Chapitre 15. Espaces vectoriels normés, topologiepc.cassin.free.fr/fichiers/15-topologie.pdfChapitre 15. Espaces vectoriels normés, topologie Danstoutcechapitre,E désigneunK-espacevectoriel,oùK

Chapitre 15. Espaces vectoriels normés, topologieDans tout ce chapitre, E désigne un K-espace vectoriel, où K est R ou C.

1. Normes et distances1.1. Définitions

Définition 15.1 – Norme, espace vectoriel normé

On appelle norme sur E toute application N de E dans [0 ; +∞[ véri-fiant les propriétés suivantes :��

Ý homogénéité : ∀(λ,x) ∈K×E, N(λx) = |λ|N(x) ;Ý inégalité triangulaire : ∀(x ,y) ∈ E2, N(x + y)¶ N(x) +N(y) ;Ý séparation : ∀x ∈ E, N(x) = 0⇒ x = 0E.

Le couple (E,N) est alors appelé espace vectoriel normé.Pour tout x ∈ E, N(x) est la norme de x, et si N(x) = 1, on dit que xest unitaire.

Remarques 15.1

Ý L’homogénéité entraîne que N(0E) = N(0.0E) = |0|N(0E) = 0. La séparationest la réciproque de ce résultat.

Ý R muni de la valeur absolue, et C du module, sont des vectoriels normés.

Ý On a déjà vu dans le chapitre sur les espaces euclidiens le cas de la normeeuclidienne définie par ‖x‖=p⟨x |x⟩.

Ý Si F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé (E,N), alors (F,N)est aussi un espace vectoriel normé.

Proposition 15.1 – Compléments à l’inégalité triangulaire

Soient N une norme sur E, (x ,y) ∈ E2, (x i)1¶i¶n ∈ En, et (λi)1¶i¶n ∈Kn :

|N(x)−N(y)|¶ N(x − y), et N� n∑

k=1

λi x i

�¶

n∑k=1

|λi|N(x i)

Remarque 15.2 En particulier ‖x − y‖¶ ‖x‖+ ‖y‖ !Exercice 15.1. Soit (a0, . . . ,an−1) une liste de réels strictement positifs, de somme1, montrer que les racines de Xn − (a0 + a1X+ · · ·+ an−1Xn−1) sont de norme auplus 1.

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Maths - PC - Lycée René Cassin - Bayonne - 2020-2021

1.2. Normes usuelles

Proposition 15.2 – Normes sur Kn

On définit trois normes sur Kn avec, pour tout X=� x1...

xn

∈Kn�,

‖X‖∞ = max1¶i¶n|x i| , ‖X‖1 =

n∑i=1

|x i| , ‖X‖2 =s

n∑i=1

|x i|2 =Æ

XT×X.

Exercice 15.2 – Équivalence des normes usuelles de Kn.Montrer que pour tout X ∈Kn, ‖X‖∞ ¶ ‖X‖1 ¶pn‖X‖2 ¶ n‖X‖∞ .

Exemples 15.1 – Autres normes usuelles.

Ý Pour toute matrice M=�

mi, j

� ∈Mn,p(K),

‖M‖∞ = max1¶i¶n1¶ j¶p

��mi, j

�� , ‖M‖1 =∑1¶i¶n1¶ j¶p

��mi, j

�� , ‖M‖2 =√√√√ ∑1¶i¶n1¶ j¶p

��mi, j

��2 =qtr�

MTM�

.

Ý Pour toute fonction f ∈ C ([a ; b] ,K),

‖ f ‖[a ; b]∞ = maxt∈[a ; b]

| f (t)| , ‖ f ‖1 =∫ b

a

| f (t)|d t, ‖ f ‖2 =s∫ b

a

| f (t)|2 d t.

Ý Pour tout u= (un)n∈N ∈ ℓ1(K) (K-espace vectoriel des suites sommables),

‖u‖∞ = supn∈N|un| , ‖u‖1 =

+∞∑n=0

|un| .

Ý Pour tout u= (un)n∈N ∈ ℓ2(K) (K-ev des suites de carré sommable),

‖u‖2 =s+∞∑n=0

|un|2.

Remarque 15.3 – inégalités sur le maximum ou la borne supérieureSoient A⊂ Ret M ∈ R,

��Ý si A est majoré, sup(A)¶M⇐⇒∀x ∈A, x ¶M,

Ý si A admet un maximum, max(A)¶M⇐⇒∀x ∈A, x ¶M.

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Chapitre 15. Espaces vectoriels normés, topologie

1.3. Boules, sphères, et parties convexes

Soit ‖.‖ une norme sur E.Définition 15.2 – Distance associée à une norme

L’application d de E2 dans [0 ; +∞[, définie par d(x ,y) = ‖y − x‖, estla distance sur E associée à ‖.‖.

Définition 15.3 – boule ouverte, boule fermée, sphère

Soit a un point de E, et r un réel strictement positif.

Ý On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r l’ensemble

Bo(a,r) = {x ∈ E | ‖x − a‖< r}= {x ∈ E | d(a,x)< r} .Ý On appelle boule fermée de centre a et de rayon r l’ensemble

B f (a,r) = {x ∈ E | ‖x − a‖¶ r}= {x ∈ E | d(a,x)¶ r} .Ý On appelle sphère de centre a et de rayon r l’ensemble

S(a,r) = {x ∈ E | ‖x − a‖= r}= {x ∈ E | d(a,x) = r} .

Remarque 15.4 Pour a = 0E et r = 1, on parle de boule unité, et de sphère unité.

Définition 15.4 – Partie convexe

Une partie A de E est dite convexe lorsque tout segment entre deuxpoints de A est inclus dans A :

∀(x ,y) ∈ A2, ∀t ∈ [0 ; 1] , t x + (1− t)y ∈ A.

Remarque 15.5 l’intersection de parties convexes est encore une partie convexe.

Proposition 15.3

Toute boule (ouverte ou fermée) est une partie convexe.

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1.4. Parties bornées, suites bornées, et fonctions bornées

Définition 15.5 – Partie bornée

Une partie K de E est dite bornée pour la norme ‖.‖ s’il existe unréel M ¾ 0 qui vérifie pour tout x de K, ‖x‖ ¶ M autrement dit K ⊂B f (0E,M).

Méthode 15.1 – Pour montrer qu’une partie A de E n’est pas bornée, on peutexhiber une suite (un)n∈N de termes de A telle que lim

n→+∞‖un‖=+∞.

Par exemple, on montre que la partie�(x ,y,z) ∈ R3

�� x yz = 1n’est pas bornée

pour ‖.‖∞, avec un = (1/n,n,1).

Exercice 15.3. Montrer que ∆n =

¨(x1, . . . ,xn) ∈ [0 ; +∞[n

�� n∑i=1

x i = 1

«, est une

partie convexe bornée de Rn.

Définition 15.6 – Application bornée, suite bornée

Ý Une application f d’un ensemble quelconque A dans E est dite bor-née lorsque f (A) est une partie bornée de E, autrement dit lorsque

∃M ∈ ]0 ; +∞[ , ∀x ∈ A, ‖ f (x)‖¶M.

Ý Une suite (un)n∈N de EN est bornée lorsque l’ensemble de ses valeursest borné, autrement dit lorsque

∃M ∈ ]0 ; +∞[ , ∀n ∈ N, ‖un‖¶M.

Remarque 15.6

Ý Dans les deux cas, noter que la borne M est indépendante de x ou de n !

Ý L’ensemble des applications bornées sur A à valeurs dans E est un sous espacevectoriel de A (A,E), dans lequel ‖ f ‖A∞ = sup

x∈A‖ f (x)‖ définit une norme ;

Ý l’ensemble des suites bornées de EN est un sous-espace vectoriel de EN, danslequel

(un)n∈N ∞ = sup

n∈N‖un‖ définit aussi une norme.

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2. Suites d’un espace vectoriel normé de dimension finie

Dans toute la suite, (E,‖.‖) est un espace vectoriel normé de dimensionfinie.

Exemple 15.2.

sin(n)n

e−n

1n2 2

!!n∈N∗

définit une suite deM2(R).

2.1. Convergence et limite d’une suite

Définition 15.7

Une suite (un)n∈N de EN converge pour la norme ‖.‖ vers le vecteurℓ ∈ E si, et seulement si, lim

n→+∞‖un− ℓ‖= 0, c’est-à-dire :

∀ϵ > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, (n¾ n0⇒ ‖un− ℓ‖¶ ϵ) .

Proposition 15.4 – Limite d’une suite de vecteurs

Si une suite (un)n∈N de EN converge pour la norme ‖.‖ vers le vecteurℓ, alors

Ý ce vecteur ℓ est unique, et on l’appelle limite de la suite pour lanorme ‖.‖ et noté ℓ= lim

n→+∞un ;

Ý la suite (un)n∈N est bornée.

Proposition 15.5 – La convergence est indépendante de la norme

Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, la convergenced’une suite, et la valeur de la limite, ne dépendent pas de la norme.

Remarque 15.7 L’ensemble des suites de EN convergentes pour la norme N estun sous-espace vectoriel de EN, sur lequel l’application (un)n∈N 7→ lim

n→+∞un est une

forme linéaire.

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2.2. Convergence d’une suite et convergence des coordonnées

Proposition 15.6 – Convergence par les suites de coordonnées

Soit B = (e1, . . . ,ep) une base de E, et (un)n∈N une suite de vecteurs deE. Pour tout n ∈ N, on note u1

n, . . . ,upn les coordonnées de un dans la

base B , autrement dit un =p∑

k=1uk

nek.

La suite (un)n∈N est convergente si, et seulement si, les suites de sescoordonnées dans la base B sont convergentes, autrement dit lorsquepour tout k ∈ J1,nK, �uk

n

�n∈N converge dans K.

Dans ce cas, les coordonnées de la limite sont les limites des coordon-nées, c’est-à-dire :

limn→+∞un =

p∑k=1

�lim

n→+∞ukn

�ek.

Exemple 15.3. La suite des matrices de l’exemple 15.2 converge vers�

0 00 2

�.

En revanche, la suite des Bn =

n�

e1n − 1

�2n−13n+2

cos(n)

ne converge pas.

Remarque 15.8 La suite (un)n∈N est bornée si, et seulement si, les suites de sescoordonnées dans n’importe quelle base sont bornées.

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3. Notions de topologieDéfinition 15.8 – Point intérieur, point adhérent

Ý Un point a de E est intérieur à la partie A si, et seulement si, ilexiste une boule ouverte autour de a incluse dans A, autrement dit

∃r > 0, Bo(a,r)⊂ A

L’intérieur de A est l’ensemble noté �A de ses points intérieurs.

Ý Un point a de E est adhérent à la partie A si, et seulement si, touteboule ouverte autour de a contient des points de A, autrement dit

∀r > 0, Bo(a,r)∩A 6=∅.

L’adhérence de A est l’ensemble noté A de ses points adhérents.

Ý On a �A⊂ A⊂ A, et la frontière de A est l’ensemble FA = A \�A.

Proposition 15.7 – Caractérisation séquentielle d’un point adhé-rent

Un point a de E est adhérent à A si, et seulement si, il existe une suited’éléments de A qui converge vers a.

Exemples 15.4.Ý

�ý[0 ; 1[ = ]0 ; 1[, [0 ; 1[ = [0 ; 1], et la frontière de [0 ; 1[ est {0,1}.Ý Dans R normé par la valeur absolue, �N=∅ et N= N, �R= R et R= R.

Tout réel est adhérent à Q, autrement dit Q = R. On dit que Q est dense dansR.

Ý Le réel 0 est un point adhérent à l’ensemble {1/n | n ∈ N∗}, plus généralement,si A⊂ R, sup(A) et inf(A), s’ils existent, sont adhérents à A.

Ý Tout point de la sphère S(a,r) est adhérent à la boule ouverte Bo(a,r).

Ý On a même Bo(a,r) = B f (a,r),�ÿB f (a,r) = Bo(a,r), et la frontière de Bo(a,r)

comme celle de B f (a,r) est la sphère S(a,r).

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Définition 15.9 – Partie ouverte, partie fermée

Ý Une partie A de E est un ouvert de E lorsque �A= A.

Ý Une partie A de E est un fermé de E lorsque A= A.

Proposition 15.8 – Caractérisations

(1). Une partie A de E est fermée si, et seulement si, toute suite d’élé-ments de A qui converge (dans E) a sa limite dans A.

(2). Une partie A de E est ouverte si, et seulement si, pour tout a ∈ A,il existe r > 0 tel que BO(a,r)⊂ A.

(3). Une partie A de E est fermée si, et seulement si, son complémen-taire ûEA est une partie ouverte.

Exercice 15.4. Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace vectorielnormé E est une partie fermée.Le seul sous-espace vectoriel ouvert de E est E lui-même.

Exemples 15.5.

Ý l’intervalle ]0 ; 1] n’est ni ouvert ni fermé.

Ý Les intervalles ouverts sont des ouverts de R, et [a ; b], ]−∞ ; a] et [a ; +∞[sont des fermés de R.

Ý Toute partie finie de E est fermée.

Ý Toute sphère est un fermé.

Proposition 15.9 – Réunions et intersections de parties

Une réunion quelconque d’ouverts, et une intersection finie d’ouvertsest un ouvert,tandis qu’une réunion finie de fermés, et une intersection quelconquede fermés est un fermé.

Remarque 15.9⋂

n∈N∗

�−1

n;

1

n

�= {0} , ⋃

n∈N∗

�−1+

1

n; 1− 1

n

�= ]−1 ; 1[ .

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4. Limite d’une application entre deux espaces vectorielsnormés

Dans tout la suite de ce chapitre, (E,N) et (F,‖.‖) sont deux espaces vec-toriels normés de dimensions finies, et A est une partie non vide de E.On désigne par

Ý f une application définie sur la partie A de E, à valeurs dans F,Ý a un point de E adhérent à A,

Ý b, c deux points de F.

4.1. Définition, premières propriétés

Définition 15.10 – Limite en un point

On dit que f admet b comme limite en a lorsque

∀ϵ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ A, (N(x − a)¶ δ =⇒ ‖ f (x)− b‖¶ ϵ) .

Exemple 15.6. La norme N, application de E dans R, vérifie limx→0E

N(x) = 0.

Proposition 15.10 – Unicité de la limite

Si f admet une limite en a, celle-ci est unique, et on la note limx→a

f (x),ou lim

af .

Proposition 15.11 – Caractérisation séquentielle de la limite

L’application f a pour limite b en a si, et seulement si, pour toute suite(xn)n∈N d’éléments de A qui tend vers a, la suite ( f (xn))n∈N convergevers b.

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Exercice 15.5. Montrer que la fonction (x ,y) 7−→ x y6

x6+y8 n’a pas de limite en (0,0).

Remarques 15.10

(1). Les notions de limite, et plus loin de continuité, ne dépendent pas des normeschoisies dans E et F (car ce sont des espaces vectoriels normés de dimensionfinie).

(2). Si cette limite existe, lima

f est un point adhérent à f (A).

(3). Pour se ramener à la limite en 0E d'une fonction à valeurs réelles :

lima

f = b si, et seulement si, limx→0E‖ f (a+ x)− b‖= 0.

Proposition 15.12 – Limite par encadrement

Si

��Ý ∀x ∈ A, ‖ f (x)− b‖¶ φ(x),Ý lim

x→aφ(x) = 0, alors lim

x→af (x) = b.

Exemples 15.7.

Ý La norme N est une application de E dans R, et pour tout a ∈ E, grâce àl’inégalité |N(x)−N(a)|¶N(x− a), on a par encadrement la limite lim

x→aN(x) =

N(a).

Ý La fonction définie sur R2 \{(0,0)} par f (x ,y) = x2 y2

x2+y2 tend vers 0 en (0,0), caren passant par les coordonnées polaires, pour tout (x ,y) 6= (0,0),

| f (x ,y)|=��ρ2 cos(θ)2ρ2 sin(θ)2

ρ2

��¶ ρ2 = x2+ y2 et x2+ y2 −−−−−−−→(x ,y)−→(0,0)

0.

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4.2. Caractérisations par les coordonnées

On note B = (e1, . . . ,en) une base de F.

Définition 15.11 – Applications coordonnées

Pour tout x ∈ A, on note ( f1(x), . . . , fn(x)) les coordonnées de f (x)dans la base B :

∀x ∈ A, f (x) =n∑

i=1

fi(x)ei, ou encore MatB ( f (x)) =

f1(x)

fn(x)

.

Pour tout i ∈ J1,nK, on appelle i-ème application coordonnée de fdans la base B l’application fi, qui va de A dans K.

Proposition 15.13 – Caractérisation de la limite par les applica-tions coordonnées

La fonction f admet pour limite b =n∑

i=1biei en a si, et seulement si,

pour tout i ∈ J1,nK, l’application coordonnée fi admet pour limite bi ena.

4.3. Propriétés

Proposition 15.14 – Limite d’une application composée

Soient G un espace vectoriel normé de dimension finie, et g une appli-cation définie sur f (A), à valeurs dans G.

Si

��Ý lima

f = b (alors b est adhérent à f (A)),

Ý limb

g = c,alors lim

a(g ◦ f ) = c.

Remarque 15.11 Si f tend vers b, alors ‖ f ‖ tend vers ‖b‖.

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Corollaire 15.15 – Pour montrer qu’une fonction n’a pas de limite

Soient G un espace vectoriel normé de dimension finie, φ une applica-tion de R dans F, et g une application définie sur φ(I), à valeurs dansG.

Si

��Ý lim0φ(t) = b,

Ý limb

g = c,alors lim

t→0(g(φ(t)) = c.

Exercice 15.6. Montrer que f : (x ,y) 7→ x y2

x2+y4 n’a pas de limite en (0,0).

Proposition 15.16 – Opérations algébriques sur les limites

Combinaison linéaire : si deux applications f et g de A dans F ad-mettent pour limites respectives b et c en a, alors

∀(α,β) ∈K2, limx→a(α f + βg)(x) = αb+ βc.

Produit par une application scalaire : si lima

f = b, et si u est une

application de A dans K qui admet pour limite α en a, alorslim

a(u× f ) = α× b.

Inverse d'une application scalaire, quotient : si u est une applica-tion de A dans K qui admet pour limite α en a, avec α 6= 0,alors il existe r > 0 tel que u ne s’annule pas sur B(a,r) ∩A, etlimx→a

1u(x)= 1α·

Si de plus lima

f = b, alors limx→a

1u(x)

f (x) = 1α

b·

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5. Continuité en un point, sur une partie5.1. Définitions, caractérisations et propriétés

Définition 15.12 – Continuité, prolongement par continuité

(1). Si

��Ý a ∈ A,

Ý lima

f = b, alors§

b = f (a),on dit que f est continue en a.

(2). Si

��Ý a ∈ A \A,

Ý lima

f = b,alors

�� f est prolongeable par continuité sur A∪{a}par f̃ (x) =

�f (x) si x ∈ A,

b si x = a.

(3). Une application est continue sur A lorsqu’elle est continue en toutpoint de A.On note C (A,F) ou C 0(A,F) l’ensemble des fonctions continuessur A à valeurs dans F.

Exemples 15.8.

Ý Les normes sont des applications continues.

Ý La fonction somme d’une série entière d’une variable complexe est continue surson disque de convergence.

Proposition 15.17 – Caractérisations de la continuité

(1). f est continue en a ∈ A si, et seulement si, pour toute suite(xn)n∈N ∈ AN, si xn −−−−→n−→+∞ a alors f (xn)−−−−→n−→+∞ f (a).

(2). f est continue en a ∈ A (resp. sur A) si, et seulement si, ses appli-cations coordonnées le sont aussi.

Proposition 15.18 – Images réciproques par une fonction continue

Si f : E −→ R est continue, alors l’image réciproque par f d’un inter-valle ouvert (resp. fermé) de R est un ouvert (resp. fermé) de E.

Exercice 15.7. Montrer que si f : E→ R est continue, alors {x ∈ E | f (x)> 0} estun ouvert de E, et {x ∈ E | f (x) = 0}, {x ∈ E | f (x)¾ 0} sont des fermés de E.

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Proposition 15.19 – Continuité et opérations sur les applications

(1). Si f est continue sur A, et si B ⊂ A, alors la restriction f|B de f àB est continue sur B.

(2). Si f est continue sur A, si g est continue sur une partie B de Fcontenant f (A), alors g ◦ f est continue sur A.

(3). C (A,F) est un sous-espace vectoriel deA (A,F), autrement dit unecombinaison linéaire d’applications continues sur A est encore uneapplication continue sur A.

(4). Si u est à valeurs dans K, continue sur A, et si f est continue surA, alors u× f est continue sur A.Si de plus u ne s’annule pas sur A, alors 1

u× f est aussi continue

sur A.

Exercice 15.8. Montrer que la fonction f définie sur R2 par f (x ,y) =ln(1+ x y)

xsi x 6= 0, et f (0,y) = y, est continue sur son domaine de définition D que l’onprécisera. (On pourra s’intéresser à t 7→ ln(1+t)

t.)

Exemples 15.9.

Ý Les fonctions monômes de plusieurs variables (x1, . . . ,xn) 7→ λxk11 · · · xkn

n , et doncles fonctions polynômes de plusieurs variables, sont continues sur Kn.

Ý En particulier, le déterminant est une application continue surMn(R).Ý Si f est continue, alors ‖ f ‖ est continue.

Exercice 15.9. Montrer que G ln(R) est une partie ouverte deMn(R).

Remarque 15.12 – VocabulaireUne partie fermée et bornée d’un espace vectoriel normé E est appelée partiecompacte de E.Un segment [a ; b] est une partie compacte de R ; les boules fermées sont desparties compactes.

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Proposition 15.20 – Le théorème des bornes atteintes

Ý Si f est une fonction continue sur une partie compacte K de E, nonvide, fermée et bornée, alors f est bornée sur K ;

Ý de plus, « elle atteint ses bornes sur K », autrement dit ‖ f ‖ admetun minimum et un maximum sur K, ce qui signifie qu’il existe x0 etx1 dans K tels que

‖ f (x0)‖=maxx∈K ‖ f (x)‖, et ‖ f (x1)‖=min

x∈K ‖ f (x)‖.

Exercice 15.10. Montrer que la fonction t 7→ 1−cos(t)t2 est bornée sur ]0 ; +∞[.

Exercice 15.11 – Extrait de Centrale.Montrer que le déterminant admet un maximum sur l’ensemble Yn des matricesdeMn(R) dont tous les coefficients sont dans [0,1].

5.2. Applications lipschitziennes

Définition 15.13

Soit k ∈ ]0 ; +∞[, on dit que f est k−lipschitzienne sur A lorsque

∀(x ,y) ∈ A2, ‖ f (x)− f (y)‖¶ k N(x − y).

Exemples 15.10.

Ý Toute norme est 1-lipschitzienne.

Ý Grâce aux inégalités des accroissements finis, toute fonction de classe C 1 sur Rdont la dérivée est bornée sur R est

f ′ R∞-lipschitzienne.

Ý La composée d’une application k-lipschitzienne par une application ℓ-lipschitzienne est kℓ-lipschitzienne.

Proposition 15.21 – Continuité des applications lipschitziennes

Toute fonction k−lipschitzienne sur A est continue sur A.

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5.3. Continuité des applications linéaires et bilinéaires

Proposition 15.22 – Continuité d’une application linéaire

Soit u une application linéaire de E dans F.(1). Il existe un réel positif k qui vérifie ∀x ∈ E, ‖u(x)‖¶ kN(x).(2). L’application u est continue sur E.

Exemples 15.11.

Ý Pour toute matrice A ∈ Mn(R), l’application X 7→ AX de Rn dans Rn (c’estl’endomorphisme canoniquement associé à A), est continue sur Rn.

Ý L’application trace deMn(K) dans K est continue surMn(K).Ý Si P ∈GLn(K), alors M 7→ P−1MP est continue surMn(K).

Proposition 15.23 – Continuité d’une application multilinéaire

Soit f une application p-linéaire, c’est-à-dire linéaire par rapport àchaque variable, de (Kn)p dans E.

(1). Il existe k ∈ R tel que ∀(x ,y) ∈ E×F, N( f (x1, . . . ,xp))¶ kp∏

i=1‖x i‖.

(2). L’application f est continue sur (Kn)p.

Exemples 15.12.

Ý On retrouve la continuité du déterminant d’une famille de vecteurs dans unebase, qui est linéaire par rapport à chaque vecteur.

Ý Dans un espace euclidien, le produit scalaire est une application continue

Ý Le produit matriciel (A,B) 7→A×B, et la composition (u,v) 7→ u◦v sont continuesrespectivement surMn(K)2 et L (E,F)×L (F,G).

Ý Le produit externe (λ,x) 7→ λx de K×E dans E est continu.

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Une correction de l’exercice 15.1 énoncéSoit α ∈ C, supposons que α est racine du polynôme P = Xn − (a0 + a1X+ · · ·+ an−1Xn−1), et montrons que|α|¶ 1.

Ý α est racine du polynôme P=Xn − (a0 + a1X+ · · ·+ an−1Xn−1) =Xn − n−1∑k=0

akXk, donc P(α) = 0, d’où

αn =n−1∑k=0

akαk ,

puis en prenant le module

|α|n =��n−1∑k=0

akαk

�� .Mais d’une part le module d’un produit est le produit des modules, et d’autre le module est une norme sur C,donc grâce à l’inégalité triangulaire

|α|n ¶n−1∑k=0

|ak| |α|k

=n−1∑k=0

ak |α|k (car les ak sont positifs)

Ý

!L’énoncé nous dit que

n−1∑k=0

ak = 1, mais |α|k ne peut être isolé dans la somme ci-dessus. On a

alors l’idée de majorer les |α|k par la plus grande puissance |α|n−1, mais ce serait commettrel’erreur classique qui consiste à oublier que pour les réels de ]0 ; 1[, les puissances sontdécroissantes !

Raisonnons par l’absurde : supposons que |α|> 1.Alors dans ce cas

∀k ∈ J0 ; n− 1K, |α|k ¶ |α|n−1 ,

donc comme les ak sont positifs,

∀k ∈ J0 ; n− 1K, ak |α|k ¶ ak |α|n−1 ,

!Une autre erreur classique est de dire que si x1, . . . ,xn sont tous majorés par M,

alorsn∑

i=1ai x i ¶

n∑i=1

aiM, sans se soucier de ce que ceci dépend du signe des coeffi-

cients ai !

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Maths - PC - Lycée René Cassin - Bayonne - 2020-2021puis on additionne ces inégalités pour k de 0 à n− 1, ce qui donne

|α|n =n−1∑k=0

ak |α|k ¶n−1∑k=0

ak |α|n−1

=

n−1∑k=0

ak

!︸︷︷︸

=1

|α|n−1 ,

mais cette égalité, en multipliant par 1|α|n−1 qui est strictement positif, donne α ¶ 1, ce qui contredit notre

hypothèse de départ.On a donc prouvé par l’absurde que |α|¶ 1.

Une correction de l’exercice 15.2 énoncéSoit X= (x1, . . . ,xn) ∈Kn.

Ý Pour tout i ∈ J1 ; nK, |x i |¶n∑

k=1|xk|= ‖X‖1, donc

‖X‖∞ = max1¶i¶n|x i |¶ ‖X‖1 .

Ý ‖X‖1 =n∑

k=1

|xk|=n∑

k=1

1× |xk|¶s

n∑k=1

12 ×s

n∑k=1

|xk|2 (grâce à l’ inégalité deCauchy-Schwarz) =

pn×‖X‖2 .

Ý Pour tout k ∈ J1 ; nK, |xk|¶ ‖X‖∞, donc |xk|2 ¶ ‖X‖2∞, et en additionnant ces inégalités pour i de 1 à n, puisavec la croissance de la fonction � 7→ p� :

‖X‖22 =s

n∑k=1

|xk|2

¶

sn∑

k=1

‖X‖2∞ =Æ

n×‖X‖2∞ =p

n‖X‖∞ .

Une correction de l’exercice 15.3 énoncéÝ Si x = (x1, . . . ,xn) ∈∆n, alors

‖x‖1 =n∑

i=1

|x i |=n∑

i=1

x i (car x ∈∆n, donc les x i sont positifs)

= 1 (car x ∈∆n.)

Ainsi ∆n est une partie bornée.Ý Si x = (x1, . . . ,xn) ∈∆n, et y = (y1, . . . ,yn) ∈∆n, alors pour tout t ∈ [0 ; 1],

t x + (1− t)y = (t x1 + (1− t)y1, . . . ,t xn + (1− t)yn)

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Chapitre 15. Espaces vectoriels normés, topologieet

· ∀i ∈ J1 ; nK, t x i + (1− t)yi ¾ 0, car t ¾ 0, 1− t ¾ 0, x i ¾ 0, yi ¾ 0

·n∑

i=1

t x i + (1− t)yi = tn∑

i=1

x i + (1− t)n∑

i=1

yi = t × 1+ (1− t)× 1= 1.

Donc t x + (1− t)y ∈∆n.

Une correction de l’exercice 15.4 énoncéSoit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, et (xn)n∈N une suite de vecteurs de F qui converge versun vecteur x de E. Montrer que x est dans F.

Première méthode : F est de dimension finie, soit (e1, . . . ,ep) une base de F, et pour tout n ∈ N, xn =p∑

i=1ai,nei .

On sait que la suite (xn)n∈N converge si, et seulement si, les suites de ses coordonnées convergent,autrement dit

∀i ∈ J1 ; nK, ai,n −−−−−→n−→+∞ ℓi ,

et dans ce cas

limn→+∞(xn) = lim

n→+∞p∑

i=1

ai,nei =p∑

i=1

ℓi ei .

Donc par unicité de la limite, x =p∑

i=1ℓi ei , donc x ∈ F.

Deuxième méthode : soit G un sous-espace vectoriel supplémentaire de F dans E (G existe car F est de dimen-sion finie), et p le projecteur sur F parallèlement à G.Pour tout n ∈ N, xn ∈ F, donc p(xn) = xn. Ainsi,

limn→+∞ p(xn) = lim

n→+∞ xn = x .

Mais le projecteur p est une application linéaire, donc c’est une application continue (voir prop 13.34),ainsi

limn→+∞ p(xn) = p

�lim

n→+∞ xn

�= p(x).

Ainsi par unicité de la limite, p(x) = x, donc x ∈ F.Soit F un sous-espace vectoriel de E qui est une partie ouverte de E. On sait déjà que F⊂ E, montrons donc queE⊂ F.Soit x ∈ E.Le vecteur nul 0E est dans F car F est un sous-espace vectoriel de E. Donc comme F est un ouvert, il existe unréel r > 0 tel que Bo(0E,r)⊂ F.Si x = 0E alors x ∈ F ; sinon, x 6= 0E, d’où y = r

2‖x‖ x est un vecteur de norme r2, donc y ∈Bo(0E,r).

Or Bo(0E,r) ⊂ F, donc y ∈ F, et comme F est un sous-espace vectoriel de E, F est stable par combinaisonlinéaire, d’où x = 2‖x‖

r y est aussi dans F. c.q.f.d

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Une correction de l’exercice 15.5 énoncéÝ xn = (1/n,1/n)−−−−−→

n−→+∞ 0, et f (xn) =1/n7

1/n6+1/n8 =n

n2+1∼

n→+∞1n −−−−−→n−→+∞ 0,

Ý mais x ′n = (1/n2,1/n)−−−−−→n−→+∞ 0, et f (x ′n) =

1/n8

1/n12+1/n8 =n4

1+n4 −−−−−→n−→+∞ 1.

Une correction de l’exercice 15.6 énoncé(t,t)−−−→

t−→0(0,0) et (t2,t)−−−→

t−→0(0,0), mais

f (t,t) = t3

t2+t4 ∼t→0t −−−→

t−→00

etf (t2,t) = t4

t4+t4 ∼t→0

12−−−→t−→0

12.

Donc f n’a pas de limite en (0,0).

Une correction de l’exercice 15.7 énoncéÝ A= {x ∈ E | f (x)> 0}= f −1 (]0 ; +∞[), or f est continue et ]0 ; +∞[ est un intervalle ouvert de R, donc A

est une partie ouverte de E.

Ý B= {x ∈ E | f (x) = 0}= f −1 ({0}) et C= {x ∈ E | f (x)¾ 0}= f −1 ([0 ; +∞[), or f est continue, tandis que{0} et [0 ; +∞[ sont des parties fermées de R, donc B et C sont des parties fermées de E.

Une correction de l’exercice 15.8 énoncéÝ L’application

φ : t 7→

ln(1+ t)t

si −1< t < 0 ou t > 0,

1 si t = 0.

est continue sur ]−1 ; +∞[ car :⋆ sur ]−1 ; 0[ et ]0 ; +∞[ c’est le rapport de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule

pas ;

⋆ en 0 : ln(1+ t) ∼t→0

t donc f (t) ∼t→0

1= f (0), ce qui prouve la continuité de f en 0.

Ý Soit D=¦(x ,y) ∈ R2 | x y >−1

©.

⋆ Le produit p : (x ,y) 7→ x y est une application continue (polynomiale) sur R2 donc a fortiori sur D ;

⋆ on a vu que l’application φ est continue sur p(D) = ]−1 ; +∞[,donc par composition

φ ◦ p : (x ,y) 7→ ln(1+ x y)

x ysi x y 6= 0,

1 si x y = 0.

est continue sur D.

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Chapitre 15. Espaces vectoriels normés, topologieEnfin,

f : (x ,y) 7→ y × (φ ◦ p)(x ,y) =

¨ln(1+x y)

x si x y 6= 0,y si x y = 0.

est aussi continue sur D comme produit de l’application (x ,y) 7→ y continue sur R2 et de φ ◦ p qui est continuesur D.

Une correction de l’exercice 15.9 énoncéÝ L’application det : M ∈Mn(R) 7→ det(M) ∈ R est une application polynomiale, car det(M) est une expression

polynomiale des coefficients de M. Donc det est une application continue surMn(R).Ý De plus G ln(R) est l’ensemble des matrices deMn(R) dont le déterminant est non nul, autrement dit G ln(R)

est l’image réciproque par det de R \ {0}.Ý Mais R \ {0}= ]−∞ ; 0[∪ ]0 ; +∞[ est une partie ouverte de R comme réunion de deux intervalles ouverts.

Donc grâce à la proposition 16.18, G ln(R) est une partie ouverte de Mn(R) en tant qu’image réciproqued’une partie ouverte de R par une application continue.

Une correction de l’exercice 15.10 énoncéLa fonction φ : t 7→ 1−cos t

t2 tend vers 0 en +∞, par encadrement car

∀t > 0,

��1− cos t

t2

��¶ 2

t2 ·

Donc il existe A> 0 tel que, pour tout t >A, |φ(t)|¶ 1.Mais d’autre part, φ est prolongeable en une fonction continue sur [0 ; A], car

1− cos t

t2 =t→0

1− �1− 12

t2 + o(t2)�

t2 ∼t→0

1

2,

donc elle est bornée sur le segment [0 ; A].Ainsi, φ est bornée sur [0 ; +∞[.

Une correction de l’exercice 15.11 énoncéÝ l’ensemble Yn est borné car pour toute matrice M ∈ Yn, alors

‖M‖∞ = max1¶i, j¶n

��Mi, j

��¶ 1.

Ý Soit (Mn)n∈N une suite de matrices de Yn qui converge vers une matrice M deMn(R).Alors pour tout (i, j) ∈ J1 ; nK2, (Mn)i, j −−−−−→n−→+∞ (M)i, j .Or pour tout n ∈ N, 0¶ (Mn)i, j ¶ 1, donc par conservation des inégalités larges à la limite, 0¶ (M)i, j ¶ 1.Ainsi, M ∈ Yn.Par conséquent, toute suite convergente de Yn a sa limite dans Yn, ce qui prouve que Yn est un fermé.

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Maths - PC - Lycée René Cassin - Bayonne - 2020-2021Ý On a donc prouvé que Yn est une partie compacte deMn(R), or on sait que le déterminant (en tant qu’expres-

sion polynomiale des composantes de chaque matrice, ou encore en tant qu’application n-linéaire deMn(K)considéré comme (Kn)n) est une application continue surMn(R), donc sur Yn.On peut donc affirmer que le déterminant admet un maximum sur Yn.

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Documents

Chapitre 15. Espaces vectoriels normés, topologiepc.cassin.free.fr/fichiers/15-topologie.pdfChapitre 15. Espaces vectoriels normés, topologie Danstoutcechapitre,E désigneunK-espacevectoriel,oùK