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CHAPITRE 4: ETUDE DES FILTRES
PASSIFS (SUITE 1)
IV. Etude de filtres passifs de 1er ordre:
IV.1. Etude d’un dérivateur pur:
τd(.)/dtVe(t) Vs(t)
( )τ
ωω
ωω
ω
ωωττ
1,j
V
VjT
VjVjVdt
)t(dv)t(v
o
oe
s
e
o
ese
s
===⇒
==⇒=
( ) 2j
oo
ejjTπ
ω
ω
ω
ωω ==
( )
( )ω
ω
ω
ω
ωω
f
log20GjTo
10dB
o
=
=⇒= Cte
2== πϕ
MODULE PHASE
� Etude asymptotique:
+∞→⇒+∞→⇒+∞→
→⇒→⇒=
−∞→⇒−∞→⇒=
dB10
dB100
dB10
Glog
0G0log
Glog0
ω
ωω
ω
� GdB = f(ω) est une droite affine croissante,coupant la droite des abscisses au point ω =ωo.
� Pente de la droite = ?
+∞→⇒+∞→⇒+∞→ dB10 Glogω
� Détermination de la pente de l’asymptote:
� La pente est généralement déterminée pour une décade,
c.à.d pour l’intervalle [ωo...10ωo].
dB0log20G 0 =
=⇒=ω
ωω
décade/dB20décade/dB0dB20pente
dB2010
log20G10
dB0log20G
0
010dB0
0
010dB0
=−=⇒
=
=⇒=
=
=⇒=
ω
ωωω
ω
ωωω
� Diagrammes de Bode d’un dérivateur pur:
GdB
ω/ωo (rad/s)
+20dB/décade
ω/ωo (rad/s)
(o)
� Remarque importante:
� Le dérivateur pur n’est pas physiquement
réalisable, car pour les hautes fréquences
(ω→+∞), le gain devient infini (G →+∞),(ω→+∞), le gain devient infini (GdB→+∞),
donc la grandeur de sortie (vs) devient à son
tour infinie, ce qui est impossible pour un
système physique.
IV.2. Etude d’un intégrateur pur:
Ve(t) Vs(t)
VV1
( )∫ dt.1
τ
( )τ
ω
ω
ωω
ω
ωωττ
1,
j
V
VjT
Vj
j
VVdt)t(v
1)t(v
o
o
e
s
o
eeses
=
−==⇒
−==⇒= ∫
( ) 2j
o
o
ej
jTπ
ω
ω
ω
ωω
−
=
−=
( )
( )ω
ω
ω
ω
ωω
f
log20GjT o10dB
o
=
=⇒=
Cte2
=−= πϕ
MODULE PHASE
� Etude asymptotique:
−∞→⇒−∞→⇒+∞→
→⇒→⇒=
+∞→⇒+∞→⇒=
dB10
dB100
dB10
Glog
0G0log
Glog0
ω
ωω
ω
� GdB = f(ω) est une droite affine décroissante,coupant la droite des abscisses au point ω =ωo.
� Pente de la droite = ?
−∞→⇒−∞→⇒+∞→ dB10 Glogω
� Détermination de la pente de l’asymptote:
� La pente est déterminée pour une décade, c.à.d pour
l’intervalle [ωo...10ωo].
dB0log20G 0 =
=⇒=ω
ωω
décade/dB20décade/dB0dB20pente
dB2010
log20G10
dB0log20G
0
010dB0
0
010dB0
−=−−=⇒
−=
−=⇒=
=
=⇒=
ω
ωωω
ω
ωωω
� Diagrammes de Bode d’un intégrateur pur:
GdB
ω/ωo
(rad/s)
ω/ωo
(rad/s)
φ(o)
1
-20dB/décade
� Remarques importantes:
� Le dérivateur pur présente un gain élevé pour les
hautes fréquences (ω→+∞).
� L’intégrateur pur présente un gain élevé pour les
basses fréquences (ω→0).
IV.3. Filtre passe-bas du 1er ordre:
( )
( )τ
ω
ω
ωω
ωτωτ
1,
j1
1
V
VjT
Vj1VVjV)t(vdt
)t(dvCR)t(v
o
o
e
s
essses
s
=
+
==⇒
=+=+⇒=
+
( )
−
+
−
=
+
=
oo
o
o
j1.j1
j1
j1
1jT
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
( )
( )ω
ω
ω
ω
ω
ω
f
1
1log20G
1
1jT
2
o
10dB2
o
=
+
−=⇒
+
=
( )
−
+
−
=
+
=o
j1.j1
j1
j1
1jT
ωω
ω
ω
ωω
−
+
+
ooo
j1.j1j1ω
ω
ω
ω
ω
ω
( )
−=
o
tanaω
ωωϕ
� Etude asymptotique pour le gain:
−=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
dB0
dB
dB3G2
1T
0G1T0
ωω
ω
� Pour les hautes fréquences ω > ωo, GdB = f(ω) est
identique à un intégrateur pur: c’est une droite affine
décroissante, de pente -20dB/décade.
−=⇒=⇒+∞→
o10dB
o
dB0
log20GT
2
ωω
ωω
ω
� Etude asymptotique pour la phase:
−=
o
tanaω
ωϕ
( )
( )
( )2
tana
41tana
00tana0
0
πϕω
πϕωω
ϕω
−=∞+−=⇒+∞→
−=−=⇒=
=−=⇒=
� Diagrammes de Bode d’un filtre passe-bas:
-3 dB
GdB
1
ω /ωo (rad/s)
Bande passante Bande rejetée
-20 dB/décade
ω /ωo (rad/s)
1φ(o)
-45
-90
dB3G2
1T dB0 −=⇒=⇒= ωω
� Remarques importantes:
� La fréquence ωo est appelée fréquence de coupure à
-3 dB.
� La bande passante à -3 dB est la bande de
fréquence [0.. ωo].
IV.4. Filtre passe-haut du 1er ordre:
ωRCR
sVeV
( )τ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
1,
1j
j
V
VjT
jRC
RCV
C
jR
RV
o
o
o
e
s
es
=
+
==⇒
−=
−
=
( ) 21
oT
o
T.T
j1
1.jjT
1
=
+
=
43421
321ω
ωω
ωω
21
dB2dB1dB GGG
ϕϕϕ +=
+=
T
oT
2
1 43421ω
Dérivateur purFiltre passe-bas
� Diagramme de gain d’un filtre passe-haut:
-3 dB
GdB
1
ω /ωo (rad/s)
+20 dB/décade
-20 dB/décade
GdB
1
ω /ωo (rad/s)
Bande passanteBande rejetée
� Diagramme de phase d’un filtre passe-haut:
ω /ωo (rad/s)
1φ(o)
-45
90
-45
-90
ω /ωo (rad/s)
90
-90
φ(o)
1
� Remarques importantes:
� La bande passante d’un filtre passe-haut est la bande de
fréquence [ωo ..+∞].
� Les basses fréquences sont atténuées avec un gain de -
20dB/décade.
� Les hautes fréquences sont transmises avec un gain unitaire
et un déphasage nul.
