Chapitre 2 : La Fonction d’Onde

1) Définition.En mécanique classique, un système de N objets est décrit par

- leurs masses (paramètre)- leurs positions (3N coordonnées cartésiennes, polaires, …) au temps t- le temps t

Pour un objet P :

P(x,y,z)=f(t) est une trajectoire qui permet de calculer la quantité de mouvement,l’énergie cinétique (ou totale si l’on connait le potentiel agissant), les moments angulaires, etc …

Cette description où les positions sont définies avec une précision infinie ne convient pas a la mécanique quantique. Pour être en accord avec les inégalités d’Heisenberg, il faut une description différente qui prenne en compte les situations où l’incertitude sur la position de la particule est différente de zéro.

Conséquence : Si l’on ne sait pas exactement où se trouve la particule, il faut oublier la notion de trajectoire qui n’existe pas en mécanique quantique !Conséquence : Si l’on ne sait pas exactement où se trouve la particule, il faut oublier la notion de trajectoire qui n’existe pas en mécanique quantique !

Cette fonction est complexe et on l’exprime en fonction des coordonnées d’espace et du temps (x,y,z,t). (attention ce n’est pas une trajectoire !!)

A tout système quantique, on peut associer une fonction d’onde, , qui décrit l’état de ce système en respectant les contraintes imposée par les relations d’Heisenberg.

La fonction en elle-même n’a pas de signification physique, par contre le module au carré de la fonction représente la densité de probabilité de trouver le système dans un volume dv de l’espace au temps t lorsqu’il se trouve dans l’état décrit par .

Partie réelle de : Re() Partie imaginaire de : Im()Module au carré | |2 : (

Fonction d’ondeFonction d’ondeComplexe conjuguéeModule au carré

Exemple : Densité de probabilité radiale d’un électron 1s.

Exemple : b=0,5 ; c=1,5 => P=0,496Donc, l’électron se trouve entre 0,5 bohr et 1,5 bohr avec une probabilité de 0,496

Notez que la proba de trouver l’électron à un rayon précis est nulle !!! Car

Notez que cette expression ne dépend pas du temps. C’est un état stationnaire (stable vis-à-vis du temps).

0

0

0

De part sa signification physique, la densité de probabilité impose les propriétés suivantes à la fonction d’onde :•Etre de carré sommable, c’est-à-dire ne doit pas tendre vers l’infini dans son domaine de définition.

•Etre continue dans son domaine de définition, c’est-à-dire ne prendre qu’une seule valeur en un point.

•La dérivée première doit être continue dans son domaine de définition.

Enfin, la fonction doit être normalisée. Ceci signifie que la fonction décrit un objet qui existe quelque part dans son domaine de définition.

NB : si b = 0 ; c =10 => P = 0.99999954A un instant donné, il y a environ une chance sur 10 000 000qu’un atome d’hydrogène soit plus de 10 fois plus gros qu’un atome d’hydrogène « moyen ».

D’où la notion de nuage électronique….

Exemples de fonctions d’onde : Fonction bidimensionnelle

La fonction bidimensionnelle peut se représenter en 3D ou par des courbes d’isovaleur sur une surface 2D (avec éventuellement des couleurs différentes en fonction du signe !)

Billard carré

Exemples de fonctions d’onde : Fonction tridimensionnelle et au delà.

On est forcés de représenter des « coupes » de la fonction selon certains degrés de liberté. En 3D on peut représenter des surfaces d’isovaleur dans l’espace 3D.

http://www.ressources-pedagogiques.ups-tlse.fr/cpm/ato-lc-spectro_L-MOpi_C2H4.html

Les coordonnées peuvent aussi être définies par le système étudié. Dans cette molécule triatomique, les trois coordonnées (dites de Jacobi) : r, R et décrivent une géométrie donnée de la molécule.

La fonction d’onde exprimée dans ces coordonnées permet d’étudier la géométrie ou la déformation de la molécule (au cours d’une réaction par exemple), mais pas le déplacement de son centre de masse, ni sa rotation.

Retour sur l’absence de trajectoires

Particule oscillant dans un potentiel harmonique (parabole).

Classique Quantique

On observe une bonne corrélation entre la trajectoire classique et le mouvement du paquet d’ondes.

Trajectoire

Particule oscillant dans un potentiel non harmonique.

On observe que le comportement classique se dégrade au cours du temps (décohérence).

Evolution dans un billard carré.

On observe de nombreux effets d’interférences et une forte décohérence.

Classique Quantique

On dira que deux fonctions d’ondes, 1et 2, exprimées dans le même système de coordonnées, sont orthogonales si la relation suivante est vérifiée :

Si ces fonctions sont normalisées on a donc :

(delta de kronecker)

Notons que cette relation est semblable à la relation que vérifient deux vecteurs unitaires,i et j, d’une base orthonormée :

2) Propriétés des fonctions d’ondes.

Exemple :

Fonctions 1D orthogonales, réelles, dans un domaine borné.

Normalisation :

Orthogonalité :

*

Coefficient de normalisation

- Fonctions orthogonales dans le billard carré :

Et pour une membrane circulaire :

Principe de superposition

Soient 1, 2, .., n, n fonctions d’ondes orthonormées représentant n états possibles d’un système.Toute fonction , combinaison linéaire des n fonctions précédentes est aussi une fonction d’onde possible du système.

Les ai sont des constantes qui peuvent être complexes.

doit être une fonction normalisée et l’on montre que l’on doit avoir la relation suivante :

Détermination des coefficients ai

Soit une fonction d’onde représentant l’état d’un système. Soient 1, 2, .., n, n fonctions d’ondes orthonormées représentant n états possibles d’un système. La projection de sur i permet de déterminer le coefficient ai de la décomposition de sur les fonctions i.

On dit que ai est le coefficient de la projection de sur i

Analogie géométrique

Fonctions orthonorméesd’un espace des états (espace de Hilbert)

Vecteurs orthonormésd’un espace vectoriel

L’intégrale sur l’espace du produit d’une fonction par le complexe conjuguéd’une autre tient le rôle du produit scalaire dans un espace vectoriel.

De la même manière que, dans un espace cartésien, tout vecteur peut se décomposer dans une base orthonormée, toute fonction d’onde peut se décomposer sur une base de fonctions orthonormées.

a1 xa2 x

a3 x

a4 x

Vibration quelconque

Lorsque la dimension de l’espace est >1, il y a une infinité de bases orthonormées possibles dans lesquelles un vecteur se projettera différemment.

3) Notation de Dirac

L’état d’un système n’est pas toujours représentable par une fonction des coordonnées et du temps (par exemple le spin). Dirac a introduit une formulation générale de la mécanique quantique qui prend en compte tout les types de fonctions d’états (et pas seulement les fonctions d’onde).

Une élément quelconque de l’espace des états, , est appelé vecteur-ket ou plus simplement ket. On le note par le symbole , en mettant à l’intérieur un signe distinctif permettant de le différencier des autres états.

Par exemple, si le ket est associé à un état décrit pas une fonction (r), on pourra le noter :

: ket psi

A tout vecteur-ket de , correspond un vecteur dans l’espace dual * que l’on nomme vecteur-bra ou bra.

Les fonctions que l’on manipule sont souvent complexes. On admettra qu’il existe un espace dual, *, de l’espace des états, contenant des états pouvant être associés aux fonctions complexes conjuguées des fonctions associées aux vecteurs d’état de .

: bra psi NB : En anglais, bracket signifie crochet.

Quelques propriétés :

-Si est un complexe et |> un ket de , alors |> est également un ket de que l’on peut noter | > .

-Le bra associé à |> est * <| où * est le complexe conjugué de On peut le noter <

Attention, on a donc < * <|

- Produit scalaire :

Le produit scalaire de deux kets |> et |> est noté < | >

il a les propriétés suivantes

< | > = < | >*

< | > = < | < | >

< | > = *< | *< | >

Normalisation et orthogonalité

Mécanique quantique ondulatoire Formalisme général de Dirac

< | >=1normalisation

othonormalité < i | j >=ij

La notation de Dirac est plus « légère »