1 Verze 2016/2017

Charakterizace mikrostruktur Vedoucí laboratorní práce: Ing. Tereza Uhlířová

Obrazová analýza

Je široce využívanou metodou, jejímž principem je získání informací z obrazu (mikroskopického

snímku, fotografie atd.). Může být prováděna ručně nebo po vhodné úpravě (např. binarizací

obrazu) automaticky. Pro automatickou obrazovou analýzu je třeba mít však dostatečně kvalitní

snímky, protože poté vzrůstají chyby způsobené rozpoznávacím softwarem.

Mezi využití mikroskopické obrazové analýzy patří počítání mikrobiálních kolonií, v medicíně

např. analýza chromozomů, v průmyslu pak například analýza částic práškových materiálů,

stanovení koncentrace roztoků podle barvy (zákalu), detekce vad lahví, metalografie.

Charakterizace částic

Stejné principy platí pro charakterizaci částic, ale i pórů.

Tvar

Částice mohou být:

Izometrické – mají ve všech směrech přibližně stejný rozměr – kulovitý tvar, pravidelné

mnohostěny (tetraedr, krychle, oktaedr, atd.)

Anizometrické – nemají ve všech směrech přibližně stejný rozměr – částice mohou být protažené

v jednom směru (jehly, hranolky, válečky) nebo ve dvou směrech (destičky)

– tyto částice je třeba popsat modelovým tvarem (válec, rotační elipsoid) a dále

pomocí tvarového faktoru

Tvarový faktor R (aspect ratio) – je poměr největšího k nejmenšímu rozměru částice

Velikost

Velikost kulových částic je charakterizována jejich průměrem, u nekulových či

anizometrických částic je potřeba zavést ekvivalentní průměr, což je průměr koule (nebo kruhu

v případě dvojrozměrné projekce trojrozměrné částice) který má určitou vlastnost nebo společné

chování se zkoumanou částicí. Ekvivalentní průměry lze rozdělit na geometrické a dynamické.

K dynamickým patří například Stokesův průměr (= ekvivalentní průměr odpovídající průměru

koule se stejnou konečnou rychlostí klesání jako vybraná nepravidelná částice při laminárním

toku v tekutině stejné hustoty a viskozity). Ke geometrickým patří plošně ekvivalentní

(Heywoodův) běžně využívaný v obrazové analýze. Jedná se o průměr kruhu, který má stejnou

plochu jako průmět částice.

Dalším využívaným průměrem je Feretův průměr, který udává vzdálenost tečných

rovnoběžek. Hodnoty závisí na směru, ve kterém se měří pořadí. Nejčastěji se vyjadřuje

maximální a minimální Feretův průměr.

2 Verze 2016/2017

Distribuce velikosti

Částicové soustavy mohou být tvořeny částicemi pouze jediné velikosti (monodisperzní),

většinou jsou ale tvořeny částicemi různých velikostí (polydisperzní), tyto soustavy je pak

potřeba charakterizovat rozdělovací funkcí velikosti částic.

Grafickým znázorněním rozdělovacích funkcí jsou granulometrické křivky. Ty dělíme na:

Frekvenční (četnostní) křivky udávají množství částic patřících do určité velikostní třídy.

Lze z nich získat modus Dm, jehož hodnota uvádí velikost částic odpovídající maximu

frekvenční křivky.

Kumulativní (součtové) křivky udávají počet částic větších nebo menších než určitá

velikost částic x. Lze z nich získat kvantily, které udávají % částic menších než určitá

velikost částic. Tedy D50 = 7 μm znamená, že 50 % částic je menších než 7 mikrometrů.

D50 je nejčastěji používaným kvantilem, označuje se rovněž jako medián a rozděluje

populaci částic na dvě stejně velké části. Další obvyklé kvantily jsou D10 a D90. Z těchto

tří kvantilů lze vypočítat míru šířky distribuce. 𝑆𝑝𝑎𝑛 = (𝐷90 − 𝐷10)/𝐷50

Kumulativní křivky lze získat integrací frekvenčních křivek a frekvenční křivky lze získat

derivací kumulativních křivek.

q0 q3

Q0 Q3

3 Verze 2016/2017

Rozlišují se distribuční křivky vážené vzhledem k počtu částic (f0), délkově vážené (f1),

plošně vážené (f2) a objemově vážené (f3). Nejčastěji používané jsou počtově a objemově vážené

distribuce. Počtově vážené distribuční křivky f0 jsou výstupem z obrazové analýzy. Ze

sedimentačních metod (za předpokladu stejné hustoty všech částic) nebo z měření velikosti částic

pomocí laserové difrakce na přístroji Analysette 22 (Fritch GmbH, SRN) získáme objemově

vážené distribuční křivky. Abychom mohli srovnat výsledky z různých metod, je třeba provést

přepočet:

(𝑞3)𝑖 = 𝐷𝑖3(𝑞0)𝑖

kde D je plošně ekvivalentní průměr, index i značí velikostní třídu. Po získání hodnot q3 je nutné

provést integrace a získat hodnoty Q3 (postupnou sumací relativních objemů jednotlivých

velikostních tříd).

Analýza mikrostruktur

Příprava pevných vzorků pro analýzu mikrostruktur se nejčastěji provádí zhotovením

leštěného nábrusu. Následuje snímání pomocí optického mikroskopu. Ve vhodném software (v

naší laboratoři používáme český program LUCIA G) se provede měření velikosti zrn, inkluzí, či

pórů.

Existují dva typy mikrostruktur. Mikrostruktura typu matrice a inkluze – zde jsou póry

odděleny matricí a jsou uzavřené. Mikrostrukturu tohoto typu nelze měřit rtuťovou porozimetrií,

ale snáze se definuje velikost pórů. Druhý typ extrému je bikontinuální mikrostruktura. Tu

získáme například z replikační metody. Pórový prostor je prakticky tvořen jediným souvislým

pórem. V reálných systémech mohou být přítomny oba tyto typy mikrostruktury. Přechod mezi

těmito dvěma typy mikrostruktur charakterizuje „perkolační práh“. Ze škrobového lití je možno

v závislosti na množství škrobu v licí suspenzi získat soustavu pórů více, či méně propojenou

spojovacími krčky.

Při stanovování velikosti a rozdělení velikosti pórů dochází ke zkreslení výsledků, jedná

se o Wicksellův problém. Za předpokladu, že máme náhodně uspořádané, stejně veliké kulovité

póry o známé velikosti a provedeme vzorkem řez, nedostaneme ve výsledku daný poměr, ale

nižší hodnotu, jak ilustruje níže uvedený obrázek.

4 Verze 2016/2017

Tento problém lze obejít použitím Saltykovy matice, pomocí které lze uskutečnit přepočet

na skutečnou střední velikost přítomných pórů:

𝑁𝑖 = 𝐴𝑖𝑗𝑛𝑗(1

∆)

kde 𝑁𝑖 je vektor rozdělení ekvivalentních průměrů kulovitých částic, 𝐴𝑖𝑗 je Saltykova matice, 𝑛𝑗

je vektor rozdělení ekvivalentních průměrů kruhů naměřených obrazovou analýzou, Δ je šířka

velikostní třídy. Δ není potřeba používat v případě, že jsou všechny třídy stejně široké.

Saltykova matice

n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11 n12 n13 n14 n15

N1 1 -0.1537 -0.036 -0.013 -0.0061 -0.0033 -0.002 -0.0013 -0.0009 -0.0006 -0.0005 -0.0004 -0.0003 -0.0002 -0.0001

N2 0 0.5774 -0.1529 -0.042 -0.0171 -0.0087 -0.0051 -0.0031 -0.0021 -0.0015 -0.001 -0.0009 -0.0006 -0.0006 -0.0004

N3 0 0 0.4472 -0.1382 -0.0408 -0.0178 -0.0093 -0.0057 -0.0037 -0.0026 -0.0018 -0.0013 -0.001 -0.0007 -0.0007

N4 0 0 0 0.3779 -0.126 -0.0386 -0.0174 -0.0095 -0.0058 -0.0038 -0.0027 -0.002 -0.0016 -0.0012 -0.0009

N5 0 0 0 0 0.3333 -0.1161 -0.0366 -0.0168 -0.0094 -0.0059 -0.004 -0.0028 -0.0021 -0.0016 -0.0013

N6 0 0 0 0 0 0.3015 -0.1081 -0.0346 -0.0163 -0.0091 -0.0058 -0.0041 -0.0028 -0.0022 -0.0016

N7 0 0 0 0 0 0 0.2773 -0.1016 -0.0329 -0.0155 -0.009 -0.0057 -0.004 -0.0029 -0.0022

N8 0 0 0 0 0 0 0 0.2582 -0.0961 -0.0319 -0.0151 -0.0088 -0.0056 -0.0039 -0.0028

N9 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2425 -0.0913 -0.0301 -0.0146 -0.0085 -0.0055 -0.0039

N10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2294 -0.0872 -0.029 -0.014 -0.0083 -0.0054

N11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2182 -0.0836 -0.028 -0.0136 -0.008

N12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2085 -0.0804 -0.027 -0.0132

N13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2 -0.0776 -0.0261

N14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1925 -0.075

N15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1857

N 1 0.4237 0.2583 0.1847 0.1433 0.117 0.0988 0.0856 0.0753 0.0672 0.061 0.0553 0.0511 0.0472 0.0441

Kvantifikace mikrostruktury

Přehled parametrů používaných ke kvantifikaci mikrostruktur:

Objemová frakce – základní parametr pro kvantifikaci vícefázové struktury, objemová frakce

póru se nazývá pórovitost.

Velikost zrn – lze získat pomocí obrazové analýzy, nebo rentgenové difrakce.

Tvar zrn – lze získat pomocí obrazové analýzy.

Velikost pórů – lze získat pomocí obrazové analýzy, rtuťové porozimetrie nebo počítačové

tomografie. Je nutné pamatovat na to, že jednotlivé metody dávají různé informace a zvláště u

hierarchické mikrostruktury je pro komplexní popis třeba kombinace metod.

Tvar pórů – lze získat pomocí obrazové analýzy.

Specifický povrch – může být tvořen hranicí mezi dvěma strukturami nebo plocha pórů.

Specifický povrch otevřených pórů lze získat pomocí rtuťové porozimetrie nebo adsorpce plynů.

Specifický povrch pórů bez rozlišení otevřených nebo uzavřených pórů lze získat pomocí

obrazové analýzy

Tloušťka rozhraní – lze získat pomocí vysokorozlišovací transmisní elektronové mikroskopie.

5 Verze 2016/2017

Spojitost pórového prostoru – určuje, do jaké míry je pór otevřený, tedy jaké je perkolační

chování a perkolační práh vzorku.

Stupeň izotropie/anizotropie – stupeň náhodnosti orientace zrn, pórů. Lze získat z obrazové

analýzy nebo rentgenové analýzy.

Stupeň uniformity/neuniformity – uniformní materiál nevykazuje gradient

Stupeň homogenity/heterogenity – stupeň náhodnosti zrn nebo pórů v prostorové distribuci

Stereologická terminologie a přehled měřených veličin

Základní symboly užívané ve stereologii a jejich odpovídající fyzikální jednotky jsou

𝑃 = počet bodů (např. pixelů nebo bodů v měřící mřížce)

𝑁 = počet objektů (např. zrn nebo pórů)

𝐿 = délka čáry nebo křivky (sondy nebo objektu!) [m]

𝐴 = plocha objektu v rovinném řezu (vždy rovinná) [m2]

𝑆 = povrch nebo rozhraní objektu v 3D prostoru (obecně zakřivený) [m2]

𝑉 = objem objektu v 3D prostoru [m3]

𝑀 = zakřivení (integrální střední zakřivení) [m].

Ve stereologii je běžnou praxí psát poměry s indexem místo ve formě zlomků. Proto máme

následující zkrácenou terminologii pro stereologické poměry:

𝑃𝑃 = bodová frakce = počet bodů dopadajících na vybrané objekty (např. fáze nebo zrna) dělený

celkovým počtem bodů dopadajících na obraz,

𝐿𝐿 = délková frakce = kumulativní délka úseků ležící uvnitř vybraných objektů (např. fáze nebo

zrn) dělená celkovou délkou úseků ležících v obrazu,

𝐴𝐴 = plošná frakce = kumulativní plocha vybraných objektů (např. fáze nebo zrn) dělená

celkovou plochou obrazu,

𝑉𝑉 = objemová frakce vybrané fáze v trojrozměrném prostoru (pokud jsou vybranou fází póry,

pak VV = ϕ je pórovitost resp. porozita),

𝑃𝐿 = počet bodů protínajících čáry objektů (např. obvody zrn) vztažený na jednotkovou délku

lineární sondy (např. čar v měřící mřížce) [m−1

],

𝑁𝐴 = počet objektů vztažený na plochu rovinného řezu [m−2

],

𝑆𝑉 = hustota rozhraní (kumulativní povrch nebo plocha rozhraní objektů vztažený (vztažená) na

jednotkový objem v 3D prostoru) [m−1

]

𝑀𝑉 = hustota zakřivení (intergrální střední zakřivení vztažené na jednotkový objem) [m−2

].

Na řezu lze měřit pouze tři nezávislé veličiny – 𝑉𝑉, 𝑆𝑉 a 𝑀𝑉.

Pokud je mikrostruktura vzorku UIR – tedy uniformní, izotropní a náhodná (uniform, isotropic,

random), je možné určit pórovitost vzorku pomocí obrazové analýzy za využití Delesse-

Rosiwalova zákona.

𝑉𝑉 = 𝐴𝐴 = 𝐿𝐿 = 𝑃𝑃

6 Verze 2016/2017

Při obrazové analýze se nejčastěji využívá metoda počítání bodů. Má větší statistickou

spolehlivost než analýza ploch a analýza čar. Analýza čar se využívá v případě vzorků s nízkou

pórovitostí (nízkým počtem inkluzí).

𝑃𝑃 =22

49= 0,45

Střední délka úseků �̅� souvisí s hustotou rozhraní a ve vícefázových materiálech je definovaná

vztahem:

�̅� =4𝜙

𝑆𝑉=

𝟐𝑷𝑷

𝑷𝑳

Při měření střední délky úseků jsou označovány body, kde protíná sonda fázové rozhraní a počet

těchto bodů je dělen celkovou délkou sondy. Bodovou frakci jsme měřili v předchozí části.

𝑃𝐿 =70 bodů

8,4 mm= 8,33 mm−1

Pro jednofázový vzorek je střední délka úseků �̅� definována vztahem:

7 Verze 2016/2017

�̅� =2

𝑆𝑉=

𝟏

𝑷𝑳

Jeffriesova velikost 𝐽 souvisí s hustotou integrálního středního zakřivení:

𝐽 = √2𝜋𝑃𝑃

𝑀𝑉= √

𝑷𝑷

𝑵𝑨

Měření probíhá tak, že v ploše měřícího rámečku jsou spočítány objekty (póry, zrna), přičemž 3

rohy a 2 strany rámečku jsou kvůli statistice vynechány.

𝑁𝐴 =70 objektů

1,44 mm2 = 48,61 mm−2

A pro jednosložkový systém:

𝐽 = √2𝜋

𝑀𝑉= √

𝟏

𝑵𝑨

Ukázka jednofázové a dvoufázové mikrostruktury

8 Verze 2016/2017

Experimentální část

1. Na zadaných snímcích mikrostruktur proveďte pomocí počítačového programu LUCIA G

měření rozdělení velikosti pórů.

a. Proveďte kalibraci

b. Aplikujte vhodný geometrický tvar (kruh, elipsu, mnohoúhelník, …) pro měření

ekvivalentního průměru

c. Proveďte rozdělení do vhodných velikostních tříd (8-15)

d. Použijte Saltykovu matici pro transformaci

e. Graficky znázorněte závislosti q0 a Q0 na ekvivalentním průměru

f. Proveďte přepočet q0→q3

g. Graficky znázorněte závislosti q3 a Q3 na ekvivalentním průměru

h. Ze závislostí q0 a q3 určete hodnotu Dm.

i. Ze závislosti Q0 a Q3 určete hodnotu D10, D50 a D90 a stanovte hodnotu SPAN.

2. Na zadaných snímcích mikrostruktur proveďte pomocí počítačového programu LUCIA G

měření pórovitosti a velikosti pórů (střední délka úseků, Jeffriesova velikost)

a. Proveďte kalibraci

b. Proložte mřížkou o vhodné mřížkové konstantě (maximálně 4 body mřížky v jednom póru)

c. Určete pórovitost pomocí Delesse-Rosiwalova zákona

d. Určete střední délku úseků �̅�

e. Určete Jeffriesovu velikost 𝐽

f. Obě tyto velikosti srovnejte s výsledky z části 1

3. Na zadaných snímcích mikrostruktur proveďte pomocí počítačového programu LUCIA G

měření velikosti zrn (střední délka úseků, Jeffriesova velikost)

a. Proveďte kalibraci

b. Proložte mřížkou o vhodné mřížkové konstantě

c. Určete střední délku úseků �̅�

d. Určete Jeffriesovu velikost 𝐽

e. Porovnejte obě tyto velikosti

Požadavky na protokol

Protokol ve Wordu bude obsahovat stručný princip, postup měření a závěr. Za součást protokolu je považován i

Excel se zdrojovými daty.

Výsledky:

1. 4 grafy rozdělení velikosti, vypočtené hodnoty Dm, D10, D50, D90, SPAN.

2. Hodnoty pórovitosti a velikostí pórů se směrodatnou odchylkou. Porovnání výsledků s první částí.

3. Hodnoty velikostí pórů.

Termín odevzdání je do týdne od laboratorní práce na email Tereza.Uhlirova@vscht.cz .

V týdnu před laboratorní prací je třeba napsat email a domluvit si začátek práce.

9 Verze 2016/2017

Reference:

[1] Uhlířová T., Hostaša J., Pabst W.: Characterization of the microstructure of YAG

ceramics via stereology-based image analysis, Ceram. Silik. 58 (3), 173-183 (2014).

[2] Uhlířová T., Gregorová E., Pabst W., Nečina V.: Preparation of cellular alumina ceramics

via biological foaming with yeast and its microstructural characterization via stereological

relations, J. Eur. Ceram. Soc. 35 (1), 187–196 (2015).

[3] Pabst W., Gregorová E., Uhlířová T.: Microstructure characterization via stereological

relations – a shortcut for beginners, Mater. Charact. 105 (1), 1–12 (2015).

[4] Uhlířová T., Pabst W., Gregorová E., Hostaša J.: Stereology of dense polycrystalline

materials – from interface density and mean curvature integral density to Rayleigh

distributions of grain sizes, J. Eur. Ceram. Soc. 36 (9), 2319–2328 (2016).

[5] Uhlířová T., Gregorová E., Pabst W.: Direct Foaming Techniques for the Preparation of

Cellular Ceramics, their Microstructural Characterization and Property-Porosity Relations

– A Review. Advances in Porous Ceramics, Chapter 4 (pp. 127–158), Nova Publishers

2016. ISBN: 978-1-63485-839-7