04 - Espaces Vectoriels Et Affines Cours Complet

8/12/2019 04 - Espaces Vectoriels Et Affines Cours Complet

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Chapitre 04 Espaces vectoriels (et affines) Cours complet. - 1 -

Espaces vectoriels (et affines). Chap. 04 : cours complet.

1. Espaces vectoriels rels ou complexes (Sup).Dfinition 1.1 : K-espace vectorielDfinition 1.2 : K-algbreThorme 1.1 : exemplesDfinition 1.3 : combinaison linaire de vecteursDfinition 1.4 : sous-espace vectoriel dun espace vectoriel

Thorme 1.2 : caractrisation dun sous-espace vectorielThorme 1.3 et dfinition 1.5 : espace vectoriel produit

2. Combinaisons linaires et familles (Sup).Dfinition 2.1 : famille libre de vecteursDfinition 2.2 : famille lie de vecteursThorme 2.1 : caractrisation des familles liesThorme 2.2 : cas o lun des vecteurs de la famille est nulDfinition 2.3 : rang dune famille de vecteursDfinition 2.4 : sous-espace vectoriel engendr par une famille de vecteursThorme 2.3 : caractrisation dun sous-espace vectoriel engendrDfinition 2.5 : base dun K-espace vectoriel

3. Espaces vectoriels de dimension finie (Sup).Dfinition 3.1 : espace vectoriel de dimension finieThorme 3.1 : de lchangeThorme 3.2 : existence de bases dans un espace vectoriel de dimension finieDfinition 3.2 : dimension dun K-espace vectorielThorme 3.3 : cardinal des familles libres ou gnratrices dans un espace vectoriel de dimension finieThorme 3.4 : de la base incomplteThorme 3.5 : dimension dun sous-espace vectoriel dans un espace vectoriel de dimension finieThorme 3.6 : caractrisation du rang dune famille de vecteursThorme 3.7 : galit de sous-espaces vectoriels dans un espace vectoriel de dimension finie

4. Applications linaires (Sup).Dfinition 4.1 : application linaire entre K-espaces vectoriels,L(E,F)

Thorme 4.1 : structure de K-espace vectoriel deL(E,F)

Dfinition 4.2 : le groupe linaire dun espace vectorielDfinition 4.3 : morphisme, endomorphisme, isomorphisme, automorphismeDfinition 4.4 : image et noyau dune application linaireThorme 4.2 : image et noyau dun morphisme sont des sous-espaces vectorielsThorme 4.3 : caractrisation de linjectivit et de la surjectivitThorme 4.4 : caractrisation dune application linaire par son action sur une somme directeThorme 4.5 : isomorphisme entre limage dun morphisme et un supplmentaire de son noyau

5. Applications linaires en dimension finie (Sup).Thorme 5.1 : famille gnratrice de limage dun morphisme en dimension finieThorme 5.2 : caractrisation dune application linaire par les images des vecteurs dune baseDfinition 5.1 : rang dune application linaire en dimension finieThorme 5.3 : du rangThorme 5.4 : caractrisation des isomorphismes entre espaces de dimension finieThorme 5.5 : conservation du rang par isomorphismeThorme 5.6 : dimension deL(E,F)

6. Matrices (Sup).Dfinition 6.1 et thorme 6.1 : les espaces vectoriels de matricesDfinition 6.2 : produit de matrices

Thorme 6.2 : structure de groupe et dalgbre pourMn(K)Dfinition 6.3 : matrice transpose dune matriceDfinition 6.4 : matrice symtrique, antisymtriqueThorme 6.3 : dimension et supplmentarit de Sn(K) etAn(K)


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Dfinition 6.5 : matrice dfinie par blocsDfinition 6.6 : matrices triangulaires ou diagonales par blocsThorme 6.4 : somme et produit de matrices par blocs

7. Matrice des coordonnes dun vecteur dans une base, matrice de changement de base (Sup).Dfinition 7.1 : matrice des coordonnes dun vecteur dans une baseDfinition 7.2 : matrice de changement de base (matrice de passage)Thorme 7.1 : lien entre les coordonnes dun mme vecteur dans diffrentes bases

8. Matrice reprsentative dune application linaire dans des bases (Sup).Dfinition 8.1 : matrice reprsentative dune application linaire dans des basesThorme 8.1 : isomorphisme entreMn,p(K) etL(E,F)

Thorme 8.2 : traduction matricielle du lien entre un vecteur et son image par un morphismeDfinition 8.2 : application linaire ou endomorphisme canoniquement associ une matriceThorme 8.3 : matrice dune composeThorme 8.4 : liens entre les matrices de passage pour trois bases de lespaceThorme 8.5 : lien entre les matrices dun mme endomorphisme dans diffrentes bases

9. Somme de sous-espaces vectoriels, sommes directes, sous-espaces vectoriels supplmentaires.Thorme 9.1 et dfinition 9.1 : somme de sous-espaces vectorielsThorme 9.2 : autre dfinition dune somme de sous-espaces vectorielsDfinition 9.2 : somme directe de deux ou de plusieurs sous-espaces vectorielsDfinition 9.3 : sous-espaces supplmentairesThorme 9.3 : existence dun supplmentaire en dimension finieThorme 9.4 : des quatre dimensions ou formule de GrassmannDfinition 9.4 : dcomposition en somme directeThorme 9.5 : proprit rcursive des sommes directesThorme 9.6 : dfinition quivalente dune dcomposition en somme directeThorme 9.7 : caractrisation dune dcomposition en somme directeDfinition 9.5 : base dun espace vectoriel adapte un sous-espace vectoriel, une somme directe

de sous-espaces vectoriels

10. Projecteurs.Dfinition 10.1 : projecteurs associs deux sous-espaces vectoriels supplmentairesThorme 10.1 : proprits pour des projecteurs associsThorme 10.2 : caractrisation des sous-espaces vectoriels dfinissant un projecteurDfinition 10.2 : famille de projecteurs associe une dcomposition en somme directeThorme 10.3 : gnralisation du thorme 10.1

11. Polynmes dinterpolation de Lagrange.Dfinition 11.1 : polynmes de LagrangeThorme 11.1 : existence et unicit des bases de Lagrange

12. Trace dune matrice carre, dun endomorphisme.Dfinition 12.1 et thorme 12.1 : trace dune matrice carreThorme 12.2 : proprits basiques de la trace des matricesThorme 12.3 et dfinition 12.2 : trace dun endomorphismeThorme 12.4 : trace dun projecteur

13. Dual dun espace vectoriel.Dfinition 13.1 : dual dun espaceThorme 13.1 : dimension du dual pour un espace de dimension finieDfinition 13.2 : hyperplan (en dimension finie)Thorme 13.2 : noyau des formes linaires non nullesThorme 13.3 et dfinition 13.3 : base duale dune base en dimension finieThorme 13.4 et dfinition 13.4 : base prduale (ou ant-duale) dune base de E*

Thorme 13.5 : quations dun hyperplan

14. Structure affine canonique de 2et 3.Dfinition 14.1 (hors programme) : espace affine


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Dfinition 14.2 : structure affine de 2et 3Thorme 14.1 : proprits lmentaires liant des vecteurs dans un espace affineDfinition 14.2 : repre affine ou cartsienDfinition 14.3 : coordonnes dun point dans un repreDfinition 14.4 : sous-espace affineThorme 14.2 : sous-espaces affines de 2et 3Dfinition 14.5 : sous-espaces affines paralllesThorme 14.3 : reprsentation paramtrique de droites et de plans dans un repre de 2ou de 3Thorme 14.4 : quation dune droite dans un repre de 2ou dun plan dans un repre de 3

Dfinition 14.6 : application affineThorme 14.5 : expression dune application affine dans un repre de 2ou de 3Thorme 14.6 : exemples dapplications affinesThorme 14.7 et dfinition 14.7 : barycentre de n points pondrsThorme 14.8 : coordonnes du barycentre de n points dans un repreThorme 14.9 : associativit du barycentre


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Espaces vectoriels (et affines). Chap. 04 : cours complet.

1. Espaces vectoriels rels ou complexes (Sup).

Dfinition 1.1 : K-espace vectorielSoit E un ensemble, Kun corps (gal en gnral ou ).On dit que (E,+,.) est un K-espace vectoriel ou espace vectoriel sur Ksi et seulement si :

+ est une loi de composition interne sur E : (x,y) E2, x+y existe et : x+y E,

+ est associative : (x,y,z) E3, (x + y) + z = x + (y + z),+ possde un lment neutre dans E, en gnral not 0 : x E, x + 0 = 0 + x = x,tout lment de E admet un symtrique pour la loi + appel oppos de x :

x E, x E, (x = -x), tel que : x + x = x + x = 0,ce qui fait alors de (E,+) un groupe,

+ est commutative : (x,y) E2, x + y = y + x,ce qui rend le groupe (E,+) commutatif ou ablien,la loi . ayant de plus les proprits suivantes :

cest une loi de composition externe sur E : x E, K, .x existe et : .x E,(x,y) E2, K, .(x + y) = .x + .y,x E, (,) K2, (+ ).x = .x + .x,

x E, (,) K2

, (.).x = .(.x),x E, 1.x = x.

Les lments de E sont appels vecteurs et ceux de K scalaires .

Dfinition 1.2 : K-algbreUn ensemble (E,+,,.) est une K-algbre si et seulement si :

(E,+,.) est un K-espace vectoriel,est distributive par rapport +,(x,y) E, K, .(xy) = x(.y) = (.x)y.

Si la loi est associative, commutative ou unitaire, on dit de mme que lalgbre est associative,commutative, unitaire.

Thorme 1.1 : exemplesLes ensembles suivants sont des - ou -espaces vectoriels (suivant les cas), dits espaces vectorielsde rfrence.

les ensembles de n-uplets de rels ou de complexes : net n,les ensembles de fonctions dfinies sur I (ventuellement ), valeurs dans , ou unK-espace

vectoriel (E,+,.) : F(I,), F(I,) et F(I,E),

les ensembles de polynmes coefficients rels ou complexes : [X], [X], n[X] et n[X],

les ensembles de suites relles ou complexes : et ,les ensembles de matrices carres ou rectangles coefficients rels ou complexes :Mn(),Mn(),

Mn,p(),Mn,p().

Les ensembles suivants sont des K-algbres :F(I,), F(I,),

[X], [X],

Mn(),Mn().

Dmonstration :

Une fois dfinies les lois dans ces ensembles, la dmonstration du fait que ce sont bien des K-espacesvectoriels ou des K-algbres est immdiate.On prcise donc les lois :

dans net n : (x1, , xn) Kn, (y1, , yn) K

n, K,(x1, , xn) + (y1, , yn) = (x1+ y1, , xn+ yn),

.(x1, , xn) = (.x1, , .xn).

dans F(I,), F(I,) et F(I,E) : (f,g) F(I,ou ou E), K,(f + g) est la fonction de I dans , ou E, telle que : x I, (f + g)(x) = f(x) + g(x),

.f est la fonction de I dans , ou E, telle que : x I, (.f)(x) = .f(x),


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et pour F(I,K), (fg) est la fonction de I dans K, telle que : x I, (fg)(x) = f(x).g(x),

llment unit pour la loi tant alors la fonction 1 telle que : x I, 1(x) = 1.Cest alors une K-algbre commutative (la loi est commutative).

dans K[X] ou Kn[X] : P = ap.Xp+ + a0, Q = bq.X

q+ + b0, K,pour : N = max(p,q), P + Q = (aN+ bN).X

N+ + (a0+ b0),

.P = (.ap).Xp+ + (.a0),

et pour K[X], le produit est dfini par : (P.Q) = +

= =

qp

0k

kk

0i

iki X.b.a ,

llment unit tant le polynme constant gal 1.Cest alors une K-algbre commutative.

dans K: (an)nK, (bn)nK

, K,

(an)n+ (bn)n= (an+ bn)n,.(an)n= (.an)n.

dansMn(),Mn(),Mn,p(),Mn,p() : (A,B) (Mn,p(K))2, K,

A + B =

++

++

n,nn,n1,n1,n

n,1n,11,11,1

baba

baba

L

MM

L

,

.A =

n,n1,n

n,11,1

a.a.

a.a.

L

MML

,

et pourMn(K), le produit est dfini par : AB = C, avec : 1 i,j n, ci,j= =

n

1k

j,kk,i b.a ,

llment unit tant la matrice In.Cest alors une K-algbre commutative pour : n = 1, non commutative pour : n 2.

Dfinition 1.3 : combinaison linaire de vecteursSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel.

Soit (xi)iIune famille (ventuellement infinie) de vecteurs de E.

Une combinaison linaire des vecteurs de cette famille est un vecteur de E qui scrit :

Ii

ii x. , o les i

sont des scalaires qui sont tous nuls, sauf au plus un nombre fini dentre eux.

En particulier, si (xi)1inest une famille finie de vecteurs de E, une combinaison linaire de ces vecteurs

est un vecteur de E qui scrit : =

n

1i

ii x. , o les isont n scalaires.

Dfinition 1.4 : sous-espace vectoriel dun espace vectorielSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel, et F un sous-ensemble de E.

On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si (F,+,.) est un K-espace vectoriel (doncpour les mmes lois que celles de E, ou plus prcisment pour les lois induites dans F par celles de E).

Thorme 1.2 : caractrisation dun sous-espace vectorielSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel et F un ensemble.F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si :

F est inclus dans E,F est non vide,F est stable par combinaison linaire : (x,y) F2, (,) K2, (.x + .y) F.

Dmonstration :

Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors F est bien inclus dans E, il contient llment neutre pourladdition (puisque (F,+) est un groupe), cest--dire le vecteur nul, et F est non vide. Enfin, les lois + et .sont respectivement des lois de composition interne et externe, dont la stabilit de F par combinaisonlinaire en dcoule.


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Rciproquement, si F vrifie les conditions proposes, alors :

la loi + est interne dans F : (x,y) F2, pour : = = 1, 1.x + 1.y = x + y F,

la loi + tant associative et commutative dans E, elle le reste dans F,F contient 0, puisque, tant non vide : x F, et : 1.x 1.x = 0 F,tout lment de F a son symtrique dans F car : x F, 0.0 + (-1).x = -x F,la loi . est une loi de composition externe dans F puisque : x F, K, 0.0 + .x = .x F,les quatre dernires proprits tant vraies dans E, elles restent vraies dans F.

Thorme 1.3 et dfinition 1.5: espace vectoriel produitSoient (E+,.) et (F,+,.) deux K-espaces vectoriels (o lon note de la mme faon dans E et F les lois decomposition internes et externes).Alors les lois + et . dfinies par :

((x,y), (x,y)) (EF)2, (x,y) + (x,y) = (x+x,y+y),(x,y) EF, K, .(x,y) = (.x,.y),

font de EF un K-espace vectoriel, appel espace vectoriel produit de E et de F.

Dmonstration :

Avec les lois ainsi dfinies, on vrifie que les rsultats vrais dans E et dans F entranent les mmes pour

les nouvelles lois dans EF.En particulier, llment nul dans EF est (0,0) et loppos dun lment (x,y) de EF est (-x,-y).

2. Combinaisons linaires et familles (Sup).

Dfinition 2.1 : famille libre de vecteursSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel et (xi) une famille de vecteurs de E.On dit que (xi) est une famille libre si et seulement si toute combinaison linaire nulle de ces vecteurs estncessairement coefficients nuls.

En particulier, si la famille (xi) est finie de la forme (xi)1in, la famille est libre si et seulement si :(1, ..., n) K

n, (1.x1+ + n.xn= 0) (1= = n= 0).

Dfinition 2.2 : famille lie de vecteursSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel et (xi) une famille de vecteurs de E.La famille (xi) est dite lie si et seulement si elle nest pas libre.

En particulier, si la famille (xi) est finie de la forme (xi)1in, la famille est lie si et seulement si :(1, ..., n) K

n, (1, ..., n) (0, ,0), (1.x1+ + n.xn= 0).

Thorme 2.1 : caractrisation des familles liesSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel et (xi) une famille de vecteurs de E.La famille est lie si et seulement si lun des vecteurs de cette famille (on ne sait pas a priori lequel) peutscrire comme combinaison linaire des autres vecteurs de la famille.

Dmonstration :

Si la famille est lie, il existe une combinaison linaire faisant intervenir un nombre fini de vecteurs de

la famille, nulle et coefficients non tous nuls, soit : (1, , n) K

n

, 1.x1+ + n.xn= 0.Puisque lun des coefficient est non nul, on peut supposer que cest 1et alors : x1=

=

n

2k

k

1

k x. , et on

a bien un des vecteurs de la famille scrivant comme combinaison linaire des autres.Si maintenant, lun dentre eux scrit comme combinaison linaire des autres, par exemple :

x1= 2.x2+ + n.xn, alors : 1.x1 2.x2 n.xn= 0.On vient bien dobtenir une combinaison linaire des vecteurs de la famille, nulle et coefficients nontous nuls ( cause du coefficient 1).

Thorme 2.2 : cas o lun des vecteurs de la famille est nulSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel et (xi) une famille de vecteurs de E.

Si la famille comporte le vecteur nul ou deux fois le mme vecteur, la famille est lie.Dmonstration :

Si la famille comporte le vecteur nul : x1= 0, par exemple, alors : 1.x1= 0, soit une combinaison linairenulle coefficients non tous nuls de vecteurs de la famille : la famille est lie.


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Si la famille comporte deux fois le mme vecteur, par exemple : x1= xk, avec : k 1, alors on a nouveau une combinaison linaire nulle coefficients non tous nuls de vecteurs de la famille avec :

1.x1 1.xk= 0.

Dfinition 2.3 : rang dune famille de vecteursSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel et (xi) une famille de vecteurs de E.On appelle rang de la famille, lorsquil existe, le plus grand nombre de vecteurs de la famille constituantune famille libre de vecteurs de E, et on le note rg((x i)).Le rang dune famille finie de n vecteurs existe donc toujours et est toujours infrieur ou gal n.

Dfinition 2.4 : sous-espace vectoriel engendr par une famille de vecteursSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel et A une famille de vecteurs de E.On appelle sous-espace vectoriel de E engendr par la famille A lensemble not Vect(A) descombinaisons linaires de vecteurs de A, soit :

Vect(A) = {x E, (x1, , xp) Ap, (1, ,p) K

p, x = 1.x1+ + p.xp}.

En particulier, si : A = (xi)1in, on a : Vect(A) = {x E, (1, ,n) Kn, x = 1.x1+ + p.xp}.

Thorme 2.3 :caractrisation dun sous-espace vectoriel engendrSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel et A un sous-ensemble de E.Vect(A) est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A, cest--dire :

G, sous-espace vectoriel de E, (A G) (Vect(A) G).

Dmonstration :Soit G un sous-espace vectoriel de E contenant A.Alors G tant stable par combinaison linaire, il contient toute combinaison linaire de deux vecteurs quilui appartiennent (en particulier deux vecteurs quelconques de A) et par rcurrence toute combinaisonlinaire dun nombre fini de vecteurs lui appartenant, ou appartenant A.Donc G contient bien Vect(A).

Dfinition 2.5 : base dun K-espace vectorielSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel et (xi) une famille de vecteurs de E.On dit que (xi) est une base de E si et seulement si cest une famille libre et gnratrice de E.

3. Espaces vectoriels de dimension finie (Sup).

Dfinition 3.1 : espace vectoriel de dimension finieSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel.On dit que E est de dimension finie sur Ksi et seulement si E admet une famille gnratrice finie.

Thorme 3.1 : de lchangeSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie.Soient :B= (e1, , ep), une famille libre dlments de E, et : B0= (e1, , eq), une famille gnratrice

de E.Alors : p q.De plus, on peut changer p des vecteurs de la familleB0avec les p vecteurs de la familleBpour

obtenir une nouvelle famille gnratrice de E.

Dmonstration :

On sait que e1est combinaison linaire des vecteurs deB0, et les coefficients ne peuvent tre tous

nuls, sinon e1serait nul et la familleBne pourrait tre libre.

Quitte donc permuter les vecteurs deB0, on peut supposer que le coefficient 1,1de e1dans cette

combinaison : e1= 1,1.e1+ q,1.eq, est non nul : 1,10.

Alors : e1= =

q

2i

i

1,1

1,i

1

1,1

'e.e.1

, et : E = Vect(e1, , eq) Vect(e1, e2, , eq) E,

do lgalit des espaces vectoriels et le fait que la famille :B1= (e1, e2, , eq) est gnratrice de E.

On itre maintenant le processus pour remplacer dautres vecteurs deB0par dautres provenant de

B. Supposons pour cela quon a form une nouvelle famille Bkgnratrice de E en remplaant les k


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premiers vecteurs de la familleB0par e1, , ek(par exemple), avec : k p 1, k q 1.

Alors : ek+1Vect(e1, , ek, ek+1, , eq), et : (1,k+1, , k,k+1, k+1,k+1, q,k+1) Kq, tel que :

ek+1= 1,k+1.e1+ + k,k+1.ek+ k+1,k+1.ek+1+ + q,k+1.eq.Il nest pas possible davoir : k+1,k+1= = q,k+1= 0, sinon la famille (e1, , ek+1) et doncBserait lie.

Quitte l encore, permuter les vecteurs ek+1, , eq, on peut supposer que : k+1,k+10, et :

ek+1= += +

+

= ++

+

+

++

q

2ki

i

1k,1

1k,ik

1i

i

1k,1k

1k,i

1k

1k,1k

'e.e.e.1

.

On en dduit nouveau que : E = Vect(Bk) Vect(e

1, , e

k+1, e

k+2, e

q) E, et la nouvelle famille :

Bk+1= (e1, , ek+1, ek+2, eq), est encore gnratrice de E.

Enfin, si : q < p, alors en prenant : k = q 1, dans la construction prcdente, on obtient que :

eqVect(e1, , eq), puis que :Bq= (e1, , eq) est gnratrice de E.

On aurait alors en particulier : q+1 p, et : eq+1Vect(e1, , eq), et la famille (e1, , eq+1), sous-famillede la familleB, serait lie, et la familleBle serait aussi.

Donc on a bien : p q, et on a obtenu une nouvelle famille gnratrice de E en ayant chang pvecteurs de la familleB0par ceux de la familleB.

Thorme 3.2 :existence de bases dans un espace vectoriel de dimension finieSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie.

Alors E admet une base comportant un nombre fini de vecteurs, et toutes les bases de E comportent lemme nombre fini de vecteurs.

Dmonstration :Soit (e1, , ep) une famille gnratrice de E.

Soit la famille ne comporte que le vecteur nul, et alors : x E, x = 0.

Dans ce cas, et par convention, on a : E = Vect().Soit la famille comporte au moins un vecteur non nul, et on considre alors lensemble des cardinaux

des sous-familles libres de cette famille (ei)1in.Cet ensemble dentiers est non vide (puisquil y a une sous-famille libre comportant un seul vecteur) et

major par p : il contient donc un plus grand lment : n p.

Considrons maintenant une sous-famille libreB n lments parmi les (ei)1ip, et supposons pour

simplifier que cest (e1, , en).Tout vecteur ek, avec : n < k p, (sil y en a) est combinaison linaire des vecteurs de Bcar :

(1, , n, k) Kn+1, non tous nuls tel que : 1.e1+ + n.en+ k.ek= 0,

puisque la famille ne peut pas tre libre car comportant trop de vecteurs.

Mais kne peut tre nul, sinon tous les coefficients seraient nuls (la familleBest libre), et on a donc :

ek= =

n

1i

i

k

i e. .

Puis tout vecteur de E tant combinaison linaire de la famille (e1, , ep), il est encore combinaisonlinaire des vecteurs deB.

On vient donc de dmontrer que : x E, x Vect(B).

Mais on a aussi videmment : x Vect(B), x E, puisque E est stable par combinaison linaire.

On a donc tabli globalement que : E = Vect(B).

La familleBtant libre par construction, et maintenant gnratrice de E, cest une base de E.

Soient maintenant deux basesBetB de E comportant n et n vecteurs.

PuisqueBest libre etB est gnratrice de E, on a : n n.

En changeant les rles deBetB, on a videmment : n n, et finalement : n = n.

Dfinition 3.2 : dimension dun K-espace vectorielSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel.Si E admet une base comportant un nombre fini de vecteurs, on appelle dimension de E le nombre devecteurs de cette base qui est donc le mme pour toutes les bases de E.

Thorme 3.3 :cardinal des familles libres ou gnratrices dans un espace vectoriel de dimensionfinieSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie n et (xi)1ipune famille de vecteurs de E.


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Si la famille (xi)1ipest gnratrice de E, alors : p n.

Si la famille (xi)1ipest libre, alors : p n.On a les quivalences :

((xi)1ipbase de E) ((xi)1iplibre et : p = n) ((xi)1ipgnratrice de E et : p = n).

Dmonstration :SoitBune base de E (comportant donc n lments).

Le thorme de lchange montre que si (xi)1ipest gnratrice de E, alors : p n, puisqueBest libre.

De mme, si la famille (xi)1ipest libre, alors : p n, puisque cette fois,Best gnratrice de E.

Il est clair ensuite que :((xi)1ipbase de E) ((xi)1iplibre et : p = n), et :((xi)1ipbase de E) ((xi)1ipgnratrice de E et : p = n).

Rciproquement, si la famille (xi)1iplibre et : p = n, alors on peut obtenir partir de la famille gnratrice

Bde E, une nouvelle famille gnratrice de E en remplaant p vecteurs de Bpar ceux de (xi)1ip.

Mais comme : p = n, cela signifie les remplacer tous, autrement dit la nouvelle famille obtenue, (soit lafamille (xi)1ipen fait) est gnratrice de E. Mais comme elle tait libre, cest en fait une base de E.

Si enfin, la famille (xi)1ipest suppose gnratrice de E, alors elle ne peut tre lie, sinon lun desvecteurs, par exemple xnserait combinaison linaire des vecteurs x1, , xn-1et la famille (x1, , xn-1)serait gnratrice de E.On aurait alors une famille gnratrice de E (n 1) lments et une famille libre (B) avec n lments,

ce qui est impossible.La famille (xi)1ipest donc libre, et tant de plus gnratrice de E, cest une base de E.

Thorme 3.4 : de la base incomplteSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie n et : B= (e1, , en), une base de E.

Si (x1, , xp) est une famille libre de vecteurs de E, alors il est possible de complter la famille (x1, , xp) laide de vecteurs deBen une nouvelle base de E.

Dmonstration :Puisque (e1, , en) est une base de E, cest une famille gnratrice de E.

On sait donc par le thorme de lchange que : p n, et quil est possible dchanger p vecteurs deB

avec les p vecteurs de lautre famille pour former une nouvelle famille gnratrice de E.

Mais puisque cette famille gnratrice comporte n vecteurs, soit la dimension de E, cest une base de E,et on la bien obtenue (autre faon de voir) en compltant (x1, xp) laide de vecteurs deB.

Thorme 3.5 : dimension dun sous-espace vectoriel dans un espace vectoriel de dimension finieSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie.Tout sous-espace vectoriel de E est de dimension finie, infrieure celle de E.

Dmonstration :Soit : F = {0}, et F est de dimension finie gale 0.Sinon, considrons toutes les familles libres de vecteurs de F.Toutes ces familles ont un cardinal (nombre dlments) infrieur : n = dim(E).Soit alors p le nombre maximum dlments dune telle famille et : B = (e1, , ep), une telle famille.

AlorsB est une base de F.

En effet : Vect(B) F, puisqueB est constitue dlments de F, lui-mme stable par combinaison

linaire.

Puis : x F, la famille (e1, , ep, x) est lie (puisqutant forme de plus de p lments de F).Donc : (1, p, p+1) K

p+1, (1, p, p+1) (0,,0), 1.e1+ + p.ep+ p+1.x = 0,

et p+1nest pas nul, sinon tous les coefficients seraient nuls, du fait de la libert de la familleB.

On en dduit que : x Vect(B), et : F Vect(B).

Finalement,B est gnratrice de F et cest une base de F, qui est donc de dimension : p n = dim(E).

Thorme 3.6 : caractrisation du rang dune famille de vecteursSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel et (xi)1ipune famille finie de vecteurs de E.

Alors le rang de la famille (xi)1ipest gal la dimension du sous-espace vectoriel de E engendr parcette famille.Soit donc : rg(x1, , xp) = dim(Vect(x1, , xp)).


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Dmonstration :Le rang de la famille est le nombre dlments de la plus grande sous-famille libre extraite de (x1, , xp).Notons k ce nombre et supposons (pour simplifier que (x1, , xk)) est la famille libre en question.

Alors : k+1 i p, la famille (x1, , xk, xi) est lie, et :(1, , k, i) K

k+1, (1, , k, i) (0, , 0), 1.x1+ + k.xk+ i.xi= 0

Mais ine peut tre nul, sinon la libert de (x1, , xk) entranerait la nullit de tous les coefficients.On en dduit que xiest combinaison linaire de la famille (x1, , xk).

On constate ensuite que : Vect(x1, , xk) Vect(x1, , xp),et ce quon vient dtablir montre que toute combinaison linaire de (x1, xp) peut se rcrire en une

combinaison linaire de (x1, , xk), ce qui nous donne : Vect(x1, , xp) Vect(x1, , xk), do lgalit.La famille (x1, , xk) tant libre et gnratrice de Vect(x1, , xp), elle en constitue une base et :

dim(Vect(x1, , xp)) = k = rg(x1, , xp).

Thorme 3.7 : galit de sous-espaces vectoriels dans un espace vectoriel de dimension finieSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel.Soient F et G des sous-espaces vectoriels de dimension finie de E.

Alors : (F = G) (F G, et : dim(F) = dim(G)).En particulier, si E est lui-mme de dimension finie, pour tout sous-espace vectoriel F de E, on a :

(E = F) (dim(F) = dim(E)).

Dmonstration :

Si : F = G, il est immdiat que : F G, et : dim(F) = dim(G).Si rciproquement, F G, et : dim(F) = dim(G), soit :B= (e1, , ep), une base de F.

Alors : F = Vect(e1, , ep).MaisBest aussi une famille dlments de G, libre, et comportant : p = dim(G), lments. Donc cest

une base de G et : G = Vect(e1, , ep) = F.

La deuxime quivalence vient du fait quon a toujours : F E.

4. Applications linaires (Sup).

Dfinition 4.1 : application linaire entre K-espaces vectoriels,LLLL(E,F)

Soient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels.

On dit que u est une application de E dans F est linaire si et seulement si :(x,y) E2, (,) K2, u(.x + .y) = .u(x) + .u(y).

Lensemble des applications linaires de E dans F est notL(E,F), et on note :L(E,E) =L(E).

Thorme 4.1 : structure de K-espace vectoriel deLLLL(E,F)

Soient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels.L(E,F) peut tre muni dune structure de K-espace vectoriel etL(E) dune structure de K-algbre.

Dmonstration :Comme au dbut du chapitre, on prcise les lois utilises et la dmonstration du fait que lon a bien unK-espace vectoriel ou une K-algbre, se prouve sans difficult particulire.

Pour cela, donc : (u,v) L(E,F), (,) K2,

(u+v) est lapplication linaire de E dans F dfinie par : x E, (u+v)(x) = u(x) + v(x),(.u) est lapplication linaire de E dans F dfinie par : x E, (.u)(x) = .u(x),

et pourL(E), la deuxime application interne qui en fait une K-algbre est dfinie par :

(u,v) L(E)2, x E, (uov)(x) = u(v(x)),

llment unit tant lapplication identit (qui est bien linaire) de E dans E.Cette algbre est en gnral non commutative.

Dfinition 4.2 : le groupe linaire dun espace vectorielSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel.Lensemble des automorphismes de E forme un groupe pour la composition des applications, appelgroupe linaire de E et not Gl(E).

Dfinition 4.3 : morphisme, endomorphisme, isomorphisme, automorphismeSoient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels.


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Une application linaire de E dans F est appele morphisme ou homomorphisme de E dans F.Un endomorphisme de E est une application linaire de E dans lui-mme.Un isomorphisme de E dans F est une application linaire bijective de E dans F.Un automorphisme de E est une application linaire bijective de E dans lui-mme.

Dfinition 4.4 : image et noyau dune application linaireSoient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels, et : u L(E,F).

On appelle image de u et noyau de u les ensembles :

Im(u) = {y F, x E, y = u(x)},ker(u) = {x E, u(x) = 0}.

Thorme 4.2 : image et noyau dun morphisme sont des sous-espaces vectorielsSoient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels, et : u L(E,F).

Alors Im(u) est un sous-espace vectoriel de F et ker(u) un sous-espace vectoriel de E.

Dmonstration :

Im(u) est inclus dans F, il est non vide, car : 0 = u(0) Im(u).Enfin : (y,y) (Im(u))2, (,) K2, (x,x) E2, y = u(x), y = u(x), et :

.y + .y = .u(x) + .u(x) = u(.x + .x) Im(u).ker(u) est inclus dans E, il est non vide, car : u(0) = 0, et : 0 ker(u).

Enfin : (x,x) (ker(u))2, (,) K2, u(.x + .x) = .u(x) + .u(x) = 0, et : [.x + .x] ker(u).

Thorme 4.3 : caractrisation de linjectivit et de la surjectivitSoient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels et : u L(E,F).

Alors :

(u injective) (ker(u) = {0}).

(u surjective) (Im(u) = F).

Dmonstration :

Supposons u linaire et injective. Alors 0 a un seul antcdent par u qui est 0, et : ker(u) = {0}.Si maintenant : ker(u) = {0}, alors :

(x,x) E2, (u(x) = u(x)) (u( x x) = 0) (x x ker(u)) (x x = 0, et : x = x) : u est injective.

Soit : u L(E,F).Alors : u surjective, si et seulement si : (y F, x E, y = u(x)), ou encore : (y F, y Im(u)).Donc cest bien quivalent : F Im(u).

Thorme 4.4 : caractrisation dune application linaire par son action sur une somme directeSoient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels.

Soient E1, , En, des sous-espaces vectoriels de E tels que : i

n

1iEE

== , et (ui)1inune famille telle que :

1 i n, uiL(Ei,F).

Alors il existe une unique application linaire : u L(E,F), telle que : 1 i n,iEi

uu = .

Dmonstration :Supposons que u existe.Alors, pour tout vecteur x se dcomposant en : x = x1+ xn, suivant la somme directe, on a :

u(x) = u(x1) + u(xn) = u1(x1) + + un(xn).Rciproquement, montrons que u dfinie par la formule prcdente convient.

Cest bien une application de E dans E, puisque pour un x donn, la dcomposition est unique et u(x)aussi.

Pour : x Ei, x = 0 + + 0 + x + 0 + + 0, sa dcomposition suivant la somme directe, alors :u(x) = u1(0) + + ui-1(0) + ui(x) + ui+1(0) + + un(0) = ui(0),

et la restriction de u Eiest bien ui.

u est linaire, car :

x = x1+ + xnE, y = y1+ + ynE, (avec leur dcomposition), (,) K

2

,(.x + .y) se dcompose en : (.x1+ .y1) + + (.xn+ .yn), car cette dcomposition convient et elleest unique, et : u(.x + .y) = u1(.x1+ .y1) + + un(.xn+ .yn), par dfinition de u, do :


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u(.x + .y) = .u1(x1) + .u1(y1) + + .un(xn) + .un(yn) = .u(x) + .u(y).

Thorme 4.5 : isomorphisme entre limage dun morphisme et un supplmentaire de son noyauSoient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels et : u L(E,F).

Soit E un supplmentaire de ker(u) dans E.Alors u permet de dfinir un isomorphisme de E sur Im(u).

Dmonstration :

Soit u lapplication dfinie par : x E, u(x) = u(x) Im(u).

On a bien dfini une application linaire (cest immdiat) de E dans Im(u).u est injective car :

x E, (x ker(u)) (u(x) = u(x) = 0) (x ker(u)). Donc : x (ker(u)E), et : x = 0.u est surjective car :

y Im(u), x E, u(x) = y. Or x peut se dcomposer en : x = x + x0, avec : x E, x0ker(u).

Donc : y = u(x) + u(x0) = u(x) = u(x), et : y Im(u).

Finalement : Im(u) Im(u), et lautre inclusion tant immdiate, u est bien surjective.

5. Applications linaires en dimension finie (Sup).

Thorme 5.1 : famille gnratrice de limage dun morphisme en dimension finie

Soient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels, E de dimension finie et : u L

(E,F).Soit :B= (e1, , en), une famille gnratrice de E.

Alors (u(e1), , u(en)) est une famille gnratrice de Im(u).En particulier, Im(u) est un sous-espace vectoriel de F de dimension finie, infrieure celle de E.

Dmonstration :On a immdiatement :

x E, (x1, , xn) Kn, x = x1.e1+ + xn.en, et donc : u(x) = x1.u(e1) + + xn.u(en).

Donc : Im(u) Vect(u(e1), , u(en)).

Comme par ailleurs, il est clair que : 1 i n, u(ei) Im(u), comme sous-espace vectoriel de F donc

stable par combinaison linaire, on a aussi : Vect(u(e1), , u(en)) Im(u).On en dduit bien lgalit et le fait que (u(e1), , u(en)) est bien gnratrice de Im(u).

Thorme 5.2 : caractrisation dune application linaire par les images des vecteurs dune baseSoient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels, E de dimension finie n.Soit :B= (e1, , en), une base de E, et (a1, , an) une famille de vecteurs de F.

Alors : ! u L(E,F), 1 i n, u(ei) = ai.

Autrement dit, une application linaire de E dans F est entirement dfinie par la donne des imagesdes vecteurs dune base de lespace de dpart E.

Dmonstration :Pour tout vecteur x de E, on peut lcrire sous la forme : x = x1.e1+ + xn.en.Dans ce cas, si une application u rpondant aux critres proposs existe, alors : u(x) = x 1.a1+ + an.xn.Donc si u existe, a ne peut tre que lapplication que lon vient de dcrire.Rciproquement, soit u dfinie telle quau dessus.Alors u est bien une application de E dans F, puisque la dcomposition dun vecteur x quelconque de Etant unique, u(x) est dfini de faon unique et appartient bien F.De plus, u est linaire.En effet :(x,y) E2, (,) K2, x = x1.e1+ + xn.en, y = y1.e1+ + yn.en, et :

.x + .y = (.x1+ .y1).e1+ + (.xn+ .yn).en, et par construction de u :

u(.x + .y) = (.x1+ .y1).a1+ + (.xn+ .yn).an= .u(x) + .u(y).Enfin, u rpond bien aux conditions :

1 i n, ei= 0.e1+ + 0.ei-1+ 1.ei+ 0.ei+1+ + 0.en, et : u(ei) = 1.ai= ai.Donc le u trouv convient et il est bien unique.

Dfinition 5.1 : rang dune application linaire en dimension finie

Soient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels, E de dimension finie, et : u L(E,F).On appelle rang de u la dimension de Im(u) : rg(u) = dim(Im(u)).


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Thorme 5.3 : du rangSoient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels, E de dimension finie et : u L(E,F).

Alors : dim(Im(u)) + dim(ker(u)) = dim(E).

Dmonstration:Puisque E est de dimension finie, Im(u) aussi.Soit (a1, ..., ap) une base de Im(u), et (e1, ..., ep) une famille de vecteurs de E, antcdents des (ai).Considrons galement une base (e1, ..., eq) de ker(u), et montrons que la runion (e1, ..., ep, e1, ..., eq)forme une base de E.

Soit donc une combinaison linaire nulle de ces vecteurs : 1.e1+ + p.ep+ 1.e1+ + q.eq= 0.En prenant limage par u de cette combinaison linaire, cela donne : 1.a1+ + p.ap= 0,

mais comme la famille (a1, , ap) est libre, comme base de Im(u), on en dduit : 1= = p= 0.

Puis : 1.e1+ + q.eq= 0, entrane galement : 1= = q= 0, puisque la famille (e1, , eq),comme base de ker(u), est libre.

Il est clair ensuite que : Vect(e1, ..., ep, e1, ..., eq) E.

Enfin, soit : x E.Alors : u(x) Im(u), et : (1, , p) K

p, u(x) = 1.a1+ + p.ap= 1.u(e1) + + p.u(ep).

Donc : u(x 1.e1 p.ep) = 0, et : (1, , q) Kq, x 1.e1 p.ep= 1.e1+ + q.eq.

Finalement : x Vect(e1, ..., ep, e1, ..., eq), et la famille propose est bien gnratrice de E.Cest bien une base de E, donc : dim(E) = p + q = dim(Im(u)) + dim(ker(u)).

Thorme 5.4 : caractrisation des isomorphismes entre espaces de dimension finieSoient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels de dimension finie, u L(E,F).

Il y a quivalence entre les propositions suivantes :

u est un isomorphisme de E sur F,u est injective et : dim(E) = dim(F),u est surjective et : dim(E) = dim(F).

En particulier, pour : u L(E), toujours avec E de dimension finie, on a les quivalences :

(u bijective) (u injective) (u surjective).

Dmonstration :Cest une consquence presque immdiate du thorme du rang.

Si u est un isomorphisme de E sur F, alors u est injective et surjective, donc : Im(u) = F, ker(u) = {0}.Donc : dim(E) = dim(Im(u)) + dim(ker(u)) = dim(F) + 0 = dim(F).Rciproquement, si u est injective, avec : dim(E) = dim(F), alors : ker(u) = {0}, et :

dim(Im(u)) = dim(E) dim(ker(u)) = dim(F).

Or on a de plus : Im(u) F, donc : Im(u) = F, et u est surjective, donc constitue bien un isomorphisme deE sur F.De mme si u est surjective, avec : dim(E) = dim(F), alors : dim(ker(u)) = dim(E) dim(F) = 0.Donc u est injective et constitue bien nouveau un isomorphisme de E sur F.Le cas dapplications de E dans E, espace vectoriel de dimension finie, est un cas particulier.

Thorme 5.5 : conservation du rang par isomorphismeSoient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels de dimension finie, u un isomorphisme de E sur F.

Soit (x1, ,xn) une famille de vecteurs de E.Alors : rg(x1, ,xn) = rg(u(x1), , u(xn)).

Dmonstration :Soit : E = Vect(x1, , xn).Alors : rg(x1, , xn) = dim(E).= p, et on peut considrer une base (e1, , ep) de E.Montrons que (u(e1), , u(ep)) est une base de Vect(u(x1), , u(xn)).On a : y Vect(u(e1), , u(ep)), (1, , p) K

p, y = 1.u(e1) + + p.u(ep) = u(1.e1+ + p.ep).

Or : (1.e1+ + p.ep) E, donc est combinaison linaire des (xi)1in, et son image est combinaison

linaire des (u(xi))1in. A ce titre, y appartient Vect(u(x1), , u(xn)).

Soit maintenant : y Vect(u(x1), , u(xn)).Alors : (1, , n) K

n= 1.u(x1) + + n.u(xn) = u(1.x1+ + n.xn), et : (1.x1+ + n.xn) E.

Donc (1.x1+ + n.xn) est combinaison linaire des (ei)1ipet son image est dans Vect(u(e1), , u(ep)).Finalement : Vect(u(x1), , u(xn)) = Vect(u(e1), , u(ep)).La famille (u(e1), , u(ep)) est par ailleurs libre, puisque u est injective.

En effet, si on a : 1.u(e1) + + p.u(ep) = 0, alors : u(1.e1+ + p.ep) = 0, et : (1.e1+ + p.ep) = 0.


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Mais la famille (ei)1iptant libre, tous les coefficients sont nuls.

Finalement, (u(e1), , u(ep)) est une base de Vect(u(x1), , u(xn)), et : dim(Vect(u(x1), , u(xn))) = p.On a bien : rg(x1, ,xn) = rg(u(x1), , u(xn)).

Thorme 5.6 : dimension de LLLL(E,F)

Soient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels de dimension finie.AlorsL(E,F) est de dimension finie et : dim(L(E,F)) = dim(E).dim(F).

En particulier, toujours si E est de dimension finie,L(E) a pour dimension (dim(E))2.

Dmonstration :Considrons une base :B= (e1, , en), de E et une base :B = (e1, , ep), de F.

Puis, soit la familleUdes applications linaires (ui,j)1in,1jpdfinies par limage des vecteurs deB :

1 i n, 1 j p, 1 k n, ui,j(ek) = i,k.ej,

o i,kest le symbole de Kronnecker, valant 1 si : i = k, 0 sinon.La familleUest une base deL(E,F).

Elle est libre.

En effet, si : 0u.pj1,ni1

j,ij,i =

, alors : 1 k n, =

==p

1j

jj,k

pj1,ni1

kj,ij,i 'e.0)e(u. .

Comme la famille (e1, , ep) est libre, on en dduit que : 1 k n, 1 j p, k,j= 0.Elle est gnratrice deL(E,F).

On a videmment : Vect(U) L(E,F), car ce sont bien des applications linaires de E dans F, et

L(E,F) est stable par combinaison linaire.

Puis : u L(E,F), 1 k n, u(ek) = )e(u.a)e(u.a'e.a kpj1,ni1

j,ij,i

pj1,ni1

kj,ij,i

p

1j

jj,k

==

=

.

Donc u et

pj1,ni1j,ij,i u.a sont deux applications linaires de E dans F qui associent aux vecteurs de la

baseBles mmes images : elles sont donc gales, soit :

=

pj1,ni1j,ij,i u.au .

On vient donc de montrer que :L(E,F) Vect(U), et finalement :L(E,F) = Vect(U).PuisqueL(E,F) admet une famille gnratrice finie, cest un K-espace vectoriel de dimension finie, et

sa dimension vaut le nombre de vecteurs dans la famille U, soit : dim(L(E,F)) = n.p = dim(E).dim(F).

6. Matrices (Sup).

Dfinition 6.1etthorme 6.1 : les espaces vectoriels de matricesLensemble Mn,p(K) des matrices n lignes et p colonnes coefficients dans Kpeut tre muni dune

structure de K-espace vectoriel de dimension n.p.

Dmonstration :

Les lois qui font de ces ensembles des K-espaces vectoriels ont t reprcises au dbut.

La structure de K-espace vectoriel sobtient alors sans difficult.Pour la dimension deMn,p(K), on utilise la famille (Ei,j)1in,1jp, dfinie par :

1 i n, 1 j p, 1 u n, 1 v p, Ei,ju,v= i,u.j,v,

autrement dit, la matrice Ei,jest constitue de 0, sauf le terme dindices i et j ( lintersection de la ime

ligne et de la jmecolonne) qui seul vaut 1.Cette famille est gnratrice deMn,p(K), puisque :

A Mn,p(K), A = = =

n

1i

p

1j

j,ij,i E.a et :Mn,p(K) Vect((Ei,j)1in,1jp), puis :Mn,p(K) = Vect((Ei,j)1in,1jp).

Dautre part, la famille est libre, puisque si : 0E.an

1i

p

1j

j,ij,i == =

, alors tous les coefficients (ai,j) sont nuls.

Cette famille est appele base canonique deMn,p(K).

DoncMn,p(K) est de dimension n.p.


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Dfinition 6.2 : produit de matricesPour : A Mn,p(K), B Mp,q(K), on dfinit la matrice produit : C Mn,q(K), de A par B, par :

1 i n, 1 j q, ci,j= =

p

1k

j,kk,i b.a .

Thorme 6.2 : structure de groupe et dalgbre pour MMMMn(K)

Lensemble Mn(K) des matrices carres n lignes et n colonnes coefficients dans Kpeut tre muni

dune structure de K-algbre de dimension n

2

.Lensemble des matrices carres inversibles deMn(K) est un groupe pour la multiplication des matrices

not Gln(K), et appel groupe linaire dordre n.

Dmonstration :L encore, on prcise la deuxime loi interne, multiplicative, comme on la fait dans le premier thormedu chapitre, pour obtenir :

(A,B) (Mn(K))2, A.B = C, o : 1 i, j n, ci,j=

=

n

1k

j,kk,i b.a ,

et les proprits attendues se dmontrent sans problme. LalgbreMn(K) est associative, unitaire,

dlment unit la matrice In, et non commutative pour : n 2.

Dfinition 6.3 : matrice transpose dune matriceSoit : A Mn,p(K).

On appelle transpose de A la matrice note : A = tA appartenant Mp,n(K), dfinie par :

1 i p, 1 j n, ai,j= aj,i,

et on a : A Mn,p(K),t(tA)) = A.

Dfinition 6.4 : matrice symtrique, antisymtriqueOn dit quune matrice A deMn(K) est :

symtrique si et seulement si : tA = A,antisymtrique si et seulement si : tA = A.

Lensemble des matrices symtriques nn est not Sn(K) et celui des matrices antisymtriquesAn(K).

Thorme 6.3 : dimension et supplmentarit de SSSSn(K) etAAAAn(K)

La transposition est une application linaire deMn,p(K) dansMp,n(K).

Les ensembles Sn(K) etAn(K) forment des sous-espaces vectoriels supplmentaires dansMn(K) de

dimensions respectives2

)1n.(n +et

2

)1n.(n .

Dmonstration :

Il est clair que : (A,B) (Mn,p(K))2, (,) K2, C = .A + .B, on a :

tC = C, avec : 1 i p, 1 j n, ci,j= cj,i= .aj,i+ .bj,i, et :tC = .tA + .tB.

Pour la supplmentarit, on peut travailler par analyse-synthse.En effet, soit M une matrice deMn(K).

Alors si on peut trouver : S Sn(K), et : A An(K), telles que : M = S + A, alors :

tM = S A, et : S = )MM.(2

1 t+ , et : A = )MM.(2

1 t .

Rciproquement, lunique couple (S,A) trouv convient puisque :

tS = )MM.(2

1 t + = S, tA = )MM.(2

1 t = A, et : S + A = M.

Donc pour toute matrice M deMn(K), il existe un unique couple appartenant Sn(K)An(K), dont la

somme est gale M : les deux espaces sont bien supplmentaires dansMn(K).

Pour leur dimension, on propose une base en disant, par exemple pour Sn(K), que :

S Sn(K), 1 i, j n, si,j= sj,i, et en reprenant la base canonique deMn(K), on obtient :

S =

= +==

++1n

1i

n

1ij

i,jj,ij,i

n

1i

i,ii,i )EE.(sE.s .


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On obtient ainsi une famille gnratrice de Sn(K), dont on montre sans difficult quelle est libre.

Cest donc une base de Sn(K), qui comporte :2

)1n.(n

2

n).1n(n

+=

+ , lments.

De mme, on montre que la famille ((Ei,j Ej,i))1in-1,i+1jn, constitue une base deA(K), qui est donc de

dimension :2

n).1n( (ou de dimension : n2

2

)1n.(n +).

Dfinition 6.5 : matrice dfinie par blocsOn peut dfinir une matrice : M Mp+s,a+r(K), par blocs de la faon suivante :

=

DB

CAM , o : A Mp,q(K), C Mp,r(K), B Ms,q(K), D Ms,r(K).

Dfinition 6.6 : matrices triangulaires ou diagonales par blocs

Une matrice : M Mp+s,a+r(K), crite par blocs sous la forme :

=

DB

CAM , o : A Mp,q(K), C Mp,r(K), B Ms,q(K), D Ms,r(K),

est dite triangulaire par blocs si et seulement si on a : B = 0, et diagonale par blocs si : B = 0, et : C = 0.

Thorme 6.4 : somme et produit de matrices par blocsPour M et M des matrices deMp+s,q+r(K), crites par blocs sous la forme :

=

DB

CAM ,

=

'D'B

'C'A'M ,

o : (A,A) (Mp,q(K))2, (C,C) (Mp,r(K))

2, (B,B) (Ms,q(K))2, (D,D) (Ms,r(K))

2,

on a : M + M =

++

++

'DD'BB

'CC'AA.

De mme, pour M et M crites par blocs ayant des types compatibles, on a :

M.M =

++++

'D.D'C.B'B.D'A.B'D.C'C.A'B.C'A.A .

Dmonstration :

Il suffit de constater que dans les sommes ou les produits proposs, les coefficients obtenus par lesdeux formules concident.

7. Matrice des coordonnes dun vecteur dans une base, matrice de changement de base (Sup).

Dfinition 7.1 : matrice des coordonnes dun vecteur dans une baseSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie n, muni dune base : B= (e1, , en).

Un vecteur x de E admet une unique dcomposition selon la base Bde E de la forme : x = =

n

1i

ii e.x .

On dfinit la matrice colonne : X Mn,1(K), des coordonnes de x dansB, en posant : X =

n

1

x

x

M .

Dfinition 7.2 : matrice de changement de base (matrice de passage)Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie n, muni de deux bases : B= (ei), et :B = (ei).

On a donc : 1 j n, ej= =

n

1i

ij,i e.p .

On appelle matrice de passage deBB la matrice : P Mn(K), ainsi obtenue.

La matrice P est donc construite en crivant en colonnes les coordonnes des vecteurs deB exprims

dans la baseB.


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Thorme 7.1 : lien entre les coordonnes dun mme vecteur dans diffrentes basesSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie n, muni de deux bases : B= (ei), et :B = (ei), et

soit P la matrice de passage deBB.

Soit x un vecteur de E, X et X les matrices colonnes de ses coordonnes dans les bases BetB.

Alors : X = P.X.

Dmonstration :

Il suffit dexprimer les diffrentes critures dun vecteur donn :

x E, x = = == ===

===

n

1i

i

n

1j

jj,i

n

1j

n

1i

ij,ij

n

1j

jj

n

1i

ii e.'x.pe.p.'x'e.'xe.x , et donc :

1 i n, xi= =

n

1j

jj,i 'x.p , ce qui globalement, scrit bien : X = P.X.

8. Matrice reprsentative dune application linaire dans des bases (Sup).

Dfinition 8.1 : matrice reprsentative dune application linaire dans des basesSoient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels de dimension finie p et n, munis de basesBet C.

Soit : u L(E,F).

Pour tout : 1 j p, et tout vecteur ejdeB, on note : u(ej) = =

n

1i

ij,i f.a .

La matrice A ainsi obtenue est la matrice reprsentative de u dans les bases Bet C.

Elle est donc construite en crivant en colonnes les coordonnes des images des vecteurs de la baseBexprimes dans la base C.

On la note parfois : A = mat(u,B,C).

Thorme 8.1 : isomorphisme entreMMMMn,p(K) etLLLL(E,F)

Soient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels de dimension finie p et n, munis de basesBet C.

Alors : (u,v) L(E,F)2, (,) K2, mat(.u+.v,B,C) = .mat(u,B,C) + .mat(v,B,C).

Lapplication deL(E,F) dansMn,p(K) qui une application linaire u de E dans F, fait correspondremat(u,B,C), est un isomorphisme despaces vectoriels.

Dmonstration :

Soient u et v des lments deL(E,F), et des scalaires.

Notons :B= (b1, , bp), C= (c1, , cn), et : U = mat(u,B,C), V = mat(v,B,C).

Alors : 1 j p, (.u + .v)(bj) = .u(bj) + .v(bj) = .=

n

1i

ij,i c.u + .=

n

1i

ij,i c.v = =

+n

1i

ij,ij,i c).v.u.( .

Il est alors clair, en crivant les matrices, que : mat(.u+.v,B,C) = .U + .V, ce que lon voulait.

Les espaces de dpart et darrive tant de mme dimension gale n.p, il suffit maintenant dedmontrer que lapplication considre est injective.

Or si la matrice reprsentative de u dans les basesBet Cest nulle, cest que tout vecteur deBa pourimage le vecteur nulle. Mais comme lapplication nulle a cette proprit, et quil ny a quune seuleapplication linaire de E dans F lavoir, cest que : u = 0.

Thorme 8.2 : traduction matricielle du lien entre un vecteur et son image par un morphismeSoient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels de dimension finie p et n, munis de basesBet C.

Soit : u L(E,F), de matrice reprsentative A dans les basesBet C.

Pour un vecteur x de E, on note X la matrice colonne de ses coordonnes dans la baseB, et Y la

matrice colonne des coordonnes de son image : y = u(x), dans la base C.

Alors : Y = A.X.

Dmonstration :

Soit :B= (b1, , bp), et : C= (c1, , cn).

Alors : x E, x = =

p

1j

jj b.x , et : y = u(x) = = == ===

===

n

1i

i

n

1i

jj,i

p

1j

n

1i

ij,ij

p

1j

jj

n

1i

ii c.x.ac.a.x)b(u.xc.y ,


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ce qui correspond bien : Y = A.X.

Dfinition 8.2 : application linaire ou endomorphisme canoniquement associ une matriceSoit : (n,p) *2, et : A Mn,p(K).

Lapplication linaire u de Kpdans Kn, telle que : mat(u,Bp,Bn) = A, oBpetBndsignent les basescanoniques respectives de Kpet Kn, est appele application linaire canoniquement associe A.Dans le cas o : n = p, u est lendomorphisme canoniquement associ A.

Thorme 8.3 : matrice dune composeSoient (E,+,.), (F,+,.), (G,+,.) des K-espaces vectoriels de dimension finie, munis de bases B, CetD.

Alors : (u,v) L(E,F)L(F,G), mat(vou,B,D) = mat(v,C,D).mat(u,B,C).

Dmonstration :Notons :B= (b1, .., bq), C= (c1, , cp), et :D= (d1, , dn),

puis : U = mat(u,B,C), V = mat(v,C,D), et : W = mat(vou,B,D).

Alors : 1 k q,

vou(bk) = =

n

1i

ik,i d.w v(u(bk)) = = == ===

===

n

1i

i

p

1j

k,jj,i

p

1j

n

1i

ij,ik,j

p

1j

jk,j

p

1j

jk,j d.u.vd.v.u)c(v.uc.uv .

Donc : 1 i n, 1 k q, wi,k= =

p

1jk,jj,i u.v , ce qui correspond bien au produit matriciel annonc.

Thorme 8.4 : liens entre les matrices de passage pour trois bases de lespace

Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie n, muni de trois bases : B= (ei)1in,B = (ei)1in,

et :B = (ei)1in.

Alors la matrice de passage P deBB vrifie : PB,B= mat(idE,B,B).

De plus : PB,B= PB,B.PB.B.

Par ailleurs, les matrices P et P de passage de BB et deB Bsont inverses lune de lautre.

Enfin, la relation : PB,B= PB,B.PB.B, peut se retrouver en utilisant le lien existant entre les

coordonnes dun mme vecteur de E dans les trois basesB,B etB.

Dmonstration :

Puisque : 1 j n, ej= =

n

1i

ij,i e.p = idE(ej), il est immdiat que : PB,B= mat(idE,B,B).

Puis : PB,B.PB.B= mat(idE,B,B).mat(idE,B,B) = mat(idE,B,B) = PB,B.

Par ailleurs, puisque : PB,B= mat(idE,B,B) = In, dune part, et dautre part : PB,B.PB,B= PB,B= In,

les matrices PB,Bet PB,Bsont bien inverses lune de lautre.

Enfin, si on note plus simplement : P = PB,B, P = PB.B, P = PB.B, X, X et X les matrices colonnes

de coordonnes dun vecteur x de E dans les bases B,B etB, alors :

X = P.X, X = P.X, do : X = P.P.X, et dautre part : X = P.X, soit finalement : P = P.P.

Thorme 8.5 : lien entre les matrices dun mme endomorphisme dans diffrentes basesSoient (E,+,.) et (F,+,.) des K-espaces vectoriels de dimension finie p et n.SoientBetB deux bases de E, Cet C deux bases de F, P et Q les matrices de passages A de B

B dune part, et de Cet C dautre part.

Soit : u L(E,F), avec : A = mat(u,B,C), A = mat(u,B,C).

Alors : A = Q-1.A.P.

En particulier, si : E = F,B= C,B = C, et : u L(E), on a : P = Q, et : A = P-1.A.P.

Dmonstration :Il suffit dcrire : Q-1.A.P = mat(idE,C,C).mat(u,B,C).mat(idE,B,B) = mat(u,B,C) = A.

9. Somme de sous-espaces vectoriels, sommes directes, sous-espaces vectoriels supplmentaires.

Thorme 9.1 etdfinition 9.1: somme de sous-espaces vectorielsSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel, (Ei)1indes sous-espaces vectoriels de E.Lensemble des vecteurs de E, scrivant comme sommes de vecteurs des diffrents sous-espaces Ei,


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soit donc :

E1+ + En= {x E, (x1, x2, , xn) E1E2En, x = x1+ x2+ + xn},est un sous-espace vectoriel de E, appel somme des sous-espaces vectoriels E1, , En.

Dmonstration :Il est clair que E1+ + Enest inclus dans E, puisque constitu de vecteurs, sommes de vecteurs de Equi est lui-mme stable par combinaison linaire.De plus E1+ + Enest non vide, puisque chaque Eiest non vide (ils contiennent tous le vecteur nul) etdonc : 0 + + 0 = 0, est encore lment de E.Enfin : (x,y) (E1+ + En)

2, (,) K2, ((x1, , xn), (y1, , yn)) (E1E2En)2, et :

.x + .y = (1.x1+1.y1) + + (n.xn+ n.yn) E1E2En, puisque ce sont des sous-espacesvectoriels de E.

Thorme 9.2 : autre dfinition dune somme de sous-espaces vectorielsSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel, (Ei)1indes sous-espaces vectoriels de E.

Alors : E1+ + En= Vect(E1 En).Cest donc en particulier le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant tous les sous-espacesvectoriels E1, , En.

Dmonstration :

Tout lment de E1+ + Enest somme dlments des diffrents Ei, donc comme combinaison

linaire dlments de E1 En, cest un lment de Vect(E1 En).Un lment de Vect(E1 En) est une combinaison linaire de vecteurs de E1, , En.En regroupant dans cette combinaison linaire (impliquant un nombre fini de vecteurs) ceux quiappartiennent E1, E2, et chaque Ei, on fait apparatre une somme de vecteurs, chacun appartenant lun des Eiet ce titre, on obtient bien un lment de E1+ + En.

A ce titre, cest le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant E1En, donc tous les Ei.

Dfinition 9.2 : somme directe de deux ou de plusieurs sous-espaces vectorielsSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel, F et G des sous-espaces vectoriels de E.

On dit que la somme (F + G) est directe, si et seulement si on a : F G = {0}.

Lorsque la somme de F et de G est directe, elle est note : F G.Plus gnralement, soient E1, E2, ,En, des sous-espaces vectoriels de E.

On dit que la somme (E1+ + En) est directe si et seulement si lintersection de chaque Eiavec lasomme de tous les autres est rduite {0}, soit :

1 i n, Ei(E1+ + Ei-1+ Ei+1+ + En) = {0}.

Dans ce cas, nouveau, la somme de ces sous-espaces vectoriels se note : E1 En.

Dfinition 9.3 : sous-espaces supplmentairesSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel, F et G des sous-espaces vectoriels de E.

On dit que F et G sont supplmentaires dans E si et seulement si on a : E = F G.

Thorme 9.3 : existence dun supplmentaire en dimension finieSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie, F un sous-espace vectoriel de E.

Alors il existe un sous-espace vectoriel G de E, tel que : E = F G.On dit alors que G est un sous-espace vectoriel de E supplmentaire de F dans E.On a de plus, pour tout supplmentaire G de F dans E : dim(G) = dim(E) dim(F).

Dmonstration :F tant lui-mme de dimension finie, il admet une base (e1, , ep) qui peut tre complte en une basede E :B= (e1, , en).

Posons : G = Vect(ep+1, , en).

Alors : FG = {0}.

En effet : x FG,x F, et : (x1, xp) K

p, x = x1.e1+ + xp.ep,

x G, et : (xp+1, , xn) Kn-p, x = xp+1.ep+1+ + xn.en,

et donc : x1.e1+ + xp.ep xp+1.ep+1 xn.en= 0.Or puisque la familleBest une base de E, elle est libre et tous les coefficients sont nuls, do : x = 0.

Puis : F + G = E.

En effet : x E, (x1, xn) Kn, x = (x1.e1+ + xp.ep) + (xp+1.ep+1+ + xn.en), puisqueBest


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gnratrice de E et le vecteur x se dcompose suivant F+G.

Donc : E F+G, et comme linclusion inverse est vidente, on a bien : E = F+G.Enfin, si G est un supplmentaire quelconque de F, on a :dim(G) = dim(E) + dim(FG) dim(F) = dim(E) dim(F).

Thorme 9.4 : des quatre dimensions ou formule de GrassmannSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel, F et G des sous-espaces vectoriels de dimension finie de E.

Alors (F + G) est de dimension finie ainsi que FG, et :

dim(F + G) + dim(FG) = dim(F) + dim(G).

Dmonstration :Puisque F et G sont de dimension finie, ils admettent tous deux une famille gnratrice finie, et larunion de ces deux familles fournit une famille gnratrice finie de F+G qui est donc de dimension finie.

Puis (FG) tant inclus dans un espace de dimension finie (F+G), il est lui-mme de dimension finie.

Soit (e1, ,ek) une base de (FG).

Comme (FG) est un sous-espace vectoriel de F et de G, on peut considrer un supplmentaire F de

(FG) dans F et une (ak+1, , ap) de ce supplmentaire dune part, et un supplmentaire G de (FG)dans G, ainsi quune base (bk+1, , bq) de cet autre supplmentaire dautre part.Montrons que (e1, , ek, ak+1, , ap, bk+1, ..., bq) est une base de F+G.

Cest une famille gnratrice de F+G, puisque ce sont tous bien des vecteurs de F+G et :u (F+G), (x,y) FG, u = x+y, et : (1, p) K

p, (1, , q) Kq, tels que :

x = 1.e1+ + k.ek+ k+1.ak+1+ + p.ap, puisque : F = (FG) F, et :

y = 1.e1+ + K.ek+ k+1.bk+1+ + q.bq, puisque l aussi : G = (FG) G, do :

u = (1+ 1).e1+ + (k+ k) .ek+ k+1.ak+1+ + p.ap+ k+1.bk+1+ + q.bq.

Cest une famille libre.Soit en effet : 1.e1+ + k.ek+ k+1.ak+1+ + p.ap+ k+1.bk+1+ + q.bq= 0.

Alors : (1.e1+ + k.ek+ k+1.ak+1+ + p.ap) = (k+1.bk+1+ + q.bq) (FG).

Donc ce vecteur appartient G car : (FG) G, et (FG) car : (FG) (FG).Donc il est nul, et la famille (bk+1, , bq) tant libre, tous les coefficients correspondant sont nuls.Puis : 1.e1+ + k.ek= (k+1.ak+1+ + p.ap), et l encore comme F et F sont supplmentaires, levecteur apparaissant dans cette galit est nul, et tous les coefficients sont nuls.Cest donc une base de (F+G) et :

dim(F+G) = k + (p k) + (q k) = p + q k = dim(F) + dim(G) dim(FG).

Dfinition 9.4 : dcomposition dun espace vectoriel en somme directeSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel, E1, , En, des sous-espaces vectoriels de E.On dit que E se dcompose en somme directe suivant les sous-espaces vectoriels E1, , Ensi et

seulement si : E = E1 En.

Thorme 9.5 : proprit rcursive des sommes directesSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel, E1, , En, des sous-espaces vectoriels de E.Si la somme (E1+ + En) des n sous-espaces vectoriels est directe, alors la somme de (n 1)quelconques parmi eux lest encore, et la somme dune sous-famille quelconque de parmi les n aussi.

Dmonstration :Montrons que la somme (E1+ + En-1) est encore directe, et pour cela tudions : (E2+ En-1) E1.

Soit donc un lment : x E1, et : x (E2+ + En-1).

Alors : x = x1E1, et : (x2, xn-1) E2En-1, x = x2+ + xn-1,

do : x = x2+ + xn-1+ 0 (E2+ + En), et : x E1(E2+ + En), donc : x = 0.On peut gnraliser ce rsultat lintersection dun quelconque des (n 1) avec la somme des (n 2)autres, puis (n 1) quelconques parmi les n de dpart.Enfin, par rcurrence descendante, toute sous-famille dune famille de sous-espaces vectoriels ensomme directe, est encore en somme directe.

Thorme 9.6 : dfinition quivalente dune dcomposition en somme directe

Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, E1, , En, des sous-espaces vectoriels de E.Alors E se dcompose en somme directe suivant les sous-espaces vectoriels E1, , Ensi et seulementsi tout vecteur de E se dcompose de faon unique comme somme de vecteurs de E1, , En.


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Dmonstration :

Supposons que : E = E1 En.Alors E tant la somme des sous-espaces vectoriels Ei, tout vecteur de E se dcompose suivant cettesomme, comme somme de vecteurs de E1, , En.Supposons maintenant pour un vecteur x de E, deux telles dcompositions.Alors : x = x1+ + xn= y1+ + yn, avec : (x1, , xn) E1En, (y1, , yn) E1En.

Donc : (x1 y1) + + (xn-1 yn-1) = yn xnEn(E1+ + En-1), et donc est nul, et : xn= yn.On termine par rcurrence descendante pour obtenir : xn= yn, xn-1= yn-1, , x1= y1, et la dcompositionest unique.

Supposons maintenant que tout vecteur de E se dcompose de faon unique comme somme devecteurs de E1, , En.On sait dj que : E = E1+ + En.

Montrons maintenant que la somme est directe, et pour cela, soit : x E1(E2+ + En), par exemple.

Alors : x = x1= x2+ + xn, avec : (x1, , xn) E1En, et : 0 = 0 + + 0 = x1 x2 xn.Cela fournit deux dcompositions du vecteur nul suivant E1+ + Enet : 0 = x1= = xn,puis : x = 0.La somme est bien directe.

Thorme 9.7 : caractrisation dune dcomposition en somme directeSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie, E1, , En, des sous-espaces vectoriels de E.Alors les proprits suivantes sont quivalentes :

E = E1 En,dim(E1+ + En) = dim(E1) + + dim(En), et : E = E1+ + En,

on obtient une base de E en runissant des bases choisies dans chaque Ei.

Dmonstration :

Montrons que : i) ii).Si : E = E1 En, alors :

E = E1+ + En, et : dim (E1+ + En) = dim(E1+ + En-1) + dim(En) dim((E1+ + En-1)En).Comme la dernire intersection est rduite {0}, sa dimension est nulle.On continue ensuite par rcurrence descendante pour obtenir le rsultat voulu.Montrons : ii) iii).SoientB1, ,Bndes bases des diffrents Ei, et :B=B1 Bn.

Puisque chaque baseBiest gnratrice de Ei,Best gnratrice de E, et : card(B) dim(E).Comme de plus le nombre dlments deBest :

card(B) card(B1) + + card(Bn) = dim(E1) + + dim(En) = dim(E), on a : card(B) = dim(E).

DoncBest bien une base de E.

Montrons que : iii) i).Soient doncBune base de E obtenue comme runion de base Bides diffrents Ei.

Btant gnratrice de E, on en dduit que tout vecteur de E scrit comme combinaison linaire des

vecteurs deB, donc desBi, donc, en regroupant les diffrents vecteurs appartenant chaque Ei,

comme somme de vecteurs des diffrents Ei.Soit donc : E = E1+ + En(en fait, une simple inclusion, mais linverse est immdiate).

Puis soit par exemple : x E1(E2+ + En).

Alors : (x1, x2, , xn) E1En, x = x1= x2+ + xn.En exprimant les diffrents vecteurs xisuivant les basesBi, cela fournit, par diffrence une combinaison

linaire des vecteurs deBgale 0.

MaisBtant une famille libre, tous les coefficients de cette combinaison sont nuls, et : x = 0.

On en dduit que la somme est directe (en obtenant le mme rsultat pour les autres intersections).

Dfinition 9.5 : base dun espace vectoriel adapte un sous-espace vectoriel, une sommedirecte de sous-espaces vectorielsSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie, F un sous-espace vectoriel de E.On dit quune baseBde E est adapte F, si elle est obtenue comme runion dune base de F et

dune base dun supplmentaire de F dans E.

On dit quune base de E est adapte une dcomposition de E en somme directe, si elle obtenuecomme runion de bases de chacun des sous-espaces vectoriels concerns par cette somme directe.


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10. Projecteurs.

Dfinition 10.1 : projecteurs associs deux sous-espaces vectoriels supplmentairesSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel, F et G des sous-espaces vectoriels supplmentaires de E.

Pour tout vecteur x de E, il existe un unique couple : (y,z) FG, tel que : x = y + z.On appelle : p(x) = y, le projet de x sur F paralllement G et : q(x) = z, le projet de x sur Gparalllement F.

Les applications p et q de E dans E sont appels projecteurs associs la dcomposition : E = F G.

Thorme 10.1 : proprits pour des projecteurs associsSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel, F et G des sous-espaces vectoriels supplmentaires de E et p et q les

projecteurs associs la dcomposition : E = F G.Alors :

p L(E), q L(E),

pop = p, qoq = q, poq = qop = 0, p + q = idE,

ker(p) = Im(q) = G, ker(q) = Im(p) = F.

Dmonstration :

Pour : (x,x) E2, (,) K2, on dcompose : x = y + z, x = y + z, suivant : E = F G,et : .x + .x = (.y + .y) + (.z + .z), est une dcomposition de [.x + .x] suivant : E = F G.

Mais une telle dcomposition tant unique, cest LA dcomposition de [.x + .x] suivant : E = F G.Puis : p(.x + .x) = .y + .y, par dcomposition, et : p(.x + .x) = .p(x) + .p(x).Le rsultat est identique pour q.Il est presque immdiat que : pop = p, puisque, avec les notations prcdentes, pour : x E,

p(x) = p(x) + 0, avec : p(x) F, 0 G, et : p(p(x)) = p(x), et : q(p(x)) = 0.De mme pour q.Puis : x = y + z = p(x) + q(x), et : idE= p + q, puisque cette galit est vrifie pour tout vecteur x de E.

x F, x = p(x), et donc : F Im(p). Mais vu la dfinition de p, on a aussi : Im(p) F, do lgalit.

Puis : x G, p(x) = 0, et : x ker(p). Mais on a galement : x ker(p), x = 0 + z, et : x G, do lencore lgalit.On a encore des rsultats identiques pour q.

Thorme 10.2 : caractrisation des sous-espaces vectoriels dfinissant un projecteurSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel, p L(E), tel que : pop = p.

Alors Im(p) et ker(p) sont supplmentaires dans E, et p est un projecteur de E sur Im(p) paralllement ker(p).

Dmonstration :

Soit : x (ker(p)Im(p)).

Alors : y E, y = p(x). Mais de plus : p(x) = 0 = p(p(y)) = p(y) = x. Donc : x = 0.Image et noyau de p sont en somme directe dans E.Soit : x E. Alors : p(x) = p(p(x)), et : p(x p(x)) = 0, do : [x p(x)] = z ker(p).Autrement dit : x = p(x) + z, ce qui fournit une dcomposition de x selon (Im(p) + ker(p)).Finalement les deux espaces image et noyau de p sont bien supplmentaires dans E.Soit enfin : x E, et sa dcomposition en : x = y + z, avec : y Im(p), z ker(p).

Alors : x E, y = p(x), et : p(x) = p(y) + p(z) = p(p(x)) + 0 = p(x) = y.Donc p est bien la projection de E sur Im(p) paralllement ker(p).

Dfinition 10.2 : famille de projecteurs associe une dcomposition en somme directe

Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, E1, , En, des sous-espaces vectoriels de E tels que : i

n

1iEE

== .

On note pile projecteur de E sur Eiparalllement la somme (E1 Ei-1Ei+1 En).

La famille (pi)1inest dite associe la dcomposition.

Thorme 10.3 : gnralisation du thorme 10.1Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, E1, , En, des sous-espaces vectoriels de E tels que : i

n

1iEE

== , et

soit (pi)1inla famille de projecteurs associe cette dcomposition.


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Alors on a :

1 i n, pi2= pi,

1 i j n, pio pj= 0,

p1+ ... + pn= idE.

Dmonstration :

Puisque les pisont tous des projecteurs de E, on a videmment : 1 i n, pi2= pi.

Soit maintenant x un vecteur quelconque de E, et : x = x1+ xn, sa dcomposition suivant la sommedirecte.

Alors : 1 i j n, pj(x) = xjEj.Or : EjEi(E1+ + Ei-1+ Ei+1+ + En) Ei= {0}, et donc : pi(xj) = 0.Soit bien : pio pj= 0.Enfin : (p1+ ... + pn)(x) = x1+ + xn= x, on a bien galement : p1+ ... + pn= idE.

11. Polynmes dinterpolation de Lagrange.

Dfinition 11.1 : polynmes de LagrangeSoient : a0, a1, , andes scalaires rels ou complexes distincts deux deux.

On appelle polynmes de Lagrange associs la famille (a i)0inles polynmes (Li)0indfinis par :0 i n, Li(ai) = 1,

i j, Li(aj) = 0.

0 i n, d(L i) = n.

Thorme 11.1 : existence et unicit des bases de LagrangeSoient : a0, a1, , andes scalaires rels ou complexes distincts deux deux.

Il existe une unique famille (Li)0inde polynmes vrifiant les conditions dinterpolation de Lagrange.Ils forment une base de Kn[X], appele base de Lagrange de Kn[X] associe la famille (ai)0in.

De plus : 0 i n, Li=( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )ni1ii1ii0i

n1i1i0

aa...aa.aa...aa

aX...aX.aX...aX

+

+ .

Dmonstration :Dmontrons que les conditions proposes donnent ces polynmes et quils forment une base de Kn[X].

Les polynmes doivent tre de degr n, et chacun admettre n racines distinctes.Donc : 0 i n, Li= i.(X a0)(X ai-1).(X ai+1)(X an), puisquaprs factorisation, il reste enfacteur un polynme constant.La valeur que doit prendre le polynme en aidonne alors la valeur de la constante, puis la forme finaledu polynme Licherch.

Rciproquement, ces polynmes sont bien tous de degr n, chaque L ivaut 1 en aiet admet commeracines toutes les autres valeurs.Ils forment bien une base de Kn[X], puisquils sont dune part au nombre de (n+1) soit la dimension deKn[X], et dautre part, ils forment une famille libre.

En effet, si : 0.L0+ + n.Ln= 0,alors en considrant les fonctions polynmes associes values en les diffrents ai, on obtient :

1 i n, i.1 = 0.Enfin, si on veut les coordonnes dun polynme P de Kn[X] dans cette base, il suffit dcrire :

P = 0.L0+ + n.Ln, puis nouveau dvaluer cette galit en les a i, pour obtenir :P = P(a0).L0+ + P(an).Ln.

12. Trace dune matrice carre, dun endomorphisme.

Dfinition 12.1et thorme 12.1 : trace dune matrice carreSoit : A = (aij) Mn(K).

On dfinit la trace de A comme la somme des lments diagonaux de A, soit : =

=n

1i

i,ia)A(tr .

Lapplication tr est une forme linaire surMn(K).Dmonstration :

Il est immdiat que tr est linaire deMn(K) dans K, puisquelle est bien valeurs dans K, et dautre


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part : (A,B) (Mn(K))2, (,) K2,

tr(.A + .B) = ===

+=+n

1i

i,i

n

1i

i,i

n

1i

i,ii,i b.a.)b.a.( = .tr(A) + .tr(B).

Thorme 12.2 : proprits basiques de la trace des matricesA Mn(K), tr(

tA) = tr(A).

(A,B) Mn(K), tr(A.B) = tr(B.A).

Plus gnralement, la trace dun produit fini de matrices carres est inchange par permutation circulairedes matrices dans le produit.

Dmonstration :Le premier rsultat est immdiat, puisque pour une matrice carre A, les matrices A et tA ont les mmeslments diagonaux, donc mme trace.Pour le deuxime point, on considre deux matrices A et B de Mn(K).

Soit : C = A.B.

Alors : 1 i n, ci,i= =

n

1k

i,kk,i b.a , et : tr = = =

=2nN)k,i(

i,kk,i

n

1i

n

1k

i,kk,i b.ab.a .

Le rsultat tant une formule symtrique en A et B, on a bien : tr(A.B) = tr(B.A).

Enfin, dans un produit de p matrices carres nn :

tr(A1Ap) = tr(A1.[A2Ap]) = tr([A2Ap].A1) = tr(A2Ap.A1),que lon peut gnraliser par rcurrence une permutation circulaire quelconque de ces p matrices.

Thorme 12.3 et dfinition 12.2: trace dun endomorphisme

Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie et : u L(E).

Alors la trace de la matrice reprsentative de u dans une base de E est indpendante de cette base.On note alors tr(u) la valeur commune de toutes ces traces, soit : tr(u) = tr(mat(u,B)), oBest une

base quelconque de E.

Dmonstration :SoientBetB deux bases de E, P la matrice de passage de BB et A et A les matrices

reprsentatives de u dans ces deux bases.

Alors : A = P-1

.A.P, et : tr(A) = tr(P-1

.A.P) = tr(A.P.P-1

) = tr(A).

Thorme 12.4 : trace dun projecteurSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie.Si p est un projecteur de E alors : rg(p) = tr(p).

Dmonstration :Puisque Im(p) et ker(p) sont supplmentaires dans E, considrons une baseBobtenue en runissant

une base (e1, , ek) de Im(p) et une base (ek+1, en) de ker(p).

Alors la matrice de p dans cette baseBest :

knk,kn

kn,kk

00

0I, et sa trace vaut : k = dim(Im(p)) = rg(p).

13. Dual dun espace vectoriel.

Dfinition 13.1 : dual dun espaceSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel.On appelle dual de E lespaceL(E,K), ensemble des formes linaires sur E et on le note E*.

Thorme 13.1 : dimension du dualSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie n.Alors : dim(E*) = n = dim(E).

Dmonstration :

Puisque : E* =L

(E,K), on a : dim(E*) = dim(L

(E,K)) = dim(E).dim(K) = dim(E).1 = n = dim(E).

Dfinition 13.2 : hyperplanSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel.


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Donc : P = In, et :B=B, autrement dit, si une base rpond au problme pos, elle est unique.

Enfin, soitB0une base de E,B0* sa base duale, Q la matrice de passage deB0* Ret soit Cla

base de E telle que la matrice tQ-1soit la matrice de passage deB0 C.

Alors la matrice de passage deR C* est : P = Q-1.t(tQ-1)-1= Q-1.Q = In, et : C* =R.

Thorme 13.5 : quations dun hyperplanSoit (E,+,.) un K-espace vectoriel de dimension finie n muni dune base : B= (e1, ,en).

Soit H un hyperplan de E.

Pour un vecteur x de E, on note (x1, , xn) ses coordonnes dans la base B.Alors : (a1,, ,an) K

n, (a1,, ,an) (0, , 0), tel que : (x H) (a1.x1+ + an.xn= 0).La dernire galit est appele quation de H dans la base (e1, , en) .De plus, si : b1.x1+ + bn.xn= 0, est une autre quation de H dans la base B, alors :

K*, 1 i n, bi= .ai.

Dmonstration :

Puisque H est un hyperplan de E, il existe une forme linaire non nulle dont H est le noyau.Il suffit pour cela de considrer une base (e1, , en-1) de H, de la complter avec un vecteur enen unebase de E, de considrer la base duale de cette base (e1*, , en*) et la forme linaire en* a bien pournoyau H.Soit maintenant la baseBpropose.

Alors en* peut se dcomposer suivant la base duale (e1*, , en*) en : en* = a1.e1* + .. + an.en*, o lescoefficients (ai)1insont des scalaires non tous nuls, puisque : en* 0.

Et on a : x E, x = x1.e1+ + xn.en, (x H) (en*(x) = 0) (a1.x1+ + an.xn= 0).Soit enfin : b1.x1+ + bn.xn= 0, une autre quation de H dans la base B.

Cela signifie : x E, x = x1.e1+ + xn.en, (x H) (b1.x1+ + bn.xn= 0) ((x) = 0),

o est la forme linaire : = b1.e1* + + bn.en*.

Autrement dit : H = ker().Mais deux formes linaires qui ont mme noyau sont proportionnelles entre elles et :

K*, 1 i n, bi= .ai.

Remarque : est non nul car et en* ont exactement le mme noyau H.

14. Structure affine canonique de

2

et

3

.

Dfinition 14.1 (hors programme) : espace affineEtant donn un K-espace vectoriel E, on appelle espace affine de direction E un ensembleAmuni

dune loi de composition externe + ayant les proprits suivantes :

A A, (u,v) E2, (A + u) + v = A + (u + v),

A A, A + 0 = A,

(A,B) A2, u E, B = A + u, et le vecteur u est alors not : ABu= ,u E, (A A, A + u = A) (u = 0).

Les lments deAsont alors appels des points.

Dfinition 14.2 : structure affine de 2et 3On peut munir 2et 3dune structure affine, dite structure affine canonique, en utilisant commedirection lespace vectoriel 2ou 3lui-mme, et comme loi externe la loi + dans ces espaces.Les lments de 2et 3sont alors indiffremment des points ou des vecteurs.

En particulier : (A,B) 2ou 3, AB= B A, o A et B gauche de lgalit sont considrs commedes points, et droite comme des vecteurs (des couples ou des triplets de rels).

Thorme 14.1 : proprits lmentaires liant des vecteurs dans un espace affineOn a les proprits suivantes :

(A,B) (2)2ou (3)2, B = A + AB ,

(A,B,C) (2)3ou (3)3, ACBCAB =+ (relation de Chasles),

(A,B) (2)2ou (3)2, (AB = 0) (A = B),

(A,B) (2)2ou (3)2, ABBA = .


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Dmonstration :

La dmonstration est faite dans 2mais est identique dans 3.Puisquun vecteur de 2se dfinit comme la diffrence des deux points (couples) de 2qui permettentde le construire, les quatre relations proposes sont immdiates.

Dfinition 14.2 : repre affine ou cartsienOn appelle repre affine de 2ou de 3, la donne dun point et dune base de 2ou de 3.On appelle repre affine canonique de 2ou de 3le repre dfini par 0 et la base canonique de 2oude 3.

Dfinition 14.3 : coordonnes dun point dans un repreSoit :R= (,B), un repre affine de 2ou de 3.

Pour un point M de 2ou de 3, on appelle coordonnes de M dans le repreRles coordonnes du

vecteur M dans la baseB.

Dfinition 14.4 : sous-espace affineOn appelle sous-espace affine de 2ou 3un sous-ensemble Fde 2ou 3dfini par un point A et un

sous-espace vectoriel F de 2ou de 3de la faon suivante :

M 2ou 3, (M F) (AM F).

F est appel la direction de Fou espace vectoriel sous-jacent F.

La dimension dun sous-espace affine est la dimension de son espace vectoriel directeur.

Thorme 14.2 : sous-espaces affines de 2et 3Un sous-espace affine de 2est donc un point, une droite ou 2, et un sous-espace affine de 3est unpoint, une droite, un plan ou 3.

Dmonstration :

Puisquun sous-espace affine se dfinit en particulier laide dun sous-espace vectoriel de lespacevectoriel sous-jacent, le rsultat est immdiat.En effet, un sous-espace vectoriel de 2est {0}, une droite vectorielle ou 2tout entier, ce qui donne unsingleton (un point), une droite affine, ou 2tout entier.La dmarche est identique dans 3.

Dfinition 14.5 : sous-espaces affines paralllesSoient : F= (A,F), et : F = (A,F), deux sous-espaces affines de 2ou 3.

Ces deux sous-espaces sont dits parallles si et seulement si : F F, ou : FF.

Thorme 14.3 : reprsentation paramtrique de droites et de plans dans un repre de 2ou de 3

SoitRun repre de 2ou de 3 :R= (,B).

SoitDune droite de 2ou de 3dfinie par un point A et un vecteur directeur u (ou deux points non

confondus), A de coordonnes (xA, yA, (zA)) dansR, et u de coordonnes (, , ()) dansB.

Alors :

+=

+=+=

).tzz(

.tyy

.txx

A

A

A

, est appele reprsentation paramtrique de la droiteDdans le repreR.

De mme, soitPun plan de 3dfini par un point A et une famille de deux vecteurs libres (ou trois

points non aligns), A de coordonnes (xA, yA, zA) dansR, et u, u de coordonnes (, , ) et (, , )

dansB.

Alors :

++=

++=

++=

''.t.tzz

''.t.tyy

''.t.txx

A

A

A

, est appele reprsentation paramtrique du planPdans le repreR.

Dmonstration :

Une droite affine se dfinit avec un sous-espace vectoriel de dimension 1, donc de faon quivalente,avec une base de cette droite vectorielle, donc un vecteur non nul de cette droite, ou encore enfin avecdeux points distincts.


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Si alors on dispose dun vecteur u non nul (de coordonnes (,,) dansB) et dun point A (de

coordonnes (xA, yA, zB) dansR), alors :

(M 3, (M D(A,u)) ((AM , u) lis) (t , AM= t.u), la dernire quivalence tant

justifie par le fait que u est non nul.Si maintenant on traduit cette dernire galit par des coordonnes dans R, on obtient le systme

annonc.De mme, un plan affine se dfinit avec un sous-espace vectoriel de dimension 2, ou de faonquivalente avec une base de ce plan vectoriel, soit deux vecteurs libres ou trois points non aligns.

On termine en crivant :(M 3), (M P(A,u,v)) ((AM , u,u) lis) ((t,t) 2, AM= t.u + t.u), cette dernire

quivalence tant cette fois justifie par le fait que (u,u) forme une famille libre.

Thorme 14.4 : quation dune droite dans un repre de 2ou dun plan dans un repre de 3SoitDune droite affine de 2, etRun repre de 2.

Pour un point M de 2, on note (x,y) ses coordonnes dans le repre R.

Alors : (a,b,c) 3, avec : (a,b) (0,0), tel que : (M D) (a.x + b.y = c).

Lexpression a.x + b.y = c est alors une quation de la droiteDdans le repreR.

De mme, soitPun plan affine de 3, etRun repre de 3.

Pour un point M de 3, on note (x,y,z) ses coordonnes dans le repreR.

Alors : (a,b,c,d) 4, avec : (a,b,c) (0,0,0), tel que : (M P) (a.x + b.y + c.z = d).

Lexpression a.x + b.y + c.z = d est alors une quation du planPdans le repreR.

Dmonstration :

On utilise ici une autre faon dexprimer le fait que deux vecteurs de 2(ou trois vecteurs de 3) sontlis, et plus prcisment :

(M 2, (M D(A,u)) ((AM , u) lis) (detB(AM , u) = 0).

Si on note comme prcdemment (,) les coordonnes de u dansBet (xA, yA) les coordonnes de A

dansR, on obtient alors : detB(AM , u) =

A

A

yy

xx, et :

(detB(AM , u) = 0) (.x .y + (.yA .xA) = 0), ce qui donne bien le rsultat annonc, puisque onremarque de plus que : (u 0) ((,-) (0,0)).

De mme, en traduisant par un dterminant 33 le fait que trois vecteurs dans 3sont lis, on obtientune quation cartsienne dun plan dans 3.

Dfinition 14.6 : application affineUne application f entre deux espaces affinesAetA de direction E et E est dite affine si et seulement

si lapplication dfinie par : (A,B) A2, (AB ) = )B(f)A(f , est linaire de E dans E.

Thorme 14.5 : expression dune application affine dans un repre de 2ou de 3

Soit f une application affine de 2

dans lui-mme (ou de 3

dans lui-mme), et soit : R= (,B), unrepre de 2ou de 3.Pour un point M de 2, on note X la matrice colonne de ses coordonnes dans le repreR, M son

image par f et X la matrice colonne des coordonnes de M dans le repre R.

Alors : X0M2,1() ouM3,1(), et : A M2() ouM3(), tel que : X = X0+ A.X.

La matrice X0est la matrice des coordonnes de : = f(), dans le repreR, et A est la matrice de

lapplication linaire associe f dans la baseB.

Dmonstration :

La dmonstration est faite dans 2, mais elle est identique dans 3.

Si on travaille dans le repreR, alors : M 2, )M(f)(f = ( M ), o correspond la partie

linaire de lapplication affine f, se traduit par : X X0= A.(X 0), o X0est la matrice des coordonnesde : = f(), dans le repreR, et A la matrice de dans la baseB, 0 tant la matrice des

coordonnes de dansR.


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Donc on obtient bien la forme annonce.

Thorme 14.6 : exemples dapplications affinesSoit f une application affine de 2dans lui-mme (ou de 3dans lui-mme) de partie linaire associe .

Si : = idE, f est une translation affine.

Si : = k.idE, avec : k *, k 1, f est une homothtie affine de rapport k.

Si est un projecteur dfini laide de la dcomposition en somme directe : E = F G, f est unprojection affine sur un sous-espace affine de direction F paralllement G (ou de direction G).

Si est une symtrie dfinie laide de la dcomposition en somme directe : E = F G, f est unesymtrie affine par rapport un sous-espace affine de direction F paralllement G (ou de direction G).

Dmonstration :

Il ny a presque aucune dmonstration faire, puisque cet nonc dfinit presque ce quon entend par homothtie affine , projection affine et symtrie affine

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04 - Espaces Vectoriels Et Affines Cours Complet