Chapitre 1 du cours

Vibrations des systèmes couplés

Philippe DESTUYNDER

24 janvier 2007

Figure 1. A la surface d’un lac, un léger vent peut créer des rides que l’onpeut modéliser comme un phénomène de vibration de surface.

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2 Vibrations des systèmes couplés

Table des matières

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Chapitre 1. Le système à un degré de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1. Le système masse-ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2. Prise en compte de l’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3. L’analyse en fréquences des problèmes de vibration . . . . . . . . . . . 241.4. Calculs élémentaires de transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . 261.5. Application de la transformée de Fourier au système à un degré de liberté 28

Chapitre 2. La corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1. Le modèle de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Résolution analytique de l’équation des cordes vibrantes . . . . . . . . 332.3. Prise en compte d’un amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4. Notion de bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5. Cas d’une corde attachée d’un seul côté (fouet) . . . . . . . . . . . . . 402.6. Recherche des solutions stationnaires pour la corde semi-libre . . . . . 402.7. Synthèse modale de la corde en fouet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.8. La formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.9. Formulation variationnelle dans le cas d’une extrémité non attachée . . 462.10. Cas d’une condition de Dirichlet non homogène . . . . . . . . . . . . . 492.11. Approximation numérique des modes propres . . . . . . . . . . . . . . 50

Chapitre 3. Le cas d’une poutre en vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1. Le modèle des poutres en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2. A propos de l’espace des modes propres trouvés . . . . . . . . . . . . . 583.3. Synthèse modale pour la poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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3.4. Approximation numérique des modes propres . . . . . . . . . . . . . . 623.5. Amélioration du modèle de poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5.1. Prise en compte des inerties de rotation . . . . . . . . . . . . . . . 643.5.2. Introduction de l’effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6. Sensibilité des modes de vibration par rapport à un défaut . . . . . . . 663.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Chapitre 4. Exemples de couplages entre structures . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1. Le problème du funambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2. Formulation variationnelle du modèle stationnaire couplé . . . . . . . . 724.3. Un camion qui passe sur un pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4. Construction de la formulation variationnelle couplée . . . . . . . . . . 754.5. Solutions stationnaires du système couplé . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Chapitre 5. Les outils mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1. Les espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2. Le lemme de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3. Le théorème spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.4. Exemples d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.5. Le théorème du min-max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.6. Le théorème des dièses et des bémols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.7. Comment repérer le rang d’un mode propre ? . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.7.1. Peut-on entendre avec les yeux ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.8. Influence des contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.8.1. Paramétrisation de l’ouvert ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.8.2. Expression frontière de !1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.8.3. Cas d’une valeur propre multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.9. Quelques invariants pour les solutions des équations dynamiques . . . 1025.9.1. Cas de la corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.9.2. Cas des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.9.3. Cas d’une membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.10. Régularité des solutions dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.10.1. Régularité en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.10.2. Régularité en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.11. Prise en compte de l’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.12. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Chapitre 6. Les structures élémentaires en vibration . . . . . . . . . . . . . 121

6.1. Les poutres droites à coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.2. Les membranes rectangulaires tendues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.3. Les plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Table des matières 7

6.3.1. Le modèle membranaire de plaque en dynamique . . . . . . . . . 1256.3.2. Le modèle de flexion de Kirchhoff-Love . . . . . . . . . . . . . . 126

6.4. Les coques, un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.4.1. L’exemple : un dirigeable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.4.2. Le modèle de coques en continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.4.3. Prise en compte des appendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.4.4. Couplage cinématique entre sous-structures . . . . . . . . . . . . 136

6.5. Résultats de calcul pour le dirigeable avec soute et empennage . . . . . 1386.5.1. Modélisation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.5.2. Propriétés physiques et mécaniques des matériaux utilisés . . . . 1386.5.3. Présentation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.6. Les vibrations frontières et intérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Chapitre 7. Vibrations des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.1. Vibrations d’un liquide incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.1.1. Cas des vagues : " = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.1.2. Application à la synthèse de la houle . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.1.3. Calculs analytiques des vagues dans un bassin parallélépipédique 1587.1.4. Cas des rides : g = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.1.5. Calculs analytiques des rides dans un bassin parallélépipédique . 1647.1.6. Système couplé : vagues et rides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.2. Masse ajoutée pour un corps rigide flottant ou immergé . . . . . . . . 1657.2.1. Recherche des solutions stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.3. Cas des impacts sur l’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.3.1. Conditions aux limites sur la surface libre . . . . . . . . . . . . . 1747.3.2. Formulation variationnelle du problème d’impact . . . . . . . . . 175

7.4. Prise en compte de la compressibilité d’un fluide . . . . . . . . . . . . . 1777.4.1. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.4.2. Formulation variationnelle pour l’aéroacoustique avec écoulement 181

7.5. Existence et unicité de solution du modèle couplé . . . . . . . . . . . . 1877.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Chapitre 8. Premier couplage fluide-structure . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.1. Un exemple simplifié : le barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.2. Cas d’une enceinte acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Chapitre 9. Les ondes locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

9.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.2. Un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2049.3. Caractérisation des modes propres du système hétérogène . . . . . . . 206


9.3.1. Cas d’une condition de Neumann homogène sur une portion defrontière du matériau le plus mou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9.3.2. Cas d’une bande molle incluse dans l’ouvert ! . . . . . . . . . . . 2119.3.3. Régularité des ondes locales dans la portion la plus rigide . . . . 2149.3.4. Remarques concernant l’extension à une forme de frontière gé-

nérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2189.4. Caractérisation énergétique des ondes locales . . . . . . . . . . . . . . . 221

9.4.1. Un premier choix pour # . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.4.2. Autres choix de # permettant le calcul des énergies des ondes

locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2259.4.3. Calcul de "! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.5. Comportement asymptotique de l’équation des ondes pour une couchemince molle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

9.5.1. La méthode du zoom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.5.2. Caractérisation du terme y1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329.5.3. Caractérisation partielle de y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

9.6. Estimation de l’erreur entre y" et les trois premiers termes du dévelop-pement asymptotique en puissance de $ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

9.7. Comportement asymptotique du taux de restitution de l’énergie . . . . 2369.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Chapitre 10. La sous-structuration dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

10.1. Quelques remarques préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24110.2. La méthode des interfaces bloquées (Craig et Bampton) . . . . . . . . 24210.3. La méthode des interfaces libres (Mac-Neal) . . . . . . . . . . . . . . 24910.4. La méthode de G.M. Gladwell avec masse ajoutée . . . . . . . . . . . 25110.5. La méthode des impédances d’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . 25310.6. Extension au cas bidimensionnel ou tridimensionnel . . . . . . . . . . 256

10.6.1. Position du problème abordé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25610.6.2. Un nouveau problème de valeurs propres sur l’ouvert !i . . . . . 25810.6.3. Applications aux sous-domaines esclaves . . . . . . . . . . . . . 26210.6.4. Sous-structuration dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

10.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Chapitre 11. Quelques outils d’analyse des défauts . . . . . . . . . . . . . . 265

11.1. Imperfection sur une corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26511.1.1. Mise à une échelle visible de l’imperfection . . . . . . . . . . . . 26711.1.2. Construction formelle d’un développement asymptotique . . . . 26911.1.3. Résultat de convergence et estimation d’erreur . . . . . . . . . . 275

11.2. Imperfection dans une poutre droite en flexion . . . . . . . . . . . . . . 28011.2.1. Transformation géométrique de la poutre . . . . . . . . . . . . . . 28211.2.2. Construction d’un développement asymptotique formel de u($) . 283

11.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Table des matières 9

Chapitre 12. Introduction au contrôle des vibrations . . . . . . . . . . . . . 293

12.1. Le problème modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29312.2. Construction de l’état adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29512.3. Algorithmes de calcul du contrôle optimal c" . . . . . . . . . . . . . . 298

12.3.1. Calcul du contrôle optimal par l’algorithme du gradient . . . . . 29812.3.2. La méthode du régulateur de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . 300

12.4. Analyse formelle du comportement asymptotique du contrôle optimalc" lorsque $ ! 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

12.4.1. Résolution de l’ordre zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30312.4.2. Résolution de l’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

12.5. Convergence de c" vers c0 pour T > T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 31412.6. Contrôle sur une base de modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

12.6.1. Contrôle sur un mode unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31812.6.2. Contrôle sur un groupe de modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

12.7. Cas de forces de contrôle ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32212.8. Cas d’un contrôle frontière (Dirichlet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32412.9. Cas d’une poutre en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32812.10. Cas d’une structure arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33112.11. Déversement d’énergie sur les modes non contrôlés . . . . . . . . . 33212.12. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Chapitre 13. Contrôle à l’aide de matériaux piézoélectriques . . . . . . . . 335

13.1.Modèle mathématique d’un matériau piezoélectrique . . . . . . . . . . 33513.2. Etude mathématique de la solution d’un modèle de structure intelligente 34513.3. Le problème de contrôle régularisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35013.4. L’algorithme du contrôle optimal limite pour le modèle de structure

intelligente étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35213.5. Etude de la forme bilinéaire !T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35513.6. Conditions aux limites arbitraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

13.6.1. Hypothèse d’harmonicité asymptotique . . . . . . . . . . . . . . 36113.6.2. Un modèle de structures intelligentes avec encastrement . . . . . 36413.6.3. Etude de la coercivité de !T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

13.7. Cas d’une coque axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37013.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

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Avant-propos

Cet ouvrage est consacré à une présentation des méthodes théoriques d’analysedes systèmes dynamiques en mécanique des structures et des fluides. Comme son noml’indique, l’accent est mis sur les systèmes couplant plusieurs structures, une structureet un fluide, plusieurs fluides ou encore un système de contrôle et un milieu méca-nique que ce soit une structure ou un fluide. Seuls des outils ayant fait leur preuve sontévoqués et souvent sont abordés sans prétendre aller au fond des choses. Le but viséest principalement de donner au lecteur un aperçu de la puissance des outils mathéma-tiques de modélisation (indépendamment de ceux de la simulation ou expérimentationnumérique directe). Ces derniers deviennent indispensables pour raisonner de façonabstraite en parallèle des grands codes de calcul qui envahissent les bureaux d’étudeset dont la validité n’est jamais clairement établie dans les situations originales quel’ingénieur doit aborder dans sa vie quotidienne.

Ce premier volume est consacré à une présentation générale des méthodes théoriquesd’analyse des systèmes dynamiques en mécanique des structures et des fluides. Il nes’agit pas de discuter de l’obtention des modèles, mais seulement des outils qui per-mettent d’appréhender leur comportement et de les contrôler, notamment pour réduireles vibrations. Pour cela, nous avons choisi des exemples très simples qui serventde support à la présentation. Cependant, malgré leur simplicité ces modèles sont gé-nériques au sens où l’extension à la plupart des modèles de l’ingénieur se fait sansnouvelles difficultés autres que celles des notations. Notre ambition est de démonterun certain nombre de mécanismes de manipulation des modèles mathématiques uti-lisés ou utilisables, dans les codes de calcul de façon à faciliter une compréhensionet permettre une approche critique des résultats qu’ils fournissent, parfois en quan-tité astronomique, et dont l’ingénieur ne retient généralement qu’une infime partie :une courbe, quelques valeurs significatives prises dans plusieurs gigaoctets. Ce choixde la simplicité des équations est possible en mécanique car l’important est souventcontenu dans un petit noyau commun à la plupart des modèles, du moins pour toutce qui concerne les équations de conservation (c’est-à-dire celles qui traduisent un

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équilibre). La complexité provenant de la géométrie et des comportements est certesune difficulté majeure mais peut aussi être prise en compte par les logiciels de cal-cul. En revanche, une fois motivés par quelques exemples simples mais intuitifs, lesoutils mathématiques peuvent atteindre un niveau de complexité plus élevé. C’est ladémarche que nous avons choisie de suivre dans ce premier volume. Le second volumeest, lui, consacré à des exemples opérationnels en aéroélasticité et en aéroacoustique.Il contient également de nombreux problèmes corrigés.

Cette formation a été enseignée depuis quinze ans dans le DEA de Dynamique desSystèmes Couplés de l’Ecole Centrale de Paris et commun à plusieurs Ecoles d’ingé-nieurs (ENSTA, Ecole Polytechnique, CNAM). D’anciens élèves, une fois leur inté-gration industrielle effectuée, sont revenus vers cette démarche et nous ont fait part dece besoin d’une approche théorique solidifiante par rapport au codes de calcul. C’estune des raisons pour laquelle nous avons pensé qu’il serait peut-être utile de publier lesnotes de ce cours. C’est aujourd’hui chose faite grâce à toute l’équipe de chez Hermèset en particulier de Monsieur Sami Ménascé. Je l’en remercie très sincèrement.

Introduction

Ce texte comprend treize chapitres. Les quatre premiers précisent quelques nota-tions et des résultats simples et classiques de la science des vibrations en mécanique.Ils ont pour but de familiariser le lecteur avec le vocabulaire et les questions que seposent les ingénieurs de bureaux d’études qui sont confrontés à des problèmes de vi-brations mécaniques.

Le passage au continu plonge immédiatement l’ingénieur dans des espaces de fonc-tions dont les propriétés sont parfois très compliquées à mettre à profit. En fait ils’agit d’espaces de Hilbert dans la plupart des cas linéaires. Les problèmes monodi-mensionnels comme la corde vibrante ou la poutre permettent encore de dissimuleren partie cette complexité grâce à la théorie des séries de Fourier que nous utilisonsabondamment dans les chapitres 2 et 3 où nous traitons quelques modèles relevant dela résistance des matériaux.

Cette facilité disparaît vite lorsque des conditions aux limites arbitraires sont intro-duites ou que l’on passe à la dimension deux ou trois. Les premiers couplages entrestructures discutés au chapitre 4, mettent en évidence la nécessité d’outils plus géné-raux que les fonctions harmoniques. Ce sont les modes propres de vibration qui d’unecertaine façon sont les ondelettes des structures et des fluides et pour ces derniers, lesvagues et les rides en sont des éléments très représentatifs.

C’est ainsi que nous avons regroupé dans le chapitre 5 l’essentiel des outils d’ana-lyse mathématique pour les problèmes de vibration. Ce chapitre ne remplace pas lalecture d’ouvrage d’analyse fonctionnelle comme celui de H. Brézis [HBR 83], maispeut permettre au lecteur d’appliquer des résultats connus à ses propres modèles.

Les applications aux structures (chapitre 6) et aux fluides non visqueux (chapitre 7)en font un usage abondant.

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Les couplages fluides-structures qui ont connu un développement considérable depuisune trentaine d’années, notamment pour comprendre et dimensionner les phénomènesde résonance de réservoirs de fusées en phase de vidange (J. P. Morand et R. Ohayon[MOH 90]), sont discutés de façon élémentaire au chapitre 8.

Le chapitre 9 aborde sous l’éclairage de l’analyse vibratoire, le phénomène de locali-sation de contraintes dû à des ondes stationnaires à l’interface entre deux matériaux decaractéristiques distinctes. Il s’agit des ondes de Love [FUN 65] [MKJ 84]. Un aspectimportant est de construire des extracteurs d’informations sur ces contraintes capablesde provoquer un endommagement. La stratégie du taux de restitution d’énergie estappliquée suivant en cela une démarche similaire à celle de la mécanique de la ruptureet de l’endommagement.

La connaissance du comportement vibratoire d’une structure complexe pouvant prendreen compte son environnement est un problème difficile et l’ingénieur a souvent recoursà des artefacts pour en donner une estimation. L’un d’eux est la sous-structuration dy-namique. Elle consiste à estimer les modes de vibrations d’une structure complexe(en général) à partir de la connaissance des modes propres des sous-structures la com-posant. La méthode est en général approchée mais plusieurs méthodes s’affrontent etleurs performances sont très variables. Nous en discutons quelques unes au chapitre10. C’est ainsi que nous abordons le principe des méthode de Mac-Neal [MCN 71],de Craig et Bampton [CRA 68] et de Gladwell [GLAD 64].

La présence de défauts peut considérablement modifier le comportement vibratoire decertaines structures. Nous discutons ces aspects très riches en développements actuelsdans le chapitre 11. Notre choix est d’utiliser la méthode du zoom couplée avec celledes développements asymptotiques en supposant le défaut de petite taille. D’autresapproches existent, notamment pour prendre en compte des défauts dans une celluleélémentaire d’un matériau périodique. Elles utilisent alors la théorie de l’homogénéi-sation et celle de Brillouin. Mais c’est une autre problématique.

C’est aux chapitres 12 et 13 que quelques aspects du contôle des vibrations sont abor-dés. La stratégie adoptée est celle du contrôle optimal, c’est-à-dire celle consistant àminimiser une norme entre l’état désiré (par exemple le repos) du système et celuiobservé. Mais pour rester compétitif nous ajoutons un coût du contrôle. Un point es-sentiel est d’analyser la robustesse du contrôle optimal vis-à-vis du coût unitaire ducontrôle, c’est à dire de regarder de façon précise ce qui se passe lorsque ce coût tendvers zéro. Cela conduit à des problèmes de perturbations singulières du type raide et àceux de la contrôlabilité exacte. On retrouve ainsi de façon naturelle l’algorithme de

Introduction 15

J. L. Lions [JLL 88] connu sous le nom de méthode HUM1. Enfin, la réalisation opé-rationnelle des systèmes actifs de contrôle antivibration est un vaste sujet dont nousne donnerons qu’un aperçu en utilisant des matériaux piezo-électriques au chapitre 13.

On pourra objecter que cet ouvrage n’aborde pas du tout les aspects numériques. Enfait, c’est un domaine tellement vaste qu’un autre livre serait nécessaire et il en existedéjà d’excellents. Il y a par exemple le livre de P.G. Ciarlet pour les approches théo-riques [PGC 78] et ceux de O. C. Zienkiewicz [ZIE 77], de K.J. Bathe [BAT 82] ouencore G. Dhatt et G. Touzot [TOU 80] pour les aspects pratiques. Mais beaucoupd’autres apportent leur contribution originale à ce vaste domaine des sciences de l’in-génieur.

1. Hilbert Uniqueness Method

16

Chapitre 1

Le système à un degré de liberté

Objectifs

En partant d’un modèle très simple à un degré de liberté, nous introduisons le vo-cabulaire et les notions élémentaires utilisés par l’ingénieur travaillant en dynamiquedes structures.

1.1. Le système masse-ressort

Considérons une masse m suspendue à un ressort de raideur k. Le montage estcelui de la figure 1.1 . Le déplacement du centre de gravité de la masse est repéré parla coordonnée x(t) où t représente le temps. L’équation modélisant le mouvement dela masse est : !

mx(t) + kx(t) = f(t),x(0) = x0, x(0) = x1.

(1.1)

La fonction f représente une excitation permanente et (x0, x1) sont les conditionsinitiales de la masse en position et en vitesse. La solution de ce modèle élémentaireest :

x(t) = x0cos(%0t) +x1

%0sin(%0t) +

1m%0

" t

0f(s)sin(%0(t" s))ds (1.2)

où nous avons posé :

%0 =#

k

m, (1.3)

17


qui est la pulsation propre du sytème. Elle s’exprime en Hertz et est homogène àl’inverse d’un temps. La fréquence propre est elle définie par :

&0 =%0

2', (1.4)

et son inverse est la période propre du système :

T0 =1&0

(1.5)

Imaginons, par exemple, que la fonction f qui représente une excitation permanentedu système, soit de la forme (fonction harmonique ayant une fréquence &0 = a

2# ) :

f(t) = Fsin(at), (1.6)

et supposons pour simplifier les calculs que les conditions initiales soient homogènes(x0 = x1 = 0). En appliquant la formule générale (5.15), nous obtenons la solutionsuivante :

x(t) =F

m%0

" t

0sin(as)sin(%0(t" s))ds (1.7)

ou encore :

x(t) =F

2m%0

" t

0[cos((a + %0)s" %0t)" cos((a" %0)s + %0t)]ds (1.8)

soit finalement, dans le cas où a #= %0 :

x(t) =F

m%0

asin(%0t)" %0sin(at)a2 " %2

0

(1.9)

Lorsque a = %0, le calcul direct de x(t) à partir de (1.8), conduit à l’expressionsuivante :

x(t) = Fsin(%0t)" t%0cos(%0t)

2m%20

(1.10)

Nous avons représenté sur la figure 1.2, les évolutions de x(t) pour différentes valeursde a par rapport à %0. Lorsque a = %0 la solution est tracée sur la figure 1.3.

Remarque 1.1.1 On notera que l’amplitude de x(t) grandit en oscillant de façon li-néaire avec le temps. Ce phénomène est appelé la résonance. En résumé lorsqu’unsystème à un degré de liberté dont la fréquence propre est &0, est excité par une fonc-tion harmonique à cette même fréquence, l’amplitude de la réponse grandit linéaire-ment avec le temps et tend vers l’infini.

Remarque 1.1.2 Bien entendu, le modèle linéaire que nous avons utilisé doit êtreamélioré pour prendre en compte les grandes amplitudes en cas d’instabilités parrésonance. Nous aborderons ces aspects dans les chapitres suivants.

Le système à un degré de liberté 19

m

k

x(t)

Figure 1.1. Système à un degré de liberté

Figure 1.2. Variation de x(t) pour != valeurs de a


Figure 1.3. Evolution de x(t) lorsque a = !0

Donnons un exemple simple et courant du phénomène de résonance que nous venonsde décrire. Il s’agit d’un ventilateur tournant à une vitesse de rotation notée %0. Suppo-sons qu’il soit accroché au plafond d’une pièce. S’il y a un mode propre de vibrationdu plafond dont la fréquence est proche de

%0

2'alors une résonance apparaîtra et se

traduira par un bruit désagréable. Bien entendu, il existe des remèdes à cet inconvé-nient, comme par exemple utiliser des mousses amortissantes entre le ventilateur et leplafond. Un autre exemple connu sous le nom d’effet POGO (qui est un jouet pourenfants) rend bien compte de ce phénomène et nous y reviendrons à plusieurs reprisesdans la suite. C’est l’interaction à la résonance des modes de ballottement d’un li-quide contenu dans un réservoir sous l’effet des vibrations de son support. Le principeest celui représenté sur la figure 1.4. Les phénomènes rencontrés sont visualisés sur lafigure 1.5. L’accélération d’entraînement du support du bocal est supposé de la forme :

f(t) = Fsin(at)

si bien que l’équation du mouvement du liquide fait apparaître au second membre unefonction sinusoïdale ayant la pulsation a. Si cette dernière fait partie du spectre devibration du liquide il apparaît un mouvement de ballottement du type de celui de lafigure 1.5. Ce phénomène fut rencontré dans les premières fusées, mais aussi dans leshélicoptères pour lesquels la rotation du rotor à une fréquence fixe (on joue sur le pasdes pales pour monter, descendre ou avancer) développe une énergie considérable surles modes ayant des fréquences voisines.


Figure 1.4. Le jouet pogo-stick qui a donné son nom à l’effet rencontrédans les réservoirs de carburants

Figure 1.5. Mécanismes rencontrés dans un réservoirde liquide soumis à des vibrations


1.2. Prise en compte de l’amortissement

Un amortisseur classique est un système visqueux qui s’oppose au mouvementque l’on veut lui imposer et ceci en générant une force par exemple proportionnelle etopposée à la différence des vitesses entre ses deux extrémités. Le schéma de principeest celui de la figure 1.6 .

Masse

AmortisseurRessort

x(t)

Figure 1.6. Amortisseur en parallèle avec un ressort

Désignons par ( le coefficient de proportionalité appelé coefficient d’amortisse-ment. L’équation du mouvement, conformément au schéma de la figure 1.6 est :

$%%%%&

%%%%'

mx + (x + kx = f,

avec les conditions initiales :

x(0) = x0, x(0) = x1.

(1.11)

De façon à faciliter les calculs on utilise habituellement un changement de coefficienten posant :

$%%%&

%%%'

(

m= 2)%0, où ) est appelé l’amortissement réduit,

%0 =#

k

m, où %0 est la pulsation du système non amorti.

(1.12)


L’équation précédente s’écrit donc :$%%%%%&

%%%%%'

x + 2)%0x + %20x = fr =

f

m,

avec les conditions initiales :

x(0) = x0, x(0) = x1.

(1.13)

Commençons par examiner le cas où f = 0 qui est celui du système autonome (sanssollicitation extérieure). On cherche des solutions sous la forme suivante :

x(t) = Aeiµt où µ, A $ C. (1.14)

On obtient ainsi l’équation caractéristique suivante :

"µ2 + 2i)%0µ + %20 = 0, (1.15)

dont les solutions sont :

µ = i)%0 ± %0

(1" )2 = i%0) ± %p. (1.16)

La quantité %p s’appelle la pseudo-pulsation. Lorsque ) < 1 les solutions en x sontdonc des fonctions de la forme suivante :

x(t) = e−$%0t[Acos(%pt) + Bsin(%pt)], où A, B $ R. (1.17)

Bien entendu, les coefficients A et B se calculent à l’aide des conditions initiales. Cecinous conduit à l’expression :

x(t) = e−$%0t[x0cos(%pt) +x1 + )%0x0

%psin(%pt)]. (1.18)

L’allure de cette solution est représentée pour différentes valeurs de ) sur la figure 1.7.On notera que la pulsation %p est inférieure à %0. Le cas limite correspond à ) = 1.Dans ce cas, la solution x(t) est une exponentielle sans oscillation. On dit que c’estune solution critique qui est à la transition entre le régime pseudo-périodique et leretour monotone décroissant vers le repos.

Remarque 1.2.1 On définit souvent la constante de temps du système de la façon sui-vante. La tangente à l’origine à l’exponentielle qui enveloppe la courbe représentativede la solution a pour équation :

y = x0(1" t)%0)

et cette droite coupe l’axe des temps en tc =1

)%0. On admet dans une approximation

à la hussarde, que c’est la moitié du temps de retour au repos du système. Evidemmentc’est faux, mais cela donne un ordre de grandeur bien commode à l’ingénieur.


Figure 1.7. Solution du système amorti

Revenons au cas général où f #= 0. La résolution de l’équation avec second membrepeut se faire par la méthode de variation des constantes. Mais les calculs se com-pliquent et il est temps de faire appel à un outil mieux adapté : la transformation deFourier.

1.3. L’analyse en fréquences des problèmes de vibration

Commençons par un bref rappel mathématique.

Définition 1.3.1 Soit f une fonction du temps qui est intégrable (espace L1(R)). Pourtout nombre réel % on peut alors définir la fonction :

F(f)(%) =" ∞

−∞e−i%tf(t)dt.

C’est la transformée de Fourier de f . Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité nous la note-rons f . !

C’est l’outil incontournable du traitement signal en dynamique des structures. Il estremarquable que dans les bureaux d’études les ingénieurs ont pris l’habitude de rai-sonner directement sur la transformée de Fourier d’un signal. Son intérêt essentiel


réside dans la propriété suivante où on suppose que la dérivée en temps de f (notée

indifféremment f ou*f

*t), est elle-même dans l’espace L1(R) :

F(*f

*t) = i%F(f)(%). (1.19)

En itérant cette formule on obtient ainsi sous des hypothèses ad hoc :

F(*pf

*tp) = (i%)pF(f)(%) = (i%)pf(%). (1.20)

Un point remarquable est que l’on peut inverser cette formule lorsque la transforméede Fourier est aussi intégrable sur R par rapport à % (c’est-à-dire élément de l’espaceL1(R)). On a alors :

f(t) =12'

" ∞

−∞ei%tf(%)dw. (1.21)

Cependant ce calcul nécessite souvent des précautions extrêmes et il faut manier l’in-tégrale précédente avec beaucoup de précautions. Une identité remarquable est cellede Perceval.

Théorème 1.3.1 Soit f une fonction de l’espace L1(R) % L2(R). On a alors :"

R|f |2(t)dt =

12'

"

R|f |2(%)d%.

(|.| désigne le module). !

Un autre résultat important est le principe d’incertitude qui traduit le fait que plusla fonction du temps a un support grand, plus celui de la transformée de Fourier estréduit. Mais ce langage d’ingénieur est approximatif. Donnons-en une version un peuplus technique.

Théorème 1.3.2 Soit f une fonction de l’espace L1(R) et désignons par f sa trans-formée de Fourier. Supposons que f(0) #= 0 et que f(0) #= 0. En outre nous supposonsque f $ L1(R). Posons ensuite :

T =1

|f(0)|

"

R|f(t)|dt,

! =1

|f(0)|

"

R|f |(%)d%.

On a alors l’inégalité suivante connue sous le nom de principe d’incertitude :

!T & 2'.

!


Un point fondamental est que cette transformation de Fourier, permet de transformerdu calcul différentiel en calcul algébrique. Parmi les résultats utiles pour l’ingénieur,on notera les formules suivantes dont nous ferons fréquemment usage dans la suite.

Théorème 1.3.3 Soient f et g deux fonctions de l’espace L1(R). On peut alors définirla convolée entre f et g par l’expression suivante :

f ' g(t) ="

Rf(s)g(t" s)ds.

En outre la fonction convolée est elle-même dans l’espace L1(R) et sa transformée deFourier est :

F(f ' g)(%) = F(f)(%)F(g)(%) = f(%)g(%).

!

Donnons quelques exemples simples de calcul de transformées de Fourier.

1.4. Calculs élémentaires de transformées de Fourier

Une fonction joue un rôle particulier dans l’analyse des signaux vibratoires : c’estla fonction caractéristique normalisée par le facteur

'

A, de la bande de fréquences

(pulsations en fait) : ["A,A]. Notons la'

A+[−A,A](%). Sa transformée de Fourier

inverse est :

Sc(At) =1

2A

"

Rei%t+[−A,A](%)d% =

sin(At)At

(1.22)

On l’appelle parfois la fonction Sc, l’ondelette de Shannon ou encore le sinus cardi-nal.

Une autre fonction très utile est la gaussienne :

ga(t) = e−

t2

2"2 . (1.23)

Sa transformée de Fourier est un résultat classique qu’il est bon d’avoir dans sa besace.Posons :

f(%) ="

Re−i%tga(t)dt =

"

Rei%t−

t2

2"2 dt = e−

%2"2

2"

Re−

12(t

"" i%")2

dt.


Introduisons la variable :z =

t

"" i%",

et considérons la fonction holomorphe :

a(z) = e−

z2

2

et intégrons-la dans le plan complexe sur le contour du rectangle RL = ["L,L] (["%", 0]. Puisque la fonction est holomorphe, l’intégrale est nulle le long de ce contour.

Figure 1.8. Chemin d’intégration de la fonction a(z)

Lorsque L !) les deux contributions provenant des segments {"L}( ["%", 0] et{L}( ["%", 0] tendent vers zéro (normalement) et par conséquent, il nous reste l’éga-lité :

X ="

Re−

t2

2"2

dt ="

Re−

12(t

"" i%")2

dt.

Or on a :

("

Re−

x2

2"2 dx)("

Re−

y2

2"2 dy) = 4"

(R+)2e−

x2 + y2

2"2 dxdy.

Ou encore, en utilisant une représentation en coordonnées polaires :

X2 = 2'

"

R+e−

r2

2!2 rdr = 2'"2.

D’où le résultat :

f(%) =*

2'"e−

%2"2

2 . (1.24)


1.5. Application de la transformée de Fourier au système à un degré de liberté

Considérons l’équation du système à un degré de liberté avec amortissement :$%&

%'

x + 2)%0x + %20x =

f

m,

x(0) = x0, x(0) = x1.

(1.25)

On se propose d’utiliser la transformée de Fourier pour résoudre cette équation. Pourcela nous convenons de prolonger x par zéro pour t < 0 et de même pour la fonctionf . Ceci nous permet d’écrire :

" ∞

0e−i%tx(t)dt =

" ∞

−∞e−i%tx(t)dt = x(%).

De façon analogue :

f(%) =" ∞

−∞e−i%tf(t)dt =

" ∞

0e−i%tf(t)dt.

Par ailleurs, remarquons qu’une (ou deux), simple(s) intégration(s) par parties per-met(tent) d’écrire (on suppose que f est telle que la solution x(t) de l’équation dumouvement vérifie : limt→∞(x(t), x(t)) = (0, 0)) :" ∞

0xe−i%tdt = "x1 + i%

" ∞

0x(t)e−i%tdt = "x1 " i%x0 " %2

" ∞

0x(t)e−i%tdt,

ou encore : " ∞

0xe−i%tdt = "x1 " i%x0 " %2x(%).

De même :2)%0

" ∞

0xe−i%tdt = "2)%0x0 + 2i)%0%x(%).

Par conséquent l’équation dont nous sommes partis conduit à :

x(%) = h(%)[f(%) + x1 + x0(2)%0 + i%) +f(%)m

].

La fonction h s’appelle la fonction de transfert. Elle s’écrit :

h(%) =1

%20 " %2 + 2i)%0%

(1.26)

Son module est le gain. Il a pour expression :

G(%) =1(

(%20 " %2)2 + 4)2%2

0%2(1.27)


Commençons par tracer cette quantité en fonction de %, (voir figure 1.9). On observeque son maximun est atteint pour :

%c = %0

(1" 2)2 + %p = %0

(1" )2 + %0, ) $ [0, 1], (1.28)

où %p est la pseudo-pulsation. La valeur de ce maximum est parfois appelé l’amplifi-cation, notée Q et est donnée par l’expression :

Q =1

2%0%p. (1.29)

Figure 1.9. Variation du Gain en fonction de la pulsation

Considérons maintenant la fonction de transfert h. Bien entendu, c’est une fonctioncomplexe de la variable réelle %. Donnons quelques exemples de caractérisation decette dernière. Par exemple, dans le cas du coup de marteau, nous avons une mise envitesse initiale (au moins). Supposons donc que f = 0 et que x0 = 0. On a alors :

x(%) =x(%)x1

. (1.30)

La représentation dans le plan complexe de la fonction h conduit à ce que l’on appellele Nyquist qui permet de reconnaître un certain nombre d’informations cachées dusystème mécanique. En d’autres termes, (un peu violents) on fait parler le système enlui tapant dessus. La figure 1.10 représente cette courbe. On peut remarquer plusieurscaractéristiques familières à l’ingénieur. Par exemple, pour % = 0 on retrouve l’in-verse du carré de la pulsation du système non amorti (%0). Pour % = %0, la fonction hest imaginaire pure et elle vaut :

h(%0) = "S = " 12)%2

0

= "(

1" )2Q. (1.31)


Figure 1.10. Fonction de transfert en représentation de Nyquist

Le nombre S est appelé la surtension. Il tend vers l’infini lorsque ) ! 0. Ainsi,la lecture de l’ordonnée à l’origine nous apporte deux renseignements précis sur lesystème mécanique : l’un est la valeur de %0 et l’autre, une fois %0 connue, nousindique la valeur de l’amortissement réduit ). Il est aussi commode, au lieu d’étudierh, de s’intéresser à la fonction i%h(%). L’intérêt est que son maximum d’amplitude estatteint pour % = %0 et que physiquement c’est la transformée de Fourier de la vitessede déplacement de la masse. C’est donc une quantité directement mesurable.

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Chapitre 1 du cours