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Cours de Mathématiques – Terminale STI – Chapitre 8 : Le Calcul Intégral
Chapitre 8 – Le calcul intégral
A) Intégrale d’une fonction dérivable sur un intervalle
1) Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ et soit F l’une de ses primitives sur l'intervalle]a ; b[ avec a et b dans I.
On appelle intégrale de f de a à b et on note ∫a
b
f ( x)dx le nombre F(b) – F(a).
a et b sont appelés les bornes de l’intégrale.
Remarques :
a) Si F et G sont deux primitives de f, on aura une constante c de ℝ telle que F = G + c, d’oùF(b) – F(a) = G(b) + c – (G(a) + c) = G(b) + c – G(a) – c = G(b) – G(a).
Ceci justifie que la définition ci-dessus puisse utiliser n'importe quelle primitive de f.
b) ∫a
b
f ( x)dx est un nombre réel. On présente son calcul de la façon suivante :
∫a
b
f ( x)dx = [F(x)]ab = F(b) – F(a)
2) Exemples
Calculer :
a) ∫1
4
x dx
b) ∫0
π
sin( x )dx
c) ∫1
2
(5 x2+ 2 x) dx
B) Calcul d’aires
1) Unité d’aire
Soit un repère orthogonal (O , i⃗ , j⃗) et A, B et C les points tels que O⃗A= i⃗ et O⃗B= j⃗ .
On appelle unité d’aire l’aire du rectangle OACB, c’est à dire le produit OA x OB.
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Exemple :
Si OA fait 2 cm et OB 4 cm, l’unité d’aire sera 2 x 4 = 8 cm²1 u.a. = 8 cm²
2) Aire délimitée par la courbe de f(x) sur l'intervalle [a ; b]
a) f(x) > 0
C’est l’aire de la partie ici hachurée.
Théorème (admis) :
Soit f une fonction dérivable et positive sur un intervalle ]a ; b[ et soit Cf sa courbe représentative.
L’aire A de la surface délimitée par f(x), (Ox) et les droites (x = a) et (x = b) vaut, en unités d’aire,
A = ∫a
b
f ( x)dx .
Exemples : Reprendre les exemples du A :a) qui est un trapèze, b) une partie de sinusoïde, etc) une portion de parabole.
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b) f(x) ≤ 0 sur ]a ; b[
Soit g(x) = - f(x) sur ]a ; b[.L’aire délimitée par g est symétrique, et donc égale à celle délimitée par f sur [a ; b].
Donc Aire de f = ∫a
b
g ( x )dx = ∫a
b
(− f ( x ))dx
c) f(x) change de signe sur ]a ; b[
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L’aire sera alors ∫a
c
f ( x)dx + ∫c
b
(− f ( x ))dx .
Exemple :
On aura A = ∫0
Π
sin( x )dx+ ∫Π
2Π
(−sin( x )) dx
d) Aire délimitée par f et g dans ]a ; b[ (f(x) ≤ g(x) sur ]a ; b[
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Théorème (admis) :
∫a
b
( f (x )−g ( x ))dx=∫a
b
f ( x) dx−∫a
b
g ( x )dx=∫a
b
f ( x)dx+∫a
b
(−g (x ))dx
Exemple :
Calculer l’aire comprise entre f(x) = x² et g(x) = x entre 1 et 5.
C) Propriétés de l’intégrale
1) Propriétés élémentaires
De la définition, on déduit facilement que
- ∫a
b
( f (x )+ g ( x ))dx=∫a
b
f ( x) dx+∫a
b
g ( x )dx
- ∫a
b
k f ( x )dx=k∫a
b
f ( x )dx
- ∫b
a
f ( x)dx=−∫a
b
f ( x )dx
- ∫a
b
f ( x)dx=∫a
c
f (x )dx+∫c
b
f ( x )dx
Exemple :
f(x) = x sur [0 ; 1], f(x) = 1 sur [1 ; 2] et f(x) = 3 – x sur [2 ; 3].
Calculer l’aire délimitée par f sur [0 ; 3].
Vérifier que c’est bien l’aire du trapèze :
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2) Inégalités
Soit f et g dérivables sur [a ; b] :
- Si f(x) > 0 sur [a ; b], alors ∫a
b
f ( x)dx≥0
- Si f(x) > g(x) sur [a ; b], alors ∫a
b
f ( x)dx≥∫a
b
g ( x)dx
Exemple :
Soit I = ∫2π
3π1+ cos( x)
xdx=∫
2π
3π
f ( x)dx
- Montrer que pour tout x entre 2π et 3π, on a 0≤ f ( x )≤2x
- En déduire que I ∈[0 ;1]
B) Valeur moyenne
1) Définition
Soit f dérivable sur [a ; b]. On appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le nombre μ tel que
μ =1
b−a∫a
b
f (x )dx
Exemple : Calculer la moyenne de f(t) = sin(t) sur l'intervalle [0 ; π].
2) Propriétés
Soit f dérivable sur [a ; b] et pour tout x entre a et b on a m ≤ f(x) ≤ M.
On aura alors ∫a
b
m dx≤∫a
b
f ( x)dx≤∫a
b
M dx
Alors, m(b−a )≤∫a
b
f ( x) dx≤M (b−a)
Donc m(b−a )≤(b−a)μ≤M (b−a)
Soit : m ≤ μ ≤ M
Interprétation graphique :
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Aire A = Aire B
E) Calculs de volumes
1) Unité de volume
De même qu’on a défini l’unité d’aire par rapport à un repère O , i⃗ , j⃗ ) dans le plan, on définit l’unité de volume (u .v.) par le volume du pavé droit dont OI, OJ et OK sont des arêtes, dans le repère (O , i⃗ , j⃗ , k⃗ ) avec O⃗I = i⃗ ,O⃗J= j⃗ , et O⃗K = k⃗ .
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2) Volume d’un solide à faces parallèles
Soit un solide délimité par deux plans parallèles au plan (O , i⃗ , j⃗) , d’équation (z = a= et (z = b) :
On aura V=∫a
b
S (z )dz (sur la figure, a = 0 et b = 5).
En appelant S(z0) l’aire de l’intersection entre le plan (z = z0) et le solide.
3) Exemples :
a) Cylindre droit ou incliné
b) Cône droit ou incliné
c) Volume de la sphère
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4) Volume d’un solide de rotation
Aire du cercle en x = π (f(x))²
D’où volume V=∫a
b
π( f ( x ))2 dx qui s'écrit aussi V=π∫
a
b
( f ( x ))2 dx .
Exemple :
Calculer le volume du solide engendré par la rotation de la partie de la courbe sin(x) comprise entre 0 et π autour de l’axe Ox.
Exercices :
Page 150 N0 1, (2), 3, (4), 5,6Page 151 N° 21Page 157 N° 50Page 153 N° 30Page 156 N° 44
Devoir maison :
Page 152 ex 25 et 48 pages 156 – 157Ou : Pages 158 – 159 N° 53 et 48 pages 156 – 157
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Le calcul intégral – Fiche de révision
Définition
∫a
b
f ( x)dx=[F ( x )]ab=F (b)−F (a)
Calculs d’aires
Soit f une fonction dérivable et positive sur un intervalle ]a ; b[ et soit Cf sa courbe représentative.
L’aire A de la surface délimitée par f(x), (Ox) et les droites (x = a) et (x = b) vaut, en unités d’aire,
A = ∫a
b
f ( x)dx .
Inégalités
Si sur ]a ; b[ on a f ( x )≤g ( x) , Alors on aura ∫a
b
f ( x)dx≤∫a
b
g ( x)dx
Valeur moyenne de f(x) sur [a ; b]
μ =1
b−a∫a
b
f ( x)dx
Et si sur ]a ; b[ on a m ≤ f(x) ≤ M , Alors on aura m ≤ μ ≤ M
Volume d’un solide compris entre deux plans horizontaux
V=∫a
b
S (z )dz
(avec S(z) aire de la coupe du solide au niveau z)
Volume d’un solide de révolution engendré par la courbe de f(x)
V=π∫a
b
( f ( x ))2 dx
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