Chapitre Les inéquations et les systèmes d’équations 3 · Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. d’ A ’

Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. 65Intersection Guide d’enseignement A Corrigé du manuel

Les inéquations et les systèmes d’équations

Chapitre

3Entrée en matièreUn don de temps, un don d’argentManuel • p. 136

1. a) x + y120 + z

6 b) 7,75 heures ou 7 heures 45 minutes

2. Définitiondel’inconnue

Choixdel’inconnue

Montantd’argentrecueilli($)

Nombre de canettes à 0,05 $

3x 0,15x

Nombre de sous noirs

x 0,01x

Dons de papa 0,15x + 0,01x = 0,16x

Total ($) 70,08

Ces données sont représentées par l’équation suivante :

0,15x + 0,01x + 0,16x = 70,08 ou 0,15x + 0,01x = 35,04

x = 219

Eugénie a donc recueilli 219 sous noirs et 657 [3 × 219] canettes.

Manuel • p. 137

3. a) Définitiondel’inconnue

Choixdel’inconnue

Montantd’argentoffert($)

Nombre de cochons d’Inde à 35 $

x 35x

Nombre de moustiquaires à 16 $

3x 48x

Nombre d’enfants (60 $)

2 120

Total ($) 535

Ces données sont représentées par l’équation suivante :

35x + 48x + 120 = 535

b) 35x + 48x + 120 = 535

x = 5

Yves a offert 5 cochons d’Inde et 15 moustiquaires.

Réactivation

Manuel • p. 138

1. a) > b) ≤et≥ c) < d) >

2. a) 5(3b - 1)

b) 2(3b + 4) ou 2(3b - 1) + 10

3. a) 7a - 8 c) 6t - 31

b) –16r + 2 d) –x - 7

4. a) 2x + 3 c) –2m - 2n

b) –2y + 7 d) –8n + 0,25

5. a) –7 b) –24 c) –556

=–916

6. a) n = 252

= 12,5 c) Aucune solution

b) x = 13 d) t = 9

7. m∠A = m∠B = 2a

m∠C = m∠B2

= a

2a + 2a + a = 180°

5a = 180°

a = 36°

m∠A = m∠B = 2(36°) = 72°

m∠C = 36°

8. Base du rectangle turquoise = x, donc Prectangle turquoise = 2(x + 3)= 2x + 6

Base du rectangle rouge = 16 - x, donc Prectangle rouge = 2(16 - x + 3) = 38 - 2x

Équation : 2x + 6 = 13

(38 - 2x)

x = 2,5

Les dimensions du rectangle turquoise sont de 3 unités sur 2,5 unités.

GE-A_Ch3_Corrige_Man_65-100 [3]65 65 19/11/07 09:31:26

Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. 66 Corrigé du manuel Intersection Guide d’enseignement A

Les inéquations etSection 1 leurs modes de représentation

Un thermomètre de générositéManuel • p. 139

La somme amassée lors de la collecte de fonds de 2007 peut être tout montant d’argent plus grand ou égal à 52 128 $ et plus petit ou égal à 55 000 $.

Si x est ce montant, on peut écrire : 52 128 ≤ x ≤ 55 000

1ActIvItéd’exploration Une image vaut au moins

1 000 mots

Manuel • p. 140

A et B (voir au haut de la page suivante)

Ai-je bien compris ?

1. a) ≤ c) ≥ e) > g) ≤

b) ≤ d) ≥ f) ≤ h) <

2. a ≥ 16, où a est l’âge en années.

b ≥ 2, où b est le temps écoulé depuis l’obtention du permis de conduire.

12 ≤ c ≤ 18, où c est le temps, en mois, de détention du permis d’apprenti conducteur.

8 ≤ d ≤ 18, où d est le temps, en mois, de détention du permis d’apprenti conducteur s’il y a réussite d’un cours de conduite dans une école reconnue.

e > 3, où e est le nombre de points d’inaptitude accumulés.

15 ≤ f ≤ 21, où f est le temps, en mois, de détention du permis d’apprenti conducteur s’il y a eu accumula-tion de plus de 3 points d’inaptitude.

11 ≤ g ≤ 21, où g est le temps, en mois, de déten-tion du permis d’apprenti conducteur s’il y a réussite d’un cours de conduite dans une école reconnue, mais accumulation de plus de 3 points d’inaptitude.

2ActIvItéd’exploration En route vers le soleil

Manuel • p. 141

A 108640 21 3 5 7 9 11

Manuel • p. 142

B 1) Mathilde paiera un montant situé entre 1 048 $ et 2 299 $ inclusivement.

2) Le coût minimal et le coût maximal que Mathilde peut payer. Ce sont les bornes inférieure et supérieure de l’intervalle.

C [24, 33]. Dans le premier mode de représentation (intervalle), la variable température peut prendre toutes les valeurs réelles possibles entre 24 et 33, alors que dans le second mode de représentation (extension), elle ne peut prendre que les valeurs entières énumérées.

D 1) Punta Cana ou Cancun

2) Dans le premier intervalle, le nombre 10 ne fait pas partie de l’ensemble des valeurs possibles que peut prendre la variable : il est exclu. Dans le second intervalle, le nombre 10 fait partie de l’ensemble : il est inclus.

E Parce qu’à Cancun, on accepte les bébés ayant un âge strictement supérieur à 0. À Varadero, on accepte les enfants dont l’âge est supérieur ou égal à 2 ans alors qu’à Punta Cana, on accepte ceux dont l’âge est supérieur ou égal à 3.

F 1) Le petit cercle vide à l’extrémité droite du segment indique que la valeur qu’il représente est exclue de l’ensemble des valeurs possibles que peut prendre la variable en question.

2) 3 ≤ a < 12, où a est l’âge d’admission au Club des enfants de Punta Cana

G Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

La représentation sur une droite numérique, car elle est simple à lire et illustre mieux l’étendue de l’ensemble des valeurs possibles.


1. a) Extension et droite numérique

b) Droite numérique et intervalle

2. (voir au centre de la page suivante)

Mise en pratique

Manuel • p. 146

1. Niveau de difficulté : faible

a) 5, 6, 7, 8, 9 c) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

b) 4, 5, 6, 7, 8, 9 d) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9



Réponses à la question 2, page 142

a)Variable(x) b)Typedevariable c)Inéquation d)Modesdereprésentation

Durée du prêt (jours) Continue 0 ≤ x ≤ 21[0, 21]

0 21

0 1 2 3 4 5

0 2 31 4 5 6 7 8 9 10

13 14 15 16 17 18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Âge des abonnés : enfants

Continue 0 < x ≤ 13]0, 13]

0 21

0 1 2 3 4 5

0 2 31 4 5 6 7 8 9 10

13 14 15 16 17 18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Âge des abonnés : adultes

Continue x ≥ 13[13, ∞[

0 21

0 1 2 3 4 5

0 2 31 4 5 6 7 8 9 10

13 14 15 16 17 18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Nombre de documents : enfants

Discrète 0 ≤ x ≤ 5{0, 1, 2, 3, 4, 5}

0 21

0 1 2 3 4 5

0 2 31 4 5 6 7 8 9 10

13 14 15 16 17 18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Nombre de documents : adultes

Discrète 0 ≤ x ≤ 10{0, 1, 2, 3, …, 10}

0 21

0 1 2 3 4 5

0 2 31 4 5 6 7 8 9 10

13 14 15 16 17 18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Réponses aux questions A et B , page 140

A 1) Relation d’inégalité

Vous devez arrêter votre véhicule à plus de 5 m […].

[…] une amende variant de 200 $ à 300 $.

2) Variable d : la distance séparant le véhicule et l’autobus scolaire activant ses feux intermittents

a : le montant de l’amende

3) Inéquation d > 5 a ≥ 200 et a ≤ 300ou 200 ≤ a ≤ 300

B 1) Variable 1 Montant de l’amende

2 Vitesse du véhicule en zone scolaire

3 Heure à laquelle la voie est réservée aux autobus et au covoiturage

4 Nombre de passagers dans la voiture

2) Valeurs de la variable

Supérieure ou égale à 250 $

Inférieure ou égale à 30

Comprise entre 16 et 18

Supérieure ou égale à 2

3) Inéquation x ≥ 250 a ≤ 30 a ≥ 16 et a ≤ 18ou 16 ≤ a ≤ 18

a ≥ 2


a) x>8 e) x>2 i) x<1

b) x<–5 f) x≥a j) x≤y

c) x≤π g) x≤0

d) x≥100 h) x≥52


a) x est plus grand que 8.

b) x est plus petit que –5.

c) x est au plus égal à π.

d) x est plus grand ou égal à 100.

e) x est supérieur à 2.



f) x vaut au moins autant que a.

g) x est inférieur ou égal à 0.

h) x est plus grand ou égal à 52.

i) x vaut moins de 1.

j) x vaut jusqu’à y.


a) a est le nombre de personnes à la caisse enregistreuse.

b est le nombre d’articles.

c est le temps d’attente à la caisse en minutes.

b) 1) a > 10 2) a ∈ {11, 12, 13, 14, 15, …} 0 < b ≤ 8 b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} c ≥ 5 c ∈ [5, +∞[

5. Niveau de difficulté : moyen

1 a ≤ 50, où a est le nombre de perchaudes pêchées.

b ≥ 20, où b est la longueur d’une perchaude en centimètres.

2 c ≤ 40, où c est le nombre de journaux dans le sac de Rose.

d ≥ 25, où d est le nombre de journaux livrés pour avoir un salaire intéressant.

3 e ≤ 15, où e est le temps, en minutes, pris pour accéder à l’étape suivante.

f ≥ 25 000, où f est le nombre de points accumulés.

g > 50 000, où g est le nombre de points permettant de gagner un tour supplémentaire.

Manuel • p. 147


(voir au haut de la page suivante)


(voir au haut de la page suivante)


a) 1 Vincent a accumulé au moins 5 points lors de sa dernière partie de hockey.

b) 2 Marie-Chantal prévoit prendre de 7 à 15 jours de vacances cet été.

c) 4 Éloïse doit composer un texte de plus de 200 mots, sans dépasser 300 mots.

d) 3 Charles a lu qu’il ferait moins de 0 °C aujourd’hui, mais que la température ne descendrait pas sous –7 °C.


Travail individuel

Manuel • p. 148


a) Normalement, il y a deux réponses possibles à cette consigne : 1 et 2. En effet, dans le langage courant, on sous-entend « nombre naturel » lorsqu’on lit « nombre » et on sous-entend « parmi » lorsqu’on lit « entre ».

b) Choisir un nombre réel supérieur à 1 et inférieur à 2.

c) Normalement (dans le langage courant), il y a 10 réponses possibles à cette consigne : les nombres naturels de 1 à 10. En effet, dans le langage courant, on sous-entend « nombre naturel » lorsqu’on lit « nombre » et on sous-entend « parmi » lorsqu’on lit « entre ».

d) Choisir un nombre réel compris entre 1 et 10 inclusivement.

e) Choisir 1 ou 10.


a) 3,15 < x < 20, où x représente le coût de la course en taxi

b) L’extension

c) (voir au bas de la page suivante)

d) Elle peut coûter 33 $, mais elle ne peut pas coûter 34 $, car (34 - 3,15) n’est pas un multiple de 0,15.


a) x est le coût du stationnement.

x ∈ {0,50 ; 1 ; 1,50 ; 3 ; 4,50 ; 6 ; 7,50 ; 9 ; 10,50 ; 12 ; 13,50 ; 15}

b) (voir au bas de la page suivante)

c) Les nombres rationnels

d) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Pour qu’il y ait un bon roulement : on fait ses courses rapidement, ce qui fait de la place à d’autres clients.



Réponses aux questions 6 et 7, page 147

6. Inéquation

Modesdereprésentation

Compréhension Intervalle Droitenumérique

Exemple :

2 ≤ x ≤ 8 {x ∈ r | 2 ≤ x ≤ 8} x ∈ [2, 8] 2 8

0 9

100

10

3

8

—3 40

12

–3 < x ≤ 4 {x ∈ R | –3 < x ≤ 4} x ∈ ]–3, 4]

2 8

0 9

100

10

3

8

—3 40

12

0 ≤ x < 9 {x ∈ r | 0 ≤ x < 9} x ∈ [0, 9[

2 8

0 9

100

10

3

8

—3 40

12

12 < x < 8 {x ∈ R |

< x < 8} x ∈ ]

, 8[

2 8

0 9

100

10

3

8

—3 40

12

π≤ x < 3π {x ∈ r | π≤ x < 3π} x ∈ [π, 3π[

2 8

0 9

100

10

3

8

—3 40

12

x ≥ 10 {x ∈ R | x ≥ 10} x ∈ [10, +∞[

2 8

0 9

100

10

3

8

—3 40

12

x < 100 {x ∈ R | x < 100} x ∈]-∞, 100[

2 8

0 9

100

10

3

8

—3 40

12

7. Inéquation

Modesdereprésentation

Compréhension Extension Droitenumérique

Exemple :

2 ≤ x ≤ 8 {x ∈ n | 2 ≤ x ≤ 8} x ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

0 2 31 4 5 6 7 8 9 10

3 5 64 7 8 9 10 11 12 13

0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7—4 —3

—7 —6 —5 —4 —3 —2 —1

—2 —1

–4 < x < 7 {x ∈ z | –4 < x < 7} x ∈ {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

0 2 31 4 5 6 7 8 9 10

3 5 64 7 8 9 10 11 12 13

0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7—4 —3

—7 —6 —5 —4 —3 —2 —1

—2 —1

–5 ≤ x ≤ –1 {x ∈ Z | –5 ≤ x ≤ –1} x ∈ {–5, –4, –3, –2, –1}

0 2 31 4 5 6 7 8 9 10

3 5 64 7 8 9 10 11 12 13

0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7—4 —3

—7 —6 —5 —4 —3 —2 —1

—2 —1

x ≥ 10 {x ∈ N | x ≥ 10} x ∈ {10, 11, 12, 13, …}

0 2 31 4 5 6 7 8 9 10

3 5 64 7 8 9 10 11 12 13

0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7—4 —3

—7 —6 —5 —4 —3 —2 —1

—2 —1

1212

1212

Réponses à la question 11c, page 148

3 3,15 3,30 3,45 3,60 3,75 20,1019,95

Réponses à la question 12b, page 148

0 1 2 3 4 5 6 87 9 10 11 12 13 14 15 16



Section 2 Les contraintes

Partir du bon pied !Manuel • p. 149

Réunion 1 : le 15 octobre de 9 h à 12 h






1ActIvItéd’exploration À l’écoute des sous-entendus

Manuel • p. 150

A Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : ]3,5, 4[

B Non, car cette valeur est beaucoup plus élevée que ce que laisse supposer le sens de la phrase. S’il y avait eu une rafale de 158 km/h, on aurait probablement écrit dans le texte « Certaines rafales soufflent à plus de 150 km/h ».

Manuel • p. 151

C 1) Les valeurs possibles correspondant au nombre de foyers privés d’électricité sont les nombres entiers compris entre 145 000 et 154 999 inclusivement.

2) {145 000, 145 001, 145 002, …, 154 998, 154 999}

D Les valeurs des nombres 15 et 45 de l’intervalle sont arrondies ; l’intervalle pourrait donc être [14, 46], par exemple.

E Non. La valeur de 55 est inférieure à 60. La valeur de 134 est beaucoup plus grande et s’il y avait eu 134 véhicules impliqués dans le carambolage, on aurait probablement écrit dans le texte « plus de 130 » au lieu de « plus de 60 ». Quant à 70, il s’agit d’une valeur exacte : il aurait été inapproprié de la repré-senter dans le texte par l’expression « plus de ».

F Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Variable Traductionalgébrique

v : la quantité de verglas tombé à Gaspé (mm) 3,5 < v < 4

n : la quantité de neige tombée dans les Laurentides (cm)

10 < n < 50

f : le nombre de foyers privés d’électricité (f est un nombre entier)

145 000 ≤ f ≤ 149 999

r : la vitesse des rafales (km/h) 60 < r < 110

h : le nombre de véhicules heurtés (h est un nombre entier)

60 < h > 70


1 r≤70 2 r≤25 3 36≤r≤68

2ActIvItéd’exploration Une sortie en famille

Manuel • p. 152

A 1) 6 ≤ a < 18

2) 0 < a < 13

3) 0 < a < 12

Manuel • p. 153

B 1)

2)

3)

4)

5)

C Au numéro 3 : prendre la demi-droite qui n’est pas représentée dans le numéro 1.

Au numéro 4 : représenter ce qui est commun aux représentations des numéros 1 et 2.

Au numéro 5 : réunir les représentations obtenues aux numéros 1 et 2.

0 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6

5 7 86 9 10 11 12 13 14 15 165 7 86 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6



D Au moins 5 ans et moins de 12 ans

E [6, 12[

F (voir au haut de la page)


1. a) [50, 65[

b) [50, 60[

c) [60, +∞[

2. A ∪ B : Élément de A ou de B

A ∩ B : À la fois élément de A et de B

A′ : N’est pas élément de A

Mise en pratique

Manuel • p. 156


a) 2, 3, 4, 5

b) -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

c) -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1

d) 4, 5, 6


60 ≤ x ≤ 77


a) x : le nombre de personnes qui ont péri

y : le nombre de personnes blessées

b) {x ∈ n | x ≥ 50}

{y ∈ n | y < 140}


a)

b)

c)

d)

e)


ET OU

x ≤ 5

x < –4 ]–∞, –4[ ]–∞, 5]

x ≤ 8 ]–∞, 5] ]–∞, 8]

x ≥ 5 [5] ]–∞, +∞[

x < 0

x < –4 ]–∞, –4[ ]–∞, 0[

x ≤ 8 ]–∞, 0[ ]–∞, 8]

x ≥ 5 ∅ ]–∞, 0[ ∪ [5, +∞[

x > –2

x < –4 ∅ ]–∞, –4[ ∪ ]–2, +∞[

x ≤ 8 ]–2, 8] ]–∞, +∞[

x ≥ 5 [5, +∞[ ]–2, +∞[

33

99

3 93 9

3 93 9

33

Réponses à la question F , page 153

Frais de transport ($)

Frais au cinéma($)

Frais au restaurant ($) Total ($)

Éloi (9 ans) 1,50 × 2 = 3 5,50 7,50 16

Arnaud (20 ans, travailleur) 2,50 × 2 = 5 9,50 15 29,50

Zachari (23 ans, étudiant) 1,50 × 2 = 3 7 15 25

Marc (50 ans) 2,50 × 2 = 5 9,50 15 29,50

Marie-Andrée (48 ans) 2,50 × 2 = 5 9,50 15 29,50

Total ($) 21 41 67,50 129,50

La somme dépensée par la famille Meunier pour le transport, le brunch et le cinéma est de 129,50 $.


Manuel • p. 157


a) Oui, 100 %

b) Le nombre de fois qu’un enfant âgé de moins de 5 ans a été infecté par le rotavirus

c) Variable discrète

d) Moins de 6 mois

e) Dans les deux groupes d’âge

f ) Ce sont les enfants de 35 mois et moins qui sont le plus atteints.

g) Ce virus est la cause la plus courante de gastro-entérite chez les enfants de 35 mois et moins.

h) Au maximum, 20 000 enfants n’ont pas contracté le rotavirus.


a) ]5, +∞[ d) ]–∞, –1]

b) ]–1, +∞[ e) [2, 5]

c) [2, 5]


[40, 45]


a) 1

5

2

11—2

3

2—9 —1

4

30

b) 1 ]5, +∞[ 3 [–9, –1]

2 ]–∞, –2] ∪ [11, +∞[ 4 ]–∞, +∞[

Manuel • p. 158

10. Niveau de iculté : élevé

a) Camping et plage : Les documents trouvés rensei-gneront à la fois sur le camping et sur la plage.

Plage ou golf : Les documents trouvés rensei-gneront soit sur la plage, soit sur le golf, soit sur les deux.

Camping et (plage ou golf) : Les documents trouvés renseigneront soit à la fois sur le camping et sur la plage, soit à la fois sur le camping et sur le golf, soit à la fois sur le camping, la plage et le golf.

Plage et pas camping : Les documents trouvés renseigneront sur la plage sans donner de rensei-gnement sur le camping.

Camping et plage et golf : Les documents trouvés renseigneront à la fois sur le camping, la plage et le golf.

(Camping et golf) ou (Camping et plage) : Les documents trouvés renseigneront soit à la fois sur le camping et sur le golf, soit à la fois sur le cam-ping et sur la plage, soit à la fois sur le camping, le golf et la plage.

Camping ou plage ou golf : Les documents trouvés renseigneront soit sur le camping, soit sur la plage, soit sur le golf, soit à la fois sur le camping et la plage, soit à la fois sur le camping et le golf, soit à la fois sur la plage et le golf, soit à la fois sur le camping, la plage et le golf.

b) « Camping et plage et golf » aura le plus petit nombre d’occurrences.

« Camping ou plage ou golf » aura le plus grand nombre d’occurrences.

c) « Camping et (plage ou golf) » et « (Camping et golf) ou (Camping et plage) »


a) [14,5, 16,5] c) [0, 14,5[ ∪ ]17, 24]

b) [12,75, 17] d) ]16,5, 17]

Section 3 La résolution d’inéquations

Le triathlonManuel • p. 159

Le temps, arrondi à l’unité près, qu’a pris Benoît pour terminer son épreuve est soit 52 minutes, soit 53 minutes.


1ActIvItéd’exploration Trouver l’erreur

Manuel • p. 160

A Les solutions auraient été identiques, soit x = 7

B Remplacer la variable par quelques valeurs des ensembles-solutions de Linda et de Bernard pour savoir si elles vérifient l’inéquation donnée.

Exemple :

Pour Linda, si x = 10, alors 2 × 10 + 3 > 4 × 10 - 11 est une inégalité fausse. Donc l’ensemble-solution trouvé par Linda est inexact.

Manuel • p. 161

C (voir au haut de la page)

D Ajouter ou soustraire un même nombre dans chaque membre de l‘inégalité conserve le sens de l’inégalité.

Multiplier ou diviser les deux membres de l’inégalité par un même nombre strictement positif conserve aussi le sens de l’inégalité.

Multiplier ou diviser les deux membres de l’inégalité par un même nombre strictement négatif change le sens de l’inégalité.

E a) x≤–2 b) x<3 c) x≥2

F Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

a) x = –1 : –53 ≤ 3 (vraie)

b) x = 0 : 8 > –1 (vraie)

c) x = 7 : 2 ≤ 6 (vraie)

G C’est Linda qui a commis l’erreur. Quand elle a divisé par –2, elle n’a pas inversé le symbole de l’inégalité.

Réponses à la question C , page 161

Opération Nouvelleinégalité Droitenumérique Inégalitévraieoufausse?

Addition +24 < 8

4 + 2 < 8 + 2 6 < 10

1086420 12

+2 +2

106 <

Vraie

Soustraction –24 < 8

4 - 2 < 8 - 22 < 6

1086420 12

–2 –2

62 <

Vraie

Multiplication

× 24 < 8

4 × 2 < 8 × 2 8 < 16

141210864 16

× 2 × 2

168 <

Vraie

× –24 < 8

4 × –2 < 8 × –2 –8 > –16

40–4–8–16 8

× –2

× –2

–8<

–12

–16

Vraie

Division

÷ 24 < 8

4 ÷ 2 < 8 ÷ 22 < 4

10864 12

÷ 2 ÷ 2

4<

0 2

2

Vraie

÷ –24 < 8

4 ÷ –2 < 8 ÷ 2 –2 > –4 6420 8

÷ –2

÷ –2

–2<

–4 –2

–4

Vraie




a) w>–1 e) x≥173

i) k≥–4

b) t>–4 f) m<2 j) d≤4110

c) n≥0 g) p<1

d) y≤–1 h) c≥2

2ActIvItéd’exploration Des quadrilatères

Manuel • p. 162

A 1) 10x

2) 16x - 16

B La variable x est continue et ne peut prendre que des valeurs strictement supérieures à 1.

C Selon la valeur de x, le périmètre d’une figure peut être plus grand ou plus petit que l’autre. Par exemple, si x = 2, le périmètre du rectangle est supérieur à celui du carré. Si x = 3, c’est le périmètre du carré qui est plus grand.

D 1) 16x - 16 < 10x

16x - 16 - 10x < 10x - 10x

6x - 16 < 0

6x - 16 + 16 < 0 + 16

6x < 16

x < 166

= 83

Le périmètre du carré est inférieur à celui du rectangle pour les valeurs suivantes : 1 < x < 8

3 2) 10x > 52 et 16x - 16 > 52

x > 5,2 et x > 4,25. Donc, x > 4,25.

Le périmètre du carré et celui du rectangle sont supérieurs à 52 pour les valeurs suivantes : x > 5,2 unités

3) 10x < 32 ou 16x - 16 < 32

x < 3,2 ou x < 3

Le périmètre du carré ou celui du rectangle est inférieur à 32 pour les valeurs suivantes : x < 3,2 unités

E 1 Chercher la valeur de x qui vérifie l’égalité.

2 Choisir un nombre au hasard situé à droite ou à gauche de la solution trouvée (sur une droite numérique) et le remplacer dans l’inéquation.

3 Si l’inégalité est vraie, alors l’ensemble-solution de l’inéquation est la demi-droite contenant ce point. Dans le cas contraire, c’est l’autre demi-droite.

F 1) 16x - 16 > 58 16x - 16 > 58

16x - 16 = 58 Si x = 0 →–16 > 58 → Faux

x = 4,625 Donc, l’ensemble-solution est x > 4,625.

2) 10x < 48 10x < 48

10x = 48 Si x = 1 → 10 < 48 → Vrai

x = 4,8 Donc, l’ensemble-solution est x < 4,8.


A = {x ∈ r | x < –1}

B = {x ∈ r | x ≥ –1}

C = {x ∈ r | x ≥ –4}

a) —1

b) —1

c) —4

d) —1

e)

—1

f)

—1—4

Mise en pratique

Manuel • p. 165


1 2 3 et 4


2 3 4 et 5


1 5 6 et 9


a) y<2 d) x>2 g) y≥3

b) x>–2 e) y≤–4 h) y<–1

c) x>1 f) x≤–8 i) x≤ 710




a) Démarche1: En divisant par 100 les deux membres de l’inéquation, on a « simplifié » deux fois par 100 dans le premier membre de l’inéquation au lieu d’une : une fois avec le facteur 100 et l’autre fois à l’intérieur des parenthèses avec le nombre 200.

Ainsi, 100(x - 200)100

est égal à (x - 200)

et non à (x - 2).

Démarche2: En multipliant par 40 les deux membres de l’inéquation, on a multiplié deux fois par 40 les facteurs du deuxième membre au lieu d’une.

Ainsi, 40 × 310

x -( )720

est égal à 12 x -( )720

et non à 12(x - 14).

b) Démarche1:

100(x - 200) + 500 > 200 + 400x

(x - 200) + 5 > 2 + 4x

x - 195 > 2 + 4x

–3x > 197

x < –197

3

Démarche2:

5x8

+ 35

≤ 310

x -( )720

25x + 24 ≤ 12 x -( )720

25x + 24 ≤ 12x - 215

25x - 12x ≤ –215

- 24

13x ≤ –141

5 x ≤

–14165

c) Lorsqu’on multiplie un produit de facteurs par un nouveau facteur, on ne multiplie pas tous les facteurs du produit par ce facteur.

Exemple : a × (bcd) est égal à abcd et non à (ab) × (ac) × (ad).

De même, 6 × a2

est égal à 3a et non à 3 × a2

.

Lors de la résolution d’équations ou d’inéquations, il est possible d’éviter ce problème en commen-çant par réduire les deux membres de l’inéquation avant d’effectuer toute autre opération.

Manuel • p. 166


a) x ≥ 3

3

b) x ≤ 3

3

c) x ≥ 5

5

d) x < –2

—2

e) x > 13

13

f) x ≥ 32

32

g) x < –6

—6

h) x > 165

165

i) x > –12

—12

j) x ≥ 3145

3145


a) x ∈ ]-∞, 7] d) x ∈ ]-∞ , –1,5]

b) x ∈ ]–103

, +∞[ e) x ∈ [–517

, +∞[

c) x ∈ ]–2, +∞[ f) x ∈ [–6, +∞[


Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

a) 3x > 314

+ 2x

b) 2(8t + 4) ≤ –3 192

c) 35

n + 2 < 465


Si a > c, on garde les termes en x à gauche de l’inégalité :

ax + b < cx + d

ax - cx < d - b

x(a - c) < d - b

x < d - ba - c

Si a < c, on garde les termes en x à droite de l’inégalité :

ax + b < cx + d

b - d < cx - ax

b - d < x(c - a)

b - dc - a

< x



10. Niveau de difficulté : élevé

1. Décoder: Trois multiples de 3 consécutifs Leur somme est supérieure à 200.

2. Définirlavariable: n : le plus petit des trois multiples de 3

3. Traduireeninéquation: n + (n + 3) + (n + 3 + 3) > 200

4. Résoudre: n + (n + 3) + (n + 3 + 3) > 200

3n + 9 > 200

3n > 191

n > 1913

n doit être un multiple de 3 plus grand

que 1913

= 63 23

, donc n ≥ 66.

5. Vérifier: Remplaçons x par 67. 67 + (67 + 3) + (67 + 3 + 3) > 200 210 > 200 L’inégalité est vraie.

6. Interpréter: {n ∈ n | n est un multiple de 3 et n ≥ 66}


1. Décoder: Amélia a 2 ans de plus que Clovis. Le double de la somme de leur âge est plus petit

que 25.

2. Définirlavariable: a ∈ r+

a : âge de Clovis

(a + 2) : âge d’Amélia

3. Traduireeninéquation: 2(a + (a + 2)) < 25

4. Résoudre: 2(2a + 2) < 25

4a + 4 < 25

4a < 21

a < 214

= 5,25

5. Vérifier: Remplaçons a par 5. 2[5 + (5 + 2)] < 25 24 < 25

L’inégalité est vraie.

6. Interpréter: Clovis peut avoir moins de 5 ans et 3 mois. a ∈ ]0 , 5,25[


1. Décoder: Camille a 20 timbres de moins que Catherine. Catherine a 2 fois plus de timbres que William.

2. Définirlavariable: x ∈ n x : le nombre de timbres que possède Camille

(x + 20) : le nombre de timbres que possède Catherine

x2

10+( ) : le nombre de timbres que possède

William

3. Traduireeninéquation:

x + (x + 20) + x2

10+( ) > 350

4. Résoudre: 5x

2 + 30 > 350

5x2

> 320

x > 128

5. Vérifier: Remplaçons x par 129.

129 + (129 + 20) + 1292

10+( ) > 350

352,5 > 350

L’inéquation est vraie.

6. Interpréter: Catherine peut avoir plus de 128 timbres. x ∈{129, 130, 131, 132, 133, 134, …}


1. Décoder: L’aire ne dépasse pas 40 cm2. h : hauteur du trapèze

2. Définirlavariable: n ∈ r+

3. Traduireeninéquation:

(B + b) × h2

= A

(13 + 7) × h2

≤ 40

4. Résoudre: 20h ≤ 80

h ≤ 4

5. Vérifier: Remplaçons h par 3.

(13 + 7) × h2

≤ 40

30 ≤ 40

L’inégalité est vraie.



6. Interpréter: La hauteur peut prendre des valeurs plus petites

ou égales à 4 cm. h ∈ ]0, 4]

Manuel • p. 167


a) 12,75 + 1,65n ≤ 22

b) 12,75 + 1,65n ≤ 22

1,65n ≤ 9,25

n ≤ 18533

≈ 5,61

Roberto peut ajouter jusqu’à 5 garnitures sur sa pizza.


2πr = C

2πr < 34π 2r < 34

r < 17

r ∈ ]0, 17[


a) ]13, 15[ c) ]24, 30[ e)]-3, -1[

b) ]-4, -2[ d) ]-50, -40[ f)]0, 4[


5 < 2(10 - 3x) + 6 ≤ 15

5 < 20 - 6x + 6 ≤ 15

5 < 20 - 6x + 6

x < 3,5

et

et20 - 6x + 6 ≤ 15

x ≥ 116

116

≤ x < 3,5


90 < 5x + 10 < 180

90 < 5x + 10

16 < x

et

et5x + 10 < 180

x < 34

16 < x < 34


2 < 3x + 5 < 8

2 < 3x + 5–1 < x

et

et3x + 5 < 8

x < 1–1 < x < 1


x : le nombre de billets

10 000 < (65 - 23)x - 450 < 12 000

10 000 < 42x - 450

2481721

< x

et

et

42x - 450 < 12 000

x < 296 37

2481721

< x < 296 37

Ils doivent vendre de 249 à 296 billets.

Manuel • p. 168


a) La somme des mesures de deux côtés d’un triangle doit être plus grande que la mesure du troisième côté.

x > 0 x < 8

x + 8 - x > 2x

x < 4

x ∈]-∞, 4[

x + 2x > 8 - x

x > 2

x ∈]2, +∞[

8 - x + 2x > x

0x < 8

Donc, x ]-∞, +∞[

Les cinq contraintes doivent être respectées, donc x ∈]2, 4[.

b) x + 2x + 8 - x > 12

x > 2

x > 2 et x ∈]2, 4[, donc le périmètre du triangle est supérieur à 12 unités lorsque x ∈]2, 4[.

c) P = x + 2x + 8 - x = 2x + 8

Or, x ∈ ]2, 4[, donc la valeur minimale est 2 × 2 + 8 = 12, et la valeur maximale est 2 × 4 + 8 = 16.

D’où P ∈]12, 16[




En considérant que les sacs ne sont pas vides, il peut y avoir 1, 2, 3, 4 ou 5 billes dans un sac.


x : la largeur de la piscine

2x : la longueur de la piscine

12,5 - 3 - 3 = 6,5

17 - 3 - 3 = 11

x ≤ 6,5

2x ≤ 11 ⇒ x ≤ 5,5

5,5 × 11 = 60,5

L’aire maximale de la piscine est de 60,5 m2.

Section 4 La représentation graphique de systèmes d’équations

Les droits de la personneManuel • p. 169

Après environ 2,5 heures, Audrey et Joanie avaient le même nombre de cartes signées, soit 60.

Temps de sollicitation (h)

Nom

bre

de c

arte

s

20

30

10

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

0 21 3

Joanie

Audrey

5 64

1ActIvItéd’exploration Au gré du vent

Manuel • p. 170

A (voir au haut de la page suivante)

B Non, le graphique décrit l’altitude, et non « l’endroit », des montgolfières en fonction du temps. Le point de rencontre indique qu’à un moment donné, les deux montgolfières sont à la même hauteur mais, heureu-sement, pas nécessairement à la même place.

C 1) 16 min

2) 460 m

3) Environ 16 min

Manuel • p. 171

D Pour représenter un système d’équations dans le plan cartésien, il faut :

– représenter les différentes équations dans un même plan cartésien ;

– conserver les mêmes graduations d’axes pour la représentation de chacune des équations formant le système ;

– déterminer, s’il existe, le point de rencontre des deux droites.

E 1) Environ 430 m

Temps écoulé (min)

Alt

itud

e(m

)

100

200

300

400

500

600

700

0 105 15

Daniel Aaron

2520 30

2) Les deux montgolfières seront à la même altitude plus tôt que le moment prévu initialement.




1. a) Variable indépendante : le temps écoulé depuis le 1er janvier en semaines

Variable dépendante : le montant accumulé

Temps ecoulé depuis le 1er janvier (sem.)

Économies de Rachel et d’Esmé

Mon

tant

acc

umul

é($

)

200

400

600

800

1 000

1 200

0 84 12

(15, 875)

Esmé

2016 24

Rachel

b) Elles auront le même montant à la banque après 15 semaines. Ce montant sera de 875 $.

2. Les variables indépendantes des deux situations ne sont pas les mêmes (nombre de sondages complétés et commission sur le montant des ventes). On ne peut donc pas comparer les situations.

2ActIvItéd’exploration Une révélation graphique

Manuel • p. 172

A Après 30 minutes, les deux amies auront marché la même distance.

B


L’entraînement de Christiane et de Debbie

1

2

3

4

0 105 15

Debbie

Christiane

2520 30 35

Dis

tanc

e de

mar

che

(km

)

C Après 25 minutes, les deux amies auront marché une même distance de 2,5 km.

D Non, les deux systèmes d’équations n’ont pas la même solution, car le temps écoulé pour marcher la même distance dépend du moment où on le mesure. Ils n’admettent donc pas la même valeur pour la variable indépendante. Par contre, l’interprétation de la situation est la même.

Manuel • p. 173

E Pour une durée d’entraînement d’environ une heure, les deux activités sont presque également exigeantes. Après une heure d’entraînement, l’activité du cardio-vélo semble plus exigeante.

F Étant donné que les deux droites sont très proches l’une de l’autre dans ce plan cartésien, on ne peut déterminer la solution exacte du système d’équations. Toutefois, on peut l’estimer. Les coordonnées de ce point ne vérifient pas les équations du système.

Réponse à la question A , page 170


Altitude des montgolfières de Daniel et d’AaronA

ltit

ude

(m)

200

100

400

300

600

500

700

800

0 105 15

DanielAaron

2520 30 35



x y=60,2-0,03x y=60,6-0,045x

0 60,20 60,60

5 60,05 60,38

10 59,90 60,15

15 59,75 59,93

20 59,60 59,70

25 59,45 59,48

30 59,30 59,25

35 59,15 59,03

40 59,00 58,80

45 58,85 58,58

50 58,70 58,35

55 58,55 58,13

60 58,40 57,90

65 58,25 57,68

70 58,10 57,45

Manuel • p. 174

G (voir au haut de la page suivante)

H Non, il n’est pas toujours possible de trouver graphiquement la solution d’un système d’équations, car les graduations des axes ne sont pas toujours appropriées aux valeurs de cette solution.


1. a) L’approximation de la solution est (9, 11).

2(9) - 7 = 11

20 - (9) = 11

b) L’approximation de la solution est (4,5, 20).

4(4,5) + 2 = 20

2. a) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

L’estimation de la solution du système d’équations est (25, 1 000). Une graduation appropriée des axes pourrait être 5 unités pour chaque pas sur l’axe des abscisses et 250 unités par pas sur l’axe des ordonnées.

b) Le couple-solution est (30, 700).

Après 30 minutes, il reste à Manon et à Hélène 700 mots à saisir.

Temps écoulé depuis le début du travail (min)

Nom

bre

de m

ots

qu’il

res

te à

sai

sir

500

1 000

1 500

2 000

2 500

3 000

0 2010 30

Manon

5040

Hélène

c) Il faut 4123 minutes (≈ 42 minutes) à Manon

pour terminer son travail.

Il faut 3834 minutes (≈ 39 minutes) à Hélène

pour terminer son travail.

3ActIvItéd’exploration En parallèle

Manuel • p. 175

A (voir au centre de la page suivante)

B Système de deux équations qui :

1) n’a pas de solution ;

y2 = 2x + 4

y3 = 2x + 1

2) a une seule solution ; plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

y3 = 2x + 1

y5 = –2x + 4

3) a une seule solution qui n’est pas dans le premier quadrant ;

y3 = 2x + 1ou

y3 = 2x + 1

y1 = 3x + 4 y4 = 4 + 3x

4) a plus d’une solution.

y1 = 3x + 4

y4 = 4 + 3x

C Oui, il est possible qu’un système d’équations ait plus d’une solution, mais dans ce cas-ci, il possède une infinité de solutions, car les droites représentant ces équations sont nécessairement confondues.



D 1) a = 5 et b ≠ 10

2) a ≠ 5 et b quelconque

3) a = 5 et b = 10


1. a) Les deux coureurs n’auront jamais une même fré-quence cardiaque parce qu’ils ont au départ des fréquences cardiaques différentes (des valeurs initiales différe ntes) et qui augmentent selon un taux identique (un même taux de variation). Les deux droites représentant leurs fréquences respectives ne se rencontreront jamais.

b) Les deux arbres n’auront jamais la même hauteur, puisque le plus grand des deux arbres pousse plus vite ; le petit arbre ne pourra donc jamais « le rattraper ».

2. Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Karine et Natasha se préparent pour une sortie en camping. Karine remplit sa gourde de 1,5 L avec du jus selon un débit de 9 L/min. Natasha remplit son bidon de 10 L avec de l’eau du robinet ayant un débit de 150 ml/s. Si elles commencent le remplissage au même moment, après combien de temps les deux récipients contiendront-ils la même quantité de liquide ?

Réponse à la question G , page 174


Fenêtre d’affichage

Zone représentée

X min.: 20

X max.: 40

Nombre d’unités entre deux graduations: 1

Y min.: 58

Y max.: 60

Nombre d’unités entre deux graduations: 1

OK Annuler

Temps (x)

58

59

60

0 21 22 23 24//

//

20 25 26

Cardiovélo

Boxe

29 3028 31 32 33 34 35 36 37 38 3927M

asse

(kg

)

Réponses à la question A , page 175

–2

–2–4

–4

–6

2

4

6

y

2 4

y5

y6

y2

y1

y4

y3

x



Mise en pratique

Manuel • p. 179


a) (0, 2) c) (5, 0) e) (–4, –6)

b) (35, 3) d) (–2, 3) f) (5, 850)

Manuel • p. 180


a) Le couple-solution est (3, 5).

1

2

3

4

5

6

7

8

y

0 4 52 31 6 7

y x 2

(3, 5)

y 8 x

8 x


20

40

60

y

0 4 52 31 6 7

y 5x 15

(3, 30)

y 60 10x

8 x

c) Le couple-solution est (0, 3).

2

4

6

8

10

12

14

16

y

0 21 3

y 4x 3

y 2x 3

(0, 3)

4 x

d) Le couple-solution est (4, –3).

1

–1

–2

–3

–4

–5

2

3

4

5

y

021 3

y 2x 5

(4, –3)

4 x

y x 512

e) Le couple-solution est (3, 3).

1

–1

–2

–3

2

3

4

5

6

y

021 3 4 5 6 7

y 2x 3

(3, 3)

y —x 6

8 x

f) Le couple-solution est (1, 7).

2

4

6

8

10

12

14

y

0 21 3

y 4x 3

y 7

(1, 7)

4 x


Les fonctions peuvent être linéaires, car l’ordonnée à l’origine pour chacune des deux fonctions est nulle.


Oui. Exemples :




a) Dans les 2e et 3e quadrants (sur l’axe des abscisses)

b) Dans le 1er quadrant

c) Dans le 3e quadrant

d) Dans le 4e quadrant

Manuel • p. 181



a) On conserve la même graduation et on ajoute les autres quadrants du plan cartésien :

1

–1–1

–2

–2–3–4–5

–3

–4

–5

2

3

4

5

y

1 2 3 4 5 x

b) Graduation de l’axe des x : inchangée.

Graduation de l’axe de y : soit on subdivise l’unité en deux, soit on prend 0,5 comme unité de mesure afin de pouvoir lire l’ordonnée de y, soit 3,5.

x

y

2

3

1

4

5

6

7

8

9

0 2 3 4 51 6 7 98

c) (voir au bas de la page)

d) On peut subdiviser l’unité de mesure en 5 segments congrus.

1

–1–4 –3 –2

–2

–3

–4

–5

2

3

4

5

y

–1 1 2 3 4 x

Réponse à la question 6 c), page 181

Graduation des deux axes : 6 unités par case

6

–6–24 –18 –12

–12

–30–36–42–48–54–60–66–72–78

–18

–24

–30

–36

12

18

24

30

36

y

–6 6 12 18 24 30 x




a) Dans le 1er quadrant d) Dans le 2e quadrant

b) Dans le 3e quadrant e) Dans le 3e quadrant

c) Dans le 1er quadrant f) Dans le 4e quadrant


a) Une solution

b) Aucune solution

c) Une infinité de solutions

d) Une solution

e) Aucune solution

f) Une solution


a) Soient x, le temps en secondes, et y, le nombre de rangées tricotées.

Thérèse : y = 130

x

Jacques : y = 170

x + 12

10

20

30

0 400200 600

yT

yJ

800

Nom

bre

de r

angé

s tr

icot

ées

Temps écoulé depuis que Thérèse a commencé son foulard (s)


Après 630 secondes, Jacques et Thérèse auront chacun 21 rangées tricotées.

Manuel • p. 182


a) x : le temps écoulé depuis le départ de Pascale, en minutes

y : la distance séparant Luc de l’édifice de Pascale, en kilomètres

Pascale : y = 0,1x

Luc : y = 4 - 0,1(x - 1)

1

3

2

4

0 2010 30

yP

yL

(21, 2,1)

40

La d

ista

nce

sépa

rant

Luc

de l’

édif

ice

de P

asca

le (

km)

Temps écoulé depuis le départ de Pascale (min)

b) Les deux amis mangeront à 2,1 km de l’édifice de Pascale.


a) x : la distance parcourue (km)

y : le coût de la location ($)

Première entreprise : y = 55 si x ≤ 200

y = 55 + 0,15(x - 200) si x > 200

Deuxième entreprise : y = 45 + 0,10x

b)

25

75

50

100

125

0 400200 600

y2

y1

800

Coût

de

loca

tion

($)

Distance parcourue (km)

(400, 85) (100, 55)

c) 100 < x < 400


a) Montant qu’il reste à payer ($) : variable discrète (car, entre les cents, il n’y a pas de valeurs intermédiaires)

b) x : le nombre de mois écoulés depuis l’achat de l’ordinateur

y : le montant qu’il reste à payer ($)

Boutique : y = 1 500 - 62,50x

Père de Marine : y = 1 200 - 40x



c)

1 000

500

1 500

0 10 20

yb

yp

30

Mon

tant

qui

res

te à

pay

er (

$)

Nombre de mois écoulésdepuis l’achat de l’ordinateur

(13 , 666 ) 13

23

d) 13 13

666 23

,( ) Ce point représente le moment où il reste le

même montant à payer.

e) Non, car il n’y a pas une option plus avantageuse que l’autre. Au bout du compte, Marine payera le même montant pour son ordinateur portatif peu importe l’option choisie. La solution indique seulement le moment où il lui reste à rembourser le même montant à la boutique ou à son père.

Section 5 La résolution algébrique et la table des valeurs

Un pas dans le bon sensManuel • p. 183

Il faut résoudre le système d’équations suivant :

y x

y x

== -( )

0 04

0 07 10

,

,

où x est le temps écoulé depuis le début de la marche en minutes et y est la distance parcourue en kilomètres.

0 04 0 07 10

0 04 0 07 0 7

0 7 0 03

0 7

, ,

, , ,

, ,

,

x x

x x

x

= -( )= -=

00 03

23 3

23 3 0 93

,

,

, , ,

=

=

= =

x

x

x yPour

Le couple 23 3 0 93, , ,( ) est le couple-solution.

Les retardataires devront parcourir 0 93, km avant de rejoindre la tête du peloton.

1ActIvItéd’exploration Des mots contre les maux

Manuel • p. 184

A 1) La variable indépendante est le nombre de mots bien écrits.

2) La variable dépendante est le montant du don en dollars.

B Claire donne un montant fixe, soit 0,50 $, par mot bien écrit, alors que Sandra donne un montant de base de 8 $, auquel elle ajoute un montant fixe de 0,20 $ par mot écrit correctement.

Algébriquement, les deux situations se traduisent par les fonctions y = 0,50x et y = 0,20x + 8, respectivement.

C Nombredemotsbienécrits

DondeClaire($)

DondeSandra($)

15 7,50 11,00

30 15,00 14,00

1) Sandra 2) Claire

D Nombredemotsbien

écrits

DondeClaire($)

DondeSandra($)

0 0,00 8,00

1 0,50 8,20

2 1,00 8,40

3 1,50 8,60

4 2,00 8,80

5 2,50 9,00

20 10,00 12,00

21 10,50 12,20

22 11,00 12,40

23 11,50 12,60

24 12,00 12,80

25 12,50 13,00

26 13,00 13,20

27 13,50 13,40

28 14,00 13,60

29 14,50 13,80

30 15,00 14,00

Au 27e mot bien écrit, Claire et Sandra donneront à peu près le même montant, soit 13,40 $ et 13,50 $ respectivement.

Remarque : Pour une réponse plus exacte, voir la question F de la mini-page 185.



Réponses à la question F , page 185

E 1) Claire 2) Sandra

F (voir au haut de la page)


1. 1 x y=3x-12 y=x+8

0 –12 8

5 3 13

10 18 1815 33 23

20 48 28

Le couple-solution est (10, 18)

2 x y=–x+14 y=2x-7

1 13 –5

3 11 –1

5 9 3

7 7 79 5 11

Le couple-solution est (7, 7).

3 x y=17-2x y=5x-4

0 17 –4

1 15 1

2 13 6

3 11 114 9 16


2. x y=0,15x y=12+0,03x

0 0 12

50 7,50 13,50

100 15 15

150 22,50 16,50

200 30 18

Le plan « appels plus » devient plus avantageux lorsqu’on cumule plus de 100 minutes d’interurbain.

2ActIvItéd’exploration Une boutique d’électronique

Manuel • p. 186

A 1) La variable indépendante (x) est le montant des ventes par semaine en dollars.

2) La variable dépendante (y) est le salaire hebdomadaire en dollars.

B Kathleen : y = 150 + 0,1x

Jean : y = 366 + 0,05x

La méthode par encadrements successifs. Il est à noter que dans le présent contexte, la réponse exacte trouvée n’a de valeur que sur le plan théorique puisque la variable indépendante, le nombre de mots bien écrits, ne peut prendre que des valeurs entières.

Nombredemotsbienécrits

DondeClaire($)

DondeSandra($)

26 13,00 13,20

26,1 13,05 13,22

26,2 13,10 13,24

26,3 13,15 13,26

26,4 13,20 13,28

26,5 13,25 13,30

26,6 13,30 13,3226,7 13,35 13,3426,8 13,40 13,36

}

Nombredemotsbienécrits

DondeClaire($)

DondeSandra($)

26,60 13,30 13,32

26,61 13,31 13,32

26,62 13,31 13,32

26,63 13,32 13,33

26,64 13,32 13,33

26,65 13,33 13,3326,66 13,33 13,3326,67 13,34 13,33

Le couple-solution est 26 6 13 3, , ,( ) .



C Montantdesventes

($)

SalairehebdomadairedeKathleen($)

Salairehebdomadaire

deJean($)

1 000 250 416

2 000 350 466

3 000 450 516

4000 550 566

5000 650 616

6 000 750 666

D Non, le montant des ventes qui permet à Kathleen et à Jean de réaliser le même salaire se situe entre 4 000 $ et 5 000 $.

E En choisissant un pas de variation de 100, on obtient la table de valeurs suivante :

Montantdesventes

($)


Salairehebdomadaire

deJean($)

4 000 550 566

4 100 560 571

4 200 570 576

4300 580 581

4400 590 586

4 500 600 591

F 100

G Non ; le montant des ventes qui permet à Kathleen et à Jean de réaliser le même salaire se situe entre 4 300 $ et 4 400 $.

H En choisissant un pas de variation de 10, on obtient la table de valeurs suivante :

Montantdesventes

($)


Salairehebdomadaire

deJean($)

4 300 580 581

4 310 581 581,50

4320 582 582

4 330 583 582,50

Kathleen et Jean obtiennent le même salaire hebdomadaire lorsque le montant de leurs ventes s’élève à 4 320 $.

Manuel • p. 187

I 582 $

J Stratégies possibles : Estimer au départ la solution du système d’équations et prendre des valeurs proches dans la table de valeurs ; choisir des pas de variation appropriés selon le contexte étudié.

K 1) Une solution unique : Il y a des taux de variation différents. Exemple :

x y y

0 0 3

1 3 5

2 6 7

3 9 9

4 12 11

5 15 13

2) Aucune solution : Il y a des taux de variation identiques et des valeurs initiales différentes. Exemple :

x y y

0 1 3

1 3 5

2 5 7

3 7 9

4 9 11

5 11 13

3) Une infinité de solutions : Il y a des taux de variation identiques et des valeurs initiales identiques. Exemple :

x y y

0 1 1

1 3 3

2 5 5

3 7 7

4 9 9

5 11 11


(voir à la page suivante)



Réponses aux questions Ai-je bien compris, page 187

1. 1

Le couple-solution est (3,5, 25,5).

2


3


2. a) x : le temps écoulé depuis le moment où on s’intéresse aux deux réservoirs en minutes

y : la quantité de jus en litres

x y1=3190+65x y2=5240-60x

12 3 970 4 52013 4 035 4 46014 4 100 4 40015 4 165 4 34016 4 230 4 28017 4 295 4 22018 4 360 4 160

} Le couple-solution est (16,4, 4 256).

Les deux réservoirs contiendront la même quantité de jus après 16,4 minutes.

b) Les deux réservoirs contiendront 4 256 L de jus.

x y=3x+15 y=5x+8

0 15 81 18 132 21 183 24 234 27 285 30 33

}

x y=3x+15 y=5x+8

0 15 81 18 132 21 183 24 234 27 285 30 33

}

x y=3x+15 y=5x+8

3 24 233,1 24,3 23,53,2 24,6 243,3 24,9 24,53,4 25,2 253,5 25,5 25,5

x y=3x+15 y=5x+8

3 24 233,1 24,3 23,53,2 24,6 243,3 24,9 24,53,4 25,2 253,5 25,5 25,5

x y1=–2x+22 y2=6x-20

1 20 –142 18 –83 16 –24 14 45 12 106 10 167 8 22

}

x y1=–2x+22 y2=6x-20

1 20 –142 18 –83 16 –24 14 45 12 106 10 167 8 22

}x y1 y2

5,2 11,6 11,25,21 11,58 11,265,22 11,56 11,325,23 11,54 11,385,24 11,52 11,445,25 11,5 11,5

x y1 y2

5,2 11,6 11,25,21 11,58 11,265,22 11,56 11,325,23 11,54 11,385,24 11,52 11,445,25 11,5 11,5

x y1 y2

5 12 105,1 11,8 10,65,2 11,6 11,25,3 11,4 11,85,4 11,2 12,4

}

x y1 y2

5 12 105,1 11,8 10,65,2 11,6 11,25,3 11,4 11,85,4 11,2 12,4

}

x y1 y2

6,2 232 2306,21 232,1 230,356,22 232,2 230,76,23 232,3 231,056,24 232,4 231,56,25 232,5 231,756,26 232,6 232,16,27 232,7 232,456,28 232,8 232,8

x y1 y2

6,2 232 2306,21 232,1 230,356,22 232,2 230,76,23 232,3 231,056,24 232,4 231,56,25 232,5 231,756,26 232,6 232,16,27 232,7 232,456,28 232,8 232,8

x y1 y2

6 230 2236,1 231 226,56,2 232 2306,3 233 233,56,4 234 237

}

x y1 y2

6 230 2236,1 231 226,56,2 232 2306,3 233 233,56,4 234 237

}

x y1=10x+170 y2=35x+13

3 200 1184 210 1535 220 1886 230 2237 240 2588 250 293

}

x y1=10x+170 y2=35x+13

3 200 1184 210 1535 220 1886 230 2237 240 2588 250 293

}

x y1 y2

16 4 230 4 28016,1 4 236,5 4 27416,2 4 243 4 26816,3 4 249,5 4 26216,4 4 256 4 256

x y1 y2

16 4 230 4 28016,1 4 236,5 4 27416,2 4 243 4 26816,3 4 249,5 4 26216,4 4 256 4 256



Réponses à la question H , page 189

3ActIvItéd’exploration Faire plus avec moins

Manuel • p. 188

A 1) Pr = 2x + 18 2) Pt = 6x

B 2x + 18 = 6x

C 18=4x 184

=x 4,5=x

D Pr = 2 × 4,5 + 18 = 27

Pt = 6 × 4,5 = 27

Le périmètre du rectangle est le même que celui du triangle, soit 27 cm.

E Étapes :

– Traduire la situation par un système de deux équations de la forme y = ax + b.

– Former une équation à une seule variable en posant que les membres de droite de chacune des deux équations sont égaux.

– Résoudre l’équation obtenue.

– Déterminer la valeur de la variable dépendante en remplaçant la valeur de la variable indépendante obtenue dans l’une des deux équations.

– Traduire le couple-solution dans les mots de la situation.

Manuel • p. 189

F Pa = 4x

Pb = 2x + 8

Pc = 4x + 4

Pd = 4x + 4

Pe = 2x + 2

G 1) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : A et D

2) C et D

3) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : A et B ont le même périmètre pour x = 4.

H (voir au bas de la page)


1. 1 3x - 12 = x + 8

2x - 12 = 8

2x = 20

x = 10

En remplaçant la valeur de x dans les deux équations, on obtient :

y = 3(10) - 12 y = 10 + 8

y = 18 y = 18


2 3x + 5 = 7x - 8

3x + 13 = 7x

13 = 4x

134 = x


y y

y y

= ( ) + = ( ) -

= = = =

3 5 7 8

14 14

134

134

594

34

594

34

Le couple-solution est 134

594

,( ) .

1) Systèmes d’équations y x

y x

== +

4

4 4

y x

y x

= += +

4 4

4 4

y x

y x

== +

4

2 8

2) Résolution algébrique 4x = 4x + 4

0x = 4

Aucune solution

4x + 4 = 4x + 4

0x = 0

Infinité de solutions

4x = 2x + 8

2x = 8

x = 4 ; y = 16

Une solution : le couple (4, 16)

3) Équations, représentation graphique des fonctions et nombre de solutions

Même taux de variation et valeurs initiales différentes : droites parallèles distinctes

Même taux de variation et même valeur initiale : droites confondues

Taux de variation différents : droites sécantes



3 –x + 14 = 2x - 7

14 = 3x - 7

21 = 3x

7 = x


y = –7 + 14 y = 2(7) - 7

y = 7 y = 7


4 6x + 9 = 6x - 1

0x = –10

0 = –10, soit une égalité fausse

Il n’y a pas de solution pour ce système d’équations.

5 x3 +11 = 4x

3 - 4

11 = x - 4

15 = x


y = (15)

3 + 11 y = 4

(15)3

- 4

y = 16 y = 16


6 –2x + 12 = 12 - 2x

0x = 0

0 = 0, soit une égalité vraie

Il y a une infinité de solutions pour ce système d’équations.

2. x : le nombre de colliers vendus

y : le profit réalisé ($)

César : y = 6,50x - 45

Corinne : y = 5,75x - 30

6,50x - 45 = 5,75x - 30

0,75x - 45 = –30

0,75x = 15

x = 20

César : y = 6,50(20) - 45 = 85

Corinne : y = 5,75(20) - 30 = 85


César et Corinne doivent vendre 20 colliers pour faire le même profit. Ce profit est de 85 $.

Mise en pratique

Manuel • p. 193


a) (5, 15) c) (–1, 2)

b) (18,5, 80,5) d) (3,2, 2,4)


a) 1

Le couple-solution est (8, –7).

2 (voir au haut de la page suivante)

3


b) 1 x - 15 = –4x + 25 5x – 15 = 25 5x = 40 x = 8


y = 8 - 15 = –7 y = –4(8) + 25 = –7


2 7x + 4 = 5x + 15 2x + 4 = 15 2x = 11 x = 5,5


y = 7(5,5) + 4 = 42,5 y = 5(5,5) + 15 = 42,5


x y=x-15 y=–4x+25

4 –11 9

5 –10 5

6 –9 1

7 –8 –3

8 –7 –7

9 –6 –11

x y=x-15 y=–4x+25

4 –11 9

5 –10 5

6 –9 1

7 –8 –3

8 –7 –7

9 –6 –11

x y=–3x+44 y=–x-20

28 –40 –48

29 –43 –49

30 –46 –50

31 –49 –51

32 –52 –52

33 –55 –53

x y=–3x+44 y=–x-20

28 –40 –48

29 –43 –49

30 –46 –50

31 –49 –51

32 –52 –52

33 –55 –53



3 –3x + 44 = –x - 20

44 = 2x - 20

64 = 2x

32 = x


y = –3(32) + 44 = –52

y = –(32) - 20 = –52



a) (–3, 18)

b) (19, –78)

c) -( )278

14

, ou (–3,375, 0,25)

d) (2, 2)

e) - -( )172

82 12

, ou (–8,5, –82,5)

f) 138

9 34

,( ) ou (1,625, 9,75)

g) (90, 45)

h) (–9, –7)

i) (4, 15,2)

Manuel • p. 194


Nathan et Tristan avaient la même taille à huit mois. Cette taille était de 66 cm.


a) y = 0,09x

Pour x = 205, y = 0,09(205) = 18,45

Une petite annonce de 205 caractères coûte 18,45 $ dans le journal La Nouvelle.

b) y = 0,07x + 2

Pour x = 175, y = 0,07(175) + 2 = 14,25

Une petite annonce de 175 caractères coûte 14,25 $ dans le journal L’Union.

c) 0,09x = 0,07x + 2

0,02x = 2

x = 100

Pour x = 100, y = 9

Il doit y avoir 100 caractères dans la petite annonce pour que le coût soit le même. Ce coût est de 9 $.

Réponses à la question 2 a) 2 , page 193

2


x y y

5 39 40

5,1 39,7 40,5

5,2 40,4 41

5,3 41,1 41,5

5,4 41,8 42

5,5 42,5 42,5

5,6 43,2 43

5,7 43,9 43,5

5,8 44,6 44

5,9 45,3 44,5

6 46 45

x y y

5 39 40

5,1 39,7 40,5

5,2 40,4 41

5,3 41,1 41,5

5,4 41,8 42

5,5 42,5 42,5

5,6 43,2 43

5,7 43,9 43,5

5,8 44,6 44

5,9 45,3 44,5

6 46 45

x y=7x+4 y=5x+15

1 11 20

2 18 25

3 25 30

4 32 35

5 39 40

6 46 45 }

x y=7x+4 y=5x+15

1 11 20

2 18 25

3 25 30

4 32 35

5 39 40

6 46 45 }




Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

a) y = –3x - 2

b) y = 16 - 3x

c) y = x

d) Il n’y a pas d’équation possible, car la droite donnée ne passe pas dans le troisième quadrant.


Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

a) y x

y x

= -= -

1

2 4

b) y x

y x

= -

= +

-

3 7

7 3

Manuel • p. 195


a) x : le nombre de nuits

y : le coût du voyage

Daytona : y = 780 + 142x

Miami : y = 856 + 134x

b)

Le voyage à Miami est moins coûteux à partir de 10 nuits, c’est-à-dire 11 jours.


a) x : le nombre d’heures travaillées

y : le coût total des travaux ($)

Larivière : y = 12 + 42x

Fontaine : y = 34 + 36x

b) Il est plus avantageux de faire appel au plombier Fontaine à partir de 3 h 40 min.

Nombredenuits

Coûtduvoyageà

Daytona($)

CoûtduvoyageàMiami($)

5 1 490 1 526

6 1 632 1 660

7 1 774 1 794

8 1 916 1 928

9 2 058 2 062

10 2 200 2 196

11 2 342 2 330

Nombredenuits

Coûtduvoyageà

Daytona($)

CoûtduvoyageàMiami($)

5 1 490 1 526

6 1 632 1 660

7 1 774 1 794

8 1 916 1 928

9 2 058 2 062

10 2 200 2 196

11 2 342 2 330


a) x : le nombre de personnes

y : le coût total ($)

Bon appétit ! : y = 450 + 26x

C’est succulent ! : y = 35x

450 + 26x = 35x

x = 50, y = 1 750

Le coût total de la soirée est le même peu importe le traiteur s’il y a 50 personnes. Le coût est de 1 750 $.

b) Bon appétit ! : y = 450 + 26(60) = 2 010

C’est succulent ! : y = 35(60) = 2 100

L’organisation des Jeux du Québec devrait engager le traiteur Bon appétit ! pour accueillir 60 personnes.


a) x : le temps (jours)

y : le nombre d’albums vendus

Distorsion : y = 15 000 + 2 000x

Gaïa : y = 2 500x

b) Le couple-solution est (30, 75 000).

À partir du moment où Gaïa a mis son album en vente, les deux groupes ont pris 30 jours pour arriver au même nombre d’albums vendus, soit 75 000 albums.

Manuel • p. 196


a) 1) 42 mois 2) 36 mois

b) x : le temps écoulé depuis l’achat (mois)

y : le montant restant à rembourser ($)

Voiture neuve : yN = 18 900 - 525x

Frère : yF = 12 600 - 300x

c) 18 900 - 525x = 12 600 - 300x

6 300 - 525x = –300x

6 300 = 225x

28 = x

yN = 18 900 - 525(28) = 4 200

yF = 12 600 - 300(28) = 4 200

Il resterait à Roxane, 18 mois après l’achat de l’une ou l’autre des voitures, le même montant à rembourser, soit 4 200 $.




a) x : le temps écoulé depuis l’arrivée de Guillermo (minutes)

y : le pointage

Patriotes : yP = 450 + 25x

Alérions : yA = 350 + 30x

450 + 25x = 350 + 30x

100 + 25x = 30x

100 = 5x

20 = x

Il s’est écoulé 20 minutes depuis l’arrivée de Guillermo.

b) yP = 450 + 25(30) = 1 200

yA = 350 + 30(30) = 1 250

Les Alérions ont gagné avec 1 250 points contre 1 200 pour les Patriotes.


a) x : le montant des ventes ($)

y : le salaire total ($)

Équation représentant le salaire total de Dominic :

À partir des deux couples de coordonnées suivants (2 400, 370) et (2 860, 393), on peut trouver le taux de variation et la valeur initiale.

a = 393 - 3702 860 - 2 400

= 23460

= 0,05

393 = 0,05(2 860) + b

250 = b

L’équation est y = 250 + 0,05x.

Équation représentant le salaire total de Michaëlle :

y = 280 + 0,04x

280 + 0,04x = 250 + 0,05x

30 + 0,04x = 0,05x

30 = 0,01x

3 000 = x

Les ventes doivent s’élever à 3 000 $ pour que Michaëlle et Dominic reçoivent le même salaire.

b) Michaëlle : y = 280 + 0,04(3 000) = 400

Dominic : y = 250 + 0,05(3 000) = 400

Leur salaire est alors de 400 $.


a) x : le nombre de personnes

y : le coût du repas

y x

y x

= += -

15 33

20 27

b) 15x + 33 = 20x - 27

33 = 5x - 27

60 = 5x

12 = x

Il y avait 12 personnes au souper.

c) y = 15(12) + 33 = 213

y = 20(12) - 27 = 213

213 ÷ 12 = 17,75

Le coût d’un repas pour une personne est de 17,75 $.

Manuel • p. 197


a) Table de valeurs :

Nombrede

semainesécoulées

Fondsamassésparlamaisondecourtage

Fondsamassésparlecabinet

d’avocats

0 0 0

1 25 40

2 50 80

3 75 120

10 250 400

11 305 440

12 360 480

19 745 760

20 800 800

21 855 840

+ 55

+ 25 + 40

Après 20 semaines, la maison de courtage et le cabinet d’avocats auront amassé la même somme pour la Fondation Rêves d’enfants, soit 800 $.

b) Au bout d’un an (52 semaines), voici les sommes amassées :

– à la maison de courtage : y = 250 + 55(42) = 2 560 $ (250 $ pour les 10 premières semaines et (55 × 42) $ pour les 42 semaines restantes)

– au cabinet d’avocats : y = 40 × 52 = 2 080 $

En supposant qu’il y a toujours le même nombre de participants chaque semaine depuis la 11e semaine jusqu’à la 52e semaine, ces deux initiatives auront permis de recueillir 4 640 $ pour la Fondation en 52 semaines.




a) s T

s T

= += +

56 0 11

23 0 21

,

,

T = 330 À une température de 330° C

b) Oui.

s T

s T

= += +

26 0 02

56 0 11

,

,

26 + 0,02T = 56 + 0,11T –30 = 0,09T –333 1

3 = T

Donc s = 26 + 0,02 -( )333 13

= 19 13

= 56 + 0,11 -( )333 13

= 19 13

À une température de –333 13 °C, le chlorure de

sodium a la même solubilité que l’iodure de

potassium, soit 19 13.

c) Plus la température augmente, moins le sulfate de lithium est soluble.

Consolidation

Manuel • p. 198

1. Traduction d’une situation par une inéquation, mode

de représentation des sous-ensembles de nombres

Niveau de difficulté : moyen

a) 1 9 ≤ a ≤ 17, où a est l’heure à laquelle la boutique est ouverte les lundis, mardis et samedis

9 ≤ b ≤ 21, où b est l’heure à laquelle la boutique est ouverte les mercredis, jeudis et vendredis

2 0 < s < 37, où s est le nombre de semaines d’un bébé prématuré

0 < p < 2,5, où p est la masse en kilo-grammes d’un bébé prématuré

15 ≤ t ≤ 22, où t est le temps de sommeil en heures d’un bébé prématuré par jour

3 0 < p ≤ 12, où p est le nombre de per-sonnes dans l’ascenseur, p étant un nombre entier

0 ≤ e ≤ 3, où e est le nombre d’étages franchis et 0 est l’étage R

4 20 ≤ t ≤ 28, où t est la température au cours d’une journée (jour et nuit, soit 24 heures)

b) 1 a ∈ [9, 17] b ∈ [9, 21]

2 s ∈ ]0, 37[ p ∈ ]0 ; 2,5[ t ∈ [15, 22]

3 p ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

e ∈ {0, 1, 2, 3}

4 t ∈ [20, 28]

2. Contraintes et connecteurs logiques

Niveau de difficulté : faible

a) 4 c) 6 e) 2

b) 3 d) 1 f) 5

3. Résolution algébrique d’un système d’équations


a) (18, –4)

b) 163

43

,-

ou 5 1

311

3, -( )

c) (7, 3)

d) (6, 0)

e) (72, –8)

f) 136

173

,( ) ou 2 516

23

,( ) g) (2 500, 500)

h) 29

29

98,( )Manuel • p. 199

4. Résolution graphique d’un système d’équations

et interprétation, résolution algébrique d’un

système d’équations


a) y1 = x + 3

y2 = 43

x - 4

b) x + 3 = 43

x - 4

x + 7 =43

x

7 = x3

21 = x

Vérification :

y1 = 21 + 3 = 24

y2 = 43

(21) - 4 = 24




5. Nombre de solutions d’un système d’équations,

résolution algébrique d’un système d’équations


a) y

y x

==

4

2


b) y x

y x

= - +

=

-

12

4

2

Le couple-solution est -

83

163

, ou -( )2 525

13

, .

c) y x

y x b

== +

4

4

Les taux de variation sont égaux, les droites sont donc parallèles. Par conséquent, il n’y a pas de solution.

6. Résolution d’un système d’équations à l’aide d’une

table de valeurs, nombre de solutions d’un système

d’équations


a) Le couple-solution est (3, 4).

b) Le couple-solution est (25, 27,5).

c) Le couple-solution est (7, 185).

d) Les taux de variation sont égaux, donc les droites sont parallèles, alors il n’y a pas de solution.

7. Modes de représentation des sous-ensembles de

nombres, résolution d’une inéquation à une variable


a) 4(x - 5) > 5(x - 4) - x

4x - 20 > 5x - 20 - x

4x - 20 > 4x - 20

0x > 0

0 > 0

C’est une inégalité fausse. Donc, il n’y a aucune solution.

b) x - (5 - 2x) ≤ 3x + 10

x - 5 + 2x ≤ 3x + 10

3x - 5 ≤ 3x + 10

0x ≤ 15

0 ≤ 15

C’est une inégalité vraie. Donc, tout l’ensemble des nombres est la solution.

0

Manuel • p. 200

8. Tout ou rien !

Résolution d’une inéquation à une variable


a) a = c et b = d

b) a = c et b ≠ d

9. De part et d’autre

Résolution d’une inéquation à une variable


Non. La stratégie de Joseph n’est pas valable lorsque l’inéquation est une inéquation au sens large (≤ ou ≥). En effet, à la dernière étape de son algorithme, Joseph dit que les solutions sont toutes les valeurs plus grandes ou plus petites que la solution de l’équation. Or, si on a une inéquation au sens large, dans cet ensemble-solution décrit par Joseph, on ne retrouve pas la valeur de la solution de l’équation qui est aussi une solution de l’inéquation (sa stratégie aurait été correcte s’il avait dit «… plus grandes ou égales, ou plus petites ou égales… »).

10. Avoir 18 ans

Contraintes implicites


Juniors : les personnes âgées de 7 ans jusqu’à moins de 18 ans.

Étudiants : les adultes qui sont étudiants et âgés de 18 à 25 ans ont un rabais.

Adultes : les adultes non étudiants (âgés de 18 ans et plus) paient le tarif régulier.

Manuel • p. 201

11. Une ligne pleine

Modes de représentation des sous-ensembles

de nombres


a) Il s’agit d’une variable discrète, car on peut énu-mérer toutes les valeurs possibles de la variable « salaire ».

b) Du fait qu’il serait trop long d’énumérer toutes les possibilités, on considère la variable « salaire » comme continue et on la représente par un segment sur une droite numérique.

87 28022 395



12. Parce que le temps change

Modes de représentation des sous-ensembles

de nombres


a) t ∈ [15, 20], où t est la température (°C) au Nouveau-Brunswick un 30 mai

2015

b) t ∈ [13, 27], où t est la température (°C)

Manuel • p. 202

13. Une journée bien remplie !

Résolution de problèmes comportant des contraintes

Niveau de difficulté : élevé

a) Horaire :

Julia : 8 h à 9 h

Gisèle : 8 h 45 à 10 h 45

Francine : 10 h 30 à 12 h

Germain : 11 h 45 à 12 h 15

Dîner : 12 h 15 à 12 h 45

Patrice : 12 h 30 à 13 h 30

Annabella : 13 h 15 à 14 h 15

Louise : 14 h à 15 h

Rémi : 14 h 45 à 15 h 15

Isabelle : 15 h à 16 h 30

b) Oui, Lyson peut voir tous ses clients.

14. Créditer, débiter

Résolution algébrique d’un système d’équations


a) x : le nombre de semaines depuis qu’ils comparent leurs comptes d’épargne

y : le montant d’argent dans le compte d’épargne

yb = 525 + 40x

ye = 720 + 30x

yr = 1 200 - 10x

Nombre de semaines

Arg

ent

($)

200

400

600

800

1 000

1 200

1 400

0 8642 12 1410

Émilie

Bruno

Raymond

20 22 2416 18

525 + 40x = 1 200 - 10x

50x = 675

x = 13,5

À la 14e semaine, Bruno aura plus d’argent dans son compte que Raymond.

720 + 30x = 1 200 - 10x

40x = 480

x = 12

À la 13e semaine, Émilie aura plus d’argent dans son compte que Raymond.

Raymond a donc eu le plus d’argent dans son compte pendant 11 semaines (à la 12e semaine, Raymond et Émilie ont le même montant).

b) 720 + 30x = 525 + 40x

195 = 10x

19,5 = x

À la 20e semaine, Bruno aura plus d’argent dans son compte qu’Émilie.

Émilie sera celle qui aura le plus d’argent dans son compte de la 13e à la 19e semaine inclusivement.

Manuel • p. 203

15. Des manèges pour les petits et les grands



a) Réponse personnelle



b) Si on considère qu’un enfant de 2 ans et 6 mois a 2 ans, les formulations sont équivalentes.

Par contre, si on considère qu’un enfant de 2 ans et 6 mois est plus âgé qu’un enfant de 2 ans, tous les enfants âgés de plus de 2 ans, mais de moins de 3 ans, devraient payer selon la deuxième formulation.

16. La table ronde



a) 6 × 70 cm = 420 cm ou 4,2 m

Circonférence de la table : πd = 420

d ≈ 133,69 cm

Donc 133,69 cm ≤ d ≤ 250 cm ou 1,34 m ≤ d ≤ 2,5 m

b) Le nombre minimal de personnes pouvant prendre place autour de la table : 6

Le nombre maximal de personnes pouvant prendre place autour de la table : 11, car (250 × π) ÷ 70 ≈ 11,23

De 6 à 11 personnes pourraient prendre place autour de la table.

c) πr2 ≤ 15

r ≤ 2,185

d ≤ 4,37 m ou 437 cm

Circonférence = πd = π × 437 ≈ 1 372,88 cm

Nombre de chaises : 1 372,88 ÷ 70 ≈ 19,61

Théoriquement, William doit prévoir 19 chaises. Mais il ne peut pas acheter une table si grande puisque le diamètre de celle-ci dépasse le diamètre d’une table que sa cuisine peut recevoir, soit 2,5 m. Il doit donc toujours prévoir de 6 à 11 chaises.

17. La zone cible

Traduction d’une situation par une inéquation,

résolution de problèmes comportant des contraintes


a) F : la fréquence cardiaque maximale

a : l’âge en années

f : la fréquence cardiaque

b) 0,7F < f < 0,8F et F = 220 - a

Donc, 0,7(220 - a) < f < 0,8(220 - a)

c) 0,7(220 - a) < 125

154 - 0,7a < 125

29 < 0,7a

41,4 < a ou a > 41,4 ans

0,8(220 - a) > 142

176 - 0,8a > 142

34 > 0,8a

42,5 > a ou a < 42,5 ans

Paule a 42 ans.

d) On a : 0,7(220 - a) < f < 0,8(220 - a)

Pour Denis qui a 55 ans, on trouve : 116 < f < 132

Pour Paule qui a 42 ans, on trouve : 125 < f < 142

Les fréquences cardiaques communes sont 126, 127, 128, 129, 130 et 131.

Manuel • p. 204

18. Finie la baignade

Résolution d’un système d’équations à l’aide d’une

table de valeurs, nombre de solutions d’un système

d’équations, résolution algébrique d’un système

d’équations


a) y1 = 50 000 - 166 23

x

y2 = 75 000 - 33313

x

Les deux piscines contiendront la même quantité d’eau après 150 minutes, soit 25 000 L.

b) 1) y3 = 60 000 - 23313

x

2) y4 = 80 000 - 13313

x


Quantité d’eau de la

première piscine (L)

Quantité d’eau de la deuxième piscine (L)


troisième piscine (1)

(L)


troisième piscine (2)

(L)

0 50 000 75 000 60000 80000

15 47 500 70 000 56500 78000

30 45 000 65 000 53000 76000

45 42 500 60 000 49500 74000



19. Les hauts et les bas

Résolution algébrique d’un système d’équations Niveau de difficulté : élevé

a) x : le temps en minutes

y : la distance parcourue en kilomètres

y x

y x

== -( )

0 2

0 3 15

,

,

0,2x = 0,3(x - 15) = 0,3x - 4,5

4,5 = 0,1x

45 = x

y = 0,2(45) = 9

y = 0,3(45) - 4,5 = 9

La côte a une longueur de 9 km.

b) La durée du trajet a été de 75 minutes, soit 45 minutes à l’aller et 30 minutes au retour.

20. Cheveux courts, cheveux longs ?

Résolution algébrique d’un système d’équations Niveau de difficulté : faible

a) Variable dépendante : la quantité de shampooing dans la bouteille (ml)

Variable indépendante : le nombre de lavages

b) yABC = 320 - 8x

yXYZ = 500 - 20x

c) 320 - 8x = 500 - 20x

12x = 180

x = 15

Il restera la même quantité de shampooing dans leurs bouteilles après 15 lavages.

Manuel • p. 205

21. Une cause tout en rose

Résolution d’un système d’équations


Soit y, la distance parcourue en x minutes à vitesse constante.

Anne : y = 16

x

Lucas : y = 19

x

Le système d’équations formé par ces deux fonctions n’a pas de solution. Anne et Lucas ne se croiseront pas.

22. Où est l’intruse ?

Analyse de situations, contraintes et connecteurs

logiques


1 En deux pesées :

1repesée: On met trois pièces à gauche et trois pièces à

droite. Deux pièces restent donc de côté.

Cas A. Si la balance s’équilibre, la fausse pièce est l’une des deux pièces restées de côté.

Cas B. Si la balance penche d’un côté, la fausse pièce est dans le lot le plus léger.

2epesée: Cas A. On met une pièce sur chaque plateau, puis

on détermine la pièce la plus légère.

Cas B. On prend le lot des trois pièces les plus légères, on laisse une pièce de côté et on met les deux pièces restantes chacune sur un plateau de la balance.

B1. Si la balance est en équilibre, la fausse pièce est celle mise de côté.

B2. Si la balance penche d’un côté, la fausse pièce est la plus légère des deux.

2 En deux pesées :

On forme trois lots de trois pièces chacun.

1repesée: On met trois pièces à gauche et trois pièces à

droite. On laisse trois pièces de côté.

Cas A. Si la balance s’équilibre, la fausse pièce est dans le lot laissé de côté.

Cas B. Si la balance penche d’un côté, la fausse pièce est dans le lot le plus lourd.

2epesée: Cas A. On laisse une pièce de côté et on met

chacune des deux autres pièces sur un plateau de la balance.

A1. Si la balance est en équilibre, la fausse pièce est celle mise de côté.

A2. Si la balance penche, la fausse pièce est la plus lourde des deux.

Cas B. On prend le lot de trois pièces le plus lourd. On laisse une pièce de côté et on met chacune des deux autres pièces sur un plateau de la balance.

B1. Si la balance est en équilibre, la fausse pièce est celle mise de côté.

B2. Si la balance penche, la fausse pièce est la plus lourde des deux.



3 En trois pesées :

On forme trois groupes de quatre pièces, disons : A = (1-2-3-4), B = (5-6-7-8) et C = (9-10-11-12).

1repesée: Mettre quatre pièces sur chaque pla-teau. Par exemple, A = (1-2-3-4) et B = (5-6-7-8). Il y a deux possibilités.

Cas A. Équilibre : la fausse pièce est dans le groupe C = (9-10-11-12).

2epesée: On prend trois pièces de A ou de B (qui sont authentiques) et on les pèse avec trois pièces de C, disons (1-2-3) avec (9-10-11). Il y a deux possibilités.

A1. Équilibre : la fausse pièce est 12.

3epesée: On pèse la pièce 12 avec une autre pièce pour déterminer si elle est plus légère ou plus lourde.

A2. Déséquilibre : la fausse pièce est 9, 10 ou 11. Cette pesée indique si elle est plus lourde ou plus légère.

3epesée: On choisit deux pièces parmi les pièces (9-10-11) et on en met une dans chaque plateau. Si elles s’équilibrent, la fausse pièce est la pièce restante. Dans le cas contraire, on peut alors désigner la fausse pièce, étant donné qu’on sait déjà qu’elle est plus légère ou plus lourde que les autres.

Cas B. Déséquilibre : la fausse pièce se trouve soit dans le groupe A = (1-2-3-4) ou le groupe B = (5-6-7-8). On sait également que les autres pièces du groupe C = (9-10-11-12) sont authentiques.

2epesée: Supposons que le groupe A est plus lourd que le groupe B. On sépare le groupe A en deux, disons (1-2) et (3-4), et on ajoute une pièce de B dans (1-2) et une pièce de C dans (3-4). On a ainsi à comparer (1-2-5) et (3-4-12), par exemple. Rappelons qu’on sait que 12 est authentique. Trois scénarios peuvent se produire :

B1. Les pièces (1-2-5) et (3-4-12) s’équilibrent. Cela signifie que la fausse pièce ne peut être que parmi les pièces restantes des groupes A et B, c’est-à-dire les pièces (6-7-8). On sait également que la fausse pièce est plus légère étant donné que, lors de la première pesée, les pièces (1-2-3-4) étaient plus lourdes que les pièces (5-6-7-8).

3epesée: On met dans chaque plateau de la balance une pièce parmi les pièces (6-7-8), disons 6 et 7. Si elles s’équilibrent, la fausse pièce est 8. Si elles ne s’équilibrent pas, la pièce la plus légère est fausse.

B2. Les pièces (1-2-5) sont plus lourdes que (3-4-12). Dans ce cas, on constate que le fait de déplacer les pièces 3 et 4 de la gauche vers la droite et la pièce 5 de la droite vers la gauche n’a pas changé le déséquilibre de la balance (le plateau de gauche reste encore le plus lourd). Cela veut dire que la fausse pièce qui cause ce déséquilibre ne peut être que la 1 ou la 2 (la pièce 12 est authentique). On sait également que cette fausse pièce est plus lourde.

3epesée: Une dernière pesée de la pièce 1 et de la pièce 2 permet de connaître la fausse pièce, à savoir la plus lourde.

B3. Les pièces (3-4-12) sont plus lourdes. Cela signifie que la fausse pièce a été déplacée. Il se peut que la fausse pièce soit la 3 ou la 4 si elle est plus lourde. Mais elle peut également être la 5, qui est plus légère.

3epesée: Une dernière pesée de la pièce 3 et de la pièce 4 permet de reconnaître la fausse pièce. Si elles s’équilibrent, la pièce 5 est fausse. Dans le cas contraire, la fausse pièce est alors la plus lourde entre 3 et 4.

23. Les biscuits du partage

Résolution algébrique d’un système d’équations


a) a : le prix d’une douzaine de biscuits

x : la somme dont Étienne dispose

12 3 60

11 4 20

3 60124 20

11

a x

a x

a x

a x

= += -

= +

= -

,

,

,

,

+ = -x x3 6012

4 2011

, ,

11(x + 3,60) = 12(x - 4,20)

11x + 39,60 = 12x - 50,40

90 = x

Étienne dispose de 90 $.



b) Pour x = 90, a = 7,80. Donc, une douzaine de biscuits coûte 7,80 $, c’est-à-dire qu’un biscuit coûte 0,65 $.

Il en coûte à Étienne :

3 000 × 0,65 = 1 950 $

3 200 × 0,65 = 2 080 $

Il récolte, lorsqu’il vend les biscuits :

3 000 × 1 = 3 000 $

3 200 × 1 = 3 200 $

Il donne à la guignolée :

3 000 - 1 950 = 1 050 $

3 200 - 2 080 = 1 120 $

Étienne donne à la guignolée à la fin de l’année de 1 050 à 1 120 $.

Manuel • p. 206

Voici l’imprimerie à choisir selon le nombre d’exemplaires imprimés :

De 0 à 775 copies : Imprimerie B

De 775 à 799 copies : Imprimerie A

Exactement 800 copies : Imprimerie C

De 800 à 1 120 copies : Imprimeries C et D (800 premières copies à l’imprimerie C et le reste à l’imprimerie D)

Plus que 1 120 copies : Imprimerie A


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Chapitre Les inéquations et les systèmes d’équations 3 · Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. d’ A ’