Chapitre 5

Prévisions

Les méthodes de lissage

TENDANCE SAISONNALITE METHODENon Non Lissage exponentiel simple

Oui NonLissage exponentiel double,

Lissage de HoltOui Oui Lissage de Winters

1. Le lissage exponentiel simple (LES)

C’est une technique très simple de prévision à t + 1. Elle s’applique à des SC sans tendance. Le principe consiste à donner plus d’importance aux dernières observations.

On ne prolonge pas une série comme on le ferait avec une régression simple (Mco) mais on cherche à obtenir une valeur lissée en t pour la reporter tout simplement en t + 1.

Elle est plus réactive que les Moyennes Mobiles ou les modèles utilisant la régression car elle prend rapidement en compte une modification de tendance.

1. Le lissage exponentiel simple (LES)

On note la formule de la façon suivante 

La présentation de cette formule est déstabilisante puisque t est le moment où la prévision a été faite et non celui où elle doit se réaliser.

Le coefficient α, compris entre 0 et 1, s’applique à la dernière réalisation. α s’appelle la constante de lissage (ou coefficient de lissage). Évidemment, si elle est égale à 1, on ne fait que reporter en t + 1 l’observation de la période t.

Le coefficient (1 – α) s’applique quant à lui à la prévision précédente.

1. Le lissage exponentiel simple (LES)

La formule peut se réécrire :

En choisissant α = 0,3, la dernière observation est donc pondérée à 30 %, la précédente à 0,3 × 0,7 = 21 %, celle d’avant à 14,7 % et ainsi de suite jusqu’au début de la série

L'un des avantages de cette présentation est de comprendre pourquoi on appelle ce lissage EXPONENTIEL (décroissance exponentielle des pondérations lorsqu'on remonte dans le temps).

Enfin, La prévision n'a pour horizon que t + 1. Toutes les prévisions à horizon plus lointain seraient exactement les mêmes.

1. Le lissage exponentiel simple (LES)

La prévision initialeEn raison de la formule récurrente du LES, on est

obligé de CHOISIR une valeur à partir de laquelle les prévisions seront effectuées. Cette valeur n’a que peu d’importance si la série est longue.

On prend souvent la moyenne des deux ou trois premières observations mais ce choix est arbitraire. On peut également prendre la première valeur.

1. Le lissage exponentiel simple (LES)

Le choix de la constante de lissage

On peut confronter les observations avec ce qu’aurait donné un LES utilisant une constante de lissage de 0,1 puis 0,2 puis 0,3 et ainsi de suite.

 On se donne un indicateur d’écart pour comparer les séries (On va prendre la somme des carrés des erreurs).

1. Le lissage exponentiel simple (LES)

La valeur lissée initiale est la moyenne entre les deux premières observations (520). On remarque que, des trois constantes étudiées, la plus adaptée est α = 0,7.

Ventes Alpha=0,3 SCE Alpha=0,5 SCE Alpha=0,7 SCEJanvier 515Février 525 520 520 520,0Mars 536 521,5 210,3 522,5 182,3 523,5 156,3Avril 549 525,9 535,9 528,8 410,1 532,3 280,6Mai 568 532,8 1239,4 537,4 934,8 544,0 577,2Juin 550 543,4 44,1 550,4 0,2 560,8 116,5

Juillet 622 545,3 5875,3 546,7 5673,4 553,2 4728,2Août 587 568,3 348,0 583,7 11,1 601,4 206,5

Septembre 561 573,9 167,5 577,7 278,0 591,3 918,8Octobre 549 570,1 443,5 567,5 341,2 570,1 444,9

Novembre 550 563,7 188,8 559,5 90,8 555,3 28,4Décembre 562 559,6 5,7 556,9 26,3 551,6 108,2

Janvier 569 560,3 75,1 560,8 67,1 558,9 102,4Février 574 562,9 122,5 564,7 87,1 566,0 64,6Mars 590 566,3 563,9 568,5 463,7 571,6 339,0Avril 612 573,4 1491,7 578,1 1147,4 584,5 757,5Mai 621 585,0 1298,6 592,7 801,5 603,7 297,8

595,8 12610,3 603,0 10514,8 615,8 9126,9

1. Le lissage exponentiel simple (LES)

Exemple : La série a été initialisée à 27, moyenne des deux premières observations.

Le nombre de commandes prévu pour le second mois de février est estimé à :

25,8 = (0,4 × 25) + (0,6 × 26,37)Ventes Alpha=0,4

Janvier 25Février 29 27Mars 24 27,8Avril 21 26,3Mai 26 24,2Juin 23 24,9

Juillet 27 24,1Août 25 25,3

Septembre 21 25,2Octobre 24 23,5

Novembre 26 23,7Décembre 29 24,6

Janvier 25 26,4Février ? 25,8

2. Le lissage exponentiel double (LED)

Le LES permet d’établir une prévision à t + 1 lorsqu’il n’existe pas de tendance. Lorsqu’il y en a une, on peut effectuer un LED.

Lorsqu’on souhaite établir une prévision par lissage sur une série avec tendance, on doit alors établir les paramètres d'une tendance linéaire y = at + b.

Celle-ci ne résume pas les valeurs d'une SC de façon indifférenciée comme le fait les MCO.

Selon le principe du lissage exponentiel, les dernières valeurs ont un poids plus important que les plus anciennes. Du coup, la prévision est recalculée pour chaque observation supplémentaire.

2. Le lissage exponentiel double (LED)

La prévision en h :

Le LED nécessite une constante de lissage α, comprise entre 0 et 1, qui permet de plus ou moins pondérer la dernière observation par rapport aux précédentes.

2. Le lissage exponentiel double (LED)

Comment déterminer les paramètres a et b ?

1. L’estimation de la « constante » b est égale à deux fois la première valeur lissée moins une fois la seconde valeur lissée.

2. Le coefficient a est égal à la différence entre les deux valeurs lissées (la première moins la seconde), multipliée par un coefficient α / (1 – α).

Ces paramètres sont déterminés par minimisation des carrés des erreurs

Pour initialiser le lissage double, on utilise les deux premières valeurs.

2. Le lissage exponentiel double (LED)

Exemple :63,4=0,4*65+0,6*62,4.

61,8=0,4*63,4+0,6*60,7.

1,08=(0,4/0,6)*(63,4-61,8)

65,1=(2*63,4)-61,8 ; 65,2=64,1+1,11; 66,1=65,1+1,08, etc.

Ventes 1er lissage 2nd lissage a b prevJanvier 52 52 52Février 50 50 51,2 -0,80 48,8Mars 54 51,6 51,4 0,16 51,8 48,0Avril 55 53,0 52,0 0,64 53,9 52,0Mai 58 55,0 53,2 1,19 56,8 54,6Juin 57 55,8 54,2 1,04 57,3 58,0

Juillet 60 57,5 55,5 1,30 59,4 58,4Août 61 58,9 56,9 1,34 60,9 60,7

Septembre 64 60,9 58,5 1,62 63,4 62,2Octobre 62 61,4 59,6 1,15 63,1 65,0

Novembre 64 62,4 60,7 1,11 64,1 64,2Décembre 65 63,4 61,8 1,08 65,1 65,2

Janvier 66,1Février 67,2

68,369,4

3. Lissage de Holt

Tout comme le LED, le lissage de Holt permet d’établir une fonction de prévision linéaire

Avec

Avec

3. Lissage de Holt

Exemple :α=0,4 et γ=0,6B (dec): 238,2=0,4*239+0,6*(236,7+1,0)

A (dec) :1,3=0,6*(238,2-236,7)+0,4*1,0

La prévision est la somme de a et b le mois précédent

Ventes b a prevJanvier 220 220 0Février 224 221,6 1,0 220,0Mars 226 223,9 1,8 222,6Avril 225 225,4 1,6 225,7Mai 230 228,2 2,3 227,0Juin 232 231,1 2,7 230,5

Juillet 228 231,5 1,3 233,8Août 232 232,5 1,1 232,8

Septembre 236 234,5 1,7 233,6Octobre 236 236,1 1,6 236,2

Novembre 235 236,7 1,0 237,8Décembre 239 238,2 1,3 237,6

Janvier 239,5

4. Lissage de Winters

Le lissage de Winters a l’avantage d’intégrer la saisonnalité

On établit une fonction localement linéaire dont la pente et le niveau sont tous deux estimés à partir de réalisations passées et de prévisions. Ces dernières sont établies à l’aide de constantes de lissage alpha et gamma (comme précédemment)

On rajoute simplement une troisième constante de lissage pour tenir compte de la saisonnalité (delta)

4. Lissage de Winters

La formule est la suivante

La pente et le niveau sont calculés de la même façon qu’avec un lissage de Holt mais le niveau est appliqué à une donnée CVS.

Avec

Avec

Avec

))(1( 11 ttpttt abSyb

ptttt SbyS 1

4. Lissage de Winters

Exemple (première étape) : données trim, α = 0,4, γ = 0,2 et δ = 0,5

Initialisation : b (moyenne des obs de la première année) ; a =0 ; la saisonnalité : obs-la valeur de b; prev=a+b+s du trim (-1,475)

t obs b b s prev1 61,5 -1,4752 63,2 0,2253 55,8 -7,1754 71,4 62,975 0 8,4255 70 61,56 71,47 63,98 78,99 78,3

10 78,611 71,912 8713 86,214 87,515 80,116 92,5

4. Lissage de Winters

Exemple (deuxième étape) : α = 0,4, γ = 0,2 et δ = 0,5

Calcul de b : 66,375=0,4*(70-(-1,475))+0,6*(62,975+0)

Calcul de a : 0,68=0,2*(66,375-62,975)+0,8*0

Calcul de s : 1,075=0,5*(70-66,375)+0,5*(-1,475)

Prev : 67,28=66,375+0,68+0,225

t obs b a s prev1 61,5 -1,4752 63,2 0,2253 55,8 -7,1754 71,4 62,975 0 8,4255 70 66,375 0,68 1,075 61,56 71,4 67,287 63,98 78,99 78,3

10 78,611 71,912 8713 86,214 87,515 80,116 92,5

4. Lissage de Winters

Exemple (troisième étape) :

Prev(17) : 92,0=86,9+1,6+3,399

Prev(18) : 92,6=86,9+(2*1,6)+2,455

Prev (19) :85,4= 86,9+(3*1,6)-6,455, etc.t obs b a s prev1 61,5 -1,4752 63,2 0,2253 55,8 -7,1754 71,4 62,975 0 8,4255 70 66,4 0,7 1,075 61,56 71,4 68,7 1,0 1,461 67,37 63,9 70,3 1,1 -6,766 62,58 78,9 71,0 1,0 8,155 79,89 78,3 74,1 1,5 2,624 73,1

10 78,6 76,2 1,6 1,927 77,011 71,9 78,1 1,7 -6,504 71,012 87 79,4 1,6 7,870 87,913 86,2 82,0 1,8 3,399 83,614 87,5 84,5 1,9 2,455 85,715 80,1 86,5 1,9 -6,455 79,916 92,5 86,9 1,6 6,725 96,317 92,018 92,619 85,420 100,2

4. Lissage de Winters

Le graphique associé

Exercice 1 : lissage exponentiel simple

JOUR COURS JOUR COURS JOUR COURS123456

129312091205127312201290

7891011

12431203139013601353

1213141516

13431364133013771332

JOUR

16151413121110987654321

CO

UR

S

1500

1400

1300

1200

1100

Exercice 1

Résultats

Y Alpha=0,41 12932 1209 1251,03 1205 1231,74 1273 1219,45 1220 1244,16 1290 1233,07 1243 1259,28 1203 1251,89 1390 1229,3

10 1360 1303,211 1353 1329,312 1343 1340,213 1364 1341,514 1330 1351,915 1337 1341,816 1332 1339,6

1336,1

Exercice 2 : prévoir les obs pour 20071. Quelle méthode ?

2. α=0,3 ; γ=0,6 ; δ=0,5 .

t1 t2 t3 t42004 1 2 7 92005 1 3 11 122006 5 6 10 12

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12 14

Série1

Résultats

Y b a s prev1 1 -3,752 2 -2,753 7 2,254 9 4,75 0 4,255 1 4,8 0,0 -3,75 16 3 5,1 0,2 -2,40 2,07 11 6,3 0,8 3,48 7,58 12 7,3 0,9 4,48 11,39 5 8,4 1,0 -3,57 4,5

10 6 9,1 0,8 -2,75 7,011 10 8,9 0,2 2,28 13,412 12 8,7 -0,1 3,91 13,613 5,014 5,815 10,716 12,3