1

使用碎形迭代函數進行影像搜尋

中山大學資訊工程學系 http://image.nsysu.edu.tw/

研究生：田馥銘

Fractal-based Image Database Retrieval

2

資料庫• 傳統資料庫

– 資料庫中主要資料為文字– 資訊描述容易– 搜尋正確性高

• 影像資料庫– 昔日以文字描述– 資訊不易描述– 搜尋正確性低

3

資料庫搜尋• 良好資料搜尋系統，需有良好索引檔• 良好索引檔應具：

(a) 高相關度資訊有高相關索引檔(b) 索引檔相關度高，其資訊相關度高

• 習知影像資料庫方法皆無法達到• 碎形編碼具：

(a) 相似影像有相似迭代函數(b) 相似迭代函數有相似歸結圖

4

資料庫搜尋

5

資料庫搜尋

6

影像資料庫－影像搜尋模型

影像分析 影像資料庫

影像分析 比對

影像歸檔

影像搜尋

輸入影像

搜尋影像搜尋結果

7

使用顏色• Babu[1995]• 選出主要顏色，以主要顏色取代原本顏色• 計算每種顏色的頻率 f1,f2,…,fn ，成為特

徵， I=(f1,f2,…,fn)

• 計算相似度 Dq,i=[(Iq-Id)2]1/2

8

使用形狀• S. Berretti[1999]• 將形狀沿反曲點切開• 記錄毎個曲線曲率及軸線角度

9

使用形狀

10

使用內容物• Jim [2000]• 以影像組成元素為搜尋特徵• 將組成物分成背景，紋理，物體

Category Background Texture Object

Number of colors Normal Few or normal Normal or many

Edge information

Less long lines Many short lines or few long lines

Normal

Color similarity High Low Low

11

QBIC™• Query By Image Content • IBM 研究中心發展，包含：

(a) 以顏色搜尋(b) 配置情況搜尋(c) 商標搜尋(d) 郵票搜尋

12

QBIC－顏色

13

QBIC－顏色

14

QBIC－顏色

15

QBIC－配置

16

QBIC－配置

17

QBIC－配置

18

QBIC－商標

19

QBIC－郵票

20

碎形編碼•何謂碎形

21

碎形編碼

22

碎形編碼• 不同起始影像，相同迭代函數，結果相同

23

碎形編碼• 相同影像不同迭代函數，產生不同結果

24

碎形編碼• 自我相似性

25

碎形編碼• 收歛性： d 為距離函數， t 為一轉換函數

，空間中兩點 p1， p2

• 影像分割– Range Block ：不重疊

大小 BxB

– Domain Block ：重疊大小 DxD(D>B)

1),,())(),(( 2121 sppsdptptd

26

碎形編碼• 迭代函數－縮小

27

碎形編碼• 迭代函數－旋轉

不做改變 左右翻轉 上下翻轉 沿右上至左下對角

線翻轉

沿左上至右下對角

線翻轉

順時針 90 度 順時針 180 度 順時針 270 度

28

碎形編碼• 固定點函數• 空間中一點 a ，使得函數 f：

a=f(a) ，稱 a為 f 之固定點• Jacquin取 f(x)=sx+o， s 屬於 [0,1]

29

碎形編碼

30

碎形編碼• 改良方法 [Yao 1998]

K

iiii

K

iii

ozzZ

zgZerror

ozzzg

1

2221

1

2

221

)(

)(

31

碎形編碼

K

iiii

K

iiiii

K

iiiii

ozzZo

error

zozzZerror

zozzZerror

1

221

1

2221

2

1

221

1

0)(2

0)(2

0)(2

32

碎形編碼• Yao 的錯誤

– 函數 g 之固定點a，a=g(a)

g(x)

y=x

　 　 　 　 　 　 　 　xy

oxsxsg(x)y 221

33

定理證明• 固定點（定義）

函數 f 為距離空間（ K， d ）上映射至它自身之函數，若存在點 a 使 a=f(a) ，則稱 a 為 f 之固定點。

• 收歛性（定義）函數 f 為距離空間（ K， d ）上映射至它自身之函數，若存在一數 s ， s 屬於 [0,1)，使得 K 中任意兩點 x， y 滿足：　 d(f(x),f(y)) <= sd(x,y) 稱 f 具收歛性。

34

定理證明• 函數靠近（定義）

兩函數 f， g 為距離空間（ K， d ）上映射至它自身之函數，對 K 中任意點 x ，滿足：　 d(f(x),g(x))<a，a 為一很小值，則稱，兩函數靠近。

35

定理證明• 柯西點列（定義）

若點列 {xn} 給任意 d>0 ，對應存在n0 ，當 m>= n0 ， n>= n0 使得d(xm,xn)<d ，則稱 {xn} 為柯西點列。

• 完備距離空間（定義）距離空間（ K， d ）中，每一柯西點列都會收歛到 K 中的點，則稱 K 是完備距離空間。

36

定理證明• Banach 固定點定理：

在完備距離空間中，滿足收歛性函數，必有唯一的固定點。

37

定理證明• 定理 1 ：設 f， g 為距離空間（ K， d ）上映射至它自身之兩函數，且滿足收歛性，其固定點分別為 a， b ，若 f， g 靠近， a， b 有條件靠近；若 a， b 靠近， f， g 有條件靠近。

38

定理 1 證明

),())(),((

),())(),((

,10 ，1)BanachBy ( ,

,

2

1

221

yxdygxgd

yxdyfxfd

Kyx

ba

gf

　

　

滿足使得任意，０，且固定點定理分別為其唯一固定點

滿足收歛性，

１

39

定理 1 證明

),(1

)1(),(

),(1

)1(

),()(

),(),(),(),(

,...2,1)(

,....2,1)(

012

22

011

11

0111

12

11

1

1211

1

1

yydyyd

xxd

xxd

xxdxxdxxdxxd

mygy

nxfx

pm

mpm

pn

nnpnpn

nnpnpnpnpnnpn

mm

nn

　　

同理

　 　

　 　

不等式）　 　 　 　 　 　 　 （三角　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

　

，，　

，，令

(a) 證明若 f， g 靠近，則 a， b 有條件靠近

40

定理 1 證明

，　 　 　

　 　 　

不等式）　 　 　 　 　 　 　 （三角　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

　 　 　

　 　

距離為，

，　 　

，　 　

，為起始點，以任意，設

))(,()1

1(lim))(,()

1

1(lim

))](,(1

1[lim))](,(

1

1[lim

))(,(lim))(,(lim

),(),(),(

),(

lim)(lim

lim)(lim

)()(

002

200

1

1

002

200

1

1

0000

00

0

0

000

xgxdxfxd

xgxdxfxd

xgxdxfxd

bxdaxdbad

badba

byyg

axxf

yygxxfKxgf

m

m

n

n

m

m

n

n

m

m

n

n

mm

m

m

nn

n

n

mm

nn

41

定理 1 證明

110000

000000

00

002

001

21

21

))(,())(,(

))(,(())(,())(,(

))(),((

))(,(1

1))(,(

1

1),(

00

1010

，令第三邊）（三角型任兩邊差小於　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

，使得存在一很小值靠近，，

，　 　

。，　

時，，，所以當，

xfxdxgxd

xgxfdxgxdxfxd

xgxfdgf

xgxdxfxdbad

mnmn

42

定理 1 證明

),max(1),max(1

))(,(2)),(sup(

))(,( b.

0),max(1 a.

),max(1

))(,(2

),max(1

))(,(

),max(1

))(,(

)))(,((1

1))(,(

1

1),(

21

1

21

1

2200

21

21

100

21

100

21

00

1002

001

afadbad

Kf

xfxd

ba

xfxd

xfxdxfxd

xfxdxfxdbad

　 　

最小上界，所以取上任意點都可為起始點滿足收歛性，因

為很小一值，，　

，不可趨近於靠近，需滿足：，若希望

，　 　 　

　 　 　

43

定理 1 證明

1

))(())(,(

)()()()(

),(

))(),((

),())(),((

0),max(1

22111

121

21

21

21

121

21

21121

21

斜率不可接近上任兩點割線，即要滿足所以要滿足上述條件，之割線斜率，，上過為　 　 　

，　 　 　

，　 　 　

，　 　

再者，以幾何觀之即可不趨近所以只需使

１

gf

xfxxfxfm

mxx

xfxf

xx

xfxf

xxd

xfxfd

xxdxfxfd

44

定理 1 證明

121

21

21121

21

2121

21

212

21

211

22112

22111

),(

))(),((

),())(),((

,

1010

)()(

)()(

))(,())(,(

))(,())(,(

,(b)

xxd

xfxfd

xxdxfxfd

Kxx

gf

xx

xgxgm

xx

xfxfm

xgxxgxgm

xfxxfxfm

gfba

　 　 　 　

　 　 　

滿足使得任意，，，滿足收歛性，，且

，　 　 　

，　 　 　

割線斜率，上過任意兩點為　

割線斜率，上過任意兩點為設有條件靠近，靠近，則　 證明若

45

，，　 　 　

，，　 　 　

，割線斜率分別為之，與固定點，，設任一

　 　 　

割線斜率，上過任意兩點同理，

　 　 　 　

bbxmxgbx

bxgm

aaxmxfax

axfm

mm

bbaaxgxxfxKx

m

mxgxxgxg

mxx

xfxf

xx

xfxf

xx

xx

xx

)()()(

)()()(

),(),())(,())(,(

))(,())(,(

)()()()(

22

11

21

22

22211

1121

21

21

21

定理 1 證明

46

很小靠近，需使，若希望

，所以

　 　 　 　

　 　 　 　

　 　 　 　

＝　 　 　

為一很小值，靠近，令，因

　 　 　 　

　 　 　

)(

)1(

)1())((

))((

)())((

])([])([))(),((

])([])([

)()())(),((

21

11111

1121

11121

1121

211

11

21

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xx

xx

mmgf

mm

mbxmm

mbxmm

bambxmm

bbxmabxmxgxfd

baba

bbxmaaxm

xgxfxgxfd

定理 1 證明

47

。近，固定點靠近之條件，函數靠近；函數數靠兩部份即為固定點靠近，結合

割線斜率上任意點與固定點斜率，近似上任意點與固定點割線即

(b)(a)

gf

定理 1 證明

48

定理證明• 定理 2 ：設 f， g 為距離空間（ K， d ）上映射至它自身之兩函數，且滿足收歛性，其固定點分別為 a， b ，在與定理 1 相同條件下，若 f， g不靠近， a， b 不靠近；若 a， b 不靠近， f， g 亦不靠近。

49

定理 2 證明

，　 　 　

，　 　 　

割線斜率，上過任意兩點為　

割線斜率，上過任意兩點為設固定點定理分別為其唯一固定點

滿足收歛性，

21

212

21

211

22112

22111

)()(

)()(

))(,())(,(

))(,())(,(

)BanachBy ( ,

,

xx

xgxgm

xx

xfxfm

xgxxgxgm

xfxxfxfm

ba

gf

50

定理 2 證明

22

22211

1121

21

21

21

121

21

21121

21

2121

))(,())(,(

)()()()(

),(

))(),((

),())(),((

,

1010

m

mxgxxgxg

mxx

xfxf

xx

xfxf

xxd

xfxfd

xxdxfxfd

Kxx

gf

　 　 　 　

割線斜率，上過任意兩點同理，

　 　 　 　

　 　 　 　

　 　 　

滿足使得任意，，，滿足收歛性，，且

51

定理 2 證明

])([])([))(),((

])([])([

)()())(),((

)()()(

)()()(

),(),())(,())(,(

21

21

22

11

21

bbxmadbxmxgxfd

dba

bbxmaaxm

xgxfxgxfd

bbxmxgbx

bxgm

aaxmxfax

axfm

mm

bbaaxgxxfxKx

xx

xx

xx

xx

xx

＝　 　 　

，令

　 　 　 　

　 　 　

，，　 　 　

，，　 　 　

，割線斜率分別為之，與固定點，，設任一

52

定理 2 證明

不靠近。，不靠近，則，不靠近；若，不靠近，則，得證若

很大。很大，很大；相對地，很大時，所以當

為一很小值，　 　 　

值，亦為一很小差異很小，，先前假設

　 　 　

　 　 　

　 　 　

gf

babagf

dxgxfd

xgxfdd

dmxgxfd

bxmmmm

dmbxmm

badmbxmm

bbxmadbxm

x

xxxx

xxx

xxx

xx

))(),((

))(),((

)1())(),((

))((

)1())((

)())((

])([])([

1

2121

121

121

21

53

定理應用• Jacquin 使用之迭代函數 f(x)=sx+o， s 屬於 [0,1) ，使 s 分佈範圍盡可能小，並使 s 不接近1 ，則可滿足成立之條件，建立良好索引檔。

54

定理應用• Yao 使用之迭代函數

g(x)=s1x+s2x2+o ，固定點可能不只一個，且任兩點割線斜率可能接近 1 ，所以無法成為良好索引檔。

g(x)

y=x

55

費雪區別函數• 費雪（ R. A.

Fisher），英國著名統計學者

• 起源於殘餘骨骼分類問題

• 能將各群體資料點區別清楚

• 費雪直線區別函數xSxxy pooled1

21 )'(

56

費雪區別函數• 分別對 R， G， B三個平面作計算• 每個方塊包含

– Range 方塊序號– Domain 方塊左上方 X座標– Domain 方塊左上方 X座標– 旋轉類型代號– 一次項係數– 二次項係數– 常數項係數

57

費雪區別函數• 每個方塊： vi=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)

• 每個影像平面 Gi={v1,v2,…,vn}

影像（一）的

迭代函數 G1

影像（二）的

迭代函數 G2

xSxxy pooled1

21 )'( 計算相

似度21

21 )(#

nn

GG

58

比對流程

區別分析 複雜度分析 亮度分析 顏色分析

scoscosco ComCREnDisSco

59

區別分析• 費雪區別分析

– 分 R, G, B三個平面計算出重疊率 Dr, Dg, Db

3ngr DDD

Dis

60

複雜度分析• 複雜度計算

– 計算簡單方塊比例

– 依比例決定比較部分• 較複雜影像比較複雜部份• 較簡單影像比較簡單部份• 一般影像比較整張影像

N

Uom

N

iR

i

i 1Ｃ

61

亮度分析• 取 R, G, B三平最大亮度

x ybb

x ygg

x yrr

yxfEn

yxfEn

yxfEn

2

2

2

)],([

)],([

)],([

),,max( bgr EnEnEnEn

62

顏色分析• 將 RGB 值視為一個三維向量 ci=(r,g,b)

• 由向量夾角計算相似度

90090

90

，scoCR

63

結果

64

結果

65

未來工作• 碎形編碼方式符合定理 1 ， 2 條件• 增大影像資料庫• 改善程式執行速度• 使碎形函數能符合人類直覺