 1 6

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. .. v n i −

1

v n i v n i +

1 .. .

=

.. .

u n i + 1 −

u n i − 1

2 h . ..

s c h é m a c o m p a c t e p o u r l a d é r i v é e s e c o n d e

E n p o s a n t

∂ 2 u ∂ x 2

n i =

v n i ,

o n a l e s c h é m a c o m p a c t p o u r l a

d é r i v é e s e c o n d e :

M a r c




9

4 . 3 .

P O L Y N Ô M

E D ’ I N T E R P O L A T I O N

∂ 2 u

∂ x 2

n i ≈ v n i

∂ 2 u

∂ x 2

n i =

1 h 2

δ 2 x u n i

1 −

1 1 2

δ 2 x

+ θ ( h 4 )

( 4 . 3

4 )

s c h é m a d ’ o r

d r e é l e v é s u r p l u s i e u r s p o i n t s

D é r i v é e

R e p r é s e n t a t i o n e n D F

E T

∂ 3 u ∂ x 3

n i =

1 2 h 3

u n i + 2 −

2 u n i +

1 + 2 u n i −

1 −

u n i − 2

+

O ( h 3 )

∂ 4 u ∂ x 4

n i =

1 h 4

u n i + 2 −

4 u n i +

1 + 6 u n i −

4 u n i −

1 +

u n i − 2

+

O ( h 2 )

∂ 2 u ∂ x 2

n i =

1 h 3 −

u n i +

3 + 4 u

n i + 2 −

5 u n i +

1 −

2 u n i

+

O ( h 2 )

∂ 3 u ∂ x 3

n i =

1 2 h 3

−

3 u

n i + 4

+ 1 4 u

n i + 3 −

2 4 u

n i + 2

+ 1 8 u

n i + 1

− 5 u

n i

+

O ( h 2 )

∂ 2 u ∂ x 2

n i =

1 h 2

2 u n i + 5 u n i −

1 + 4 u n i −

2 −

u n i − 3

+

O ( h 2 )

∂ 3 u ∂ x 3

n i =

1 2 h 3

5

u n i −

1 8 u n i −

1 + 2 4 u n i −

2 −

1 4 u n i −

3 + 3 u n i −

4

+

O ( h 2 )

∂ u ∂ x

n i =

1 1 2 h

−

u n i + 2

+ 8 u

n i + 1 −

8 u n i −

1 + u n i −

2

+

O ( h 4 )

∂ 2 u ∂ x 2

n i =

1 1 2 h 2

−

u n i + 2

+ 1 6 u n i +

1 −

3 0 u n i + 1 6 u n i −

1 +

u n i − 2

+

O ( h 4 )

4 . 2 . 7

D i s

c r é t i s a t i o n d e s d é r i v é e s e n t e m p s

∂ u

∂ t

n i =

u n + 1

i

− u n i

∆ t

+ θ ( ∆ t )

∂ 2 u

∂ t 2

n i =

u n + 1

i

− 2 u n i + u n i −

1

∆ t 2

+ θ ( ∆ t

2 )

4 . 3

P o l

y n ô m e d ’ i n t e r p o l a t i o n

4 . 3 . 1

P o l y n ô m e d ’ i n t e r p o l a t i o n d e L a g r a n g

e

t h é o r è m e : S o i e n t n + 1 p o i n t s d ’ i n t e r p o l a t i o n { x i } a s s o

c i é s à n + 1 v a l e u r s { f i }

,

i l e x i s t e u n p o l y n ô m e u n i q u e d e d e g r é a u p l u s n

t e l q u e

P n ( x i ) =

f i p o u r

i =

0 , n

.

M a r c

B U F F A T


4 . 3 .

P O L Y N Ô M E D ’ I N T E R P O L A T I O N

1 0

d é c o m p o s i t i o n s u r l a b a s e d e L a g r a n g e

L k ( x ) =

∏ n i =

1 , i =

k ( x −

x i )

∏ n i =

1 , i =

k ( x k −

x i )

P o l y n ô m e d ’ i n t e r p o l a t i o n d e L a g r a n g e

P n ( x ) =

n ∑ i = 0

f k ∗

L k ( x )

( 4 . 3

5 )

4 . 3 . 2

E s t i m a t i o n d e l ’ e r r e u r

t h é o r è m e :

S o i t f ( x ) ∈

C n + 1 [ a , b ] e t P n ( x ) l e p o l y n ô m

e d ’ i n t e r p o l a t i o n d e f ( x )

p a s s a

n t p a r l e s n + 1 p o i n t s { x i , f i =

f ( x i ) }

, a l o r s :

f ( x ) −

P n ( x ) =

∏ n i =

0 ( x −

x i )

( n + 1 ) !

f n + 1 ( ξ ) a v e

c ξ ∈ [ a , b ]

e r r e u r e

n θ ( h n + 1 )

| f ( x ) −

P n ( x ) | ≤ C h n + 1

4 . 3 . 3

E x e m p l e

p 1 ( x ) =

u i ( x −

x i + 1

)

h

+ u i +

1 ( x i +

1 −

x )

h

( 4 . 3

6 )

p 2 ( x )

=

− u i −

1 ( x −

x i ) ( x −

x i + 1

)

2 h 2

− u i (

x −

x i − 1

) ( x − x i +

1 )

h 2

+

u i + 1

( x −

x i − 1

) ( x −

x i )

2 h 2

( 4 . 3

7 )

( 4 . 3

8 )

4 . 3 . 4

D é r i v a t i o n d u p o l y n ô m e d ’ i n t e r p o l a t i o n

P n ( x ) =

n ∑ i = 0

u i L i ( x ) a v e c

L i ( x ) =

n ∏ k = 0 , k =

i ( x −

x k )

( x i − x k )

M a r c




1 1

4 . 3 .

P O L Y N Ô M

E D ’ I N T E R P O L A T I O N

L a d é r i v é

e p r e m i è r e :

P ( 1 )

n

( x ) =

n ∑ i = 0

u i L ( 1 )

i

( x ) a v e c

L ( 1 )

i

( x ) =

∑ n k =

0 , k =

i ∏

n l = 0 , l =

k , l = i (

x −

x l )

∏ n k =

0 , k = i

( x i −

x k )

( 4 . 3

9 )

D é r i v é e s e c o n d e :

P ( 2 )

n

( x ) =

n ∑ i = 0

u i L ( 2 )

i

( x ) a v e c

L ( 2 )

i

( x ) =

∑ n k =

0 , k =

i ∑

n l = 0 , l =

k , l =

i ∏

n m =

0 , m

= l , m = k , m = i (

x −

x m )

∏

n k = 0 , k =

i ( x i −

x k )

( 4 . 4

0 )

D é r i v é e d ’ o r d r e 1

– d é r i v é e c e n t r é e d ’ o r d r e 2 ( 4

. 1 3 )

∂ u

∂ x

i ≈

P ( 1 )

2

( x i ) =

u i + 1 −

u i −

1

2 h

– d é r i v é e d é c e n t r é e d ’ o r d r e 1 ( 4

. 9 )

∂ u

∂ x

i ≈

P ( 1 )

1

( x i ) =

u i + 1 − u i

h

D é r i v é e d ’ o r d r e 2

∂ 2 u

∂ x 2

i ≈

P ( 2 )

2

( x i ) =

u i + 1 −

u i + u i −

1

h 2

4 . 3 . 5

M a

t r i c e d e d é r i v a t i o n

D ( d )

n

U =

U ( d )

i

a v e c

U ( d ) =

{ u (

d )

i

} e t

U =

{ u i } e t

D ( d )

i , j =

L ( d )

j ( x i )

P o u r u n s t e n c i l d e 3 p o i n t s é q u i - d i s t a n t s ( e s p a c é s d e h

) { x i −

1 ,

x i , x i +

1 }

M a r c

B U F F A T


4 . 4 .

E X E M

P L E D ’ O B T E N T I O N D E F O R M U L E S D E

D I S C R É T I S A T I O N

1 2

D ( 1 ) =

1 2 h

− 3

4

− 1

1

0

− 1

1

− 4

3

D ( 2 ) =

1 h 2

1

− 2

1

1

− 2

1

1

− 2

1

4 . 4

E x

e m p l e d ’ o b t e n t i o n d e f o r m u

l e s d e d i s c r é t i s a -

t i o

n

4 . 4 . 1

E x e m p l e 1

A p p r o x

i m a t i o n d e l a d é r i v é e p r e m i è r e ∂ u ∂ x

n i e n f c t d

e u n i ,

u n i − 1

e t u n i −

2 :

∂ u

∂ x

n i =

1 2 h

u

n i − 2 −

4 u n i −

1 + 3 u n i

+

O ( h 2 )

4 . 4 . 2

E x e m p l e 2

A p p r o x

i m a t i o n d e l a d é r i v é e ∂ u ∂ t ,

a v e c u n e e r r e u r

O ( ∆ t 2 )

, e n f c t d e u n −

1

i

, u n i e t

u n + 1

i

.

∂ u

∂ t

n i =

u n + 1

i

+ α

2 −

1

u n i − α

2 u

n − 1

i

α ( α + 1 ) ∆ t −

a v e c

∆ t +

∆ t −

=

α

4 . 5

E q

u a t i o n s d i s c r é t e s e t c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s

P o u r ( 4 . 1

) , a v e c d e s d i f f é r e n c e s fi n i e s c e n t r é e s e x p l i c i t e s :

a u n i +

1 −

2 u n i + u n i −

1

h 2

+ b

u n i + 1 −

u n i −

1

h 2

+

c u n + 1

i

− u n i

∆ t

=

f i

( 4 . 4

1 )

n o t é e s y m b o l i q u e m e n t

L h ( u h ) =

f h

M a r c




1 3

4 . 5 .

E Q U A T I O N S D I S C R É T E S E T C O N D I T I O N S A U X L I M I T E S

4 . 5 . 1

c o n

d i t i o n d e D i r i c h l e t

u ( x =

0 )

=

α i m p l i q u e u 0 =

α .

4 . 5 . 2

c o n

d i t i o n d e N e u m a n

∂ u ∂ n x = 0 =

β

0

1

− 1

d u / d n

1 .

d i s c r é t

i s a t i o n d é c e n t r é e d e l a c o n d i t i o n a u x l i m i t e s

:

u 0 =

u 1 − β ∆ x

( 4 . 4

2 )

2 .

c o n d i t i o n m i r o i r :

a u n 1 −

2 u n 0 + u n 1 −

2 β h

h 2

+ b β + c

u n + 1 0

− u n 0

∆

t

=

f 0

4 . 5 . 3

c o n

d i t i o n m i x t e

∂ u

∂ n

+ α u =

β

4 . 5 . 4

r e m

a r q u e s u r l e s c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s

– l a p r é c

i s i o n g l o b a l e d u s c h é m a d é p e n d d e l a p r é c i

s i o n s u r l a d i s c r é t i s a t i o n

d e s c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s !

M a r c

B U F F A T


4 . 6 .

C O N V

E R G E N C E

1 4

4 . 6

C o n v e r g e n c e

l i m h → 0

u −

u h

=

0

4 . 6 . 1 c o

n s i s t a n c e

c o n s i s t a n c e u n s c h é m a a u x d i f f é r e n c e s fi n i e s e s t c o n s i s t a n t à l ’ é q u a t i o n e x a c t e s i

l ’ E D F

t e n d s v e r s l ’ E D P l o r s q u e l e s p a s d e d i s c r é t i s a t i o n h ( p a s e n e s p a c e

e t e n t e m p s ) t e n d e n t v e r s z é r o i n d é p e n d a m m e n t .

c o n s i s t a n c e : l e s c h é m a E D F e s t d i t c o n s i s t a n t à l ’ é q u a

t i o n E D P s i c e t t e e r r e u r d e

t r o n c

a t u r e t e n d s v e r s z é r o l o r s q u e l e s p a s d e d i s c

r é t i s a t i o n

h ( p a s e n t e m p s

∆ t e t

l e p a s e n e s p a c e ∆ x ) t e n d e n t v e r s z é r o i n d é p

e n d a m m e n t .

l i m h → 0

E t =

L h [ u e x ( i ∆ x ) ] −

f h =

0

o r d r e d e p r é c i s i o n : o n d i t q u e l e s c h é m a d i f f é r e n c e s fi n i e s e s t d ’ o r d r e n e n

h

E t ≈

C h n a v e c n ≥ 1

4 . 6 . 2 s t a b i l i t é

s t a b i l i t é u n

s c h è m a i t é r a t i f e s t d i t s t a b l e , s i l e s p e r t u r b a t i o n s d e l a s o l u t i o n n u -

m é r i q

u e n e s o n t p a s a m p l i fi é e s a u c o u r s d e s i t é r a t i o n s .

L h ( u n +

1

i

, u n i ) =

f h

L h ( u n +

1

i

+ ε

n + 1

i

, u n i + ε

n i ) =

f h

p r o b l è m

e l i n é a i r e , é q u a t i o n s u r l a p e r t u r b a t i o n ε

n i :

L h ( ε

n + 1

i

, ε

n i ) =

0

( 4 . 4

3 )

d é c o m p

o s i t i o n e n m o d e d e F o u r i e r

ε n i =

∞ ∑ m = 1

ψ n m e I ω m

i ∆ x

( 4 . 4

4 )

f a c t e u r d ’ a m p l i fi c a t i o n : l e f a c t e u r d ’ a m p l i fi c a t i o n

G d ’ u n s c h é m a d i f f é -

r e n c e

s fi n i e s i t é r a t i f e s t d é fi n i t p a r

G =

ψ

n + 1

m ψ n m

M a r c




1 5

4 . 6 .

C O N V E R G E N C E

s t a b i l i t é : u n s c h é m a i t é r a t i f e s t d i t s t a b l e

, s i p o u r t o u s l e s m o d e s m p o s s i b l e

d e l a p

e r t u r b a t i o n ,

o n a :

G <

1 ∀ ω m

O n c a r a c t é r i s e a l o r s l a s t a b i l i t é d ’ u n s c h é m a d e l a f a ç o n s u i v a n t e :

– U n s c h

é m a i t é r a t i f e s t i n c o n d i t i o n n e l l e m e n t s t a b l e

– U n s c h

é m a i t é r a t i f e s t c o n d i t i o n n e l l e m e n t s t a b l e

– U n s c h

é m a i t é r a t i f e s t i n c o n d i t i o n n e l l e m e n t i n s t a

b l e

4 . 6 . 3

c o n

v e r g e n c e

A t t e n t i o n :

c e t t e é t u d e d e c o n v e r g e n c e n e s ’ a p p l i q u e q u ’

à d e s p r o b l è m e s l i n é a i r e s !

s c h é m a i t é r a t i f e n t e m p s

T h é o r è m e d

e L a x p o u r u n p r o b l è m e l i n é a i r e a u x v a l e u r s i n i t i a l e s , l a s o l u t i o n

n u m é r i q u e d ’ u n s c h é m a i t é r a t i f e n t e m p s a u x d i f f é r e n c e s fi n i e s c o n v e r g e

v e r s l a

s o l u t i o n e x a c t e s i l e s c h é m a e s t c o n s i s t a n t e

t s t a b l e .

L a c o n s i s t a n c e e t l a s t a b i l i t é d ’ u n s c h é m a s o n t e n g é n é r a l b e a u c o u p p l u s f a c i l e

à é t u d i e r q u e

s a c o n v e r g e n c e .

s c h é m a e n e

s p a c e

D a n s c e c a s , s e u l e l a c o n s i s t a n c e e s t n é c e s s a i r e p o u r a s s u r e r l a c o n v e r g e n c e .

M a r c

B U F F A T


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