-103-

Chapter 5 Distributed Forces

5.1 Introduction ในบทเรยนทผานมาแรงทงหมดทเราพจารณาจะอยในรป “Concentrated load” ซงเปนการกระท าเฉพาะจดและมทศทางของแรงตามแนวเสนตรงทกระท า ซงในความเปนจรงแลว Concentrated load ไมไดเปนการกระท าเฉพาะจดจรงอยางทวาแตมนเปรยบเสมอนเปนแรงภายนอกทกระท าไปทวตถใด ๆ แลวมการกระจายของแรงไปในพนทสมผส แตอยางไรกตามพนทของการกระจายของแรงคอนขางเลก เชน เชน แรงปฏกรยาทกระท าบนลอรถยนต ดงรป 5.1 (a) เราพบวาแรงจะมการกระจายทวพนทผวสมผสทงหมด ยงถายางรถยนตทมลมคอนขางออน ดงรป 5.1 (b)

รปท 5.1 แตสงทนาสนใจอกอนหนงและส าคญคอ การหาการกระจายของแรงภายใน (internal forces) ในวสดของวตถทบรเวณใกลเคยงกบต าแหนงของหนาสมผส ซงมนจะเกดความเคนและความเครยดภายใน (internal stresses and stains) ชนดของปญหาทวานตองการความรเกยวกบคณสมบตของวสดและระบบกลไกของวสด รวมทงทฤษฎของความยดหยน (elasticity) ปกตแลวม 3 หวขอใหญๆทตองน ามาพจารณาในการกระจายของแรง

-104-

Line distribution เมอแรงถกกระจายไปตามเสนตรงเปรยบเสมอนแรงทกระท าในแนวดง โดยท าให สายเคเบลยดออก ดงรป 5.2 (a) โดยความเขม (w) ของแรงถกแทนดวยแรงตอหนวยความยาวของเสนตรง มหนวยเปน (N/m) Area Distribution เมอแรงถกกระจายเหนอพนทใดพนทหนงจะเปรยบเสมอนความดนของน าทถกตาน โดยพนทหนาตดภายในของเขอน ดงรป 5.2 (b) ความเคนถกแทนดวย แรงตอหนวยพนท ซงหมายถงความดน (pressure) มหนวยเปน N/m2 หรอ Pascal (Pa)

Volume Distribution เปนแรงทถกกระจาย เหนอปรมาตรทงหมดของวตถ ซงเรา เรยกวา Body forces ซงปกตทเรารจกกน คอ แรงโนมถวงซงความเขมของแรงโนมถวง จะเปนน าหนกเฉพาะ ( g ) โดย

แทนดวยความหนาแนน (มวลตอหนวยปรมาตร) และ g เปนความเรงของแรงโนมถวงมหนวยเปน N/m3

รป 5.2

Section A. Centers of Mass and Centroid 5.2 Center of Mass จดศนยกลางมวล (Center of mass, G) หรอจดศนยกลางความโนมถวง (Center of gravity) หมายถงจดศนยรวมของแรงดงดด หรอน าหนก ของโลกทกระท าตอวตถ

-105-

จดเซนทรอยด (Centroid, C) คอจดศนยกลางของรปทรงใด ๆ ในกรณทวตถมความหนาแนนมวล เทากนในทก ๆ สวนของวตถ จดศนยกลางมวลและจดเซนทรอยดจะเปนจดเดยวกน

วธการหาต าแหนงของจดศนยกลางมวลของวตถใด ๆ เราจะใชหลก Principle of moment โดย moment ของแรงโนมถวงลพธ (W) ทหมนรอบแกนใด ๆ จะมคาเทากบ ผลรวมของโมเมนตรอบแกนทเหมอนกนของอนภาคภายในวตถนน (dw) ผลรวมของแรงโนมถวงบนอนภาคทงหมด จะมคาเทากบน าหนกของวตถนน ๆ ซงคาเทากบ W = dw

ดงนนถาเรา apply หลกของโมเมนตรอบแกน y คาของ element weight จะมคาเทากบ xdw และผลรวมของโมเมนตเหลานทงหมดของวตถจะมคาเทากบ xdw หรอเทากบ Wx ท าใหเราสามารถหาต าแหนงของจดศนยกลางโนมถวง (G) มคาเทากบ

x = wxdw y = w

ydw z = wzdw (5.1)

แต W = mg และ dW = gdm

x = mxdm y = m

ydm z = mzdm (5.2)

ถาเขยนอยในรปของเวกเตอรฟอรม ดงรป 5.3 ซงจดศนยกลางมวล G ถกบอกต าแหนงโดย

เทยบกบเวกเตอร r = x^i + y

^j + z

^k และ r =

^ix +

^jy +

^kz ดงนนสมการ 5.2 จะถกเขยนใหม

ในรป

r = mrdm (5.3)

-106-

ในทนเราจะกลาวถงเฉพาะวตถทมความหนาแนนมวล p เทากนในทก ๆ สวนของวตถ ดงนนจดเซนทรอยดของรปทรงตาง ๆ สามารถหาคาไดดงน

1) กรณทเปนเสน (Line)

dm = AdL m = A dL = AL

x = LxdL , y = L

ydL , z = LzdL (5.4)

โดย ( x , y , z ) แทนต าแหนงของจดเซนทรอยดของเสน ความยาว L

2) Areas dm = tdA, m =

dAt = tA

x = AxdA , y =

AydA

, z = A

zdA

(5.5) โดย ( x , y , z ) แทนต าแหนงของจด Centriod ของ พนท A

3. Volumes

dm = dv, m = dv = v

x = VxdV , y = V

ydV , Z = V

zdv

โดย ( z,y,x ) แทนต าแหนงของจด centroid ของปรมาตร V

-107-

4) Choices of element for integration วธการเลอกสวนยอย ๆ เพอน ามาค านวณหา Centroid position มดงน

4.1 Order of element (อนดบของสวนยอย) ควรเลอกใชสวนยอยทมอนพนธนอยทสดเพราะจะท าใหงายตอการค านวณ หรออนทรเกรต การหาคา เชน รป 5.4(a) element มคา dA = dy เปนอนพนธอนดบ1 แตถาเปนรป 5.4(b) element มคา dA = dxdy เปนอนพนธอนดบทสอง ท าใหยากตอการ integration รปท

5.5(a) element มคา dv = dyr2 เปนอนพนธอนดบ 1 แตถาเปนรป 5.5(b) element มคา dv = dx dy dz เปนอนพนธอนดบ 3 ท าใหยากตอการ integration

4.2 Continuity (มความตอเนองใน element) หมายรวมถง การ integration ตองครอบคลมพนททงหมด เชน รป 5.6(a) element dA เปนแกนในแนวนอน โดย dA = dy เมอ integrate ดวยคา limit ของ y จะครอบคลมพนททงหมดได สวนรป 5.6(b) element dA แทนดวยแกนในแนวตงโดย dA = ydx แตคา x ม limit ตงแต ถง x = x1 เทานน ซงไมครอบคลมพนททงหมด

4.3 Discarding higher-order terms (ไมพจารณาเทอมทสงกวา) เชนรป 5.7 พนทของ element dA = ydx + 2

1 dx dy เทอมทเปนอนพนธอนดบท 2 จะไมถกน ามาพจารณาเพราะคามคาเขาใกลศนย ดงนน dA = ydx เทานน

-108-

4.4 Choices of Coordinates (เลอก coordinate ใหเหมาะสม) เชนรป 5.8(a) สมการเสนโคงทก าหนดใหคอ x = ky2 (xy coordinate) สวนรป 5.8(b) สมการเสนโคง คอ x = r (r - θ coordinate) ตวอยางท 5.1 จงหาต าแหนงของจด centroid ของ circular arc ดงแสดงในรป

Solution เลอกแกนสมมาตรโดยใหเปนแกน x เพอท าใหคา y = 0 โดยสวนโคงเลก ๆ จะมความยากเทากบ dL = rd โดยใหอยในรป polar coordinate ดงนนคาของ x มคาเทากบ rcos L x = xdL โดย L = 2 r

(2 r) x =

α

α

θ )cosr( rd

= r2sin |

= 2r2sin

x =

sinr # ในกรณทเปนครงวงกลม 2 = แลว x = π

r2 #

-109-

ตวอยางท 5.2 จงหาระยะทาง h จากฐานของสามเหลยมซงมความสง h กบจด centroid ของสามเหลยม ดงรป

Solution ให x – axis เปนแกนรวมกบฐาน โดยใหแกนพนทเลก ๆ dA = xdy

A y = dAy c

21 bh y = dAy c โดย = yh

x = h

b

แต dA = xdy = h)yh(b dy x = h

)yh(b

21 bh y = y h

)yh(b dy

=

h

0h

2by )by( dy

= 2

2y –h3

3y | h0

= 22h – 3

2h = 62h22h3

21 h y = 6

2h

y = 3h #

ตวอยางท 5.3 Centroid of the area of a circular sector จงหาต าแหนง centroid ของพนทของสวนของวงกลมโดยเทยบกบจดยอดของมน

-110-

Solution I x– axis ถกเลอกเปนแกนสามาตร โดย y = 0 รศมของ ring มคาเทากบ 0r และความหนาเทากบ 0dr ดงนน dA = x 0dr = 0r (2 ) 0dr = 2 0r 0dr โดย x – coordinate ของ

จด centroid คอ cx มคาเทากบ

sin0r

A x = cx dA

22 ( 2r ) x =

r

0

sin0r (2 0r 0dr )

xr2 =

r

0

20sinr2 0dr

= 2sin 3)3

0r( | r

0

= 32 sin )r( 3

x = 32

sinr #

Solution II ถา centroid ของ area อยบนจดใด ๆ บนวงกลม โดยไมไดอยบนแกน x ดงรป ดงนน

dA = 21 (ฐาน)(สง) = 2

1 (x) (r) = 21 (rd )(r)

= 21

dr2

-111-

จาก A x = cx dA

( 2r ) x = )cosr ( 3

2θ

( 21

dr2 )

( 2r ) x = 3

2 αsinr3

x = 32

α

αsinr #

ดงนนถา 2 = x =

34

ตวอยางท 5.4 Hemisphere Volume จงหาต าแหนง centroid ของปรมาตรของ hemisphere ซงมรศม r โดยเทยบกบฐานของมน

Solution 1 การเลอกแกนแสดงดงรป โดย x = z = 0 ซงสมมาตร element สวนใหญเปนรป slice ซงมความหนา เทากบ dy ขนานกบระนาบ x– z แตครงทรงกลมตดกบระนาบ y – z มสมการดงน

y 2 + 2z = 2r โดยรศมของ slice วงกลมมคา z = 22 yr ดงนนปรมาตรของ slice มคาเทากบ

dv = dyz2 = )y22

r( dy v y = dvy c

y

r

0

22 yr( ) dy =

r

0

22 )yr(y dy

-112-

โดย cy = y

y r03

y2 yr3

= r

04y

2y2 r

42

y

33r3r =

44r

24r

yr332 = 4

41 r

y = r83 #

ตวอยางท 5.5 จงหาต าแหนงจดเซน ทรอยดของพนทดงรป

Solution dA = ydx , cx = x และ cy = 2y

จาก A = a

0ydx

= a

0b (1– 2a

2x ) dx

= bx – 2a3

3bx a0 |

= ba – 3ba = 3

2 ab หลกการหา Centroid Considering x

-113-

A x =

a

0c dAx

xab32 =

a

0xydx

xab32 =

a

02a

2x )1(bx dx

= a02a4

4bx22bx |

= 42ba

22ba

xab32 = 4

2ba x = 8

a3 Ans Considering y

A y =

a

0c dAy

yab32 =

a

02

2y dx

= dx)1( 2a

02a

2x22b

-114-

=

a

04a

4x2a

2x222b dx)1(

= a

04a5

5x2a3

3x222b x

= 5a

3a2

2b a

2

yab32 = 15

a822b

y = 5

b2 #

ตวอยางท 5.6 Determine the x–y coordinates of the centroid of the shaded area shown

Solution จดตดของกราฟอยท (0, 0) และ (2, 2)

dA = (y 2 – 1y ) dy = ( x2 – 43x ) dx

cx = x, cy = 21y2y

= 243x2

1x 2

cy = 221

x + 83x

A = 2

043x2

1x 2( ) dx

-115-

= 2016

4x323

x | 22

= 38 –1 = 3

5

หาจด Centroid x A x = cx dA

x35 = )x 2( x 4

3x212

0 dx

= 2

0)

4

4X23

X2( dx

= 2020

5x225

x | 25

= 10 – 58 = 5

42 Ans

A y = cy dA = 2

0

21

2x

( + 21

x2()3

3X - )

4

3X dx

= 2

0

2

0326x2

7

241 xx

dx =

2

02247x

3629

x22x 2

y35 = 2 -

74

98

= 633656126 = 63

34 y = 10534 Ans

ตวอยางท 5.7 จงหาคาแหงของจด Centroid ของพนทแรเงาระหวางรปวงกลมและ ellipse

-116-

Solution (1) x-axis is symmetry of area, So Centroid is ( x ,0)

(2) ellipse equation ; 2a

2x + 2b

2y = 1

x = 22ba yb

circle equation, 2x + 2y = 2b

x = 22 yb

dA = ( dy)xx =( )yb)(1 22ba

dy

cx = 2

xx

A = )1(b

bba

( 22 yb ) dy

= )1( ba

b

b2122 )yb( dy

give y = bsin dy = bcos d

)yb( 22 dy = 21222

)sinbb( ) bcos d

= d)cosb)(cosb( = dcosb 22

= 2b dcos2 = 2b

212cos

(θ

d

= 2 202

2sin22b

= 00b 2

2

A = )2

b)(1ba

( 2 π =2b

2ab 2ππ =

2π

(ab – 2b )

จาก A x = cx dA

-117-

21 (ab – 2b ) x = )(

b

b2

xx

( x– x) dy

= 21 )xx(

b

b

22

dy

=

b

0

222

2yb

ba –

22 yb dy

= )yb)(1( 22b

02b

2a dy

= )1( 2b

2a

b

03

3y2yb

= )1( 2b

2a )b( 3

3b3

= 332 b )1( 2b

2a

x = 332 b 2b

)ba)(ba( )ba(b

2

= )ba(34 #