Biomechanics

Jung Chan LEEJung Chan LEE

MechanicsMechanics

4 M h i• 4 Mechanics– 고체역학 : Solid Mechanics

• Solid Mechanics : deformation and fracture• Statics : ∑F=0 and ∑M=0

– 동역학 : Dynamics( )• Kinematics (기구학) : 운동의 형태

• Kinetics (운동역학) : ‘힘’과 ‘에너지’

유체역학 Fl idi (Fl id M h i )– 유체역학 : Fluidics (Fluid Mechanics)• 유체정역학 : 비점성, 비압축성• 유체동역학 : 점성, 압축성(기체)

– 열역학 : Thermodynamics• 열역학 제0법칙 : 열적 평형 상태

• 열역학 제1법칙 : 열 시스템의 내부 에너지는 시스템에 가해진 열에너지와 시스템이 외부에 한 -(일)의 합이다.

• 열역학 제2법칙 : 시스템의 총 엔트로피는 시간을 따라 증가• 열역학 제2법칙 : 시스템의 총 엔트로피는 시간을 따라 증가하려는 경향이 있다.

• 열역학 제3법칙 : 절대영도에 다가갈수록 엔트로피는 최소값상수로 수렴상수로 수렴

• 엔트로피(일로 변환할 수 없는 에너지, 무질서도)

• 열전달(전도 대류 복사)열전달(전도,대류,복사)

• 열기관 (냉동기)

Vector MechanicsVector Mechanics

• Vector Math.– 2D

• Norm

• Angle

– 3D

연산• Vector 연산– Summation

– Product• Dot Product (내적) : 힘 변위 일• Dot Product (내적) : 힘,변위,일…• Cross Product (외적) : 토크, 모멘트, 비틀림…

(내적) 칼라값 힘 변위 일• Dot Product (내적) : 스칼라값 힘,변위,일

힘을 F, 변위를 s, 힘과 변위 사이의 각을 θ라고 할 때, 일 W는일 W는

(외적) 멘 비 림• Cross Product (외적) : 토크, 모멘트, 비틀림…

>> %(a) First write the direction vector d that points along F>> % as a 1D array:>> d = [12 -15 9]d = 12 -15 9>> % Now write the unit vector of F, giving its direction:>> unit vector = d/norm (d)>> unit_vector d/norm (d)unit_vector = 0.5657 -0.7071 0.4243>> % F consists of the magnitude 10 kN times this unit vector>> F = 10*unit_vectorF = 5.6569 -7.0711 4.2426>> % Or, more directly>> F 10 (d/ (d) )>> F = 10*(d/norm(d) )F = 5.6569 -7.0711 4.2426

>> % (b) First write the vector r_xz that points in the xz plane:>> r_xz = [12 0 9]r_xz = 12 0 9>> % The dot product is given by the sum of all the term by term>> % multiplications of elements of vectors F and r_xz>> F_dot_r_xz = sum(F.*r_xz)>> % or simply, dot(F,r_xz)F_dot_r_xz = 106.0660

>> % (c) Cross F with a vector that points from the origin to F.>> % The cross product is given by the cross function>> r_xz_cross_F = cross(r_xz,F)r_xz_cross_F = 63.6396 0 -84.8528>> % Note that the cross product is not commutative

( )>> cross(F,r_xz)ans = -63.6396 0 84.8528>> % Vectors are added and subtracted in MATLAB using the + and ->> %operations, respectively.

• Coordinate Transformation

• Euler Angle

% eulerangles.m%% E l l f t ti% Euler angles for y-x-z rotation sequence% using MATLAB symbolic math toolbox%% x, y and z are thetax, thetay and thetaz, respectively% First define them as symbolic variablessyms x y z% Writing equations 4.21–23 as a matrix AA = [ cos(y), 0, -sin(y);0, 1, 0;sin(y) 0 cos(y)]sin(y), 0, cos(y)]% equations 4.24–26 as matrix BB = [ 1, 0, 0;0, cos(x), sin(x);0, -sin(x), cos(x)]% and equations 4 27 29 as matrix C% and equations 4.27–29 as matrix CC = [ cos(z), sin(z), 0;-sin(z), cos(z), 0;0, 0, 1]% The matrix equation 4.30 is created by multiplying matrices C, B% and AD = C*B*A

>> eulerangles

D = [cos(z)*cos(y)+sin(z)*sin(x)*sin(y), sin(z)*cos(x), -cos(z)*sin(y)+sin(z)*sin(x)*cos(y)][-sin(z)*cos(y)+cos(z)*sin(x)*sin(y), cos(z)*cos(x), sin(z)*sin(y)+cos(z)*sin(x)*cos(y)][cos(x)*sin(y), -sin(x), cos(x)*cos(y)]

function y = cosd(x)%COSD(X) cosines of the elements of X measured in degrees.y = cos(pi*x/180);

function y = sind(x)%SIND(X) sines of the elements of X measured in degrees.y = sin(pi*x/180);

function D = eulangle (thetax, thetay, thetaz)%EULANGLE matrix of rotations by Euler’s angles.% EULANGLE(thetax, thetay, thetaz) yields the matrix of% rotation of a system of coordinates by Euler’s% angles thetax, thetay and thetaz, measured in degrees% angles thetax, thetay and thetaz, measured in degrees.% Now the first rotation is about the x axis, so we use eqs. 4.24–26A = [ 1 0 00 cosd(thetax) sind(thetax)0 -sind(thetax) cosd(thetax) ];% Next is the y axis rotation (Eqs 4 21 23)% Next is the y axis rotation (Eqs. 4.21–23)B = [ cosd(thetay) 0 -sind(thetay)0 1 0sind(thetay) 0 cosd(thetay) ];% Finally, the z axis rotation (Eqs. 4.27–29)C = [ cosd(thetaz) sind(thetaz) 0-sind(thetaz) cosd(thetaz) 00 0 1 ];% Multiplying rotation matrices C, B and A as in Eq. 4.30 gives the solution:D=C*B*A;D C B A;

>> eulangle(30,20,10)0 9254 0 3188 0 2049ans =0.9254 0.3188 -0.2049

-0.1632 0.8232 0.54380.3420 -0.4698 0.8138

• Static Equilibrium– ‘정지’된 물체에 작용하는 힘과 모멘트 고려정지 된 물체에 작용하는 힘과 멘 려

• 힘의 합=0

• 모멘트의 합=0모멘트의 합 0

– 가정• 풀리의 직경은 무시

• 줄에 걸리는 장력은 줄 전체로 동일(T=F1=F2=F3)

i, j 성분끼리

– x components

– y components– y components

– Sol.

z

R

y

y

F2, F3

• Moment of Inertia– 물체의 회전력을 지속하게끔 하는 질량분포에너지

• (물체 각 부분의 질량)X(회전축까지의 거리)^2 의 합• (물체 각 부분의 질량)X(회전축까지의 거리) 2 의 합

Mechanics of MaterialsMechanics of Materials

( )• Stress(응력)

• Strain(변형율)

• Elastic Modulus

– Poisson’s Ratio : 축방향 strain에 대한 횡방향 strain의 비

– Stress-strain curve

– Brittle(취성) vs. Ductile(연성)

– Spring-back hysteresis

• Viscoelastic Model

K

B

스프링 상수 : K F=Kx스프링 상수 : K F=Kx댐핑 상수 : B F=B*dx/dt=Bv

– Simple Spring Model : F=Kx

– Maxwell Model : dx/dt=1/K*df/dt+1/B*F

– Voight Model : F=Kx+B*dx/dt

– Kelvin Model : F+B/K*dF/dt=Kx+2B*dx/dt

Cardiovascular DynamicsCardiovascular Dynamics

• Blood Rheology

• Solid vs Fluid against Shear stressSolid vs. Fluid against Shear stress

• 점성과 전단응력– 압력, 온도, 밀도 : 시스템의 특성을 나타내는 열역학적 변수

점도 : 움직이는 유체에서의 국소응력과 유체요소의 변형률– 점도 : 움직이는 유체에서의 국소응력과 유체요소의 변형률(strain)과의 관계

천천히 흘려주면 흐르

치약,케첩,혈액(?)

천천히 흘려주면 흐르지만, 강하게 쏟으면 고정(전방농후)

천천히 흘려주면 약간 흐르지만, 강하게 쏟으면 무너짐지만, 강하게 쏟 면 무너짐(전방희박), 생크림, 페인트

% Power Law Fit of Blood Data%% Store shear strain rate and stress data in arraysalpha = [1 5 2 3 2 6 5 11 5 16 25 50 100] ;alpha = [1.5,2,3.2,6.5,11.5,16,25,50,100] ;T = [12.5,16,25.2,40,62,80.5,120,240,475] ;% Take natural logs of bothx = log(alpha) ;y = log(T) ;% Use MATLAB’s polyfit function to do linear curve fitcoeff = polyfit (x,y,1)% Write curve fit coefficients as a new x-y function for plottingx1=[0;0.01;5]y1=polyval (coeff,x1)y1 polyval (coeff,x1)% Plot the original data as ’o’ pointsplot(x,y, ’o’)hold on% Overlay a plot of the curve-fit lineplot(x1 y1)plot(x1,y1)grid ontitle (’Power Law Function’)xlabel(’ln Strain Rate [ln (1/s)]’)ylabel(’ln Shear Stress [ln dyne/cm2]’)

• 비압축성, 압축성 유동

– 연속식을 간단하게 하기 위해 밀도변화를 무연속식을 간단하게 하기 위해 밀도변화를 무시 : 비압축성

– 혈액유동을 포함하는 대부분의 생체공학적인혈액유동을 포함하는 대부분의 생체공학적인유동은 비압축성 유동으로 해석• ex) 압축성 유체공학 : 기체를 주로 다루는 내연기• ex) 압축성 유체공학 : 기체를 주로 다루는 내연기

관, 항공역학…

( )• 레이놀즈수 (Reynolds number)– 무차원변수 : 층류유동과 난류유동을 구분하는 기준

• 점성력에 대한 관성력의 비• 점성력에 대한 관성력의 비

– Re가 매우 작은 경우 : 점성력이 지배, 관성을 무시

– Re가 매우 큰 경우: 관성력이 지배, 점성의 효과를 무시

유체밀도 점성계수 특성길이 l 속도 V• 유체밀도 ρ, 점성계수 μ, 특성길이 l, 속도 V

난 ( )• 난류유동 (Turbulent flow)

– 유선이 발견되지 않음

– 유체는 질량의 소용돌이유체는 질량의 용돌이

– 속도분포 : 중앙에서 최대, 벽부근에서 중앙의 절반 정도

– 원형관에서 Re > 2000 일 때 발생

층 ( )• 층류유동 (Laminar flow)

– 유체의 입자가 서로 층을 이루어, 뒤섞임 없이 질서있게 흐르는 상태

– 원형관 내에서의 층류유동원형관 내에서의 층류유동

• 벽부근 속도는 0, 관의 중앙에서 최대

• 관내에서 속도분포는 포물선

• 평균속도는 중심속도의 약 0 5배평균속도는 중심속도의 약 0.5배

• Re < 2000

• Poiseuille flow

– 일정한 단면을 가진 원형튜브내를 흐르는 정일정한 단면을 가진 원형튜브내를 흐르는 정상상태의 층류유동• 튜브의 반지름이 2배 늘어나면 유량은 16배로 증튜브의 반지름이 2배 늘어나면 유량은 16배로 증

가 (관저항이 1/16로 감소)

• 튜브의 반지름이 ½로 줄어들면 유량은 1/16으로감소 (관저항이 16배로 증가)

• 에너지 보존 방정식– 수직응력, 전단응력, 중력, 외부에서 받는 압력을 고려

거의 현상을 수있다• Navier-stokes Eq. 거의 모든 유동 현상을 풀수있다?

– 유체흐름의 운동량 미분방정식

가정 1) 뉴턴 유체– 가정 1) 뉴턴 유체

– 가정 2) 비압축성 유체

– 에너지보존식에에너지 존식에

연속방정식(질량보존)을 적용

- CFD 프로그램의 기본원리

Cylindrical Coord.

H d i (혈역학)• Hemodyamics(혈역학) – 혈액의 압력과 유량에 대한 측정과 해석

• CO : Cardiac Output 심박출량• MAP : Mean Artery Pressure 평균동맥압• BP(dia) : Diastolic Blood Pressure 이완기혈압• BP(sys) : Systolic Blood Pressure 수축기혈압

PVR P l V l R i t 폐혈관저항• PVR : Pulmonary Vascular Resistance 폐혈관저항• SVR : Systemic Vascular Resistance 체순환혈관저항 = TPR(Total

Peripheral Resistance)• RAP : Mean Right Atrial Pressure 평균우심방압 ≒ CVP(Central• RAP : Mean Right Atrial Pressure 평균우심방압 ≒ CVP(Central

Venous Pressure) 중심정맥압• HR : Heart Rate 심박수

• D'arcy's Law– Flow = Pressure/Resistance– CO=(MAP-RAP)/TPR