Chapter 08Elastic-Plastic Indentation Stress fields

254413 Introduction to Contact Mechanics

Assistant Professor Thongchai FongsamootrMechanical Engineering Department, Chiangmai University

8.1 Introduction

• ในบทท�� 5 และ 6 เราได้�พิ�จารณาสนามความเค�นยื�ด้หยื��นท��เกี่��ยืวกี่�บกี่ารส�มผั�สกี่�นระหว�างว�ตถุ� 2 ชิ้�%นในร&ปแบบของห�ว

กี่ด้แบบต�างๆ• ซึ่,�งได้�แสด้งให�เห-นว�า ความเค�นท��เกี่�ด้ข,%นน�%นสามารถุหาได้�

จากี่ว�ธี�ท�บซึ่�อนของสนามความเค�นท��เกี่�ด้ข,%นเน��องจากี่ภาระแต�ละอ�น

• ส0าหร�บในบทน�%จะได้�ท0ากี่ารว�เคราะห1ป2ญหาท��เกี่�ด้กี่ารเส�ยืร&ปแบบพิลาสต�กี่ท��เกี่�ด้จากี่กี่ารกี่ด้

• ในว�สด้�เปราะน�%นกี่ารเส�ยืร&ปแบบพิลาสต�กี่น�%นอาจจะเกี่�ด้ข,%นเน��องจากี่กี่ารกี่ด้ด้�วยืห�วกี่ด้แบบจ�ด้ เชิ้�น Vickers

diamond Pyramid• ในขณะท��ว�สด้�เหน�ยืวน�%น กี่ารเส�ยืร&ปแบบพิลาสต�กี่น�%นอาจจะ

เกี่�ด้ข,%นเน��องจากี่ห�วกี่ด้แบบท&� เชิ้�น Sphere

8.1 Introduction

• โด้ยืท��วไปกี่ารกี่ด้จะถุ&กี่น0ามาใชิ้�ในกี่ารหาค�าความแข-งท��ผั�ว แต�ห�วกี่ด้แบบ Vickers, Berkovich และ Knoop น�%นอาจจะถุ&กี่น0าไปใชิ้�ในกี่ารหาค�าค�ณสมบ�ต�ของว�สด้�ได้� เชิ้�น ความแข-งแรงของว�สด้� ค�าความทนทานต�อกี่ารแตกี่ห�กี่

หร�อความเค�นคงค�างภายืใน• ส�ด้ท�ายืกี่ารเส�ยืร&ปแบบพิลาสต�กี่น�%นสามารถุท0าให�เกี่�ด้กี่าร

แตกี่ห�กี่ท�%งในขณะท��ให�ภาระ (Loading) และชิ้�วงลด้ภาระ (Unloading)

8.2 Pointed Indenters

8.2.1 Indentation Stress Fields• ในทางปฏิ�บ�ต� กี่ารกี่ด้ด้�วยืห�วกี่ด้แบบ Vickers Pyramid

จะท0าให�เกี่�ด้กี่ารเส�ยืร&ปแบบอ�ลาสต�กี่ เน��องด้�วยืร�ศม�ท��จ0ากี่�ด้ของปลายืห�วกี่ด้ แต�จะเปล��ยืนเป7นกี่ารเส�ยืร&ปแบบพิลาสต�กี่

อยื�างรวด้เร-วเม��อม�กี่ารเพิ��มแรงกี่ระท0า• และเม��อลด้ภาระกี่ระท0า จะท0าให�เกี่�ด้ความเค�นกี่ด้ท��ผั�วของ

ว�สด้�• สนามความเค�นแบบยื�ด้หยื��นน�%นจะคล�ายืกี่�บกี่รณ�ของห�ว

กี่ด้แบบ cone ในบทท�� 5• จากี่ร&ปท�� 5.3.2 แสด้งให�เห-นว�า ค�า

1 น�%นเป7นค�า

ความเค�นด้,งด้�วยืค�าส&งส�ด้เกี่�ด้ข,%นท�� r=0 และ 3

(normal stress) จะเป7นความเค�นกี่ด้ และ Hoop stress

2 เป7นความเค�นกี่ด้ท��ผั�ว และความเค�นด้,งใต�ห�ว

กี่ด้

8.2 Pointed Indenters

8.2.1 Indentation Stress Fields• ด้�วยืสภาพิด้�งกี่ล�าว กี่ารเกี่�ด้กี่ารเส�ยืร&ปพิลาสต�กี่ใต�ห�วกี่ด้

น�%นเป7นส��งท��น�าสนใจในกี่ารกี่ารปร�บปร�งสนามความเค�นแบบยื�ด้หยื��นเพิ��อใชิ้�ในกี่ารหากี่ารแตกี่ห�กี่ของว�สด้�ในขระท��

ให�ภาระและลด้ภาระ (loading and Unloading)• กี่ารว�เคราะห1ตามทฤษฎี�ส0าหร�บสนามความเค�นแบบ elastic-plastic จากี่กี่ารกี่ด้ด้�วยืห�วกี่ด้แบบป;ราม�ด้น�%น

ยืากี่เน��องจากี่ความซึ่�บซึ่�อนในกี่ารกี่ารเส�ยืร&ปแบบพิลาสต�กี่• เน��องจากี่กี่ารเส�ยืร&ปแบบพิลาสต�กี่จะม�ค�ามากี่กี่ว�ากี่ารเส�ยื

ร&ปแบบยื�ด้หยื��น ด้�งน�%นว�สด้�อาจจะถุ&กี่ว�เคราะห1เหม�อนกี่�บว�าเป7นว�สด้�แบบ rigid-plastic

8.2 Pointed Indenters

8.2.1 Indentation Stress Fields• Marsh ได้�เปร�ยืบเท�ยืบกี่ารเส�ยืร&ปแบบพิลาสต�กี่ในว�สด้�ใต�

ห�วกี่ด้ว�าจะเกี่�ด้ข,%นเม��อม�กี่ารขยืายืต�วตามแนวร�ศม�ในล�กี่ษณะหล�มทรงกี่ลมท��ร �บความด้�นภายืใน

• ร&ปแบบจ0าลองในกี่ารว�เคราะห1น�%นจะท0ากี่�บกี่ารให�ภาระแบบแกี่นสมมาตร ของห�วกี่ด้แบบจ�ด้

• แบบจ0าลองของ Yoffe ให�กี่ารกี่ระจายืของความเค�นภายืนอกี่ Plastic zone ท��ม�ค�าร�ศม�เท�ากี่�บค�าร�ศม�ของ

contact circle

ร&ปท�� 8.2.1

8.2 Pointed Indenters

8.2.1 Indentation Stress Fields• ตามระบบแกี่นด้�งร&ปท�� 8.2.2 จะได้�ว�า

ร&ปท�� 8.2.1

2cos54cos22212

232 r

B

r

Pr

23

2

2cos212

cos1

cos21

2

r

B

r

P

2

32cos32212

cos1

1cos

2

21

r

B

r

P

cossin14

cos1

cossin

2

2132

r

B

r

Pr 0 r

8.2 Pointed Indenters

8.2.1 Indentation Stress Fields• โด้ยืท�� P เป7นแรงกี่ด้ และ B เป7นค�าคงท��ซึ่,�งอธี�บายืถุ,ง กี่าร

ขยืายื Plastic Zone• ส0าหร�บว�สด้�พิร�น ค�า B จะม�ค�าน�อยืมากี่

• Yoffe ได้�ค0านวณว�า B= 0.06Pma3 ส0าหร�บว�สด้� Soda-lime glass ท��ม�ค�า = 0.26 และม�ค�าม�มเท�ากี่�บ 70o

• แทนค�าลงในสมกี่ารท�� 8.2.1a และ 8.2.1d จะได้�ว�า

8.2 Pointed Indenters

8.2.1 Indentation Stress Fields

2cos5406.0cos22212

1 232

r

a

r

a

Pm

r

2

322

cos21206.0cos1

cos21

2

1

r

a

r

a

Pm

232

cos3221206.0cos1

1cos

2

21

r

a

r

a

Pm

cossin1406.0

cos1

cossin

2

2132

r

a

r

a

Pm

r

8.2 Pointed Indenters

8.2.1 Indentation Stress Fields• Cook and Pharr ได้�อธี�บายืค�า B ในเทอมของ

ค�ณสมบ�ต�ของว�สด้� เท�ากี่�บ

• โด้ยืท�� f ค�อค�า densification factor ซึ่,�งม�ค�าเท�ากี่�บ 0 ถุ,ง 1 และ H เป7นค�า Hardness และม�ค�าเท�ากี่�บ

• และ

2

3

0816.0

H

Pf

EB

22a

PH

fEa

B

3

2308.0

8.2 Pointed Indenters

8.2.1 Indentation Stress Fields• ร&ปท�� 8.2.3 แสด้งถุ,งค�าความเค�นท��ได้�ค0านวณจากี่สมกี่าร

ท�� 8.2.1e ถุ,ง 8.2.1h • ความแตกี่ต�างของกี่ารแตกี่ห�กี่ท��เกี่�ด้ข,%นว�สด้�เปราะน�%นเป7น

ผัลของกี่ารกี่ระท0าของสนามความเค�นท��แตกี่ต�างกี่�น• ต�วอยื�างเชิ้�น รอยืแตกี่ท��ผั�วในล�กี่ษณะวงแหวนเป7นกี่ารเกี่�ด้

ข,%นจากี่ r radial tensile stresses (=/2) • ส�วนรอยืแตกี่ท��เกี่�ด้จากี่ม�มของป;ราม�ด้น�%นเป7นผัลจากี่

Hoop stress (=/2) • Median crack ใต�ห�วกี่ด้จะเกี่�ด้จากี่แกี่นสมมาตรไปข�าง

นอกี่ (=0) • ส�ด้ท�ายื lateral crack เกี่�ด้จากี่ radian stress r

(=0)

8.2 Pointed Indenters

8.2.1 Indentation Stress Fields• Yoffe ได้�เสนอค�าของความเค�นท��คงค�างอยื&�หล�งจากี่ลด้

ภาระลงแล�ว ได้�ว�า• ท��ผั�ว

r = -0.42 pm และ = 0.12pm

• บนแกี่นใต�ห�วกี่ด้r = 0.72 pm และ = -0.06pm

• แต�ในขณะท�� Cook and Pharr ได้�แยื�งว�าในชิ้�วงของกี่ารลด้ภาระน�%น B จะข,%นอยื&�กี่�บ Blister field ท��ม�ค�ามากี่ท��ส�ด้

เท�ากี่�บ Pmax

8.2 Pointed Indenters

8.2.1 Indentation Stress Fields

• ท�� r = amax ความเค�นเป7นค�าท��ข,%นอยื&�กี่�บอ�ตราส�วน P/Pmax ท��ค�ณสมบ�ต�ว�สด้�เท�ากี่�บ f, E และ H

• พิบว�าด้�วยืค�า fE/H ท��เล-กี่น�อยื Radial cracking กี่-สามารถุเกี่�ด้ข,%นได้�ในขณะท��ลด้ภาระ แต�ถุ�าม�ค�ามากี่

Radial cracking กี่-อาจจะเกี่�ด้ในชิ้�วงท��ม�กี่ารให�ภาระ• Cook and Pharr ได้�เสนอว�าความเค�นส&งส�ด้ท�� r=amax

ส0าหร�บขณะท�� Loading และ Unloading ส0าหร�บค�าท��แตกี่ต�างกี่�นของ fE/H

8.2 Pointed Indenters

8.2.2 Indentation Fracture• กี่ารแตกี่ห�กี่ในว�สด้�เปราะในขณะท��ร �บกี่ารกี่ด้ของห�วกี่ด้

แบบป;ราม�ด้สามารถุเกี่�ด้ข,%นได้�ในขณะ Loading และ Unloading

• ในชิ้�วงท�� loading ความเค�นด้,งจะเกี่�ด้ข,%นในชิ้�%นงานในขณะท��ร �ศม�ของ Plastic Zone เพิ��มข,%น

• ในชิ้�วงท�� Unloading จะม�ความเค�นเพิ��มข,%นจากี่กี่ารท��ความเคร�ยืด้แบบยื�ด้หยื��นภายืนอกี่ Plastic Zone

พิยืายืามท��จะค�นส&�สภาพิเด้�มแต�ไม�สามารถุท0าได้�เน��องจากี่ม�กี่ารเส�ยืร&ปอยื�างถุาวรใน Plastic zone

• อยื�างไรกี่-ตาม กี่ารแตกี่น�%นจะข,%นอยื&�กี่�บสภาพิในกี่ารทด้สอบและความหลากี่หลายืในกี่ารเกี่�ด้รอยืแตกี่น�%นม�มากี่ในขณะ

ท��ม�กี่ารเปล��ยืนแปลงห�วกี่ด้เพิ�ยืงเล-กี่น�อยื

8.2 Pointed Indenters

8.2.2 Indentation Fracture• ร&ปท�� 8.2.4 แสด้งร&ปแบบของรอยืแตกี่

• (1) Radial Crack เป7น vertical half-penny cracks เกี่�ด้ข,%นท��ผั�วของว�สด้�ภายืนอกี่ Plastic zone

และท��ม�มของกี่ารกี่ด้• รอยืแตกี่น�%จะเกี่�ด้จากี่ Hoop stress (q=p/2) และ

ขยืายืลงด้�านล�างของชิ้�%นงาน • (2) Lateral Cracks เป7นรอยืแตกี่แนวนอนเกี่�ด้ด้�าน

ล�างของผั�วและสมมาตรกี่�บแกี่นภาระ • รอยืแตกี่น�%เกี่�ด้จากี่ tensile stress r (=0) และ

ขยืายืไปยื�งผั�วซึ่,�งจะเกี่�ด้เป7นล�กี่ษณะของรอยืแตกี่แบบวงแหวนท��ผั�ว และอาจจะท0าให�เน�%อหล�ด้ออกี่จากี่ผั�ว

8.2 Pointed Indenters

8.2.2 Indentation Fracture• ร&ปท�� 8.2.4 แสด้งร&ปแบบของรอยืแตกี่

• (3) Median Cracks เป7น vertical circular penny cracks เกี่�ด้ข,%นใต�ผั�วตามแนวแกี่นสมมาตร

• ข,%นอยื&�กี่�บล�กี่ษณะของกี่ารให�ภาระ median crack อาจจะขยืายืข,%นและไปชิ้นกี่�บ radial cracks ท0าให�เกี่�ด้เป7น

Half-penny cracks

• โด้ยืท�� Median crack จะเกี่�ด้จากี่ (=0)

8.2 Pointed Indenters

8.2.2 Indentation Fracture• ด้�งท��ได้�กี่ล�าวไว�ข�างต�น ในกี่ารเกี่�ด้รอยืแตกี่น�%นข,%นอยื&�กี่�บ

สภาพิของกี่ารทด้สอบ• อยื�างไรกี่-ตามเม��อท0ากี่ารทด้สอบกี่�บ Soda-lime Glass

กี่ด้ด้�วยืห�วกี่ด้แบบ Vickers, Median crack จะเกี่�ด้ข,%นกี่�อน

• เม��อหยื�ด้กี่ารให�ภาระ ความเคร�ยืด้ยื�ด้หยื��นรอบข�างรอยืแตกี่ไม�สามารถุกี่ล�บส&�สภาพิเด้�มได้�

• ความเค�นด้,งคงค�างจะท0าให�เกี่�ด้ Lateral crack ซึ่,�งอาจจะขยืายืไปถุ,งผั�วหร�อไม�กี่-ได้�

• ในชิ้�วงท��ม�กี่ารให�ภาระอ�กี่คร�%ง (reloading) lateral cracks จะป;ด้และ median crack จะเป;ด้อ�กี่คร�%ง

8.2 Pointed Indenters

8.2.2 Indentation Fracture• ส0าหร�บภาระน�อยืๆ radial cracks อาจจะเกี่�ด้ข,%นในชิ้�วง

Unloading • ส0าหร�บภาระมากี่ๆ ในชิ้�วง Unloading, median cracks ขยืายืไปภายืนอกี่และข,%นไปท��ผั�วซึ่,�งอาจจะ ร�วมกี่�บ

radian cracks จะท0าให�กี่ลายืเป7น Half-penny cracks

• ในว�สด้�แกี่�ว โด้ยืท��วไปรอยืแตกี่จะเกี่�ด้ท��ม�ม ซึ่,�งจะเป7นล�กี่ษณะของ median/radial cracks

• อยื�างไรกี่-ตาม ในว�สด้�เปราะ ค�า E/Y ท��มากี่ๆ radial cracks จะเกี่�ด้จากี่ median crack และเกี่�ด้ในชิ้�วงให�

ภาระ

8.2 Pointed Indenters

8.2.2 Indentation Fracture• จากี่ผัลกี่ารตรวจสอบจากี่กี่ารทด้สอบสามารถุบอกี่ได้�ว�า

ไม�ม�ร&ปแบบท��แน�นอนส0าหร�บกี่ารเกี่�ด้รอยืแตกี่• Chiang, Marshall, and Evans และ Yoffe ได้�พิยืายืามเสนอแบบจ0าลองท��จะสามารถุอธี�บายืล�กี่ษณะของ

กี่ารเกี่�ด้รอยืแตกี่• แบบจ0าลองของ Yoffe ได้�อธี�บายืกี่ารเปล��ยืนแปลงของ

ความเค�นในชิ้�วงของให�ภาระ และ ลด้ภาระ ในเทอมของค�ณสมบ�ต�ของว�สด้�และค�า E/Y ซึ่,�งเป7นผัลให�เกี่�ด้รอยืแตกี่

แบบ radial and lateral cracks ในชิ้�วงของกี่าร Loading และ Unloading

• อยื�างไรกี่-ตาม แบบจ0าลองของ Chiang, Marshall, Evans, ท0ากี่�บห�วกี่ด้แบบจ�ด้และแกี่นสมมาตร

8.2 Pointed Indenters

8.2.2 Fracture Toughness• ในกี่ารทด้สอบหาค�า Fracture toughness ของว�สด้�

เหน�ยืวน�%นสามารถุได้�โด้ยืใชิ้�กี่ารทด้สอบแบบกี่ารด้�ด้• แต�ส0าหร�บว�สด้�เปราะน�%นเป7นกี่ารยืากี่ในกี่ารทด้สอบ

เน��องจากี่จะเกี่�ด้กี่ารเส�ยืหายืกี่�อนท��จะท0ากี่ารว�ด้ได้�• ด้�งน�%นในกี่ารว�ด้ค�าน�%สามารถุท0าได้�โด้ยืกี่ารใชิ้�ว�ธี�กี่ารกี่ด้ ซึ่,�ง

สามารถุท��จะทด้สอบได้�หลายืค�า• ในกี่ารทด้สอบน�%นจะได้�ค�าความยืาวของรอยืแตกี่ด้�งร&ป

8.2.5

ร&ปท�� 8.2.5

8.2 Pointed Indenters

8.2.2 Fracture Toughness• Palmqivst ได้�เสนอว�าขนาด้รอยืแตกี่ l จะข,%นอยื&�กี่�บภาระ

ของห�วกี่ด้• Lawn, Evans, and Marshall ได้�แสด้งสมกี่ารท��เห-น

ว�าถุ,งความส�มพิ�นธี1ระหว�างกี่ารเกี่�ด้รอยืแตกี่แบบต�างๆ• และได้�แสด้งว�าอ�ตราส�วน P/c3/2 เป7นค�าคงท�� ซึ่,�งข,%นอยื&�กี่�บ

ค�ณสมบ�ต�ของว�สด้�• Fracture Toughness ม�ค�าเท�ากี่�บ

• โด้ยืท�� k เป7นค�าคงท�� 0.016 และ n = ½

2

3

c

P

H

EkK

n

c

8.2 Pointed Indenters

8.2.2 Fracture Toughness• ในขณะท�� Laugier ได้�เสนอสมกี่ารใหม�ได้�ว�า

• โด้ยืท�� xv = 0.015

2

3

3

2

2

1

c

P

H

E

l

axK vc

8.2 Pointed Indenters

8.2.4 Berkovich Indenter• ในกี่ารทด้สอบเพิ��อหาค�า Fracture toughness น�%น

สามารถุหาได้�โด้ยืกี่ารใชิ้�ห�วกี่ด้แบบ Vickers diamond pyramid

• โด้ยืท��ห�วกี่ด้แบบ Vickers ม�มระหว�างแต�ละหน�าอยื&�ท�� 136o และม�มของขอบ 148o

• อยื�างไรกี่-ตาม ข�อได้�เปร�ยืบส0าหร�บห�วกี่ด้แบบ Berkovich ม�ควมส0าค�ญมากี่ข,%น โด้ยืเฉพิาะกี่ารกี่ด้แบบ Ultra-

micro-indentation• ซึ่,�งกี่ารกี่ด้แบบ ป;ราม�ด้น�%นจะเป7นล�กี่ษณะของกี่ารกี่ด้เป7น

จ�ด้มากี่กี่ว�าแบบเส�น

8.2 Pointed Indenters

8.2.4 Berkovich Indenter• Ouchterlony ได้�เสนอถุ,งธีรรมชิ้าต�ของกี่ารเกี่�ด้รอยื

แตกี่ท��เร��มเกี่�ด้จากี่บร�เวณห�วกี่ด้และขยืายืต�วรอยืแตกี่• สามารถุหาได้�จากี่

• จากี่กี่ารเสนอโด้ยื Dukino and Swain ได้�ปร�บปร�งส0าหร�บกี่ารหาร&ปแบบของรอยืแตกี่ท��เกี่�ด้จากี่กี่ารกี่ด้ด้�วยื

ห�วกี่ด้แบบ Berkovich• อ�ตราส�วนระหว�างค�า KI ของ Vicker (n=4) และ

Berkovich (n=3) ม�ค�าเท�ากี่�บ 1.073

n

n

nK I

2

sin2

1

2

8.2 Pointed Indenters

8.2.4 Berkovich Indenter• ด้�งน�%นความยืาวของรอยืแตกี่ท��ว�ด้จากี่จ�ด้กี่,�งกี่ลางของห�ว

กี่ด้ของ Berkovich จะม�ค�าอยื&�ท��ประมาณ 1.0732/3 = 1.05 ของห�วกี่ด้แบบ Vickers

• จะได้�ว�า

2

3

3

2

2

1

073.1

c

P

H

E

l

axK vc

8.3 Spherical Indenter

• ในห�วข�อน�%จะพิ�จารณาสนามความเค�นแบบยื�ด้หยื��น-พิลาสต�กี่ท��เกี่�ด้จากี่ห�วกี่ด้แบบทรงกี่ลม

• ร&ปท�� 8.3.1 ได้�เปร�ยืบเท�ยืบผัลระหว�างกี่ารกี่ระจายืความเค�นในล�กี่ษณะ Elastic และ Elastic-Plastic

• ร&ปได้�แสด้งให�เห-นถุ,ง กี่ารเส�ยืร&ปแบบพิลาสต�กี่และกี่ารเกี่�ด้ damage zone จากี่กี่ารเปล��ยืนแปลงความเค�นบร�เวณ

ห�วกี่ด้• โด้ยืท��วไปขนาด้ของความหล�กี่มากี่ท��ส�ด้ม�ท�ศทางไปด้�านนอกี่มากี่กี่ว�าเม��อเปร�ยืบเท�ยืบกี่�บกี่รณ�ของ elastic case

• แต�ท��ไกี่ลๆ ออกี่ไปจะม�ผัลท��ไม�แตกี่ต�างกี่�น• ร&ปท�� 8.3.2 แสด้งถุ,งกี่ารกี่ระจายืความเค�น ในเทอมของ

Contact pressure ส0าหร�บกี่รณ�ของ Elastic-plastic น�%นสม0�าเสมอมากี่กี่ว�า

8.3 Spherical Indenter

• ในร&ปท�� 8.3.2 เป7นผัลท��ได้�จากี่ค�า pm = 3.0 GPa, ao = 0.326 Y=770 MPa,

P =1000 N, R = 3.18 mm• ร&ปท�� 8.3.3 แสด้งกี่ารเปล��ยืนแปลงของความเค�นตามแนว

ของผั�วและลงไปแนวแกี่นสมมาตร (Pm = 3.0 GPa, ao=0.326 mm)