Chapitre 1 : Polynôme d’interpolation de Lagrange & son utilisation

1.polynôme de Lagrange 2.calcul de dérivées : différences finies 3.calcul d’intégrales : quadrature d’interpolation 4.intégration temporelle d’EDO’s

Dans tous les cas, nous avons besoin de construire une fonction d’interpolation f(x)

Interpolation : qu’est-ce que c’est et à quoi ça sert ? Vous êtes astronome dans le 15ième siècle et vous étudiez le mouvement des étoiles à l’aide d’un télescope. Chaque nuit pas forcément à la même heure vous mesurez la position d’une même étoile de manière précise, ce qui vous donne un tableau de points de mesure

instantposition

Sous forme graphique

avec . A partir de ces mesures, on souhaite obtenir une idée de la positionde l’étoile f(x) à tout instant x.

Extrapolation :Interpolation :

Selon la position de x, on parle de

Cette fonction d’interpolation n’est pas unique. On peut interpoler des données d’une infinité de manières différentes, un exemple

fonction d’interpolationfonction d’interpolation

Certains choix sont plus précis que d’autres ou plus facile à mettre en oeuvre.

Le but est toujours de calculer les coefficients d’expansion à l’aide des données dont on dispose. Puis on reconstruit la fonction où on veut.

base générale

base polynomiale simple

Une fonction d’interpolation est toujours proposée comme une ‘décomposition’ sur une base connue de fonctions.

base Fourier

Quelques exemples :

Une fonction d’interpolation ne sert pas juste à reconstruire la fonction entre des points où on connait la valeur.

ou pour une intégrale

Ceci nous donne des formules très utiles, qui constituent le point de départ d’un très grand nombre de méthodes numériques utilisées en physique pour résoudre des EDO, EDP, équation intégrales ...

Dans ce cours, on se limitera à l’interpolation polynomiale de Lagrange et son utilisation.

On peut également l’utiliser afin de trouver une approximation pour une dérivée

1. Polynôme d’interpolation de Lagrange 1.1. Une formule assez intuitive

polynôme unique d’ordre 4, passant

par les 5 points

On dispose de (n+1) couples

Le polynôme d’interpolation de Lagrange est le polynôme unique d’ordre n, qui passe exactement par ces (n+1) points

Comment trouver les (n+1) coefficients ?

On peut définir un système linéaire, qui exprime que le polynôme passe effectivement par les points

=

Comme les points sont différents, nous avons toujours ce qui implique qu’il existe en effet une solution unique à ce problème

Trouver cette solution ne semble pas si facile que ça en pratique, mais Lagrange remarque que le polynôme

a une propriété intéressante.

car en effet, on voit facilement que ce polynôme passe exactement par tous les points

En conséquence le polynôme d’interpolation de Lagrange ne peut être que

Remarque : on comprend ici que les fonctions forment une base alternative aux monômes . Les coefficients d’expansion , sont directement les valeurs de la fonction sur les points ce qui est facile à retenir.

Ce polynôme

prend la valeur 1 dans le point , et zéro ailleurs, ou encore utilisant le symbole de Kronecker delta.

1.2. Quelques exemples simples

Le polynôme de Lagrange, passant par 2 points, est une droite

Le polynôme de Lagrange, passant par 3 points, est un parabole

Q : le polynôme de Lagrange passant par 1 point ??

1.3 Estimation de l’erreur

polynôme d’interpolationla vraie fonction

Si on approche une fonction f(x) par un polynôme d’interpolation, on fera évidemment des erreurs :

On aimerait être capable d’estimer ces erreurs afin de mesurer la “qualité” de l’approxima- tion polynomiale

Théorème (sans preuve)

avec

Théorème

l’erreur diminue en prenant plus de points et sera d’autant plus petite que

x est proche d’un point d’interpolationf ne varie pas trop brusquement

Si f(x) est un polynôme d’ordre alors l’erreur s’annule car

alors l’erreur sera un polynôme d’ordre n+1

Soit f(x) une fonction n+1 fois continûment dérivable sur l’intervalle [a,b] et n+1 points

où la fonction prends les valeurs Si on note P (x) le polynôme d’interpolation passant par ces (n+1) points

1.3 Estimation de l’erreur

polynôme d’interpolationla vraie fonction

Si on approche une fonction f(x) par un polynôme d’interpolation, on fera évidemment des erreurs :

On aimerait être capable d’estimer ces erreurs afin de mesurer la “qualité” de l’approxima- tion polynomiale

Ce théorème permet de borner l’erreur comme

Rq : l’erreur = 0, si on interpole f(x) un polynôme d’ordre n à l’aide de n+1 points.

Exemple interpolation Matlab & mot d’attention !

Interpolation d’un trajet de RER B connu (code interpol_rerb)

Méfiez-vous : augmenter l’ordre d’un polynôme n’augmente pas forcément la précision de l’interpolation, bien au contraire. Mieux faut-il interpoler par morceaux

utilisant des polynômes de bas ordre.

2. Dérivation numérique par différences finies

instantposition

2.1 Contexte simpleVous êtes expérimentateur et vous mesurez la position d’un mobile au cours du temps à des instants successifs

On sait déjà qu’on peut approcher la fonction par un polynôme d’interpolation. Les dérivées d’une fonction peuvent être approchées par les dérivées d’un polynôme d’interpolation = > formules différences finies

Comment calculer la vitesse et l’accélération du mobile ?

instantvitesse

accélération

Sera très utile dans le chapitre suivant

2.2 Différences finies suivant votre intuition

La dérivée d’une fonction f(x) par rapport à x est définie comme

On fait donc la différence entre une fonction en un point et en un point infiniment proche et on divise par cette petite distance.

Est-ce la seule formule que l’on puisse imaginer ?

Pas besoin de chercher très loin : en enlevant la limite, on remplace une dérivée par une différence finie

F = forward

On comprend intuitivement que plus que les soient rapprochés, plus que l’erreur sera petite.

Non, aucune raison pour préférer une direction “forward’’ par rapport à “backward’’ .

B = backward

ce qui mène par le même procédé à une formule alternative

On peut en effet définir la dérivée comme

Cette formule ne semble pas mieux que la précédente (F). Même remarque sur l’erreur d’ailleurs.

On peut encore aller plus loin

En effet, pourquoi ne pas prendre encore une autre formule comme définition de la dérivée

Cette formule peut alors mener à

C = centered

Visuellement on a l’impression de plus de précision, mais est-ce que c’est le cas ?

Que faire des dérivées d’ordre supérieur ?

Peut-on proposer une procédure un peu + systématique ?

Pour les dérivées d’ordre supérieur on peut procéder de la même manière

peut mener à

par une application successive des formules B et F.

si pts. équidistants

Mais on a du mal à estimer la précision de telles formules.

Par exemple, pour une dérivée d’ordre 2

2.3 Systématique = en utilisant le polynôme de Lagrange

Pour obtenir une approximation différences finie des dérivées en un point

...

on fixe d’abord un ensemble d’indices autour de j

que l’on veut voir apparaitre dans les formules différences finies

Nous choisissons ces points !

On calcule ensuite le polynôme de Lagrange passant par ces points

où on utilise les fonctions introduites dans la section 2

Construit sur (p+1) points, ce polynôme de Lagrange sera d’ordre p. On peut donc le dériver p fois.

Exercice : utilisant les indices calculer ces approximations diff. finies de

Bonne idée pour p > 2,3 ??

nous approchons les dérivées de la fonction par la dérivée d’un polynôme d’interpolation.

...

En exprimant :

Cette procédure nous donne des formules d’approximation différences finies, qui auront d’ailleurs toutes le même niveau de précision, en théorie.

Dangereux, pense à l’exemple RER B.

Solution générale

Cas particulier : maillage régulier

Remarque : il faut plus que 3 points pour des dérivées d’ordre sup.

2.4 Consistance & ordre des approximations

On comprend que nous avons de très nombreuses approximations différences finies pour les dérivées.

Q2. Qu’elle est le degré de précision, l’ordre de ces formules ?

Q1. Est-ce que ces formules sont consistantes, c.a.d. qu’elles tendent bien vers les bonnes dérivées dans la limite ?

Pour répondre, une seule méthode : appliquer la formule sur une fonction continûment différentiable et faire des développements limités autour d’un point choisi.

Quelques rappels sur les DL ?

que l’on suppose obtenue en travaillant avec des pas d’espace constant

Soit des formules données

Développement limité d’une fonction dans un voisinage de x

Parfois, nous avons envie de limiter un DL à un certain ordre. Par exemple :

où nous utilisons le symbole O.

Rappels sur les développements limités

avec A un nombre.

Ce symbole nous informe que les termes oubliés décroissent au moins aussi rapide que la quantité spécifié. Nous avons donc :

Quelques règles de calcul :

On remplace par un DL autour de

Dans le coté droit de la formule

exact résidu

Dans la limite l’approximation tend vers la formule exacte, ce qui démontre sa consistance. L’erreur, le résidu décroit comme avec p=1 ici

On dit que l’approximation est d’ordre 1

Formule forward (F)

Quelques exemples pour illustrer la notion de consistance et d’ordre

Formule centrée (C)

On remplace et par des DL autour de

ce qui donne

exact résidu

On dit que cette formule centrée est consistante et d’ordre 2.

Dans la limite l’approximation tend encore vers la formule exacte, ce qui démontre sa consistance. L’erreur, le résidu décroit comme avec p=2 ici

Pour résumer : afin de tester la consistance et afin de trouver l’ordre d’approximation d’une formule différence finie, il faut remplacer les termes par des DL autour du point dans lequel on souhaite calculer la dérivée.

On remplace à droite

Si la formule est consistante, on trouvera après avoir collecté les différents termes

où le résidu doit aller vers 0, avec .

Pour une formule différence finie de la forme

avec A une constante non-nulle, ce qui signifie que

On définit ordre comme l’exposant p

Attention : si vous trouvez à l’issue de vos calculs que

résidu =

Note : les formules différences construites sur le polynôme de Lagrange à (p+1) points, sont d’ordre p, toujours.

L’ordre peut être et on ne peut alors pas conclure. Il faudra alors recommencer et inclure plus de termes dans les DL utilisés pour remplacer

à l’aide de la procédure mentionnée.

Testez-le en calculant l’ordre des formules différences finie

3. Intégration numérique : quadrature d’interpolation

à évaluer la superficie sous la courbe f(x).

Graphiquement, on cherche par l’intégrale

3.1 Principe générale

3. Intégration numérique : quadrature d’interpolation

Graphiquement, on cherche par l’intégrale

à évaluer la superficie sous la courbe f(x).

Dans une formule de quadrature de d’interpolation on remplace la fonction dans l’intégrandum par un polynôme d’interpolation de Lagrange

mènera à une formule de la forme

cstvaleurs nodales

3.1 Principe générale

Les coefficients de la formule de quadrature d’interpolation à (n+1) points sont donc

avec

Comme il s’agit d’intégrales de polynômes, ces coefficients ne sont pas très difficiles à évaluer.

avec

Pour calculer les coefficients on rappelle que le polynôme d’interpolation de Lagrange basé sur (n+1) points est

et on remplace donc

3.2 Quelques exemples

Pour calculer l’intégrale, on remplace la fonction par le polynôme d’interpolation qui passe par les deux points d’extrémité

méthode du trapèze

On approche l’intégrale, l’aire sous la courbe, par l’aire du trapèze

méthode de Simpson

Pour calculer l’intégrale, on remplace la fonction par le polynôme d’interpolation qui passe par les deux points d’extrémité et le point du milieu

donne

On approche l’intégrale, par l’aire sous une parabole

3.3 Analyse d’erreur

On peut calculer l’erreur comme

?

Ici . Appliqué au deux exemples précédent

méthode du trapèze (2 points, n=1)

méthode de Simpson (3 points, n=2)

3.4 Méthodes composites

Sur des grands intervalles [a,b], on peut en principe appliquer la méthode avec des polynômes d’interpolation d’ordre de plus en plus élevé (formules de Newton-Cotes)

Un seul polynômed’ordre n

Méthode composite des trapèzes

Interpolation linéaire par morceau

En pratique, on utilise très souvent des méthodes composites. L’idée est ici de diviser l’intervalle [a,b] en sous-intervalles où on interpole avec des polynômes de bas ordre.

Ceci n’est pas conseillé, les formules ne deviennent pas forcément plus précises.

3.4 Méthodes composites

Sur des grands intervalles [a,b], on peut en principe appliquer la méthode avec des polynômes d’interpolation d’ordre de plus en plus élevé (formules de Newton-Cotes)

Un seul polynômed’ordre n

En pratique, on utilise très souvent des méthodes composites. L’idée est ici de diviser l’intervalle [a,b] en sous-intervalles où on interpole avec des polynômes de bas ordre.

Ceci n’est pas conseillé : les formules ne deviennent pas forcément plus précises.

Interpolation quadratique par morceau

Méthode composite de Simpson

Méthode composite du trapèze

On coupe l’intégrale en n termes où on applique à chaque fois la méthode du trapèze

L’erreur commise sera bornée comme

Souvent on prends les points équidistants entre a et b, pour On note . La formule se simplifie alors à

-1

Méthode composite de Simpson

On introduit de nouveau n+1 points dans l’intervalle [a,b]. L’intégrale ne sera divisé en seulement n/2 termes et n doit donc être pair

soit ...

Sur chacun des n/2 segments, on applique la méthode de Simpson. on fait donc une interpolation, quadratique par morceau. Avec des points équidistants, ceci donne

Méthode composite de Simpson

On introduit de nouveau n+1 points dans l’intervalle [a,b]. L’intégrale ne sera divisé en seulement n/2 termes et n doit donc être pair

Sur chacun des n/2 segments, on applique la méthode de Simpson. on fait donc une interpolation, quadratique par morceau. Avec des points équidistants, ceci donne

L’erreur sera alors bornée par

...

CI :

...

4. Intégration temporelle de systèmes d’EDO

On considère un système général de p équations différentielles ordinaires d’ordre 1 :

4.1 Problème aux conditions initiales

On dispose de exactement p fonctions que l’on connait et on cherche à identifier des solutions , , ... , qui passent par un état initial bien spécifié

sous forme vectorielle

sous forme vectorielle

CI = condition initiale, différent d’une condition limite, par le fait qu’on impose des valeurs à un seul “instant”.

1 point de

départ

pentes à tout temps

selon des méthodes

+ ou - précises

Connaitre la solution sur tous les temps sera difficile et n’est pas nécessaire. En pratique, il suffit de connaitre la solutions sur des temps discrets

L’idée générale d’une intégration temporelle numérique, peut être illustré comme ci-dessous :

Le pas de temps peut être fixe ou variable. S’il est fixe, on le notera

on calculera la solution donc pas par pas

...

notation

4.2 Méthode intuitives

Pourquoi ne pas utiliser ce que nous connaissons sur l’approximation des dérivées

(formule F)

On adoptera la notation vectorielle

CI :

donne directement

Méthode d’Euler explicite

On continue le long de la tangente sur un intervalle de temps

Explicite = connaissant l’état précédent, on calcule directement l’état suivant

Mais pourquoi préférer une formule “forward’’ par rapport à “backward”.

(formule B)

donne

ou encore

Méthode d’Euler implicite

Comme f peut être une fonction compliquée, on ne résolve pas si facilement cette équation “implicite”. (On peut utiliser la méthode de Newton...)

Implicite = connaissant l’état précédent, on ne peut pas directement calculer l’état suivant. Plus difficile à utiliser, mais ça peut avoir un intérêt : la stabilité.

4.3 + Systématique = utilisant le polynôme de Lagrange

Notre problème d’EDO + CI

CI :

= polynôme de Lagrange passant par

Euler explicite

Adams-Bashfort 1

Dans les méthodes de Adams-Bashfort, on remplace par un polynôme de Lagrange, qui interpole des points déjà connus, pour les temps Ceci donne des formules explicites, dont la précision dépend du dégrée du polynôme.

Quelques exemples :

peut s’écrire sous forme intégrale

et on peut utiliser les règles de quadrature d’interpolation pour approcher les intégrales.

= polynôme de Lagrange passant par

Adams-Bashfort 2

Un petit calcul

Pour calculer l’état en temps n+1, on utilise les deux précédents états n et n-1. Ces méthodes sont plus précises et explicites. On peut continuer la même procédure pour trouver des formules d’ordre plus élevé

Si on remplace

Dans les méthodes de Adams-Moulton, on remplace par un polynôme de Lagrange, qui interpole f pour les temps Ceci donne des formules implicites, dont la précision dépend du dégrée du polynôme. Quelques exemples :

= polynôme de Lagrange passant par

Euler implicite

Adams-Moulton 1

= polynôme de Lagrange passant par

Le calcul mène à Adams-Moulton 2

Crank-Nicolson Trapèzes ?

4.4 Autre méthode : Runge-Kutta

On peut encore construire d’autres formules, basées sur d’autres formules de quadrature d’interpolation. Les méthodes de Runge-Kutta sont les plus souvent utilisées en physique

RK4 : Runge-Kutta ordre 4

On évalue successivement

RK2 : Runge-Kutta ordre 2 (point du milieu)

En deux pas