บทที่ 1 ความเคน (Stress)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 1

1.1 เกริ่นนํา1.2 แรงภายใน (Internal force)1.3 ความเคนอยางงาย (Simple stress)1.4 ความเคนเฉือน (Shear stress)1.5 ความเคนอัด (Bearing stress)1.6 ภาชนะเก็บความดันผนังบาง (Thin – walled pressure

vessels)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 2

1.1 เกริ่นนํา (Introduction)• อะไรคือกลศาสตรของของแข็ง หรือ กลศาสตรของวัสดุ• อนุภาค (Particles)• วัตถุเกร็ง (Rigid bodies)• วัตถยุืดหยุน (Deformable bodies)

• ลักษณะปญหาที่จะไดพบ• การวเิคราะห (Analysis)• การออกแบบ (Design) – for Strength and Stiffness

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 3

คําถาม1. น้ําหนัก W เทาใด ถึงจะทําใหกระดานกระโดดน้ําหักได หักที่ไหน2. สําหรบักระดานที่กําหนดให ความสมัพันธระหวางระยะแอนตัวที่ปลาย

กระดาน กับน้ําหนัก W เปนอยางไร3. กระดานแบบมีความหนานอยลงเรื่อยๆ ดีกวาแบบความหนาคงที่

หรือไม ถาดีกวา ความหนา h ควรจะแปรผันอยางไร4. กระดานที่ทําจาก ไฟเบอรกลาส หรอื อลูมิเนยีม อะไรที่ดีกวา

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 4

• หลักพื้นฐานของกลศาสตรของวัตถุที่ยืดหยุนได

• ตองเปนไปตามเงื่อนไขของสภาพสมดุล• ตองทราบรูปแบบการเสียรูปของวัตถุ• สภาพของความเคนและความเครียด• สมมุติฐานดานตางๆ เชน ลักษณะของจุดรองรับเปนแบบไหน มีความมั่นคงอยางไร ความแข็งเกร็งของวัสดุเปนอยางไร มีการเสียรูปเกิดขึ้นนอยมาก ฯลฯ• เงื่อนไขที่ขอบ (Boundary conditions)

• พฤติกรรมของวัสดุ เชน เปลี่ยนแปลงตามอุณหภูมิอยางไร

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 5

• ขั้นตอนการแกปญหา - 1• เลือกระบบที่สนใจ (จากระบบจริง หรือจากแบบ)• ตั้งสมมุติฐาน เพื่อจําลองระบบจริงใหงายขึ้น• ประยกุตใชหลักการกลศาสตรของวัสด ุ(สมการคํานวณตางๆ ที่เกี่ยวของ) และทําการคํานวณ• ทําการทดสอบระบบจริงเทียบกับผลที่คํานวณได (ในเชิงการออกแบบ) หรือ ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของคําตอบ (ในเชิงการวิเคราะห)• ดําเนินการแกไข (ถาไมตรงกนั)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 6

• ขั้นตอนการแกปญหา - 2• ระบุลักษณะปญหา - มีขอมูลอะไรใหบาง รูปประกอบที่จําเปน คําตอบที่ตองการ• วางแผนการแกปญหา - เลือกสมการใหสอดคลองกับขอมูลและคําตอบ และกําหนดลําดับการหาคําตอบ • ทําการหาคําตอบ – คาํนวณโดยตรง แกปญหาเชิงสัญลักษณกอนแทนคาตัวเลข แกปญหาดวยรูป การเขียนโปรแกรมชวยคํานวณ • ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของคําตอบ – หนวย ขนาด เครื่องหมายหรือทิศทาง สอดคลองกับสมมุติฐานหรือไม (ในเชิงการวิเคราะห)

“ Careless solutions that can not be easily read by others are of little or NO VALUE”

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 7

1.2 แรงภายใน (Internal force)• สถติยศาสตร (Statics) - ผลภายนอกของวัตถุเกร็ง• กลศาสตรของของแข็ง – ผลภายในของวัตถยุืดหยุน

Axial force Shear force Torque Bending moment

• หลักของการศึกษาวิชากลศาสตรของของแข็ง – เพื่อใหมั่นใจไดวา ชิ้นสวนรับแรงตางๆอยูในสภาพปลอดภัยดวยผลภายในสูงสุดที่เกิด ขึ้นจากการกระทํารวมกันของภาระงานแบบตางๆ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 8

1.3 ความเคนอยางงาย (Simple stress)

- แทงวัตถุอันไหนแข็งแรงกวากัน ?- หนวยความแข็งแรง คือ

แรง ตอ ขนาดพื้นที่รับแรงหรือ (1.1)

เรียกวา ความเคน หนวย นิวตนั/ตร.เมตร หรือ ปาสคาล(N/m2 or Pascal – Pa)

- ความเคนดึง (Tensile stress)- ความเคนกด (Compressive stress)

AP

=σ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 9

• สมการ (1.1) เปนคาเฉลี่ย – ทุกจุดบนพื้นที่หนาตัดนั้นมีคาความเคนเทากัน• เนื่องจากมีแนวทางตั้งฉากกบัหนาตัดจึงเรียกวาเปน ความเคนตั้งฉาก (Normal stress)• ความเปนจริง – ความเคนเปนคุณสมบัติเฉพาะจุด ดังนั้น สมการที่แทจริง คือ

(1.1 ก)

• ภายใตสมมตุิฐานหลายๆอยาง เชนแรงกระทําผานจุดเซ็นทรอยดของหนาตดัสมการ (1.1) สามารถใชได และใหผลที่ถูกตอง จึงเรียกสมการ (1.1)วา ความเคนอยางงาย

dAdP

=σ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 10

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 11

• ถาแรงไมผานจุดเซ็นทรอยด หรือ กรณีที่พื้นที่หนาตัดมีขนาดไมสม่ําเสมอจะเกิดขนาดของความเคนที่ไมเทากันขึ้น- ใกลแนวแรง หรือ บริเวณที่มีความไมตอเนื่องของหนาตัดมีขนาดมากกวาคาเฉลี่ย

• เกิด Stress concentration

ตัวอยางที่ 1.1แทงบรอนซ อลูมิเนียมและเหล็ก ยึดเขาดวยกันอยางแข็งเกร็งเต็มที่ และมีแรงในแนวแกนกระทําดังรูป ใหหาขนาดของความเคนในแตละวัสดุ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 12

1.4 ความเคนเฉือน (Shearing stress)• เกิดจากแรงที่กระทําขนานกับพื้นที่รับแรง บางครั้งก็เรียกวาเปน ความเคนในแนวสัมผัส (Tangential stress) มีสมการ คือ

(1.2)

เปนคาเฉลี่ย เมื่อแรงเฉือนกระทําผานจุดเซ็นทรอยดของพื้นที่- การเฉือนเดี่ยว (Single shear)- การเฉือนคู (Double shear)

AV

=τ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 13

1.5 ความเคนอัด (Bearing stress)• เกิดจากแรงกดที่ผิวสัมผัสภายนอกระหวางสองวัตถ ุ(ตางจากความเคนกด – ซึ่งเกิดจากแรงภายใน) มีสมการ คือ

(1.3)

โดยที่ Ab เปนพื้นที่ที่สองวัตถสุัมผัสกันภายนอก

ในกรณขีองหมุดย้าํ หรือสลักสัมผัสกับผิวของรูเจาะจะใชพืน้ที่ที่ไดจากการฉายภาพ

b

bb A

P=σ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 14

ตัวอยางที่ 1.2คานซึ่งทําจาก W 460x97 (หนา 11.4 มม.) ตอดวยหมุดย้ําขนาด 19 มม. เขากับคานหลกัทําจาก W610x125 (หนา 11.9 มม.) ดังรูป ถากําหนดให ขอตอหมุดย้ําทีป่ระกอบจากโรงงานมีความแข็งแรงเปน

และ สวนขอตอที่ประกอบที่บริเวณกอสรางมีความแข็งแรงเปนและ ขอตอหมุดย้ํานี้ สามารถใชรับแรงไดสูงสุดเทาใด

MPab 170=σMPa80=τMPa70=τ MPab 140=σ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 15

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 16

1.6 ภาชนะเก็บความดันผนังบาง (Thin – walled pressure vessels)

• ผนังของถังรูปทรงกระบอกซึ่งบรรจุแกส หรือ ของเหลวที่มีความดัน p ใดๆ ไวภายใน จะตองมีความสามารถในการตานแรงจากความดันที่จะพยายามทําใหถังนั้นระเบิดออกได

• คิดสมดุลในแนวสัมผัสกับเสนรอบวง จะได(1.4)PpDLF 2==

หรือ สามารถแสดงความหมายทางกายภาพไดอีกแบบหนึ่ง เปน

• โดยความเคนในแนวสัมผัส (ตลอดแนวความยาวของผนังทั้งสองดาน) มีคาตามสมการ

(1.5)

• เรยีกชื่อไดหลายแบบ เชน Tangential stress, Circumferential stress, Hoop stress หรือ Girth stress

tpD

tLpDL

t 22==σ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 17

• พิจารณาภาคตัดขวางของถังตองเกิดสมดุลในแนวความยาว จะได

• เมื่อความหนาของผนัง t มีคานอยมากเมื่อเทียบกับขนาดเสนผาศูนยกลาง (นอยกวา 20 เทา)จะไดความเคนในพื้นที่ขอบถัง เปน

(1.6)

เรียกชื่อเปน ความเคนตามแนวยาว (Longitudinal stress)t

pDl 4=σ

PF =

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 18

• จากสมการ (1.5) และ (1.6) แสดงวาความเคนตามแนวสัมผัสมีคาเปน สองเทา ของความเคนในแนวยาว

• ดังนั้น ขอตอตามแนว Longitudinalจึงตองมีความแข็งแรงมากกวาขอตอตามแนว Girth (ประมาณ 2 เทาถาตองการใหมีโอกาสเกิดความเสียหายเทาๆกัน)

• สลักยึดที่ภาคตัด A – A กับ B – B ที่ไหน ควรจะตองมีความแข็งแรงกวากลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 19

ตัวอยางที่ 1.3ทอสงน้ําเขาสูโรงไฟฟาพลังน้ํา มีขนาดเสนผาศูนยกลาง 1.5 เมตร ทําจากแผนไมประกบเขาดวยกันเปนวงกลมและรัดใหแนนดวยสายคาดทําจากเหลก็กลาขนาดพื้นทีห่นาตัดเสนละ 300 ตร.มิลลิเมตร ถากําหนดใหความเคนดึงสูงสุดในสายคาดแตละเสนมีคาไดไมเกิน 130 MPa และความดันของน้ําในทอมีคาเทากบัผลของระดับน้ําสูง 30 เมตร แลว สายคาดแตละเสนตองอยูหางกันเปนระยะเทาใด

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 1 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 20