Chapitre VI : Dynamique du point matériel 1)

Dynamique du point matériel

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Chapitre VI : Dynamique du point matériel

1) Généralités:

La dynamique à l’inverse de la cinématique, c’est une branche de la physique qui

étudie le mouvement des corps en tenant compte des causes, en se basant sur des postulats

formulés par Newton fondateur de la mécanique classique en XVII siècles d’où son

deuxième nom la mécanique Newtonienne ou la mécanique classique parce qu’elle est

valable dans les situations où les corps ne s’approchent pas de la vitesse de la lumière, dans

le cas contraire, la dynamique doit être remplacée par la théorie de la relativité d’Enstein.

2) Définitions :

2.1) Système matériel : c’est un ensemble de points matériels. Les distances qui

séparent les points matériels caractérisent le type de ce système : si ces distances varient

comme le cas d’un fluide le système est un système déformable, et si ces distances gardent

la même distance au cours du temps comme le cas d’un solide le système est un système

indéformable.

2.2) La masse : c’est une grandeur physique qui caractérise la quantité de matière que

renferme un corps. Son unité est le kilogramme en SI. Dans la mécanique Newtonienne

cette grandeur est considérée invariable.

2.3) Centre d’inertie d’un système matériel : appelé aussi centre de gravité d’un

système, c’est un point qui correspond au barycentre des positions des points matériels

affectés de leurs masses.

Pour un système matériel comportant n points matériels noté M1, M2, Mi, …..Mn


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de masses respectivement m1, m2, mi, mn (figure 1), le barycentre (G) est obtenu par la

relation suivante : ∑ 𝑚𝑖𝑖=𝑛𝑖=1 𝐺𝑀𝑖

= 0 (1)

Si on utilise un repère d’origine O, le vecteur position 𝑂𝐺 peut-être calculé à partir de la

définition du barycentre :

∑ 𝑚𝑖𝑖=𝑛𝑖=1 𝐺𝑀𝑖

= 0 ⟹ ∑ 𝑚𝑖(𝑖=𝑛𝑖=1 𝐺𝑂 + 𝑂𝑀𝑖

) = 0 (2)

⟹ ∑ 𝑚𝑖𝑖=𝑛𝑖=1 𝐺𝑂 = − ∑ 𝑚𝑖

𝑖=𝑛𝑖=1 𝑂𝑀𝑖

(3)

⟹ ∑ 𝑚𝑖𝑖=𝑛𝑖=1 (𝑂𝐺 ) = ∑ 𝑚𝑖


(4)

⟹ (𝑂𝐺 ) = ∑ 𝑚𝑖


∑ 𝑚𝑖𝑖=𝑛𝑖=1

(5)

⟹ (𝑂𝐺 ) = ∑ 𝑚𝑖


𝑚 (6)

Avec m qui est la masse totale du système : 𝑚 = ∑ 𝑚𝑖𝑖=𝑛𝑖=1

2.4) Vecteur quantité de mouvement :

Le vecteur quantité de mouvement (𝑝 ) d’un corps de masse m, animé d’un

mouvement de vitesse (𝑣 ) est un vecteur colinéaire au vecteur vitesse et défini par la

relation suivante :

𝑝 = 𝑚 𝑣 (7)

Pour un système formé de n points matériels de masses ( m1, m2, mi, mn) localisés

Dans les positions M1, M2, MI, Mn, le vecteur quantité de mouvement total du système est

donné 𝑝 est donné par la relation suivante :

𝑝 = ∑ 𝑚𝑖𝑖=𝑛𝑖=1 𝑣𝑖 =∑ 𝑝𝑖

𝑖=𝑛𝑖=1 (8)

Figure 1 : Centre d’inertie et barycentre


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On peut aussi écrire :

𝑝 = ∑ 𝑚𝑖𝑖=𝑛𝑖=1

𝑑𝑂𝑀𝑖

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(∑ 𝑚𝑖


) =𝑑

𝑑𝑡(𝑚 𝑂𝐺 ) = 𝑚

𝑑 𝑂𝐺

𝑑𝑡 =m𝑣𝐺 (9)

Donc le vecteur quantité de mouvement d’un système constitué de n points matériels

est équivalent au vecteur quantité de mouvement d’un point (G) placé au centre

d’inertie du système animé d’une vitesse 𝑣𝐺 et contenant une masse m du système

(figure 2).

3) Principes de la dynamiques :

3.1) Principe d’inertie :1re loi de Newton

Dans un référentiel (R) galiléen, le centre d’inertie de tout système matériel

mécaniquement isolé (ou pseudo isolé), est soit au repos soit en mouvement rectiligne

uniforme.

Ce qui donne dans le cas d’un mouvement rectiligne uniforme :

𝑣𝐺 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 ⟹ 𝑝 =m𝑣𝐺 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 ⟹𝑑 𝑝

𝑑𝑡= 0 (10)

Ce principe conduit à la conservation du vecteur quantité de mouvement d’un système

mécaniquement isolé ou pseudo isolé.

a) Référentiel Galiléen :

Un référentiel est galiléen si le premier principe s’applique.

Figure 2 : Identification d’un solide à son centre d’inertie

G auquel est affectée la masse totale m du solide.


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Si on connait un référentiel galiléen on peut définir d’autres référentiels Galiléens en

connaissant leurs natures de mouvement par rapport au référentiels Galiléen ; en effet si (R)

est galiléen et (R’) en mouvement par rapport à R et on définit un système de centre

d’inertie G de vitesse 𝑣𝐺/𝑅 par rapport à R et de vitesse 𝑣′𝐺/𝑅′ par rapport à R’. en utilisant

les relations du mouvement relative on trouve :

𝑣𝐺 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 ⟹ 𝑣′𝐺

𝑅′

+ 𝑣𝑒 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 (11)

où 𝑣𝑒 est la vitesse d’entrainement de (R’) par rapport à (R).

d’après a relation (11), pour que (R’) soit aussi Galiléen il faut que 𝑣′𝐺

𝑅′

soit constante, ce

qui conduit à 𝑣𝑒 doit être constant, donc (R’) doit être en mouvement rectiligne uniforme

par rapport à (R).

Conclusion : Si (R) est Galiléen, (R’) est aussi Galiléen s’il est au repos ou en mouvement

rectiligne uniforme par rapport à (R).

b) Exemples de référentiels Galiléens :

L’expérience montre que le référentiel de Copernic (situé au centre du soleil) est un

excellent référentiel galiléen (malgré le mouvement du Soleil dans notre galaxie qui elle-

même est en mouvement par rapport aux autres galaxies).

Figure 3 : Référentiels de Copernic et géocentrique. Il faut

noter que les axes du référentiel géocentrique restent parallèles

à ceux du référentiel de Copernic (S : soleil, T : terre).


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Le référentiel géocentrique situé au centre de la terre tourne autour du soleil avec un

mouvement circulaire uniforme ce qui empêche de le considérer Galiléen, mais puisque la

terre tourne autour du soleil pendant 365 jours et 6 heures, pendant un intervalle de temps

très court (exemple une heure) la terre peut être considérée fixe par rapport au soleil ou elle

s’est déplacée par un segment droit (c. à. d mouvement rectiligne uniforme), le référentiel

géocentrique dans ce cas peut aussi être considéré comme Galiléen

Remarque : Il existe aussi un autre référentiel terrestre situé sur la surface de la terre et qui

possède les mêmes conditions du référentiel géocentrique pour qu’il soit aussi Galiléen.

3.1) Principe de la dynamique : deuxième loi de Newton

a) Notion de force :

On appelle une force toute action exercée par un acteur sur un corps (receveur) soit

pour compenser d’autres actions (système pseudo isolé), ou pour le rendre en mouvement

ou modifier son mouvement dans le cas des actions non compensées.

La force est représentée par un vecteur associé au point d’application. On distingue deux

types de force :

Force d’interaction à distance : comme les forces de gravitation, les forces

électromagnétiques, les forces nucléaires de cohésion.

Forces de contact comme les forces de frottement et de tension.

b) Enoncé de la deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel Galiléen, un système matériel de centre d’inertie G et de masse

(m) qui subit des actions non compensées de l de l’extérieur. Ces actions sont liées à la

variation du vecteur quantité de mouvement par la relation suivante :

∑𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑑(m𝑣𝐺 )

𝑑𝑡 = m 𝛾𝐺/𝑅 (12)

c) Théorème du centre d’inertie :

Dans un référentiel Galiléen, le mouvement d’un système matériel de masse (m) et

de centre d’inertie (G) sur lequel est exercé un ensemble de forces est le même que le


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mouvement d’un point matériel placé au point G du système et qui possède une masse (m)

et sur lequel on associe une force résultante des forces exercées sur le système (figure 4).

4) Principe des actions réciproques : troisième principe de Newton

Si S1 et S2 sont deux systèmes en interaction, dans n’importe quel référentiel, alors

l’action du système S1 sur S2 est opposée à la réaction du système S2 sur S1 quel que soit

leur mouvement (ou en absence du mouvement) (figure 5) .

5) Les forces

5.1) Forces d’interaction à distances

a) Force de gravitation Newtonienne

Figure 4 : Théorème du centre d’inertie.

Figure 5 : Illustration du principe des actions réciproques


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La force de gravitation ou la force d’interaction gravitationnelle stipule que la force

exercée par corps (S) d’une masse M sur une autre corps (C) de masse m distant de SC est

d’autant plus importante que les masses sont grande et la distance qui les sépare est petite.

La loi qui régit cette interaction est appelée la loi de gravitation de Newton ou loi

d’attraction universelle (figure 6)

.

Cette loi est donnée par la formule suivante :

𝐹 𝑀⟶𝑚 = −𝐺 𝑀𝑚

𝑆𝐶2 �� (13)

Où G est appelée la constante la constante d’interaction universelle et vaut 6,67 10-11 u.s.i .

Exemple :

Gravitation au voisinage de la terre

Si M est la masse de la terre et m est la masse d’un corps placé au voisinage de la

surface de la terre

La force exercée par M sur m est le poids qui est donné par :

𝑝 = 𝐹 𝑀⟶𝑚 = 𝑚𝑔 = −𝐺 𝑀𝑚

𝑆𝐶2 �� (14)

Où 𝑔 représente le champ du pesanteur ou l’’accélération du pesanteur, la distance

SC correspond au rayon de la terre , l’intensité du champ du pesanteur g0 sur la surface de

la terre (z=0) vaut :

Figure 6 : Forces de gravitation d’un objet de masse M sur un

objet de masse m.


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𝑔0 = 𝐺𝑀

𝑅2 (15)

Où R est le rayon de la terre.

Si le corps est placé à une distance z par rapport à la surface de la terre g(z) vaut :

𝑔(𝑧) = 𝐺𝑀

(𝑅+𝑧)2= 𝐺

𝑀

𝑅2

𝑅2

(𝑅+𝑧)2= 𝑔0(1 +

𝑧

𝑅)−2 (16)

Pour z≪ R = 6400 km ; On faisant un développement limité du premier ordre de

(z /R) on trouve :

𝑔(𝑧) = 𝑔0(1 − 2𝑧

𝑅) (17)

L’incertitude relative de g trouvé est donné par la formule suivante :

∆𝑔

𝑔=

2𝑧

𝑅 (18)

b) Interaction coulombienne

L’interaction coulombienne est analogue à l’interaction gravitationnelle

pour des charges électriques ponctuelles. La force exercée d’une charge Q placée

en C sur une charge q placée en S est donnée par :

𝐹 𝑄⟶𝑞 =1

4𝜋𝜖0 𝑄𝑞

𝑆𝐶3 𝑆𝐶 (19)

Où k est une constante k=1

4𝜋𝜖0 =9.109 u.s ;i Où 𝜖0 est la constante

diélectrique dans le vide (𝜖0 = 8.86 10−12𝑢. 𝑠. 𝑖

On définit un champ créé par la charge Q analogue au champ du pesanteur 𝑔 créé

par la terre qui est le champ électrique �� donné par la relation suivante :

�� =1

4𝜋𝜖0

𝑄

𝑆𝐶3 𝑆𝐶 (20)

Toute charge q placée dans ce ce champ subit une force 𝐹 𝑄⟶𝑞 égale à :

𝐹 𝑄⟶𝑞 = 𝑞�� (21)


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c) Interaction électromagnétique

La force que subit une charge q placé dans des champs �� et �� est appelée force de

Lorenz et s’écrit :

𝐹 = 𝑞( �� + 𝑣 ∧ �� ) (22)

5.2) Forces de contact

a) Réaction du support

Un objet posé sur un support horizontal subit une force en provenance du support

qui l’empêche de s’enfoncer à l’intérieur du support. Cette force appelée réaction

du support présentée au centre d’inertie du corps est la résultante de la réaction du

support sur tous les points de surface inférieure du corps.

Si 𝑝 est la force du poids du corps et 𝑅𝑛 est la réaction du support (n indique

normale) à l’équilibre on a :

𝑝 + 𝑅𝑛 = 0 ⟹ 𝑝 = −𝑅𝑛

(23)

b) Force de frottement

La force de frottement est la force qui apparait pour empêche le déplacement d’un

corps. Cette force dépend de la nature physico-chimique de la surface du contact de

Figure 7 : Réaction du support


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l’objet et du milieu avec lequel l’objet est en contact. On distingue deux types de forces

de frottement.

Frottement visqueux

Lorsqu’un solide se déplace dans un milieu fluide (gaz comme l’air ou fluide

comme l’eau), il subit des forces de frottement de la part d fluide. La résultante de

ces forces donne une force de frottement proportionnelle à la vitesse du fluide donné

par la relation suivante :

𝐹 = −𝑘𝑣 (24)

Où k est une constante.

Frottement solide

Le frottement solide (𝐹 ) apparait lorsque deux solides sont en contact et on

applique une force extérieure 𝐹𝑒 sur le solide à déplacer. Si cette force reste

inférieure à la force de frottement, le solide à déplacer reste immobile (𝐹 = 𝐹𝑒 ),

par contre si cette force est supérieure à la force de frottement (𝐹 > 𝐹𝑒 ) le solide

va se déplacer. La force de frottement est proportionnelle à la force extérieure

lorsque le solide est immobile, elle augmente graduellement avec cette force jusqu’à

atteindre un maximum 𝐹𝑚𝑎𝑥 , si on augmente 𝐹𝑒 le solide va se déplacer avec une

force de frottement 𝐹𝑚𝑎𝑥 .

La force de frottement fait partie de la force de réaction qu’exerce le support sur le

solide à déplacer, donc la réaction 𝑅 du solide s’écrit :

�� = 𝑅𝑛 + 𝐹 (25)

Avec 𝑅𝑛 la réaction normale du support sur le solide à déplacer (figure 8)

L’intensité F de la force de frottement est proportionnelle à Rn. Cette relation

est donnée par l’expression suivante :

𝐹

𝑅𝑛= 𝜇 = tan (𝜑) (26)


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Avec 𝜇 c’est le coefficient de friction ou coefficient de frottement. Lorsque le

solide est immobile on l’appelle coefficient de frottement statique et dans le cas

contraire on l’appelle coefficient de frottement dynamique.

À l’équilibre on a aussi :

F = Fe (27)

Avec �� est le poids du slide.

Donc l’expression (26) devient :

𝐹

𝑅𝑛= tan(𝜑) =

𝐹𝑒

𝑃 (28)

Lorsque le solide commence à se déplacer on a :

𝐹

𝑅𝑛=

𝐹𝑚𝑎𝑥

𝑅𝑛= 𝜇 = tan(𝜙) <

𝐹𝑒

𝑃 (29)

Avec 𝜙 est l’angle de frottement qui correspond à 𝐹𝑚𝑎𝑥 (𝜑 < 𝜙) .

Figure 8 : Solide en équilibre sur un support sous l’action d’une

force extérieure et d’une force de frottement.


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La (figure 9) récapitule l’évolution de la force de frottement en fonction de la force

extérieure Fe

c) Force de tension

Si on place une masse sur l’extrémité d’un fil, celui-ci réagit par le principe des

actions réciproques par une force résistante qui s’oppose au poids de la masse. Cette

force est appelée la tension du fil ( figure 10).

Si on place cette masse à l’extrémité d’un fil élastique ou d’un ressort celui-ci va

s’allonger et la force qui va donner cette allongement (tension du ressort) est donnée

par la relation suivante :

𝐹 = −𝑘(𝑙 − 𝑙0)�� (30)

Avec �� vecteur unitaire dans la direction de la déformation et k est la raideur ou la

constante d’élasticité du ressort ou du fil élastique.

Figure 9 : Évolution de la force de frottement en fonction de la force F

agissant sur le système.


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Figure 10 : Tension d’un fil et d’un ressort

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Chapitre VI : Dynamique du point matériel 1)