Upload
vlora
View
34
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Chapter 02 Wavelets - Lineær algebra. Vektorer i 2-dim R 2 Vektor-addisjon. Vektor-addisjon vha parallell-konstruksjon. 2.akse y-akse. v. v 1. v. v 2. v 2. 1.akse x-akse. v 1. Vektorer i 2-dim R 2. Vektoren v har komponenter x 1 og x 2 og vi skriver v = [x 1 ,x 2 ]. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
11
Chapter 02Chapter 02Wavelets - Lineær algebraWavelets - Lineær algebraChapter 02Chapter 02Wavelets - Lineær algebraWavelets - Lineær algebra
22
Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22
Vektor-addisjonVektor-addisjonVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22
Vektor-addisjonVektor-addisjon
Vektor-addisjon vha parallell-konstruksjon
21 vvv
1.aksex-akse
2.aksey-akse
vv1
v2
v
v1
v2
33
Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22
Vektoren v har komponenter x1 og x2
og vi skriver v = [x1,x2]
21, xxv
1.aksex-akse
2.aksey-akse
x1
x2v
44
Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22
Vi innfører enhetsvektorer e1 og e2 langs x- og y-aksen henholdsvis.Enhetsvektorene har lengde 1.Disse lineært uavhengige enhetsvektorene sies å danne en basis for xy-planet siden enhver vektor i dette planet kan skrives som en lineær-kombinasjon av disse enhetsvektorene.
1.aksex-akse
2.aksey-akse
x1
x2
2
1221121,
iiiexexexxxv
e2
e1
v
55
Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Egenskaper - EksEgenskaper - EksVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Egenskaper - EksEgenskaper - Eks
5
1e2
e1
v
21 151,5 eev
2
4
e2
e1
v
21 424,2 eev
66
Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Ulike basiserUlike basiserVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Ulike basiserUlike basiser
3
2
e2
e1
v
21 232,3 eev
k2 = 4e1 + 6e2
k1 = 2e1 + e2
v
21
2121
21
8
1
4
5
4
1
2
12
8
1
4
33
232,3
kk
kkkk
eev
21 8
1
4
5kkv
21 23 eev
77
Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Biortogonale basiserBiortogonale basiserVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Biortogonale basiserBiortogonale basiser
k2 = 4e1 +6e2
k1 = 2e1 + e2
v
21 8
1
4
5kkv
21
2
1 pånormalt står ,
,vv
abv
bav
k2 = -1/8(e1 - 2e2)
k1 = 1/8(6e1 -4e2)
21
~24
~8 kkv
21 23 eev
88
Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Lengden av en vektorLengden av en vektorVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 Lengden av en vektorLengden av en vektor
Vi kan benytte Pythagoras’ læresetning til å finne lengden av en vektor
1.aksex-akse
2.aksey-akse
x1
x2
2
1221121,
iiiexexexxxv
e2
e1
v
22
21 xxvv
99
Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 SkalarproduktSkalarproduktVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 SkalarproduktSkalarprodukt
Skalarproduktet av to vektorer v1 og v2 er definert somlengden av v1 multiplisert med lengden av v2
multiplisert med cosinus til vinkelen mellom v1 og v2.
1.aksex-akse
2.aksey-akse
v1
cos212121 vvvvvv
v2
1010
Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 SkalarproduktSkalarproduktVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 SkalarproduktSkalarprodukt
For vektoren v og enhetsvektorene e1 og e2 får vi spesielt:
1.aksex-akse
2.aksey-akse
v1
cos212121 vvvvvv
v2e2
e1
021 ee
121 ee
vvvv
ji
jiee jiji 0
1,
eller:
1221 vvvv
1111
Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 SkalarproduktSkalarproduktVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 SkalarproduktSkalarprodukt
1.aksex-akse
2.aksey-akse
v1
2211
22112211
21212121
212121
2121212121
sinsincoscos
sinsincoscos
sinsincoscos
)cos(cos
yxyx
uvuvuvuv
uuvvuuvv
uuuuvv
uuvvvvvvvv
v2
e2
e1
u2u1
2211
22121211
2222121212121111
2222112211221111
22112211
1001
yxyx
yxyxyxyx
eeyxeeyxeeyxeeyx
eyexeyexeyexeyex
eyeyexex
2
12211
212121
cos
iii yxyxyx
vvvvvv
22112
22111
eyeyv
exexv
1212
Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 SkalarproduktSkalarproduktVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22 SkalarproduktSkalarprodukt
For enhetsvektorene e1 og e2 får vi spesielt:
1.aksex-akse
2.aksey-akse
v
e2
e1
2
12211
iiiexexexv
ji
jii
iiji
iiij
iiijj
xx
eexexeexeve
2
1,
2
1
2
1
2
1
jjj evvex
1313
Vektorer i 3-dim RVektorer i 3-dim R33Vektorer i 3-dim RVektorer i 3-dim R33
Vi innfører enhetsvektorer e1, e2 og e3 langs x-, y- og z-aksen henholdsvis.Enhetsvektorene har lengde 1.Disse lin. uavh. enhetsvektorene sies å danne en basis for det 3-dimensjonale rommet siden enhver vektor i dette rommet kan skrives som en lineær-kombinasjon av disse enhetsvektorene.
2.aksey-akse
3.aksez-akse
x2
x3
3
1332211321 ,,
iiiexexexexxxxv
e3
e2
v
1.aksex-akse
x1
e1
ji
jiee jiji 0
1,
jjj evvex
23
22
21 xxxvvvv
1414
Vektorer i n-dim RVektorer i n-dim RnnVektorer i n-dim RVektorer i n-dim Rnn
Vi innfører enhetsvektorer e1, e2, …,en i det n-dimensjonale rommetEnhetsvektorene har lengde 1.Disse lin. uavh. vektorene sies å danne en basis for det n-dimensjonale rommet siden enhver vektor i dette rommet kan skrives som en lineær-kombinasjon av disse vektorene.
n
iiinnn exexexexexxxxxv
1332211321 ...,...,,,
ji
jiee jiji 0
1,
jjj evvex
222
21 ... nxxxvvvv
i
n
iii
n
ii eevevev
11
1515
Ortogonal - OrtonormalOrtogonal - OrtonormalOrtogonal - OrtonormalOrtogonal - Ortonormal
Vektorene u og v sies å være ortogonale (skrives u v) hvis <u|v> = 0.
0 , vuvu
v2
En vektor v sies å være ortogonal til en mengde M E(skrives v M) hvis v m for alle m M.
Vektorer {v1,v2,…} kalles et ortogonalt systemhvis vi vj for i j.Hvis i tillegg ||vi|| = 1 for alle i,kalles systemet ortonormalt.
MmmuMu
v3
jivv ji
iv
jivv
i
1 ||||
ji
v1
1616
Vektorer i n-dim RVektorer i n-dim Rnn
Biortogonale basis-settBiortogonale basis-settVektorer i n-dim RVektorer i n-dim Rnn
Biortogonale basis-settBiortogonale basis-sett
Vi innfører to sett med basisvektorer k1, k2, …,kn og k1, k2, …,kn Disse to basissettene sies å danne et biortogonalt sett hvis basisvektoreneoppfyller betingelsen * vist nedenfor.
n
iiikxv
1
ji
jikk jiji 0
1~,
vkx jj
~ i
n
iii
n
ii kvkkvkv
~~
11
ji
jii
iiji
iiij
iiijj
xx
kkxkxkkxkvk
2
1,
2
1
2
1
2
1
~~~~
k2
k1
v
k2
k1
*
1717
Komplekse vektorer i planet CKomplekse vektorer i planet CKomplekse vektorer i planet CKomplekse vektorer i planet C
La v være en vektor i det komplekse planet med komponenter x og iy.Pga at i2 = -1, får vi lengden av denne vektoren ved å skalarmultipliserev med den kompleks konjugerte av v.
k
x
viy
2222 )()( yxiyxiyxiyxvvvvvv
12 i
2222 )()( yxiyxiyxiyxvvvvvv
1818
Komplekse vektorer i CKomplekse vektorer i Cnn
Bra-Ket notasjonBra-Ket notasjonKomplekse vektorer i CKomplekse vektorer i Cnn
Bra-Ket notasjonBra-Ket notasjon
La v være en vektor i det komplekse planet med komponenter x og iy.Pga at i2 = -1, får vi lengden av denne vektoren ved å skalarmultipliserev med den kompleks konjugerte av v.
k
x
vjiy
n
iiivvvvvvvv
1
12 i
nkiyxv
v
v
v
vv kkk
n
,...,2,1 hvor ...
2
1
nT vvvvv ,...,, 21 122121 vvvvvv T
v
v
1919
Komplekse vektorer i CKomplekse vektorer i CnnKomplekse vektorer i CKomplekse vektorer i Cnn
n
iii
n
iii
n
iii kkvkvkkxv
111
n
iii
n
iii
n
iii kvkkkvkxv
111
2020
Analyse - SynteseAnalyse - SynteseAnalyse - SynteseAnalyse - Syntese
AnalyseAnalyse
SynteseSyntese
n
iii
n
iii kkvkxv
11
ikv
n
iii
n
iii kkvkxv
11
ikv
v
ik
ik
2121
Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22
Biortogonale basis-settBiortogonale basis-settVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22
Biortogonale basis-settBiortogonale basis-sett
n
iii
n
iii kvkkxv
11
~
ji
jikk jiji 0
1~,
k2
k1
v
k1
k2
n
iii
n
iii kvkkvkv
11
~~
xKx
x
kk
kk
xkxk
xkxk
xk
xk
xk
xk
k
kx
k
kx
kxkxkxv
vv
n
iii
2
1
2212
2111
222112
221111
222
221
112
111
22
212
12
111
221112
1
vKv
v
kk
kk
vkvk
vkvk
vk
vk
x
xx T
~~~
~~
~~
~~
~
~
2
1
2221
1211
222121
212111
2
1
2
1
1~~~ KKIKKvKKxKv TTT KK
~
basis ortonormal
1
T
i
KK
k
1~ KK T
Basisvektorene ker kolonner i K
TKK 1~
2222
Vektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22
Biortogonale basis-settBiortogonale basis-settVektorer i 2-dim RVektorer i 2-dim R22
Biortogonale basis-settBiortogonale basis-sett
KK~
basis ortonormal
1
T
i
KK
k
1~ KK TBasisvektorene k er kolonner i K
k2 = 4e1 +6e2
k1 = 2e1 + e2
v
k2 = -1/8(e1 - 2e2)
k1 = 1/8(6e1 -4e2)
21 23 eev
21 8
1
4
5kkv
21
~24
~8 kkv
61
42K
4
1
2
18
1
4
3~ 1 T
KK
2323
Analyse - SynteseAnalyse - SynteseBiortogonale basis-settBiortogonale basis-settAnalyse - SynteseAnalyse - SynteseBiortogonale basis-settBiortogonale basis-sett
AnalyseAnalyse
SynteseSyntese
ikv ~
v
ik~
n
iii
n
iii kkvkkvv
11
~~
ik
ikv
n
iii kkvv
1
~
n
iii kkvv
1
~
2424
Rom-hierarkiRom-hierarkiRom-hierarkiRom-hierarki
Vektor-rom
Indre produkt-rom
Hilbert-rom
Banach-rom
Komplekse n-rom l2-rom
Normert lineært rom Normert vektor-rom over C
Vektor-rom medindre produkt,norm og distanse Komplett normert lineært rom
Komplett indre produkt-rom
L2([-, ]) L2(R)
L(H1,H2)
L2([a,b])
2525
Vektor-romVektor-romDefDefVektor-romVektor-romDefDef
Med et vektor-rom V mener vi en mengde av vektorer x = (x1,x2,…,xn) eller x = (x1,x2,...) med addisjon og skalarmultiplikasjon (og lukket under disse operasjonene)slik at:
xx
xx
xxx
yxyx
xxVxVx
VxxxV
zyxzyx
xyyx
1
)()(
)(
)(
0)(at slik
0at slik 0
)()(
VV x C sjon multiplikaSkalar
VV x V Addisjon
x
yx
,...}v,{v V 21
2626
Vektor-romVektor-romLineær uavhengighetLineær uavhengighetVektor-romVektor-romLineær uavhengighetLineær uavhengighet
La V være et vektor-rom.La S V.Spannet til S, sp S er sub-rommet til V bestående av alle lineærkombinasjoner av vektorer i S.
Vektorene v1, v2,…,vn kalles lineært uavhengige hvisen lineærkombinasjon av disse lik 0,medfører at hver koeffisient er lik 0,ellers lineært avhengige(gjelder også for uendelig mange vektorer).
En delmengde {v1, v2,…,vn} av vektorer i V kalles for en basis for V hvis V = sp {v1, v2,…,vn} og v1, v2,…,vn er lineært uavhengige.n kalles for dimensjonen til V.
n
iiis
1
i
v
i
n
iii
0
01
Vn
vvn
iii
dim
1
,...}v,{v V 21
2727
Indre produkt-romIndre produkt-romDefDefIndre produkt-romIndre produkt-romDefDef
Et indre produkt-rom E er et vektor-romsammen med en kompleks funksjon < | > (samt norm og distanse) definert ved:
}..{V,E
|||| Distanse
|||| Norm
yx produkt Indre2/1
yx
xxxxx
0 0 0
xxxxx
xyyx
yxyx
zyzxzyx
}..{V,E
2828
Indre produkt-rom RIndre produkt-rom R22Indre produkt-rom RIndre produkt-rom R22
2
1221121,
iiiexexexxxv
22
21 xxvvvvv
2.aksey-akse
v
e2
e1
221122112211 )()( yxyxeyeyexexyxyx
222
211 )()( vuvuvuvuvuvu
Indre produkt
Norm
Distanse
2929
Indre produkt-rom RIndre produkt-rom RnnIndre produkt-rom RIndre produkt-rom Rnn
n
iiinnn exexexexexxxxxv
1332211321 ...,...,,,
222
21 ... nxxxvvvvv
nn yxyxyxyxyx ...2211
2222
211 )...()()( nn vuvuvu
vuvuvuvu
Indre produkt
Norm
Distanse
3030
Indre produkt-romIndre produkt-romEksemplerEksemplerIndre produkt-romIndre produkt-romEksemplerEksempler
nxxxxv ,...,,, 321
n
iii yxyxyx
1
Vektorer i Rn
Kontinuerlige funksjonerpå intervallet [a,b]
Vektorer i C2
b
a
dxxgxfgf )()(
Polynomermed ai C
n
i
iin xaxp
1
)(
n
i
iibaqp1
21,vvv 21,www
2211 wvwvwvwv
3131
Indre produkt-romIndre produkt-romSchwarz ulikhet - Triangel ulikhet - ParallellogramSchwarz ulikhet - Triangel ulikhet - ParallellogramIndre produkt-romIndre produkt-romSchwarz ulikhet - Triangel ulikhet - ParallellogramSchwarz ulikhet - Triangel ulikhet - Parallellogram
|||||| ||||
yx
xx
zxzyx
gramParallello )||||||(||2 ||||||||
ulikhet Triangel |||||||| ||||
ulikhet Schwarz ||||||||
2222 yxyxyx
yxyx
yxyx
}..{V,E
3232
Indre produkt-romIndre produkt-romSchwarz ulikhet - BevisSchwarz ulikhet - BevisIndre produkt-romIndre produkt-romSchwarz ulikhet - BevisSchwarz ulikhet - Bevis
Schwarz ulikhet:
}..{V,E
|||||||| ||||||||
||x||-0 ||||
Sett : 0
oppfylten Ulikhet 0
||||||)Re(2||||
0
:gjelder C alleFor
242
2
222
yxyxxy
yx
xy
xyx
yx
yxyx
xyxyyxxx
yxyx
3333
Indre produkt-romIndre produkt-romTriangel ulikhet / Parallellogram - BevisTriangel ulikhet / Parallellogram - BevisIndre produkt-romIndre produkt-romTriangel ulikhet / Parallellogram - BevisTriangel ulikhet / Parallellogram - Bevis
222
222
||)||||(||||||||||||||2||||
||||)Re(2|||| , ||yx||
:ulikhet Schwarz-Cauchy Fra
yxyyxx
yyxxyxyxyxyx
Triangel ulikhet:
Parallellogram:
)|||||||| 2(
||||)Re(2|||| ||||)Re(2||||
||yx||||yx||
22
2222
22
yx
yyxxyyxx
yxyxyxyx
}..{V,E
3434
Indre produkt-romIndre produkt-romOrtogonal - OrtonormalOrtogonal - OrtonormalIndre produkt-romIndre produkt-romOrtogonal - OrtonormalOrtogonal - Ortonormal
Vektorene u og v sies å være ortogonale (skrives u v) hvis <u|v> = 0.
0 vuvu
v2
En vektor v sies å være ortogonal til en mengde M E(skrives v M) hvis v m for alle m M.
Vektorer {v1,v2,…} kalles et ortogonalt systemhvis vi vj for i j.Hvis i tillegg ||vi|| = 1 for alle i,kalles systemet ortonormalt.
MmmuMu
v3
jivv ji
iv
jivv
i
1 ||||
ji
v1
}..{V,E
3535
Indre produkt-romIndre produkt-romOrtonormal / Lineært uavhengigOrtonormal / Lineært uavhengigIndre produkt-romIndre produkt-romOrtonormal / Lineært uavhengigOrtonormal / Lineært uavhengig
Et ortonormalt system {i} er lineært uavhengig.
k
n
jjkj
n
jkjj
n
jkjj
k
n
jjjk
n
jjj
aaaa
a
a
111
1
1
0 0
0
23
Bevis:
Ethvert endelig-dimensjonalt indre produkt-rom har en ortonormal basis.
1
}..{V,E
3636
Indre produkt-romIndre produkt-romPythagorasPythagorasIndre produkt-romIndre produkt-romPythagorasPythagoras
Det Pythagoreiske teorem:
222 |||||||| |||| vuvuvu v
u
Bevis:
22
22
2
||||||||
00
||||
vu
||v||||u||
vvvuuvuu
vuvuvu
vu
u+v
}..{V,E
3737
Indre produkt-romIndre produkt-romDistanseDistanseIndre produkt-romIndre produkt-romDistanseDistanse
Distansen d(v,S) fra et punkt v E til en mengde S Eer definert ved: } | ||inf{||),( SssvSvd
SE
v
s
v
s
v-s
S
inf = Største nedre grense (Greatest lower bound)sup = Minste øvre grense (Least upper bound)
}..{V,E
3838
Indre produkt-romIndre produkt-romDistanse fra en vektor til et underromDistanse fra en vektor til et underromIndre produkt-romIndre produkt-romDistanse fra en vektor til et underromDistanse fra en vektor til et underrom
La M være et endelig-dimensjonalt underrom av Eog la {1, 2,…, n} være en ortonormal basis for M.For hver vektor v E vil vektoren w = <v|j> j
være den entydige vektoren i Mmed egenskapen ||v-w|| = d(v,M)
),( |||| MvdwvMwv
M
vv-w
w
}..{V,E
3939Mwv
vvvv
vvwvzwv
wvzwvzMz
vw
vwvvwv
wMwv
wvzwwvzwwvzvwzMz
wvMvdMw
n
kkk
n
kkkkj
n
k
n
jjk
n
kkk
n
kk
n
jjjk
n
kkk
n
kkk
n
kkk
n
kkk
k
n
kk
j
n
jj
j
n
jjkkk
n
jjjkk
n
jjj
0,,,,,
,,,,, ,
, ,
,
, ,,,,0
Mfor basis ortonormalen være ,..., la at slik wfinne åFor
|||| |||||||| |||| ||||
||||),(at slik La
111 11
1 1111
1
1
1
11
1n1
22222
Indre produkt-romIndre produkt-romDistanse fra en vektor til et underrom - BevisDistanse fra en vektor til et underrom - BevisIndre produkt-romIndre produkt-romDistanse fra en vektor til et underrom - BevisDistanse fra en vektor til et underrom - Bevis
}..{V,E
4040
La M være et underrom av E.Anta at v E og w M.Da vil v-w M hvis og bare hvis ||v-w|| = d(v,M).
M
vv-w
w
),( |||| MvdwvMwv Bevis:
0 , har vi ig,er vilkårlr Siden
|||||,| |,|2
,
|||||| ,Re2
||||||,Re2||||,||)(|| ||||
, underrom M Mz |||| |||| ),( ||||
|||| ),(
2222
22
222
wvz
zwvzrwvzr
Rrwvzr
zwvz
zwvzwvzwvzwvzwvwv
CMzMzwzvwvMvdwv
wvMvdMwv
Indre produkt-romIndre produkt-romNormalitet til et underromNormalitet til et underromIndre produkt-romIndre produkt-romNormalitet til et underromNormalitet til et underrom
}..{V,E
4141
Normert lineært romNormert lineært romDefDefNormert lineært romNormert lineært romDefDef
Et normert lineært rom X er et vektor-romsammen med en reell funksjon |||| definert ved:
}||||{V,X
ulikhet Triangel |||||||| ||||
|||||| ||||
0 0 |||| 0 ||||
yxyx
Cxx
xxx
4242
Banach romDefBanach romDef
Et normert lineært rom X kalles kompletthvis enhver Cauchy-sekvens i X konvergerer.
c}||||{V,B cX
0 ||||lim hvis sekvens-Cauchyen kalles
X romlineært normert et i }{ sekvensEn
,
mnmn
n
xx
x
Et Banach rom B er et komplett normert lineært rom.
4343
Hilbert romHilbert romDefDefHilbert romHilbert romDefDef
|||| Distanse
,|||| Norm
produkt Indre
yx
xxx
yx
Et Hilbert rom H over de komplekse tall C er definert ved:
1. H er et vektor-rom.Vektorer i H kan adderes og multipliseres med (komplekse) skalarer.
2. H har et indre produkt.
3. H er et komplett metrisk rom med hensyn til distanse definert ved dens norm.
0||||lim
0||||lim
xxx
xx
nn
mn
m
n
x
yx
sjon multiplikaSkalar
Addisjon
4444
)||...|||(| |||| Norm
... produkt Indre
),...,,x( sjon multiplikaSkalar
),,yx( Addisjon
),...,,y(
),...,,(xx
222
21
2211
21
2211
21
21
n
nn
n
nn
n
n
xxxxxx
yxyxyxyx
xxx
yxyxyx
yyy
xx
Hilbert rommet Cn (n-tupler av komplekse tall).
Hilbert romHilbert romCCnn
Hilbert romHilbert romCCnn
4545
Hilbert-romHilbert-romLL22([a,b])([a,b])Hilbert-romHilbert-romLL22([a,b])([a,b])
Hilbert-rommet L2([a,b]) er mengden av alle kvadratisk integrerbarefunksjoner på intervallet [a,b].
b
a
dttfCbafbaL22 )(],[:]),([
4646
Hilbert-rom Hilbert-rom LL22([a,b]) - Indre produkt([a,b]) - Indre produktHilbert-rom Hilbert-rom LL22([a,b]) - Indre produkt([a,b]) - Indre produkt
L2 indre produkt på L2([a,b]) er definert ved:
]),([, )()( 22 baLgfdttgtfgf
b
aL
4747
Hilbert-romHilbert-romLL22([a,b]) - Indre produkt - Motivasjon([a,b]) - Indre produkt - MotivasjonHilbert-romHilbert-romLL22([a,b]) - Indre produkt - Motivasjon([a,b]) - Indre produkt - Motivasjon
Diskretisering av f på intervallet [a,b] = [0,1]:
NNN Rtftftff ))(),...,(),(( 21
Nt
N
jg
N
jf
NN
jg
N
jfgf
N
N
jg
N
jftgtfgf
N
j
N
jRNN
N
j
N
jjjRNN
N
N
1t
11
)()(
11
11
1
01
)()(lim1
lim2 dttgtftN
jg
N
jfgf
Ngf
N
jNRNN
NL N
f
0 1
4848
2/12
0
2
0
2
0
2
)()(2
1 ,|||| Norm
)()(2
1 produkt Indre
f(t) ))((sjon multiplikaSkalar
g(t)f(t) g)(t)f( Addisjon
|)(| :funksjoner målbare Lebesgue Komplekse
dttgtffff
dttgtfgf
tf
dttf
Hilbert rommet L2[0,2]
Hilbert romHilbert romLL22[0,2[0,2]]Hilbert romHilbert romLL22[0,2[0,2]]
4949
2/1
2
)()( ,|||| Norm
)()( produkt Indre
f(t) ))((sjon multiplikaSkalar
g(t)f(t) g)(t)f( Addisjon
|)(| :funksjoner målbare Lebesgue Komplekse
dttgtffff
dttgtfgf
tf
dttf
Hilbert rommet L2[-,+ ] = L2[R]
Hilbert romHilbert rom LL22[R][R]
Hilbert romHilbert rom LL22[R][R]
5050
2/1
)()( ,|||| Norm
)()( produkt Indre
f(t) ))((sjon multiplikaSkalar
g(t)f(t) g)(t)f( Addisjon
|)(| :funksjoner målbare Lebesgue Komplekse
dttgtffff
dttgtfgf
tf
dttf p
Hilbert rommet Lp[-,+ ] = Lp[R]
Hilbert romHilbert rom LLpp[R][R]
Hilbert romHilbert rom LLpp[R][R]
5151
Hilbert rommet l2(A) hvor A er en vilkårlig mengde (endelig, uendelig tellbar elleruendelig ikke-tellbar).
2/1
2
)()( ,|||| Norm
)()( produkt Indre
f(t) ))((sjon multiplikaSkalar
g(t)f(t) g)(t)f( Addisjon
funksjoner dvs
|c| : tallkomplekse avsekvenser summerbare Kvadratisk
dttgtffff
dttgtfgf
tf
c
Hilbert romHilbert rom ll22(A)(A)
Hilbert romHilbert rom ll22(A)(A)
5252
Hilbert romHilbert romKomplekse n-romKomplekse n-romHilbert romHilbert romKomplekse n-romKomplekse n-rom
Det komplekse n-rom Cn består av mengden av alle n-tupler x = (x1,x2,…,xn) av komplekse tallmed addisjon, skalarmultiplikasjon, indre produkt og normdefinert ved:
RCCxxxyxx
RCCyxyxyxyyx
CCCxxx
CCCyxyxyx
yyy
xx
n
n
i
nn
n
ii
n
nn
n
n
x )||...|||(||x| |||| Norm
x ... x produkt Indre
x ),...,,x( sjon multiplikaSkalar
x ),...,,yx( Addisjon
),...,,y(
),...,,(xx
nn222
21
1
2i
nn2211
1i
nn21
nnn2211
21
21
5353
Hilbert romHilbert romKonvekst romKonvekst rom - - DefDef
Hilbert romHilbert romKonvekst romKonvekst rom - - DefDef
En mengde C H kalles konveks hvis mengden
{tx+(1-t)y | 0 <= t <= 1}
er inneholdt i C for alle x,y C.
Ctyttx
Cyx
}10|)1({
,
xy
x
y
Konveks Ikke konveks
5454
1. Ethvert underrom av et Hilbert rom H er konveks.
2. Hvis x og y er vektorer i 2- eller 3-dim rommet C, så vil C være konveks hvis hele linjesegmentetsom forbinder x og y er inneholdt i C.
3. r-ball Sr(x0) = { x | ||x-x0|| <=r} er konveks.
4. Megden av alle funksjoner i L2([a,b])som er positive nesten overalt på [a,b] er konveks.
rxytxxtxyttx
txSyx r
||||)1(|||| ||)1(||
]1,0[)(,
000
0
3 :
Hilbert romHilbert romKonvekst romKonvekst rom - - EksEks
Hilbert romHilbert romKonvekst romKonvekst rom - - EksEks
5555
La S være et underrom av et Hilbert rom H.Lukningen (closure) av S er mengden av alle vektorer i Hsom er grensen av sekvenser av vektorer i S.
Hvis lukningen av S er lik S, kalles S en lukket (closed) mengde.
lukketer
} }{ | {
SSS
xxHxHxS
HS
nn
Hilbert romHilbert romLukket romLukket rom - - DefDef
Hilbert romHilbert romLukket romLukket rom - - DefDef
5656
1. Enhver r-ball i H er en lukket mengde.
2. Ethvert endeligdimensjonalt underrom av et Hilbert rom H,
er lukket.
Hilbert romHilbert romLukket romLukket rom - - EksEks
Hilbert romHilbert romLukket romLukket rom - - EksEks
5757
Hilbert romHilbert romOrtogonalt komplementOrtogonalt komplementHilbert romHilbert romOrtogonalt komplementOrtogonalt komplement
La S H.Det ortogonale komplement S til S er mengden
{xH | x S}
} | { SxHxS
5858
Hilbert romHilbert romTeoremTeoremHilbert romHilbert romTeoremTeorem
La M være et lukket underrom til et Hilbert rom H.La y H.Det eksisterer da en entydig w M og en entydig v M
slik at y = w+v
vwyMvMw
Hy
at slik ,
H tilunderromlukkket M H
M
M
y
w
v
y = w + v
Hvis M er et lukket underrom til et Hilbert rom H,så har vi (M) = M.
5959
Hilbert romHilbert romTeorem - BevisTeorem - BevisHilbert romHilbert romTeorem - BevisTeorem - Bevis
Bevis:
. vderfor v og w whar vi w,av entydighet Pga
.M vM w v wy at Anta
.M w-y at vslik M wentydigen eksistererDet
11
1
1111
Mwy
Mwy
MMwyv
)0()(
v wy at slik M vog )(M y at Anta
.)(M Mopplagt har Vi
1
6060
Hilbert romHilbert romKonvergensKonvergensHilbert romHilbert romKonvergensKonvergens
n
kk
nk
k
k
xxxx
Hxx
11
lim
,Def:
Eks:
0||||||
:Bevis
,...),(
for basis standard }{
1
2
1
1221
2
nnk
k
n
kkk
kkk
k
ex
exlx
le
6161
Hilbert romHilbert romTeoremTeoremHilbert romHilbert romTeoremTeorem
yxyx
yyxx
nn
nn
, ,
Bevis:
0 ||||||||||||||||
|,||,| |,|
:ulikhet sSchwarz' Fra
|||||||| ||||||||
yxxyyx
yxxyyxyx
xxyyxx
nnn
nnnnn
nnn
Det indre produkt er kontinuerlig på H x H,dvs hvis xn -> x og yn -> y i H så har vi<xn,yn> -> <x,y>
6262
Hilbert romHilbert romTeoremTeoremHilbert romHilbert romTeoremTeorem
kkk
kk
kk
kk
kk
kk
yy
l
x
xx
,
}{ r konvergere
rkonvergere ,
ulikhet sBessel' |||| |,|
H i systemt ortonormal ,...},{
2
2
21
6363
Hilbert romHilbert romOrtonormal basisOrtonormal basisHilbert romHilbert romOrtonormal basisOrtonormal basis
Et ortonormalt system {1, 2,…} kalles en ortonormal basis for H hvis for hver v H
v = kkk for noen 1, 2,… i C
Hver k = <y, k> kalles en Fourier-koeffisient til y
6464
Hilbert romHilbert romTeoremTeoremHilbert romHilbert romTeoremTeorem
kkk
kk
kk
k
yxyxHyx
xxHx
spsp
xkx
,, , ,
ligning sParseval' |,| ||||
}{ i vektorer av sekvensen av grenseen er H ir hver vekto dvs H, ier tett }{
0 ,...2,1 0 ,
Hfor basis ortonormalen er ,...},{
:eekvivalenter statement Følgende
H i systemt ortonormal ,...},{
22
21
21
6565
Hilbert romHilbert romLineær-operatorer - DefLineær-operatorer - DefHilbert romHilbert romLineær-operatorer - DefLineær-operatorer - Def
En funksjon A : H1 H2 kalles en lineær operator hvis for alle x,y H1, C :
A(x+y) = A(x) + A(y)A(x) = A(x)
)( )(
)()( )(
xAxA
yAxAyxA
A(x) skrives ofte Ax = 0 A(0)=0
6666
Til enhver n x n matrise av komplekse tallkan vi tilordne en lineær-operator A = (aij) : Cn Cn gitt ved:
n
jjiji
nn
a
A
1
11 ),...,( ),...,(
Hilbert romHilbert romLineær-operatorer - EksLineær-operatorer - EksHilbert romHilbert romLineær-operatorer - EksLineær-operatorer - Eks
6767
||||sup Ax
En lineær operator A : H1 H2 kalles begrensethvis:
||||sup||||1||||AxA
x
Normen til A, skrevet ||A||, er definert ved:
A er begrenset hvis og bare hvis den tar 1-ball S1 med senter 0 i H1 inn i en r-ball i H2.Den minste ballen i H2 som inneholder AS1 har radius ||A||.
Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - DefLineær-operatorer - Def
Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - DefLineær-operatorer - Def
6868
||x|| ||||sup Ix
xIx
Identitetsoperatoren I : H1 H1 gitt ved Ix = xer en begrenset lineær-operator med norm 1.
1||||sup||||sup||||1||||1||||
xIxIxx
Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - Eks - IdentitetsoperatorenLineær-operatorer - Eks - Identitetsoperatoren
Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - Eks - IdentitetsoperatorenLineær-operatorer - Eks - Identitetsoperatoren
6969
n
jiij
n
jijij axaAx
1,
22
1,
222 |||||| |||| ||||
Matrise-operatoren A = (aij) : Cn Cn er en begrenset lineær-operator
2/1
1,
2
1||||||||||sup||||
n
jiij
xaAxA
n
jjiji
nn
a
A
1
11 ),...,( ),...,(
Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - Eks - MatriseoperatorLineær-operatorer - Eks - Matriseoperator
Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - Eks - MatriseoperatorLineær-operatorer - Eks - Matriseoperator
7070
||||
||||sup ||||sup ||||sup ||||
01||||1|||| x
AxAxAxA
xxx
yAxyAxAyxyx
,sup ,sup ||||1||||||||1|||||,||||
CA
HxC||x||A
|||| ogbegrenset er A
|||| 1
Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - TeoremerLineær-operatorer - Teoremer
Hilbert romHilbert romBegrensedeBegrensede Lineær-operatorer - TeoremerLineær-operatorer - Teoremer
7171
Mengden av begrensede lineær-operatorer A : H1 H2 betegnes
L(H1,H2)
Hvis H1 = H2 skrives L(H1) i stedet for L(H1,H1)
),( 21 HHL
Hilbert romHilbert romMengden avMengden av begrensedebegrensede lineær-operatorer - Deflineær-operatorer - Def
Hilbert romHilbert romMengden avMengden av begrensedebegrensede lineær-operatorer - Deflineær-operatorer - Def
7272
A,B L(H1,H2)
),( 21 HHL
|||||||| ||||
),(
)(
),(
|||||||| ||||
|||||| ||||
),(
2121
21
ACCA
HHLCA
AxCCAx
HHLC
BABA
AA
HHLBA
Hilbert romHilbert romMengden avMengden av begrensedebegrensede lineær-operatorer - Teoremerlineær-operatorer - Teoremer
Hilbert romHilbert romMengden avMengden av begrensedebegrensede lineær-operatorer - Teoremerlineær-operatorer - Teoremer
7373
Hilbert romHilbert romMatriserepresentasjon av Matriserepresentasjon av begrensede lineær-operatorer på et separabelt Hilbert rombegrensede lineær-operatorer på et separabelt Hilbert rom
Hilbert romHilbert romMatriserepresentasjon av Matriserepresentasjon av begrensede lineær-operatorer på et separabelt Hilbert rombegrensede lineær-operatorer på et separabelt Hilbert rom
x H A L(H) 1, 2, … ortonormal basis for H
),( 21 HHL
kk
k
k jkjkj
j kkkjj
kk
kjj
jj
j
jj
j
xy
xA
AxAx
AA
AxAx
xx
,
,,
,,
,
,
, kj
jkj yxA ,,,
ijij Aa ,
Matrisen A = (aij) svarende til 1, 2, … er definert ved:
7474
EndEnd