CHAPITRE 1. STABILITE DES SYSTEMES LINEAIRES ?· PT – Electronique – Chapitre 1 Page 2 STABILITE…

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  • PT Electronique Chapitre 1 Page 1

    CHAPITRE 1. STABILITE DES SYSTEMES LINEAIRES

    I. Quest ce que la rponse harmonique dun systme linaire permanent ? ................................................ 2

    1. Rponse harmonique .............................................................................................................................. 2

    2. Systme linaire ...................................................................................................................................... 2

    3. Critre de linarit ................................................................................................................................... 3

    4. Systme permanent ou stationnaire ....................................................................................................... 3

    II. Comment caractriser la rponse harmonique ? ........................................................................................ 4

    1. Rgime harmonique tabli ...................................................................................................................... 4

    2. Fonction de transfert ............................................................................................................................... 4

    3. Notation oprationnelle ou de Laplace ................................................................................................... 4

    4. Reprsentation de la fonction de transfert : diagramme de Bode ......................................................... 5

    III. Comment tudier la rponse dun systme un signal priodique ? ........................................................ 7

    1. Dcomposition dun signal priodique quelconque en srie de Fourier ................................................ 7

    2. Reprsentation de la dcomposition : spectre ....................................................................................... 7

    3. Dcomposition en srie de Fourier de signaux usuels ............................................................................ 8

    a. Fonction harmonique .......................................................................................................................... 8

    b. Fonction crneau de valeur moyenne nulle ........................................................................................ 8

    c. Signal triangulaire ................................................................................................................................ 8

    4. Influence dun systme linaire sur un signal priodique : filtrage ...................................................... 10

    a. Principe .............................................................................................................................................. 10

    b. Filtrage dun crneau par un passe-bas ............................................................................................ 10

    c. Filtrage dun crneau par un passe-bande ........................................................................................ 11

    5. Comment vrifier quun systme rel est un systme linaire ? .......................................................... 11

    IV. Stabilit des systmes linaires ................................................................................................................ 12

    1. Dfinition ............................................................................................................................................... 12

    2. Rgime libre ........................................................................................................................................... 12

    3. Systme d'ordre un ............................................................................................................................... 12

    4. Systme d'ordre deux ............................................................................................................................ 13

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 2

    STABILITE DES SYSTEMES LINEAIRES

    Les objectifs de ce premier chapitre sont de :

    - dfinir un systme linaire ;

    - dcrire son comportement en rgime harmonique (fonction de transfert et diagramme de Bode) ;

    - caractriser la linarit d'un systme, utiliser la dcomposition en srie de Fourier.

    I. Quest ce que la rponse harmonique dun systme linaire permanent ?

    De nombreux systmes physiques (filtres en lectronique, masse soumise laction dun ressort de rappel et

    dun amortisseur en mcanique, machine courant continu en lectrotechnique), dans un domaine de

    fonctionnement limit, peuvent tre modliss par des systmes linaires, dont ltude est relativement

    simple.

    Nous limitons notre tude des systmes une seule entre et une seule sortie.

    1. Rponse harmonique

    Le rle dun systme est dlaborer un signal , signal de sortie ou rponse, partir dun signal donn

    , signal dentre ou excitation.

    e(t) s(t)

    La rponse harmonique est la rponse du systme un signal sinusodal : .

    2. Systme linaire

    Un systme est linaire si les grandeurs et sont lies par une quation diffrentielle linaire (D) :

    et sont des constantes relles

    , ordre maximal des drives successives de , est l'ordre du systme linaire.

    Consquence : Thorme de superposition (vrifi par tout systme linaire)

    Intrt :

    Connatre la rponse harmonique dun systme linaire permet de connatre sa rponse nimporte

    quel signal priodique (par dcomposition en srie de Fourier).

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 3

    3. Critre de linarit

    Un systme est linaire si sa rponse harmonique est harmonique.

    dit autrement : Les signaux sinusodaux sont des fonctions isomorphes des systmes linaires.

    Ltude de la rponse harmonique permet donc de vrifier la validit du modle linaire.

    4. Systme permanent ou stationnaire

    Un systme permanent est un systme dont toutes les caractristiques sont indpendantes du temps.

    Consquence : Thorme dinvariance (vrifi par tout systme permanent)

    Intrt :

    Un systme permanent nest pas modifi par un changement de lorigine du temps : .

    Une excitation donne engendrera toujours la mme rponse, quelque soit linstant auquel on la

    dclenche.

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 4

    II. Comment caractriser la rponse harmonique ?

    1. Rgime harmonique tabli

    Une fonction sinusodale du temps, dfinie sur ; n'a pas de caractre physique.

    Si l'tude est faite "suffisamment" longtemps aprs le dbut de l'excitation et si le rgime transitoire

    samortit, le rgime sinusodal est tabli : cest le "rgime sinusodal forc".

    En rgime harmonique tabli, on ne conserve que la solution particulire de lquation diffrentielle :

    cest une fonction sinusodale de pulsation , pulsation du signal harmonique d'entre.

    Si elle existe, cette solution est unique. (rsultats admis)

    lexcitation , correspond la rponse .

    Passage en notation complexe :

    La drivation par rapport quivaut une multiplication par .

    Lquation (D) scrit alors :

    2. Fonction de transfert

    La fonction de transfert du systme linaire, aussi appele transmittance complexe est :

    Le choix des lettres et pour les coefficients de lquation diffrentielle apparat clairement sur cette

    dernire expression.

    3. Notation oprationnelle ou de Laplace

    Cette notation repose sur la transformation de Laplace que nous ne dvelopperons pas ici. Dans le cas du

    rgime harmonique, on note .

    La fonction de transfert se note alors :

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 5

    Intrt :

    Dans la notation de Laplace est considr comme un oprateur :

    Sil sagit de loprateur multiplication par la constante , on retrouve la fonction de transfert

    complexe.

    Sil sagit de loprateur drive par rapport au temps , on retrouve lquation diffrentielle.

    4. Reprsentation de la fonction de transfert : diagramme de Bode

    Le gain est dfini par :

    Le dphasage de par rapport est dfini par :

    Le gain en dcibel (dB) est dfini par :

    Le diagramme de Bode donne les deux courbes et en fonction de .

    Soit la valeur maximale de ; est la valeur maximale de .

    La pulsation de coupure est dfinie par :

    On dfinit de mme la frquence de coupure :

    La bande passante dun filtre est lintervalle de pulsation donnant une amplification (ou un gain)

    suprieur la valeur de coupure :

    Annexe : Principales fonctions de transfert

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 6

    PRINCIPALES FONCTIONS DE TRANSFERT

    I. Importance des systmes dordre 1 et 2 Une fonction de transfert oprationnelle est une fraction rationnelle coefficients rels ; on peut donc la

    dcomposer en une somme de fractions rationnelles dont les dnominateurs ont un degr infrieur ou gal

    2.

    Ainsi tout systme linaire peut tre considr comme la composition de systmes linaires dordres au plus

    gal 2.

    II. Fonctions de transfert fondamentales Nous notons la fonction de transfert en rgime permanent, une constante de temps (que lon pourrait

    aussi noter

    ) et un coefficient sans dimension (que lon pourrait aussi noter

    ).

    Systmes linaires dordre 1

    Passe-bas :

    ou

    Passe-haut :

    o