Chapter 9 Chapter 9 高度平衡二元搜尋樹高度平衡二元搜尋樹

9.1 何謂高度平衡二元搜尋樹9.1 何謂高度平衡二元搜尋樹 9.2 9.2 AVL-treeAVL-tree的加入的加入 9.39.3AVL-treeAVL-tree的刪除的刪除

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9.19.1 何謂高度平衡二元搜尋樹何謂高度平衡二元搜尋樹 高度平衡二元搜尋樹（ height balanced

binary search tree ）在 1962 年由 Adelson-Velskii 和 Landis 所提出的，因此又稱為 AVL-tree 。

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9.19.1 何謂高度平衡二元搜尋樹何謂高度平衡二元搜尋樹 AVL-tree 定義如下：一棵空樹（ empty tree ）

是高度平二元搜尋樹。假使 T 不是空的二元搜尋樹， TL 和 TR 分別是此二元搜尋樹的左子樹和右子樹，若符合下列兩個條件，則稱 T 為高度平衡二元搜尋樹： TL 和 TR 亦是高度平衡二元搜尋樹， |hL-hR| < 1 ，其中 hL 及 hR 分別是 TL 和 TR 的

高度。

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9.19.1 何謂高度平衡二元搜尋樹何謂高度平衡二元搜尋樹 在一棵二元搜尋樹中有一節點 p ，其左子樹

(TL) 和右子樹 (TR) 的高度分別是 hL 和 hR ，而BF(p) 表示 p 節點的平衡因子（ balanced factor ）。

平衡因子之計算為 hL-hR 。在一棵 AVL-tree 裡，每一節點的平衡因子為 -1 或零或 1 ，即 |BF(p) | < 1 。

圖 9-1 不是一棵 AVL-tree ，因為 M 節點的平衡因子是 -2 。

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9.19.1 何謂高度平衡二元搜尋樹何謂高度平衡二元搜尋樹

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9.2 AVL-tree9.2 AVL-tree 的加入的加入 高度平衡二元搜尋樹可能會因為加入或

刪除某節點而形成不平衡狀態，此時須視不平衡狀態是那一類型，之後，再加以調整之。

通常不平衡的狀態可分為 LL 、 RR 、 LR 與 RL 四大類型。

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9.2 AVL-tree9.2 AVL-tree 的加入的加入 利用加入的節點 A 與它最接近平衡因子

絕對值大於 1(|BF|>1) 的節點 B ， 若 A 在 B 的左邊的左邊，則為 LL 型； 若 A 在 B 節點的右邊的右邊，則為 RR 型； 若 A 在 B 節點的左邊的右邊，則為 LR 型； 若 A 在 B 節點的右邊的左邊，則稱為 RL 型。

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9.2 AVL-tree9.2 AVL-tree 的加入的加入LL 型 加入前的 AVL-tree ：

加入 30 後的 AVL-tree 如下：每個節點的上面數字表示平衡因子。

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9.2 AVL-tree9.2 AVL-tree 的加入的加入 此時 50 節點的 |BF|>1 ，因此不為一棵 AVL-tr

ee ，其調整的方法乃將 40 往上提， 50 放在 40 的右方，如下圖所示：

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9.2 AVL-tree9.2 AVL-tree 的加入的加入RR 型 此 RR 型與 LL 型大同小異，

如加入前的 AVL-tree 為：

加入 70 後的 AVL-tree 為：

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9.2 AVL-tree9.2 AVL-tree 的加入的加入 此時有一節點 50 ，其 |BF|>1 ，因此不

為 AVL-tree ，其型態為 RR 型，調整的方法乃將 60 往上提， 50 放在 60 的左方，如下圖所示：

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9.2 AVL-tree9.2 AVL-tree 的加入的加入LR 型 假設有一棵 AVL-tree 如下：

今加入 45 ，則將變為不是一棵AVL-tree ，它是屬於 LR 型，因為加入的節點 45 位於節點50(|BF|>1) 的左邊的右邊。

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9.2 AVL-tree9.2 AVL-tree 的加入的加入 調整的方式將 45 往上提，比 45 小的放

在左邊，比 45 大的放在右邊，結果如下所示：

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9.2 AVL-tree9.2 AVL-tree 的加入的加入RL 型 基本上 RL 型和 LR 型大致上類似。

有一棵 AVL-tree 如下：

今加入節點 55 後，將變成不是一棵 AVL-tree ，它是 RL 型，因為加入的節點 55 ，位於節點50(|BF|>1) 的右邊的左邊。

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9.2 AVL-tree9.2 AVL-tree 的加入的加入 調整的方式將 55 往上提，並將小於 55

的節點放在左邊，大於 55 的節點放在右邊，如下圖所示：

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9.39.3 AVL-tree AVL-tree 的刪除的刪除 AVL-tree 的刪除與二元搜尋樹的刪除相

同，當刪除的動作完成後，再計算平衡因子，作適當的調整，直到平衡因子的絕對值皆小於等於 1 。

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9.39.3 AVL-tree AVL-tree 的刪除的刪除 假設存在一棵 AVL-tree 如下：

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9.39.3 AVL-tree AVL-tree 的刪除的刪除 若欲刪除 50 ，因為它為一樹葉節點，故

直接刪除之。

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9.39.3 AVL-tree AVL-tree 的刪除的刪除 從樹根尋找 pivot 點（遇到第一個 BF 值

的絕對值大於 1 的節點）為 30 ，當 pivot 節點的 BF 值大於等於 0 時往左子樹、小於 0 往右子樹找下一個節點，由於節點 30 的 BF 值為 2 大於等於 0 ，故往 pivot 節點的左子樹找到節點 20 ，其 BF值大於等於 0 ，找到此可知調整型態為LL 型，不需再往下搜尋。

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9.39.3 AVL-tree AVL-tree 的刪除的刪除 調整結果如下：

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9.39.3 AVL-tree AVL-tree 的刪除的刪除 了解 AVL-tree 的刪除及其調整方法後，

我們再來看一個例子。有一棵 AVL-tree如下：

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9.39.3 AVL-tree AVL-tree 的刪除的刪除 若欲刪除 80 ，可找到替代節點 90 （右子樹中

最小的節點），如下圖所示：

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9.39.3 AVL-tree AVL-tree 的刪除的刪除 從樹根尋找 pivot 節點，它是 90 那個節點，其

BF 值為 2 大於 0 ，往其左子樹尋找下一節點的 BF 值為 -1 小於 0 ，由此可知調整型態為 LR 型，結果如下：