Heat transfer 7th week lecture

Chapter 4: Two-dimensional steady-state conduction

■ 서론

비정상상태의 열전달: 평형상태, 정상상태가 이루어지기전 중간단계에서 발생하는 과도상태의 가열 혹은

냉각과정에서의 열전달을 말한다.

평형상태에 도달하기 전까지의 과정은 시간에 따라 내부에너지가 변하는 과도적 가열 또는 냉각이 일어나기

때문에 지금까지 적용해온 해석방법은 수정이 필요하며 물리적 상황이 비정상 열전달 문제에 적합하도록

경계조건 또한 조절되어야 한다.

비정상상태의 열전달 = 과도상태의 가열 혹은 냉각

▶ 왜 비정상상태가 중요한가?

실용적인 측면에서 볼때, 산업분야에서 발생하는 가열과 냉각과정에 대한 해석이 빈번히 요구되며, 실제

산업분야에서는 비정상상태의 열전달이 많이 발생하므로, 그에 알맞은 해석이 필요하다.

■ 열전달에서의 과도상태

열전달에서의 과도상태는 크게 두가지로 나눌 수 있다.

1. 비주기적 과도상태: 온도가 시간에 대해 일반적인 비선형 함수의 형태로 변화한다.

2. 주기적 과도상태: 온도의 변화가 정기적 혹은 비정기적 형태로 싸이클을 형성한다.

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또한, 주기적 과도상태는 정기적과 비정기적 주기의 과도상태로 구분할 수 있다.

1. 정기적 변화: 온도의 변화가 조화함수의 형태, 즉 일반적인 sin이나 cos 함수를 따른다.

2. 비정기적 변화: 온도의 변화가 주기적이기는 하지만 조화함수의 형태는 아니다.

■ 해석적 방법

해석적 방법은 2 차원 정상상태에의 해석적 방법과 비슷하게 편미분 방정식을 직접적으로 푼다.

편미분 방정식의 해를 두변수의 곱의 형태로 표현할 수 있다고 가정하면 두개의 상미분 방정식을 얻을 수

있다(차이점은 이차원의 경우는 공간에 대한 이차원 방향, 즉 X 와 Y 방향에 대한 2 개의 미분방정식을 통해

해석적 방법을 적용하지만, 비정상상태(1 차원)에서는 X 방향(공간)과 T(시간)에 대한 2 개의 미분방정식을

통해 해석적 방법을 이용한다).

다음과 같은 예시를 생각해 보자. 두께가 2𝐿 이고 판의 온도는 𝑥 에 대한 함수로써 처음의 온도 𝑇𝑖 로

유지되다가 시간 𝑡 = 0에서 판의 표면온도가 갑자기 𝑇 = 𝑇1로 낮아졌다.

▶ 주어진 조건을 살펴보면;

두께가 2𝐿인 무한평판 – 길이가 무한이므로 두께방향으로의 열전달만 고려 – 1차원 열전달

내부열원이 없으므로 𝒒/𝒌 = 𝟎

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초기조건은 처음의 온도가 𝑇𝑖이고 판의 표면오도가 갑자기 낮아 졌으므로 𝑡 = 0에서 𝜃𝑖 = 𝑇𝑖 − 𝑇1

경계조건은 판의 표면온도가 𝑇1이 되었으므로 𝑥 = 0 및 𝑥 = 2𝐿에서 𝑇1 − 𝑇1 = 𝜃 = 0

이경우의 최종급수해는 편미분 방정식을 풀이하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

𝜃

𝜃𝑖

=𝑇 − 𝑇1

𝑇𝑖 − 𝑇1

=4

𝜋∑

1

𝑛𝑒−[𝑛𝜋 2𝐿⁄ ]2𝛼𝑡 𝑠𝑖𝑛

𝑛𝜋𝑥

2𝐿

∞

𝑛=1

𝑛 = 1, 3, 5 …

식에서 알 수 있듯이, 𝑡 = 0에서 우변의 급수는 모든 𝑥값에 대해 1 로 수렴한다.

■ 집중열용량계

과도 열전도문제를 온도가 균일한 시스템으로 고려하는 해석적 방법을 집중열용량법이라 한다. 열이 물체로

들어오거나 나간다면 물체내에 온도구배가 반드시 존재하게 되므로, 이런 시스템은 이상적인 경우로서 특정

경우에만 가정을 통해서 활용 가능하다.

모든 열전달 과정은 내부와 표면 저항의 영향을 받는데, 내부 저항이 외부 저항에 비해 매우 작을 때 (즉,

열전도계수가 매우 클 때) 이 열전달과정을 표면 저항에만 영향을 받는 다고 가정할 수 있다 – 물체내부의

온도구배가 없다. 다시 말해서, 물체 내부에서의 전도 열저항이 구 표면에서의 대류열저항에 비해 매우

작아서(즉, 전도가 대류에 비해서 매우 빨라서: k 값이 h 값에 비해 매우 큰 경우) 물체 내부의 온도분포가

균일하다고 가정할 수 있다.

물체의 열손실 (대류열손실) = 물체의 내부에너지 감소 – 열역학 제 1법칙 (에너지 보존의 법칙)

𝑞 = ℎ𝐴(𝑇 − 𝑇∞) = −𝑐𝜌𝑉𝑑𝑇

𝑑𝑡

열전달과 열역학 제 1 법칙을 적용하면, 위와 같은 식을 쓸수 있다. 𝑐는 비열, 𝜌는 밀도, 𝑉는 체적이므로,

오른쪽 식은 현재의 체적에서 물질의 온도를 1 도 높이는 데 필요한 열량 곱하기 온도 변화이므로 결국

열량의 변화를 뜻하게 되고, 좌변은 대류를 통한 열손실을 의미한다.

주어진 미분방정식을 초기조건 𝑡 = 0 에서 𝑇 = 𝑇0과 함께 변수 분리법을 통해서 풀면 다음과 같은 결과를

얻을 수 있다.

𝑇 − 𝑇∞

𝑇0 − 𝑇∞

= 𝑒−[ℎ𝐴/𝜌𝑐𝑉]𝑡

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이 식은 물체가 주변온도와 평형을 이루어 정상상태에 이르기까지 무한대의 시간이 걸린다는 것을 보여준다.

여기서 지수함수의 지수를 -1 로 만드는 t 의 값을 시간상수 (혹은 시정수)라 부르고 다음과 같이 쓸 수 있다.

이는 온도의 변화가 초기 온도변화의 36.8%에 이르는 시간을 말한다.

𝑡 =𝑐𝜌𝑉

ℎ𝐴

♠ (참고) 시정수: 어떤 회로 어떤 물체 혹은 어떤 제어대상이 외부로 부터의 입력에 얼마나 빠르게 혹은

느리게 반응할 수 있는 지를 나타내는 지표 – 지수 함수의 지수(감소 혹은 증가 속도를 나타낸다): 방사성

붕괴에서, 반응의 시정수는 붕괴하는 원자의 평균 수명이기도 하다. 각 원자는 붕괴할 때까지 유한한

시간동안 살아있고, 평균 수명은 모든 원자의 수명의 산술 평균이 된다(왜 1/e? – 1/e 가 자연적으로

나타나는 숫자라서 많이 쓰이기 때문이다)

앞서 강조했듯이, 집중열용량계는 표면 대류 열저항에 비해 내부전도 열저항이 무척작아 내부 온도변화가

없이 시스템을 해석한므로 복잡한 경우를 간단하게 풀이할 수 있다.

▶ 언제 집중열용량계를 사용할 수 있는가?: 교재에 의하면 아래의 식이 0.1 보다 작을 때 집중열용량계는

5%이내에서 합리적인 결과를 얻는다(집중열용량계 해석을 사용할 경우 좋은 결과를 얻을 수 있는 실용적인

경우가 매우 많이 존재 – 표 4.1).

ℎ(𝑉/𝐴)

𝐾< 0.1

고체의 특성길이 s를 V/A라 하면 위의 식은 𝒉𝒔/𝑲가 되고 이를 Biot number라고 한다.

▶ Biot number(앞서 2 차원 정상상태에서 수치적 방법에 등장했음)

대류경계에 노출된 표면을 다룰 때 등장)는 물체내부의 온도변화(무시할 수 있는지 혹은 반드시 고려를

해야한는지)를 표면온도 변화에 대한 비로서 나타내는 숫자로서, 일반적으로 <0.1 일때, 물체내부의

온도변화를 무시할 수 있다. 즉, 0.1 보다 작다는 것은 내부 열저항이 표면 열저항보다 훨씬 작다는 뜻이므로,

물체 내부의 열전도가 표면에서의 대류보다 훨씬 빨리 일어나서 내부 온도변화를 무시할 수 있다.

𝑩𝒊𝒐𝒕 𝒏𝒖𝒎𝒃𝒆𝒓 = 내부 열저항

표면 열저항=

∆𝑥𝐾𝐴1

ℎ𝐴

=ℎ∆𝑥

𝐾

♠ 수치적 방법의 경우 단위 면적과 길이를 썼으므로 고체의 특성길이로서 열전도 방향으로 길이가 쓰였다.

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■ 집중열용량계 예제

1. 초기 온도가 450°C 인 지름 5cm 의 강철구 (𝑐 = 0.46𝑘𝐽/𝑘𝑔°𝐶, 𝑘 = 35𝑊/𝑚°𝐶)가 온도가 100°C 로

유지되는 유체에 노출 되었다. 이때 대류 열전달 계수를 10𝑊/𝑚2°𝐶라고 하면 강철구의 온도가 150°C 로

냉각될 때까지 걸리는 시간을 계산하여라(예제 4.1, Holman 10th

edition, 2011)

(solution)

Biot number 가 0.1 보다 작기 때문에, 내부의 온도가 균일하다고 가정할 수 있다 (주어진 문제에서 𝑘가 ℎ에

비해 3.5 배 크기 때문에 내부열저항이 표면열저항 보다 작음을 예상할 수 있다). 그러므로 집중열용량계를

이용하면, 다음과 같은 식으로 온도구배를 구할 수 있다.

𝑇 − 𝑇∞

𝑇0 − 𝑇∞

= 𝑒−[ℎ𝐴/𝜌𝑐𝑉]𝑡

식에서 t 를 제외한 모든 값을 알기 때문에 (초기온도 450 도, 유체온도 100 도, 냉각된 온도 150 도)

150 도까지 냉각될 때 걸린 시간을 구할 수 있다. 강철의 밀도는 표 A.2 를 통해서 알수 있다.

2. 초기온도가 800°C로 일정하게 유지되고 있는 지름 6cm의 공이 갑자기 20°C 유체에 노출되었다. 열전달

계수의 값이 450 𝑊/𝑚2 · 𝐾 라면, 45초후의 공의 온도를 구하여라(단, 공의 𝑘 = 400 𝑊/𝑚 · 𝐾 , 𝜌 =

7000 𝑘𝑔 𝑚3⁄ , 𝑐𝑝 = 400 𝐽 𝑘𝑔 ∙ 𝐾⁄ 이다)

(solution)

구의 특성길이는

𝑠 =𝑟

3=

0.03

3= 0.01𝑚

Bi number를 구하면,

𝐵𝑖 =ℎ𝑠

𝑘=

450 × 0.01

400= 0.01125 < 0.1

그러므로, 집중열용량계를 사용할 수 있다.

𝑇 − 𝑇∞

𝑇0 − 𝑇∞

= 𝑒−[ℎ𝐴/𝜌𝑐𝑉]𝑡 → ℎ𝐴

𝜌𝑐𝑉=

3ℎ

𝜌𝑐𝑟=

3 × 450

7000 × 400 × 0.03= 0.0161

𝑇 − 𝑇∞

𝑇0 − 𝑇∞

= 𝑒−0.0161𝑡 ⟹ T = 𝑒−0.0161×45 × (800 − 20) + 20 = 398℃

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■ 반무한고체에서의 과도 열전달

▶ 갑자기 온도가 변하는 표면에서 반무한 고체의 온도 응답

반무한 고체는 𝑦𝑧 평면이 고정되어 있고, x 축 방향으로 무한히 뻗어나가는 고체이다 (예시: 지구).

Figure 1. Transient heat flow in a semi-infinite solid (Holman 10th edition, 2011)

초기온도가 𝑇𝑖로 유지되는되는 반무한고체가 갑자기 𝑇0로 온도가 낮아진후 그 온도로 유지되었을 때 고체

내부의 온도분포를 시간의 함수로 구하는 것을 생각해 보도록 하자.

𝑥축 방향만 생각하므로 1 차원 전도가 될것이고 (반무한고체에서는 𝑦𝑧고정), 비정상상태이기 때문에 아래와

같은 온도분포에 대한 편미분방정식을 세울 수 있다.

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2=

1

𝛼∙

𝜕𝑇

𝜕𝑡

경계조건은 다음과 같다.

𝑇(𝑥, 0) = 𝑇𝑖

초기조건은 아래와 같다.

𝑇(0, 𝑡) = 𝑇0

교재에서 이문제의 풀이는 Laplace 변환을 통해서 풀수 있다라고 명시되어 있으며, 최종해는 아래와 같은

식으로 주어진다. 이때 erf 는 가우스 오차함수이다.

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𝑇(𝑥, 𝑡) − 𝑇0

𝑇𝑖 − 𝑇0

= erf𝑥

2√𝛼𝑡

그러면, 가우스 오차 함수를 알아야 하는데, 가우스 오차함수는 아래와 같이 정의된다.

erf𝑥

2√𝛼𝑡=

2

√𝜋∫ 𝑒−𝜂2

𝑑𝜂𝑥/2√𝛼𝑡

그러므로 𝑥방향으로의 위치와 시간에 따른 온도 분포는 아래와 같이 구할 수 있다.

𝑇(𝑥, 𝑡) − 𝑇0

𝑇𝑖 − 𝑇0

=2

√𝜋∫ 𝑒−𝜂2

𝑑𝜂𝑥/2√𝛼𝑡

가우스 오차함수는 간략화된 표가 교재의 부록(A.2)에 주어져 있고(교재 이외에도 다양한 서적이나 온라인

소스를 통해서 찾을 수 있다), 혹은 𝑥/2√𝛼𝑡 에 따른 온도 응답 곡선이 이미 주어져 있으므로(그림 2) 위의

식을 알면 쉽게 온도분포를 구할 수 있다.

Figure 2. Response of semi-infinite solid to sudden change in surface temperature (Holman 10th edition, 2011)

이때 열전달은 푸리에의 전도법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.

𝑞 = −𝑘𝐴𝜕𝑇

𝜕𝑥

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위의 식을 구하기위해 온도분포 식을 𝑥에 대해서 편미분 하면

𝜕𝑇

𝜕𝑥= (𝑇𝑖 − 𝑇0)

2

√𝜋𝑒

−𝑥2

4𝛼𝑡𝜕

𝜕𝑥(

𝑥

2√𝛼𝑡) =

𝑻𝒊 − 𝑻𝟎

√𝝅𝜶𝒕𝒆

−𝒙𝟐

𝟒𝜶𝒕

따라서 𝑥 = 0일 때, 즉 표면에서의 열전달은 아래와 같은 식으로 구할 수 있다.

𝑞0 =𝑘𝐴(𝑇0 − 𝑇𝑖)

√𝜋𝛼𝑡

▶ 일정열유속 조건의 반무한 고체

초기에는 동일한 온도분포를 유지하고 있는 반무한 고체의 표면이 갑자기 일정한 크기의 열유속 𝑞0/𝐴에

노출된 경우를 생각해 본다.

이때의 초기조건은 다음과 같다.

𝑇(𝑥, 0) = 𝑇𝑖

경계조건은 다음과 같다.

𝑞0

𝐴= −𝐾

𝜕𝑇

𝜕𝑥]

𝑥=0 for 𝑡 > 0

초기조건과 경계조건을 이용하여 주어진 경우에 대한 해를 구하면 최종적으로 아래와 같은 식을 얻을 수

있다.

𝑇𝑖 − 𝑇0 =2𝑞0√

𝛼𝑡𝜋

𝐾𝐴𝑒

−𝑥2

4𝛼𝑡 −𝑞0𝑥

𝐾𝐴(1 − erf

𝑥

2√𝛼𝑡)

▶ 표면에서의 에너지 펄스

𝑞0/𝐴 의 크기가 에너지 펄스의 형태로 주어질때, 즉 짧은 시간마다 주기적으로 q0/A 의 열이 표면에

주어질때의 온도응답은 아래와 같은 식으로 표현할 수 있다.

𝑇 − 𝑇𝑖 = [𝑄0/𝐴𝜌𝑐(𝜋𝛼𝑡)1/2]𝑒−𝑥2

4𝛼𝑡

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책에 나와 있듯이, 일정열유속조건일 때는 온도가 시간에 따라 무한정으로 올라가는 반면 주기적 펄스에

대한 온도 응답은 시간의 경과에 따라 사라진다 – 식을 통해서 파악할 수 있다.

Figure 3. . Response of semi-infinite solid to instantaneous surface pulse of Q0/A [J/m

2] (Holman 10th edition,

2011)

♠ 𝑞0와 𝑄0의 차이가 무엇인가? – 열전달률 (단위: W)와 열량 (단위: J)이다. 즉, 열유속은 단위시간당

에너지 흐름이고, 에너지 펄스는 에너지 양을 의미한다.

♠ 그림 2 및 3: 도표에서 보여지듯이, 𝑥축에 있는 값을 구하기만 하면 도표를 통해서 온도응답을 구할 수

있으며, 또한, 앞서 말한 식의 형태가 그림 2 와 3 에 나타난다. 즉, 왼쪽에서 보듯이 반무한고체의 표면

온도가 갑자기 바뀌었을 경우에는 정상상태에 도달하게 되는 반면 순간적인 에너지 펄스가 주어지는 경우

시간의 증가에 따라 온도응답이 사라진다.

♠ (참고)핀의 열효율도 마찬가지 (열전달에서는 편미분이 많고, 해석적 방법을 통해서 직접적으로 구하기

어려운 경우가 많이 있으므로, 도표를 통해서 쉽게 접근하는 경우가 많이 있다 – 4.4장 대류경계조건)

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■ 반무한고체에서의 과도 열전달 예제

1. 두꺼운 순철조각이 0°C 에 있다. 이 조각의 표면온도가 갑자기 60°C 로 변하였을 때 1 분후 이 조각의

2.5cm 깊이에서의 온도를 구하여라. 순철에 대한 열적 정보는 다음과 같으며, 주어진 정보만을 활용하여

문제의 답을 구하여라. (𝜌 = 7900 𝑘𝑔 𝑚3⁄ , 𝑐𝑝 = 450 𝐽 𝑘𝑔 ∙ 𝐾⁄ , 𝑘 = 80 𝑊 𝑚 ∙ 𝐾⁄ )

(solution)

주어진 문제는 갑자기 표면온도가 높아진 경우이므로, 다음의 식을 이용할 수 있다.

𝑇(𝑥, 𝑡) − 𝑇0

𝑇𝑖 − 𝑇0

= erf𝑥

2√𝛼𝑡

𝛼 =𝑘

𝜌𝑐𝑝

=80

7900 × 450= 2.25 × 10−5 𝑚2 𝑠⁄

𝑥

2√𝛼𝑡=

0.025

2√2.25 × 10−5 × 60= 0.34 (5 점) ⟹ erf(0.34) = 0.369

∴𝑇 − 𝑇0

𝑇𝑖 − 𝑇0

= 0.369 ⟹ 𝑇 = 0.369(0 − 60) + 60 = 37.86℃

2. A large block of steel (𝑘 = 45𝑊/𝑚°𝐶, 𝛼 = 1.4 × 10−5𝑚/𝑠) is initially at a uniform temperature of

35°C. The surface is expose to heat flux

a) Suddenly raising the surface temperature to 250°C

b) constant heat flux (𝑞0/𝐴 = 3.2 × 105𝑊/𝑚2)

c) Energy pulse (𝑄0/𝐴 = 5.2 × 107𝐽/𝑚2)

Calculate the temperature at a depth of 2.5 cm after a time of 30 sec for these cases (예제 4.2,

Holman 10th edition, 2011)

3. A large slab of Al (𝑘 = 215𝑊/𝑚°𝐶, 𝛼 = 8.4 × 10−5𝑚/𝑠), suddenly surface temp. lowered to 70°C

(예제 4.3, Holman 10th edition, 2011)

a) What is the total heat removed from the slab per unit surface area?

b) When the temperature at a depth of 4 cm has dropped to the temperature of 120°C