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Chapitre 11 : Mouvement harmonique et oscillations
1. Mouvement du ressort
• Mise en équation : égaler la loi de Hooke et la loi de Newton
• Ressort attaché à une masse :
F = !kx = ma
m
a = !
k
mx
d2x
dt2= !
k
mx équation différentielle
Un mouvement harmonique considère toujours une accélération proportionnelle à -x
• Solution : d2x
dt2= !
k
mx = !!
2x
x = A cos(!t + ") ! =
!
k
m
• Animation :
k1 k3k2< <
vérifier la solution dans l’équation
• Paramètres de la solution : - Amplitude- fréquence angulaire- phase !
A
ω =2π
T
[m][Hz] [s
−1]
[rad]
fréquence des oscillations
• Oscillations anharmoniques :
rebonds d’une balle
va-et-vient!v
• Effet de la gravité :
m
m
!F
!F
m!g
mg ! kx = ma
!kx = ma
g ! !2x =
d2x
dt2
!!2x =
d2x
dt2
z = x ! g/!2
!!2z =
d2z
dt2La fréquence de vibration ne change pas !
C’est la position d’équilibre qui se déplace.
2. Pendules• Pendule simple :
m!g
!T
!
!
g
Lsin ! =
d2!
dt2
sin ! ! !
pendule presque harmonique
approximation (petites oscillations)
−mg sin θ = md2s
dt2
s
arc : s = Lθ
ω =�
g
L
• Pendule double :
chaotique !
3. Energie d’un oscillateur harmonique• Prenons le ressort comme oscillateur harmonique modèle :
K =1
2mv
2
U =1
2kx
2 x = A sin(!t + ")
v = A! cos(!t + ")
E = U + K =1
2kA2
!
sin2(!t + ") + cos2(!t + ")"
!2= k/m
E =1
2kA
2
car
L’énergie totale d’un oscillateur est constante et proportionnelle au carré de l’amplitude.
• Représentation graphique :
U
K
E1
2kA
2
t0 T
2
T 3T
2
4. Oscillations amorties• Ajout d’une force de frottement visqueuse :
m!F !V
!kx ! !dx
dt= m
d2x
dt2Newton :
on pose :
solution :
V = !!dx
dtfréquence propre : !0 =
!
k
m
amplitude décroissante
x = A exp
!
!
!t
2m
"
sin
#
$
%
"20!
!
!
2m
"2
t + #
&
'
nouvelle fréquenceconstante
vérifier la solution dans l’équation différentielle
A exp(...)
sin(...)
x
t
régime oscillatoire
régime apériodique
régime critique ω0 = λ/2m
ω0 > λ/2m
ω0 < λ/2m
5. Résonance• Oscillateur amorti forcé : ajout d’une force excitatrice
m!F !fe
fe = B cos(!et)on pose :
Newton : !kx ! !dx
dt+ B cos("et) = m
d2x
dt2
x = A(!e) sin(!et + "(!e))solution :
A =B
!
(m!2e! k)2 + "2!2
e
amplitude :
fréquence propre :
amplitude maximale quand !e = !0
!0 =
!
k
m
!V
!e = !0!e < !0 !e > !0
amortissement faible
amortissement élevé
!0
A
!e
Un transfert d’énergie maximal est obtenu lorsquela sollicitation a la même fréquence que la fréquence propre.
C’est la résonance.
• Oscillateurs couplés :
• Pendules couplés :
t
• Le pont de Tacoma : 7 novembre 1940
• Le pendule de Wilberforce :
position verticale
vitesse de rotation
t
• Le verre à vin :