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Chapitre 6: Stabilité des systèmes bouclés linéaires
R. Beguenane, UQAC, 2005/2006 6GEI630 : Systèmes Asservis
Contenu du chapitre
6.1. Introduction6.2. Concept de stabilité6.3. Critère de stabilité de Routh-Hurwitz6.4. Stabilité relative des systèmes asservis bouclés6.5. Stabilité des systèmes asservis à base de variable d’état6.6. Exemples de conception 6.7. Stabilité des systèmes bouclés en utilisant MATLAB
1/14
6.1. Introduction
La stabilité des systèmes asservis bouclés est une issue importante pour l’ingénieur de contrôle.
Un système bouclé instable est généralement non pratique. D’où le besoin de chercher des méthodes d’analyse et de conception des systèmes stables.
Un système stable:
- Exhibe une sortie bornée en réponse à une entrée bornée.- Il est directement lié au lieu des racines déduit à partir de l’équation caractéristique duSystème bouclé.- La méthode Routh-Hurwitz est introduite comme moyen utile pour évaluer la stabilité dessystèmes.- Cette technique nous permet de déduire le nombre des racines se trouvant dans la moitiédroite du plan-s sans calculer les valeurs exactes de ces racines.
Ces points seront vu durant ce chapitre, en plus de la notion de stabilité relative.
6.2. Concept de stabilité
Un système stable est un système dynamique avec une réponse bornée à une excitation bornée.
)(
)()(
)(
)()(
s
ssP
sq
spsT ii
Fonction de transfert en boucle fermée d’un système linéaire
mmt
R
m mm
Q
k
tk teBeAty mk
sin)(11
1
Q
k
R
mmmmk
N
M
ii
ssss
zsKsT
1 1
222
1
2 )(
La réponse impulsionnelle:
0 )()( ssq Est l’équation caractéristique dont les racines sont les pôlesdu système bouclé.
Conclusion: pour obtenir une réponse bornée, k et m doivent être >0, i.e. les pôles du système bouclé doivent être dans la moitié gauche du plan-s, donc les pôles de la FT du système doivent avoir des parties réelles négatives. Condition nécessaire et suffisante.
Rappel: Réponses impulsionnelles correspondantes aux différentes locations des racines (pôles).
NOTE: Les pôles conjugués ne sont pas représentés
SystèmeMarginalementstable
Le pont Tacoma Narrows (au Puget Sound, Washington, USA)au moment ou les oscillations ont Commencé.
Le pont Tacoma Narrows au moment de la catastrophe.
NOTE:Le pont était ouvert au trafic le 1 juillet 1940. Il oscillait à chaque fois que le vent apparaîtrait. Après 4 mois (i.e. 7 novembre 1940), un vent a produit des oscillations qui augmentait en amplitude jusqu’à la l’effondrement du pont.
Exemple d’un système instable
6.3. Critère de stabilité de Routh-Hurwitz
0011
1 asasasasqs n
nn
n ...)()(
En multipliant les facteurs ensemble et en examinant de plus près, on remarque que les coefficientsdu polynôme ai doivent être du même signe si toutes les racines sont à gauche du plan-s. Aussi il est nécessaire que tout les coefficients soient non nuls pour que le système soit stable. Toutefois, cesont des conditions nécessaires mais non suffisantes.
8242 232 sssssssq ))(()(
En d’autres termes, si ces conditions ne sont pas satisfaites, le système n’est pas stable, mais l’inverse n’est pas juste. Pour cela, il faut procéder autrement pour s’assurer de la stabilité.
Exemple
021 ))...()(()()( nn rsrsrsasqs
Le système n’est pas stable, alors que les coefficients du polynôme ai sont positifs.
Le critère de Routh-Hurwitz est nécessaire et suffisant pour la stabilité des systèmes linéaires.
0011
1 asasasa n
nn
n ...
sn an an-2 an-4 …
sn-1 an-1 an-3 an-5 …
sn-2 bn-1 bn-3 bn-5 …
sn-3 cn-1 cn-3 cn-5 …
.
.
.
s0 hn-1
1
321
31
2
11
1
n
nnnn
nn
nn
nn a
aaaa
aa
aa
ab
51
4
13
1
nn
nn
nn aa
aa
ab
31
31
11
1
nn
nn
nn bb
aa
bc
71
6
15
1
nn
nn
nn aa
aa
ab
51
51
13
1
nn
nn
nn bb
aa
bc
Le critère de Routh-Hurwitz évalue le nombre de racines de q(s) avec partie réelle positive, égale au nombre de changements de signe dans la première colonne du tableau de Routh.
Le critère de Routh-Hurwitz est nécessaire et suffisant pour la stabilité des systèmes linéaires.
Exemple 1 24237171 23 ssssjsjssq ))()(()(
S3 1 2
s2 1 24
s1 -22 0
s0 24 0
Le tableau de Routh montre un changement de signe deux fois, ce qui est confirmé par
24237171 23 ssssjsjssq ))()(()(
Conditions nécessaires satisfaites puisque tous les coefficients sont positifs, mais
Exemple 2 Ksssssq 234)(S4 1 1 K
s3 1 1 0
s2 K 0
s1 c1 0 0
s0 K 0
Pour K positif, les conditions nécessaires satisfaites puisque tous les coefficients sont positifs, mais
KK
c
1
Exemple 3 Kssssq 42 23)( s3 1 4
s2 K
s1 (8-K)/2 0
s0 K 0
Pour 0<K <8, le système est stable
Si K=8, le système est marginalement stable
s3 1 4
s2 K
s1 0 0
s0 K 0Le polynôme auxiliaire: ))(()( 22282 2 jsjsssU
2 racines imaginaires conjuguées
En divisant q(s) par U(s): ))()(()( 222 jsjsssq Inacceptables oscillations
Exemple 4122
12345
sssss
jsjsjsjsssq ))()()()(()( s5 1 2 1
s4 2 1
s3
s2 1 1
s1 0
s0 1 0
L’absence de changements de signe indique que le système estfaussement marginalement stable. Seulement la réponse impulsionnellecroit dans le temps comme t.sin(t+). Pourquoi?
Indiquant des racines doubles sur l’axe imaginaire.
22242
21
112
1
ssssU
ssU
)(
)(
Car il y’a des racines doubles (deux lignes de zeros). Les deux polynômesauxiliaires en s2 et s4 sont:
Exemple 5 633244 2345 ssssssq )( s5 1 4 3
s4 24 63
s3
s2 21 63 0
s1 0 0
s0 0
Le polynôme auxiliaire en s2 est:
))(()( 3321321 2 jsjsssU
213
232
ssss
sq )( s3 1 1
s2 21
s1 -20 0
s0 21 0
Système instable
Contrôle d’un micro robot à 6 pâtes
Exemple: Pour K=40 a < 0.639
)())((
036
6600
60
3
3
aavecK
KKac
Kb
Exemple 6 Contrôle des robots soudeurs Contrôle de la position de soudage dans la fabrique des automobilespour une réponse rapide et précise.
s4 1 11 Ka
s3 (K+6)
s2 b3 Ka
s1 c3
s0 Ka
3
33
66
b
KaKbc
)(
6
603
Kb
Modèle mathématique:
061161 234 KasKssssGsq )()()(
Équation caractéristique:
012
21
1
nn
nn
nn
n sasasas ...En général: Système d’ordre n
nss /* On normalise avec 0121 ...***** nnn scsbs
01505223
*** .. sss
Règle générale: On utilise le tableau suivant pour déterminer la condition de stabilité pour un système d’ordre inférieur à 7.
Exemple 0825 23 sss 38 nOn normalise en divisant par 2/* ss
n Équation Caractéristique Critère
2 s2+bs+1 b >0
3 s3+bs2+cs+1 bc-1 >0
4 s4+bs3+cs2+ds+1 bcd-d2-b2 >0
5 s5+bs4+cs3+ds2+es+1 bcd+b-d2-b2e >0
6 s6+bs5+cs4+ds3+es2+fs+1 (bcd+bf-d2-b2e)e+ b2c-bd-bc2f-f2+bfe+cdf > 0