Chapitre Représentation d’état des 1 systèmes linéaireslipsakiss.free.fr/anal/ING2/RE/RE/RE_chap1_g_n_ralit_s.pdf · Représentation d’état des systèmes linéaires continus

1. Représentation d’état des systèmes linéaires continus et discrets. 1

RE_chap1_généralités Mis à jour le 07/04/2006 Cours de M. Cougnon JL -

Chapitre

1 Représentation d’état des systèmes linéaires

1.1. Introduction

1.1.1. Définition1.1.2. Représentation d’état avec Matlab1.1.3. Différentes matrices

1.2. Equation d’Etat des systèmes continus1.2.1. Résonateur mécanique1.2.2. Mise en équation de circuits électriques1.2.3. Moteur à courant continu commandé par l'induit

1.3. Equation d’Etat des systèmes échantillonnés

1.4. Différentes formes de la représentation d’état1.4.1. Non unicité de la représentation d'état 1.4.2. Diagonalisation de la matrice A1.4.3. Formes de Jordan de la matrice A

1.5. Représentation d’état et « Matlab »1.5.1. Cas des systèmes continus1.5.2. Cas des systèmes échantillonnés

Pour résoudre les problèmes d'analyse et de synthèse des systèmes de commande, les ingénieurs disposent d’outils performants étudiés antérieurement. Ainsi les méthodes fréquentielles de BODE, de BLACK-NICHOLS et les méthodes temporelles comme le lieu de EVANS sont d’un usage courant. Cependant l'avènement de calculateurs numériques toujours plus rapides et performants, capables de résoudre simultanément un nombre incroyable d'équations différentielles conduit à mettre en œuvre de nouvelles méthodes. Ces méthodes se prêtent précisément à la résolution des problèmes complexes soulevés par la commande des systèmes modernes (guidage et pilotage des aéronefs, techniques de navigation automatique, conduite des processus industriels, …).

1.1. INTRODUCTION

La théorie moderne des systèmes fait appel à la notion de variables d'état. Ces variables décrivent entièrement le comportement dynamique du système auquel elles correspondent.

Les équations d'état permettent de représenter les systèmes linéaires continus, échantillonnés et discrets. Cette représentation est particulièrement bien adaptée à la description des systèmes monovariables (SISO = single input single output) et multivariables (multiple input multiple output). De plus, bien que cet aspect de la question ne soit pas abordé dans ce cours, signalons que le formalisme d'état permet de traiter les systèmes dont les paramètres varient dans le temps (systèmes non stationnaires).

Les ingénieurs se sont les premiers intéressés à ce formalisme pour traiter les problèmes rencontrés dans le domaine de la physique, de la mécanique, de l’électronique, de l’aérodynamique, de la thermodynamique, etc. Cependant le concept de variables d’état est aussi utilisé pour l’analyse de systèmes biologiques, sociaux, économiques, etc.



1.1.1. DEFINITION

Un système reçoit des excitations du milieu extérieur, mémorise de l'information et restitue l'ensemble sous une forme déterminée. L'état d'un tel système dynamique est l'ensemble des grandeurs internes qui, jointes à la connaissance du vecteur de commande u(t), représente la connaissance du passé nécessaire à la détermination du comportement futur. En d'autres termes, )( 0tx est le vecteur d'état d'un système à l'instant t0 si la connaissance de )(tx à ce seul instant t0 et du vecteur de commande u(t) pour 0tt > permet, par l'intermédiaire des équations qui régissent le système, de déterminer le vecteur d'état 0 )( tttx ≥∀ . La variation du vecteur d’état )( 0tx génère la trajectoire d’état. La commande du système par le vecteur )(tu appliqué de 1t à 2t a pour but de translater l’état du système de )( 1tx à )( 2tx . Ce formalisme s’applique aux systèmes continus comme aux systèmes discrets.

Système continu Système discret

Equation d'état BuAxx +=& kkk HuFxx +=+1

Equation de mesure DuCxy += kkk DuCxy +=

Avec : [ ]Tnn- xx..xxxtx 1321)( = pour les systèmes continus.

[ ]Tknkn-kkkk xx..xxxx ,,1,3,2,1= pour les systèmes discrets

Si les matrices A, B, C et D (respectivement F, H, C et D) sont indépendantes du temps t le système est dit invariant ou stationnaire. Dans la suite de ce cours, sauf cas particulier, nous ne considérons que des systèmes invariants. L'ordre du système est égal au nombre n de variables d'état composantes du vecteur d'état x(t).

1.1.2. REPRESENTATION D’ETAT AVEC MATLAB

On définit les matrices a, b, c, d. On déclare alors que le système de nom « sys » admet cette représentation d’état avec la commande « ss » (i.e. state-space).

>> sys=ss(a,b,c,d)

1.1.3. DIFFERENTES MATRICES

Appellation Désignation Dimension A ou F Matrice d'évolution ou matrice dynamique (n x n) B ou H Matrice de commande (n x r)

C Matrice d'observation, de sortie ou de mesure (p x n) D Matrice de transmission directe (p x r)

n = nombre de variables d'état = ordre du système r = nombre de commandes p = nombre de sorties



n x& = n A n x + n B r u 1 n 1 r 1

p y = p C n x + p D r u 1 n 1 r 1

On écrira :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−

−−−−−

−

−

−

rp,p

,r

npnp

n

rnrn

r

n

n

nn)n(nnn

)n(n))(n(n)(n)(n

n)(n

n)(n

n

n

u...u

d...d.........

d...d

x...x

c...c.........c...c

y

u...u

b...b.........b...b

xx...xx

aa...aaaa...aa

...............aa...aaaa...aa

xx...xx

dtdx

1

1

1111

1

111

1

1

111

1

2

1

121

1112111

2122221

1111211

1

2

1

&

1.2. EQUATION D’ETAT DES SYSTEMES CONTINUS

Afin de familiariser le lecteur avec la notion de représentation d'état nous traiterons quelques exemples de mise en équation.

1.2.1. RESONATEUR MECANIQUE

Mettons en équation le système mécanique classique comprenant une masse m, un ressort r et un amortisseur d (dashpot). La sortie )(ty représente le déplacement de la masse par rapport au boîtier lorsque cette masse est sollicitée par la force )(tu .

dtdydrytu

dtydm −−= )(2

2

Posons ⎩⎨⎧

==

yxyx&2

1

Il vient :

mux

mdx

mrx

xyx

+−−=

==

212

21

&

&&

L'équation d'état est donc la suivante :

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

2

1

2

1

2

1

01

1010

xx

y

u(t)/mx

xd/mr/m

x

x

&

&

m r

d

u(t)

y(t)



1.2.2. MISE EN EQUATION DE CIRCUITS ELECTRIQUES

L'énergie s'accumule dans les capacités et les inductances.

Pour les capacités : dt

dvCiCVQ C== soit

Pour les inductances : dtdiL

dtdvLI =Φ

==Φ Lsoit

Aussi adopte-t-on les tensions aux bornes des capacités et les courants dans les inductances comme variables d'état.

a. Soit le filtre LRC suivant :

L

C vC

−

+

iL

résistance

inductance

R

vL

vRu(t)

Générateurde courant

iC

capacité

L

C vC

−

+

iL

résistance

inductance

R

vL

vRu(t)

Générateurde courant

iC

capacité

Les équations sont

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==

−==

LCL

L

LC

C

Rivdt

diLv

itudt

dvCi )(

Si Cvx =1 et Lix =2 l’équation d’état est :

)( 0

/1

//1/10

2

1

2

1tu

C

x

x

LRLC

x

x

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

&

&

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

2

1 0xx

Rvy R

b. Soit le filtre RC représenté ci-dessous.

R2u(t)

R2 R1

C2 C1

i2 i1

v2 v1−−

++



Le circuit étudié comporte 2 capacités. Il est donc d'ordre 2 et sera complètement représenté avec 2 variables d'état.

La tension aux bornes d'une capacité est donnée par ci

dtdv

= .

On choisit les tensions aux bornes de C1 et de C2 comme variables d'état :

2et 1 21 vxvx ==

Pour trouver la représentation d'état du circuit on applique le théorème de superposition. L'équation d'état est donnée par :

⎪⎩

⎪⎨⎧

++=

++=⇒+=

ubxaxax

ubxaxaxBuAxx

22221212

12121111

&

&&

Nous étudierons successivement les 3 cas suivants : Cas n° 1 : x2 = 1 ; x1 = u = 0 Cas n° 2 : x1 = 1 ; x2 = u = 0 Cas n° 3 : u = 1 ; x1 = x2 = 0 • Cas n° 1 : x2 = 1 ; x1 = u = 0

R2 R1

i2 i1

v2

−

+

1

R2 R1

i2 i1

v2

−

+

1

212

)21(et 11

1soit

1111et

212122

2212

12

RRCRRa

RCa

RxCi

RRRRxCi

+−==

+==

+−== &&

• Cas n° 2 : x1 = 1 ; x2 = u = 0

R2 R1

i2 i1

v2

−

+

1

R2 R1

i2 i1

v2

−

+

1

12

1et 11

1soit

1111et

1122

2111

12

RCa

RCa

RxCi

RxCi

=−

=

−==== &&

• Cas n° 3 : u = 1 ; x1 = x2 = 0

R2 R1

i2 i1

u

−

+

1

R2 R1

i2 i1

u

−

+

1

22

1et 0

soit

011et 2

122

21

12

RCbb

xCiR

xCi

==

==== &&



Soit en définitive :

)(

221

0

21221

121

111

111

2

1

2

1tu

CRx

x

RRCRR

RC

RCRC

x

x

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

&

&

Application numérique :

R1 = 1/4 ; R2 = 1/8 ; C1 = 1 ; C2 = 2 (unités réduites)

)(.4

0

6244

2

1

2

1tu

x

x

x

x

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

&

&

c. Soit un filtre LC :

Il y a trois éléments dynamiques qui stockent et restituent de l'énergie donc 3 variables d'état. On adopte le vecteur d'état :

[ ] [ ]21321 ivcixxxxT == La tension de sortie est prélevée aux bornes de la capacité.

R2e1

L1 L2

C

ic

vc

− −

++

e2

−

+

i1 i2

inductance inductance

R2e1

L1 L2

C

ic

vc

− −

++

e2

−

+

i1 i2

inductance inductance

Sachant que pour une capacité ci

dtdv

= et que pour une inductance v L didt

= on établit les

équations selon la méthode exposée ci-dessus et l'on trouve le modèle d'état du circuit.

[ ]

[ ]x(t)y(t)

ee

/L

/Lx(t)

/L/C/C

/Lx(t)

dtd

010

21

21000011

02101010110

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

1.2.3. MOTEUR A COURANT CONTINU COMMANDE PAR L'INDUIT

a. Modèle du moteur à courant continu commandé par l’induit

Le fonctionnement de ce moteur a été décrit dans le cadre du cours de « Commande classique des systèmes linéaires continus » (Cf. module de cours Au 41).



Charged’inertie

J

r, l

u(t)

i(t)

Circuit électrique(r,l ) série de l’induit

+Force contre

électromotrice

Couple moteur

ωEkte =)(iktC cm =)(

Couple de frottements visqueux

ωdtCd =)(

Induit

Effectuons la mise en équation de ce système électromécanique.

Loi d'Ohm appliquée à l'induit : edtdilriu ++=

Force contre-électromotrice : ωθEE k

dtdke ==

Transformation d'énergie : kkkikC cEcm === avec

Relation fondamentale de la dynamique : ωω dCdtdJ m −=

On adopte comme variables d'état les composantes de [ ] [ ]ixxxxT ωθ== 321 et l'on obtient le système d'équation d'état suivant :

[ ] [ ] )( 0)( 001

)( /100

)( //0

//0010

)(

tutxy

tul

txlrlk

JkJdtx

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=&

b. Modèle simplifié du moteur commandé par l'induit

Considérons le moteur continu commandé par l'induit présenté ci-dessus et admettons les hypothèses simplificatrices l= d = 0. Les équations deviennent :

Loi d'Ohm appliquée à l'induit : eriu +=

Force contre-électromotrice : e k ddt

k= =θ ω

Transformation d'énergie : C kim =

Relation fondamentale de la dynamique : J ddt

Cmω=

La dérivée du courant i n'intervenant plus, le vecteur d'état est composé de 2 variables.

[ ] [ ]ωθxxxT == 21



dtdωJ

dtdθku(t)

Rk

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

Les équations ci dessus permettent de tracer le graphe de fluence suivant :

1/px1

– k2 /rJ

k/rJu(t)

1/px2 1/p

x1

– k2 /rJ

k/rJu(t)

1/px2

•

2x

La « manipulation » des graphes de fluence s'apparente à celle des diagrammes fonctionnels. L’utilisation de ce type de schéma permet d’identifier rapidement les variables d'état qui sont les sorties des intégrateurs1. Cette remarque constitue une méthode d'obtention des équations d'état d'un système quelconque. Dans le cas précis du moteur il vient :

k et K=

krJavec τ u(t)

K/τxx

/τx

xdtd 10

1010

22

1

2

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1.3. EQUATION D’ETAT DES SYSTEMES ECHANTILLONNES

Soit un système linéaire continu caractérisé par les équations :

DuCxyBuAxx

+=+=&

Il s'agit d'établir le modèle représentant l'état du système aux instants d'échantillonnage kT :

kkk

kkk

DuCxyHuFxx

+=+=+1

Il existe plusieurs méthodes pour obtenir la représentation d'état d'un système échantillonné. En effet elle peut être établie à partir : • de l’équation d'état initiale du système continu correspondant, • d'une transformée en z, • d'une équation récurrente. A titre d'exemple considérons le moteur continu étudié au § 1.2.3.b. La suite des commandes u(kT) est fournie au moteur par un calculateur numérique travaillant à la période d'échantillonnage T à travers un convertisseur numérique analogique (CNA) (bloqueur d'ordre « zéro » de transmittance )(0 pB .

1 Attention on verra plus loin que le choix des variables d’état n’est pas unique.

B0(p) P(p) u(kT)

T

m(t)

θ(t)

θ(kT)



L'équation du moteur est donnée par :

dtdθ

Kdtθd

Kτ m(t) soit

dtdωJ

dtdθkm(t)

Rk 1

2

2+==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

Les variables d'état continues sont : )()(et )( 21 tωtθxtθx === & Les variables d'état discrètes sont kk,kk,k ωθ et xθx === &

21 Soit kT t kT t k T t T m t u kT uk≤ = + ≤ + ≤ ≤ ⇒ = =Δ Δ( ) ( ) ( )1 avec 0 Calculons )(=)Θ( tp θL pour T t ≤Δ≤0 l’instant initial étant égal à kT .

[ ] [ ]kkkk θp

Kωpθp

Kτ

pu

dtdθ

Kdtθd

Kτtm −+−−=⇒+= Θ1Θ1)( 2

2

2

)1()1()(Θ 2 τpp

ωpθ

τppKup kkk

+++

+=

Décomposons en éléments simples et prenons la transformée inverse de chaque élément. Il vient alors pour )1( TktkT +≤≤ soit T t ≤Δ≤0 :

kk

kkk

uτΔtExpK

τΔt.Expωtω

uτΔtτExpτΔtKω

τΔtExpτθtθ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=Δ

1)(

1)(

En calculant la valeur de ces deux termes à l'instant t = (k+1)T, c'est à dire à l'instant Δt = T on obtient les éléments nécessaires à l'écriture de l'équation d'état du système échantillonné. Cette équation est la suivante :

k

k

k

k

k

uTExpK

TExpTK

TExp

TExp

1

.

0

11

1

1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

τ

τττ

ω

θ

τ

ττ

ω

θ

L’équation d'état ainsi obtenue est une équation discrète. Nous étudierons ultérieurement une méthode plus systématique pour obtenir le modèle discret d'un système continu commandé à travers un bloqueur d'ordre « zéro ».

Exemple : Soit le moteur tel que : ⎩⎨⎧

==

⇒+

=s 11

)1(1)(

τK

pppP et seconde 1=T . Il vient :

kk

k

k

k u 63,037,0

37,0063,01

1

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

+

ωθ

ωθ



Fichier « .m » Résultats dans la fenêtre Matlab % RE_chap1_m1 % --------------------- % REPRESENTATION D'ETAT % Exercice sur le chapitre 1 % Cours ING2 - Au 43 % Réalisé par M. JL Cougnon % -------------------------

clear all;clc; % Valeurs des éléments du moteur a=[0 1;0 -1];b=[0;1];c=[1 0];d=0; % Représentation d'état du moteur % % continu moteur_c=ss(a,b,c,d);

a = 0 1 0 -1 b = 0 1 c = 1 0 d = 0

% Représentation d'état du moteur % échantillonné pour T=1s T=1; moteur_d=c2d(moteur_c,T); [ad,bd,cd,dd]=ssdata(moteur_d)

ad = 1.0000 0.6321 0 0.3679 bd = 0.3679 0.6321 cd = 1 0 dd = 0

Plus généralement tout système discret, toute fonction de transfert en z et donc toute loi de commande implantée dans le calculateur peuvent être modélisés par un système d'équations d'état discrètes.

1.4. DIFFERENTES FORMES DE LA REPRESENTATION D’ETAT

1.4.1. NON UNICITE DE LA REPRESENTATION D'ETAT

Les résultats établis dans ce paragraphe pour les systèmes continus s&ppliquent évidemment les systèmes discrets.

Soit un système continu caractérisé par les équations : ⎩⎨⎧

+=+=

DuCxyBuAxx&

et soit M une (nn)-matrice non singulière permettant le changement de base :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=

=−−

DuxCMyBuMxAMMx

xMx

~~~

~

11&



On obtient une nouvelle représentation pour le système telle que :

DuxCy

uBxAx

+=

+=~~

~~~~& avec les matrices

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=−

−

CMC

BMB

AMMA

~

~

~

1

1

On dit que les systèmes ),,( CBAS et )~,~,~(

~CBAS sont isomorphes.

Ainsi pour un système dynamique continu ou discret il existe une infinité de représentations d’état. La multiplicité des représentations d'état n'est pas un inconvénient. Elle doit être perçue comme un avantage dès lors qu'il est possible d'adopter la forme la mieux adaptée au problème à traiter. Les systèmes ),,( CBAS et )~,~,~(

~CBAS ont même polynôme caractéristique P.

AA

nA

nnA

PPMApIMP

MApIMMAMpMMApIP

~

1

111

det).~det(.det

))~(det()~det()det(

=−=

−=−=−=−

−−−

Remarque : Dans MATLAB, la commande « ss2ss » permet de passer de la représentation d’état (a, b, c, d) à la représentation d’état « tilde » (at, bt, ct, dt) avec la matrice de transformation 1−= MT . En effet cette commande prend en compte la notation Txx =~ et non celle du cours xMx ~= >> [at,bt,ct,dt]=ss2ss(a,b,c,d,inv(M))

1.4.2. DIAGONALISATION DE LA MATRICE A

• L'équation 0)det( =− AλIn est l'équation caractéristique de la matrice A. • Les racines i λ de cette équation sont les valeurs propres de la matrice A. L'équation

caractéristique admet n valeurs propres. • Le nombre 0 racines de 0 =iλn correspond à la défection du rang de la matrice. Ainsi le

rang r de la matrice est 0nnrangAr −== . • Les vecteurs propres vi associés à la (nn)-matrice carrée A sont solution de l'équation :

0)(det équation l' de racine = propre valeur avec =−== AλIλ vλAv niiii • vi associé à la valeur propre λi est colonne de la matrice iAλIλP ni λλ=−= )(adj)(

• En supposant que les valeurs propres de A soient distinctes, les vecteurs propres associés le sont aussi. A partir de ces n vecteurs propres il est possible de construire une (nn)-matrice (carrée) M non singulière appelée matrice modale du système.

[ ]nvvvM ...21=

[ ]iiii λMAMvλAv diag avec aussi =ΛΛ==

Λ== − AMMA 1~



Ainsi : [ ]

[ ]i

mi

mmm

/λMMA

λMMMMMMMMMMA

1diag avec

diag avec ......1111

11111

=ΛΛ=

=ΛΛ=ΛΛΛΛ=−−−−

−−−−−

De même :

[ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]tλ

kk

kk

ietExpMtExpMAtExpktMMtMMtMMMIMAtExp

ktAtAAtIAtExp

diag avec ..

....!

...2

....!

.....2

1

12

1211

22

=ΛΛ=

+Λ++Λ+Λ+=

+++++=

−

−−−−

On perçoit l'intérêt de ce changement de base pour la résolution des équations d'état. Exemple : traitons le circuit électrique du § 1.2.2.b.

)( 4

0

6244

2

1

2

1tu

x

x

x

x

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

&

&

Calculons les valeurs propres données par 0)det( =− AλIn .

8et 2soit )8)(2(1610)det(

21

2

−=−=++=++=−

λλλλAλIn λλ

Calculons les deux vecteurs propres associés.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=−

4246

)(adjλ

λAλIn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=− −= 1

22244

)(adj 12 vAλI λn ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=− −= 1

142

42)(adj 28 vAλIn λ

La matrice de transformation est donnée par :

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=Λ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

== −

8002

et 21

1131

1112 1

21 MvvM

Ainsi il vient :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

2

1

2

1

2

1

~

~ 12 )(

3/8

3/4

~

~

8002

~

~

x

xytux

x

x

x

&

&



1.4.3. FORMES DE JORDAN DE LA MATRICE A

Lorsque les valeurs propres sont multiples ont peut trouver une forme canonique de la représentation d'état appelée forme de JORDAN.

Soit une matrice A admettant un pôle triple λ1 et deux pôles simples λ λ4 5 et on peut écrire l'équation d'état sous la forme canonique suivante appelée matrice de JORDAN :

ux

λλ

λλ

λ

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

11100

~

00000000000000100001

~

5

4

1

1

1

& où apparaît un bloc de JORDAN ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1

1

1

001001

1

λλ

λJλ

La forme générale de la matrice de JORDAN est la suivante :

JJ

Jk

1

2

0 0 00 0 0

0 0 0... ... ... ...

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Les propriétés de cette matrice sont :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(000............00)(0000)(

xpet

000............000000

2

1

2

1

tJExp

tJExptJExp

JtE

J

JJ

J

kmk

m

m

m

On détermine la matrice de passage M à partir des vecteurs propres vi de la façon suivante.

Soit [ ]nvvvM ...21= Le vecteur propre vi , associé à la valeur propre λ i d'ordre un, est une colonne de la matrice :

iAλIλP ni λλ=−= )(adj)(

S'agissant des valeurs propres d'ordre multiple, on fait suivre la colonne obtenue comme ci-dessus de colonnes égales aux colonnes de même rang des matrices :

.... )( ; )( 2

2

ii

PdλdP

dλd

λλλλ

λλ

== ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Exemple :

2)1)(5()det( 144010045

−−=−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−= λλAλIA n ; la valeur propre 1 est double.



>>A=[5 4 0;0 1 0;-4 4 1]; >>p=poly(A) % détermination du polynôme caractéristique de A p= 1 -7 11 -5 >>lambda=roots(p) % calcul des valeurs propres lambda = 5.0000 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i

T

PAλI⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

=−)5)(1(00

16)5(4)5)(1()1(4)1(40)1(

=)( ; 144

010045 2

λλλλλλ

λλλ

λλ

λ

P( ) =λλ λ

λ λλ λ λ λ

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )

− −− −

− − − − − −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1 4 1 00 1 5 0

4 1 4 5 16 1 5

2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 3200

0320000000

=(1) 1vP

On a retenu la colonne 2.

44

4=

444040040

)(

)62(440)62(004)1(2

=)(

21 ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

==

vd

dP

ddP

λλλ

λλλ

λ

λλ

Pour les deux premières colonnes de M on adoptera :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

1810

10 encoreou

43240

40

P v(5) = 16 16 00 0 016 16 0

16016

3

− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⇒ =−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

La matrice de passage est donc : M = −−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

0 1 10 1 08 1 1

Notons que cette matrice n'est pas unique. Vérifions ce résultat :

M J M AM− −=− − −

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= =⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1 10 125 0 250 0 125

0 1 01 1 0

1 1 00 1 00 0 5

, , , et



1.5. REPRESENTATION D’ETAT ET « MATLAB »

1.5.1. CAS DES SYSTEMES CONTINUS

Soit le moteur électrique à courant continu modélisé au § 1.2.3.b.

Fichier « .m » Résultats dans la fenêtre Matlab % RE_chap1_m2 % --------------------- % REPRESENTATION D'ETAT % Exercice sur le chapitre 1 % Cours ING2 - Au 43 % Réalisé par M. JL Cougnon % --------------------------

clear all;clc; % Valeurs des éléments du moteur r=2;l=0.5;k=0.015;d=0.2;J=0.02; % Représentation d'état du moteur a=[0 1 0;0 -d/J k/J;0 -k/l -r/l];b=[0;0;1/l];c=[1 0 0];d=0; % Sortie = l'angle de rotation téta moteur_dc=ss(a,b,c,d) % Le système (a,b,c,d) porte le nom % de « moteur_dc »

a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 -10 0.75 x3 0 -0.03 -4 b = u1 x1 0 x2 0 x3 2 c = x1 x2 x3 y1 1 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model.

% Calcul de la FT (tf_moteur_dc) % sous forme d'un quotient de 2 % polynômes tf_moteur_dc=tf(moteur_dc)

Transfer function : 1.5 ---------------------------- s^3 + 14 s^2 + 40.02 s

% Calcul de la FT (zpk_moteur_dc) % sous la forme de Evans % (zéros, pôles, facteur de gain) zpk_moteur_dc=zpk(moteur_dc)

Zero/pole/gain: 1.5 --------------------------- s (s+9.996) (s+4.004)

% Calcul du polynôme caractéristique % de a = dénominateur de la FT polcar=poly(a)

polcar = 1.0000 14.0000 40.0225 0

% Calcul des racines de polcar % (modes du moteur = pôles de la FT) lambda1=roots(polcar)

lambda1 = 0 -9.9962 -4.0038

% Calcul des valeurs propres de a = % modes du moteur = pôles de la FT lambda2=eig(a)

lambda2 = 0 -9.9962 -4.0038

% Calcul des vecteurs propres % pour obtenir Mm1 = inverse de M [M,matdiag1]=eig(a)

M = 1.0000 0.0995 0.0310 0 -0.9950 -0.1241 0 -0.0050 -0.9918



matdiag1 = 0 0 0 0 -9.9962 0 0 0 -4.0038

% On vérifie que la matrice M % permet la diagonalisation Mm1=inv(M) matdiag2=Mm1*a*M

Mm1 = 1.0000 0.0999 0.0187 0 -1.0056 0.1258 0 0.0050 -1.0089 matdiag2 = 0 -0.0000 -0.0000 0 -9.9962 0.0000 0 -0.0000 -4.0038

% On recherche le système isomorphe % obtenu dans la base M [at,bt,ct,dt]=ss2ss(a,b,c,d,inv(M))

at = 0 -0.0000 -0.0000 0 -9.9962 0.0000 0 -0.0000 -4.0038 bt = 0.0375 0.2516 -2.0178 ct = 1.0000 0.0995 0.0310 dt = 0

1.5.2. CAS DES SYSTEMES ECHANTILLONNES

Soit le moteur continu simplifié, étudié en 1.2.3.b, de transmittance :

⎩⎨⎧

==

⇒+

=s 11

)1(1)(

τK

pppP

Déterminons le modèle numérique de ce moteur lorsqu’il est commandé par une séquence de commandes issues d’un calculateur et appliquées à travers un bloqueur d’ordre 0. La période d’échantillonnage est égale à 1 seconde.

On obtient une représentation d’état du système continu par la commande « tf2ss ».

Fichier « .m » Résultats dans la fenêtre matlab % RE_chap1_m3 % ----------- % REPRESENTATION D'ETAT % Exercice sur le chapitre 1 % Cours ING2 - Au 43 % Réalisé par M. JL Cougnon % --------------------------

clear all;clc; nc=[1];dc=[1 1 0]; tf_sys=tf(nc,dc)

Transfer function: 1 --------- s^2 + s



% Calcul d’une représentation % d'état du système continu [a,b,c,d]=tf2ss(nc,dc)

a = -1 0 1 0 b = 1 0 c = 0 1 d = 0

% Représentation du système % échantillonné avec un bloqueur % d'ordre zéro et T=1s. T=1; [ad,bd]=c2d(a,b,T)

ad = 0.3679 0 0.6321 1.0000 bd = 0.6321 0.3679

Evidemment cd=c et dd=d.



ANNEXE 1.1.

Rappels de calcul matriciel

1. Matrices et vecteurs On appelle (mn)-matrice une matrice comportant m lignes et n colonnes. On note :

[ ]ij

mnmm

n

n

a

aaa

aaaaaa

A =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

...............

...

...

21

22221

11211

• Si m = n la matrice est dite « carrée » (square matrix). Elle est rectangulaire dans le cas contraire.

• Deux (mn)-matrices A et B sont égales si les éléments [ ] [ ]ijij ba = ∀i et ∀j.

• Une matrice dont tous les termes sont nuls est appelée matrice « nulle » et notée 0.

• Si tous les termes d’une matrice carrée sont nuls à l’exception de ceux situés sur la diagonale principale, la matrice est dite « diagonale » (diagonal matrix).

• Si tous les termes d’une (nn)-matrice diagonale sont égaux à 1 la matrice est dite « identité » (identity matrix). Elle est notée .nI

• Une matrice admettant une seule colonne et n éléments est appelée un n-vecteur.

On note

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

x...

2

1

• Une matrice admettant une seule ligne de n éléments est appelée n-vecteur ligne (row vector).

On note [ ]nxxxx ...21=

• Deux vecteurs sont égaux si leurs composantes respectives sont égales.

• Lorsque les éléments d’une matrice ou d’un vecteur sont fonction du temps on note la matrice )(tA et la vecteur ).(tx

• La dérivée par rapport au temps d’une matrice ou d’un vecteur est une matrice ou un vecteur dont les éléments sont égaux à la dérivée par rapport au temps de chacun des éléments de la matrice ou du vecteur à dériver.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

dttda

dttdAtA ij )()()(& et [ ])()()( tx

dttdxtx i&& ==



• Soit un m-vecteur y dont les composantes sont fonction des composantes du n-vecteur x, fonction des composantes du r-vecteur u et du temps t, soit :

) ; ,...,, ; ,...,,(.....................................................

) ; ,...,, ; ,...,,() ; ,...,, ; ,...,,(

2121

212122

212111

tuuuxxxfy

tuuuxxxfytuuuxxxfy

rnmm

rn

rn

=

==

,

On écrit aussi de manière plus compacte : ),,( tuxfy = 2. Matrice transposée et matrice symétrique

La transposée TA d’une (mn)-matrice A est une (nm)-matrice obtenue en permutant le rôle des lignes et des colonnes de A. On note :

[ ] [ ]jiT

ijT aaA ==

[ ]nT xxxx ...21=

Une matrice carrée qui vérifie AAT = est dite « symétrique ». On vérifie que :

jiij aa = pour i et j = 1, 2, …, n. De plus :

)( TT

xdtd

dtdx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ et ∫∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ 1

0

1

0)()(

t

tT

Tt

tdttAdttA

3. Addition et produits de matrices et de vecteurs On peut additionner ou soustraire 2 (mn)-matrices.

[ ] [ ] [ ]BAC ±= = [ ] [ ] [ ]ijijij bac ±=

On peut multiplier 2 matrices A et B.

Soit une (mn)-matrice A et une (nr)-matrice B, la matrice C, produit de A par B, est une (mr)-matrice.

ABC = avec [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∑

=

m

kkjikij bac

1

Si A et B sont deux (nn)-matrices (carrées) en général BAAB ≠ . Le produit de deux matrices n’est pas communtatif.

Le produit d’une (mn)-matrice A par un n-vecteur x est un m-vecteur y tel que :

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=== ∑

=

n

jiiji xayAxy

1



On déduit aisément les règles donnant la transposée d’une somme ou d’un produit de matrices.

Matrice Vecteur TTT BABA ±=± )( TTT yxyx ±=± )(

kAkAkA TTT ==)(

C∈k

kxkxkx TTT ==)(

C∈k TTT ABAB =)( TTT AxAx =)(

4. Dérivation des matrices Etablissons les règles de différentiation des produits de matrices et de vecteurs.

[ ] )()()()()()( tBtAtBtAtBtAdtd && +=

[ ] )()()()()()( txtAtxtAtxtAdtd && +=

[ ]{ } [ ]T

TTTTT tBtAdtdtAtBtAtBtBtA

dtd

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=+= )()()()()()()()( &&

Soit un (nn)-matrice A(t). On peut écrire :

[ ] [ ] 0)()()()()( 111 =+== −−− AtAtAtAIdtdtAtA

dtd

n&&

[ ] 111 )()()( −−− −= AtAtAtAdtd &

5. Produit scalaire (inner product) Le produit scalaire (ou produit intérieur) de 2 vecteurs est défini par :

∑=

=n

iii

T yxyx1

TTTTTT xyyxxyyx )()( ===

• Si 0=yxT on dit que les 2 vecteurs sont orthogonaux.

• Si x = y il vient :

01

2 ≥= ∑=

n

ii

T xxx

• Si x représente un vecteur dans un espace euclidien à n dimensions, xxT est égal au carré



du module de ce vecteur.

• Si x et y sont deux n-vecteurs, )( yx − représente le vecteur reliant l’extrémité du vecteur

y à celle du vecteur x et )()( yxyx T −− est égal au carré de la distance entre ces 2 extrémités.

Le produit extérieur de deux n-vecteurs x et y est donné par :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

T

yxyxyx

yxyxyxyxyxyx

xy

...............

...

...

21

22212

12111

Txx est une matrice symétrique.

6. Déterminant et matrice inverse • Le déterminant d’une matrice carrée est défini par :

∑=

+−==n

iij

jiij MaAA

1)det()1()det(

• ijM est le déterminant de la matrice de dimension (n –1) obtenue en supprimant de la matrice A la ligne et la colonne à l’intersection desquelles se trouve l’élément ija .

• Le scalaire )det()1( ijji

ij M+−=γ est le cofacteur de ija .

• Le scalaire )det( ijM est le mineur de ija .

• La (nn)-matrice (carrée) [ ] [ ]Tijji γγ = est dite matrice adjointe de A.

Elle est notée [ ] )(adj Aji =γ

Rappelons quelques règles de calcul d’un déterminant :

• Si tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne sont nuls 0=A

• TAA =

• Si les éléments correspondants de 2 lignes ou de 2 colonnes de A sont égaux ou multiples d’un même coefficient alors 0=A .

• Si les éléments d’une ligne ou d’une colonne de A sont additionnés à l’élément d’une autre ligne ou colonne de A, la valeur de A est inchangée.

• Soit 2 (nn)-matrices A et B alors BAAB = .

L’inverse d’une matrice carrée est donné par :



)det()adj(1

AAA =−

• Si 0)det( =A l’inverse de A n’existe pas on dit que la matrice est singulière. Si A est inversible, la matrice est dite régulière.

• TT AA )()( 11 −− =

• 111)( −−− = ABAB

• AA /11 =−

• [ ] [ ] 11 −− = TTAA

• Si 1−= AAT la matrice carrée A est dite orthogonale.

• 111 −−− −= AAAAdtd & car 111 −−− +⇒= AAAAIAA &&

• 1111111 )()( −−−−−−− +−=+ DABDACBAABCDA

7. Rang (rank) d’une matrice C’est la dimension du plus grand déterminant non nul que l’on peut extraire d’une matrice en supprimant lignes et colonnes.

Le rang d’une (mn)-matrice A est la dimension de la plus grande matrice carrée non singulière que l’on puisse former dans A en supprimant des lignes et des colonnes.

Le rang d’une matrice est égal au plus petit nombre des lignes ou colonnes linéairement indépendantes.

Une (nn)-matrice A est non singulière si et seulement si son rang est égal à sa dimension n.

8. Valeurs propres (eigenvalues) et vecteurs propres (eigenvectors) Ces notions jouent un rôle important dans le domaine de la commande des systèmes dynamique.

Les valeurs propres de la (nn)-matrice A sont les racines de son polynôme caractéristique :

0)det()( =−= nA IAP λλ

Le vecteur propre ix associé à la valeur propre iλ de la (nn)-matrice A est un n-vecteur tel que :

iii Axx =λ

Si la matrice A est symétrique les valeurs propres sont réelles et les vecteurs propres sont orthogonaux.



9. Théorème de Cayley-Hamilton L’équation caractéristique de la (nn)-matrice A est

0...)det( 11 =+++=− −

nnn

n AI αλαλλ

Le théorème nous indique que A est racine de son équation caractéristique : 0...1

1 =+++ −nn

nn IAA αα

10. Trace d’une matrice La trace de A est égale à la somme des termes de la diagonale principale :

∑=

=n

iiiaA

1)(tr

On démontre que :

)(1

AAn

ii∏

== λ et que )()(tr

11AaA

n

ii

n

iii ∑∑

==== λ

Autres propriétés de la trace d’une matrice : )(tr)(tr)(tr BABA +=+

)(tr)(tr)(tr CABBCAABC ==

Remarque : la norme « euclidienne » d’un n-vecteur x est donnée par :

∑=

==n

ii

TT xxxxx0

2)(trace

11. Formes quadratiques (quadratic forms) A étant une (nn)-matrice et x un n-vecteur on montre que :

∑∑= =

==n

i

n

jjiij

T xxaAxxxf1 1

)(

Ce produit est naturellement un scalaire.

Si jiij aa ≠ , la forme quadratique est inchangée si on remplace la matrice A par la matrice

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +

2jiij aa

. On peut donc toujours considérer que la matrice A est symétrique.

[ ] TTT xAAxAxx +=21

Une matrice réelle symétrique est diagonalisable et la matrice de passage (diagonalisante) P est orthogonale :

**

1*1

1

)()(

posons

xxxPAPPPxAxxxf

xPxPxAPP

PP

TTTTT

T

T

Λ===

==Λ=

=−−

−



• Si le signe de )(xf dépend de x, )(xf est dite non définie.

• Si ⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

=⇔=≠∀>

00)(0 0 )(

xxfxxf

on dit que la forme quadratique est définie positive.

Plus communément on dit que la matrice A est une matrice définie positive.

• Si ⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

=≠∀≥

nuls non tous avec possible 0)(0 0 )(

ixxfxxf

la matrice A est dite semi-définie positive

ou définie non négative. • Dans les autres cas la matrice A est dite défie négative ou définie non positive.

On montre que si Axxxf T=)( alors Axxf 2=∂∂

L’expression Ayxz T= est dite forme bilinéaire (bilinear form) et on vérifie que :

Ayxz 2=∂∂ et que xA

yz T2=∂∂

Si pour tout 0≠x la forme quadratique 0)( >= Axxxf T cette forme est dite définie positive. La forme quadratique est définie positive si A a toutes ses valeurs propres sont 0> .

Elle est semi définie positive si et seulement si les valeurs propres de A sont 0≥ .

Pour que A soit définie positive on peut montrer qu’il nécessaire et suffisant que les

principaux mineurs de A, i.e. Aaaaa

a ..., , ,2212

211111 , soient positifs.

Il en résulte que si A est définie positive ⇒ 0>A ⇒ A est non singulière.

12. Opérations sur les matrices blocs

Soit deux matrices ayant une partition en blocs identique :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

DCBA

M et ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

HGFE

N on montre les résultats suivants.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= TT

TTTT

DBCA

DCBA

M

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡HDGCFBEA

HGFE

DCBA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡DHCFDGCEBHAFBGAE

HGFE

DCBA

.



Formule d’inversion de Frobenius-Schur :

[ ] 11

1

1

111

1

−−

−

−

−−−

−

−=

−=

−=

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

BCADH

HCAG

BHAF

BHCAAAE

HGFE

DCBA

Formule d’inversion de Sherman-Morrison-Woodbury :

[ ] [ ] 111111 −−−−−−+−=+ ACBACIBAABCA TTT

Formule d’inversion de Hemes :

[ ] [ ] 1111111 −−−−−−− +−=+ ADBADCBAADBCA TTT

[ ] [ ] 1111111 −−−−−−− +−=+ DABDACBAABCDA

13. Fonction exponentielle La fonction exponentielle d’une matrice est définie par :

∑∞

==

0 !k

kA

kAe

Quelques propriétés de la fonction exponentielle : • nIe n =0

• nI eIe n =

• [ ]TAA eeT=

• [ ] AeAedted AtAt

At==

• Les vecteurs propres de A sont vecteur propres de Ae • Si λ est valeur propre de A alors λe est valeur propre de Ae

14. Transformation similaire Soit A une (nn)-matrice et M une (nn)-matrice non singulière. On appelle transformation similaire de la (nn)-matrice A, l’expression )( 1AMM − .

Cette transformation est utilisée pour les fonctions analytiques de matrices :

∑∞

==

0)(

k

kk AmAf



En effet :

MXfMMAmMAMMmAMMfk

kk

k

kk )()()( 1

0

1

0

11 −∞

=

−∞

=

−− =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∑∑

Ainsi, si les valeurs propres de X sont distinctes :

[ ][ ]

[ ] 1

1

1

)()(

)()(

)(

−

−

−

=

=

=

MFMdiagAf

FdiagAMMf

diagAMM

i

i

i

λ

λ

λ

15. Opérations analytiques sur les matrices

Soit une valeur scalaire ),...,,()( 21 nxxxfxf = fonction du n-vecteur x.

On définit le gradient de la fonction )(xf par le n-vecteur

T

nx x

fxf

xfxf

xf

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

==∂∂ ... )(

21

On définit la matrice des dérivées secondes ou Hessien par :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂∂

=ji

xx xxfxF

2)(

)()()( xhxgxf += )()()( xhxgxf xxx +=

xaxf T=)( axf x =)( et 0)( =xFxx

Axxxf T=)( (A symétrique) Axxfx 2)( = et AxFxx =)(

Ayxxf T=)( (A symétrique) Ayxfx =)( et xAxf Ty =)(

Documents

Chapitre Représentation d’état des 1 systèmes linéaireslipsakiss.free.fr/anal/ING2/RE/RE/RE_chap1_g_n_ralit_s.pdf · Représentation d’état des systèmes linéaires continus