chương 3-A3DH(Y soan).ppt - trantuananhlikemysite.weebly.comtrantuananhlikemysite.weebly.com/uploads/7/4/0/5/7405544/chng_3-a3dhy...Nhận thấy hàm , C y C x thỏa (*). Thay

1/2/2012

1

ChươngChương 3. 3. PhươngPhương trìnhtrình vi vi phânphân§1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân §2. Phương trình vi phân cấp 1 §3. Phương trình vi phân cấp cao

…………………………… §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1. Bài toán mở đầu a) Bài toán 1 • Tìm phương trình đường cong ( ) : ( )C y f x đi qua điểm (2; 3)M sao cho mọi đoạn của tiếp tuyến với ( )C nằm giữa hai trục tọa độ đều bị tiếp điểm chia thành hai phần bằng nhau ?

ChươngChương 3. 3. PhươngPhương trìnhtrình vi vi phânphân

Nhận thấy hàm , C

y Cx

thỏa (*).

Thay tọa độ của M vào Cy

x ta được 6

yx

.

b) Bài toán 2

Tìm vận tốc nhỏ nhất để khi phóng một vật theo phương thẳng đứng sao cho vật không rơi trở lại trái đất ? Chobiết lực cản của không khí là không đáng kể.

Giải. Giả sử ( , ) ( )I x y C , hệ số góc tiếp tuyến tại I là:

( ) tan ( )PI PI y

y x y xPA OP x

(*).

ChươngChương 3. 3. PhươngPhương trìnhtrình vi vi phânphânGiải. Gọi khối lượng của trái đất và vật phóng là ,M m . Khoảng cách từ tâm trái đất đến trọng tâm của vật phónglà r , R là bán kính của trái đất.

Theo định luật hấp dẫn Newton, lực hút tác dụng lên vật

là 2

.Mm

f kr

(k là hằng số hấp dẫn).

Phương trình chuyển động của vật là: 2 2

2 2 2 2. . .d r Mm d r M

m k kdt r dt r

(1).

Mặt khác 2

2.

d r dv dv dr dvv

dt dr dt drdt .


2 2(1) .

dv M kMv k vdv dr

dr r r

2

12 2kM v kM

vdv dr Crr

(2).

Tại thời điểm 0t thì r R và 0v v nên: 2 220 0

1(2)2 2 2

v vkM v kM kMC

R r R

(3).

Khi r thì 2 20 02 2

v kM vR

02kM

vR

.

Thay các giá trị , ,k M R ta được 0 11,2 /v km s .


• Cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình vi phân được gọi là cấp của phương trình vi phân đó.

• Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là: ( )( , , , ..., ) 0nF x y y y (*).

Nếu từ (*) ta giải được theo ( )ny thì ptvp có dạng: ( ) ( 1)( , , , ..., )n ny f x y y y .

1.2. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân (ptvp)

• Phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của một hoặcvài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.


• Nghiệm của (*) trên khoảng D nào đó là hàm ( )y x xác định trên D sao cho khi thay ( )y x vào (*) ta được đồng nhất thức trên D .

• Phương trình vi phân nếu có nghiệm thì sẽ có vô số nghiệm sai khác nhau một hằng số C .

• Giải phương trình vi phân là đi tìm tất cả các nghiệmcủa phương trình vi phân đó.

• Đồ thị nghiệm ( )y x của một phương trình vi phân được gọi là đường cong tích phân.

Chú ý • Nghiệm của một phương trình vi phân thường được

biểu diễn dưới dạng hàm ẩn.

1/2/2012

2


§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 2.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng

tổng quát ( , , ) 0F x y y (*). Nếu từ (*) ta giải đượctheo y thì (*) trở thành ( , )y f x y .

• Nghiệm của (*) có dạng ( )y y x chứa hằng số C được gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện 0 0( )y y xcho trước (thường gọi là điều kiện đầu) vào nghiệm tổng quát ta được giá trị 0C cụ thể và nghiệm lúc này được gọi là nghiệm riêng của (*).

• Nghiệm thu được trực tiếp từ (*) và không thỏa nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị của (*).


VD 1. Tìm hàm ( )y y x thỏa 0y x . Biết đường cong tích phân đi qua điểm (2; 1)M .

Giải. Ta có: 2

02x

y x y x y C (1).

Thế (2; 1)M vào (1) ta được 2

1 12x

C y .


VD 2. Tìm nghiệm kỳ dị của ptvp 21y y .

Giải. Với điều kiện 1 1y , ta có:

2 21 1dy

y y ydx

21

dydx

y

, 1 1y .

arcsin sin( )y x C y x C (2).

Nhận thấy 1y thỏa ptvp nhưng không thỏa (2). Vậy 1y là nghiệm kỳ dị.


Từ đây về sau, ta không xét đến nghiệm kỳ dị.

VD 3. Tìm ptvp của họ đường cong 2y Cx .

Giải. Ta có: 2 2y Cx y Cx 2

2 2y y

C y xx x

Vậy 2, 0

yy x

x .


2.2. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CƠ BẢN

2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly

Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng:

( ) ( ) 0 (1).f x dx g y dy

Phương pháp giải

Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát:

( ) ( ) .f x dx g y dy C


VD 4. Giải phương trình vi phân 2 2

01 1

xdx ydy

x y

.

Giải. Ta có:

2 2 2 20

1 1 1 1

xdx ydy xdx ydyC

x y x y

2 2

2 2

(1 ) (1 )2

1 1

d x d yC

x y

2 2ln(1 ) ln(1 ) 2x y C 2 2

1ln (1 )(1 ) lnx y C .

Vậy 2 2(1 )(1 )x y C .

1/2/2012

3


VD 5. Giải phương trình vi phân ( 2)y xy y .

Giải. ( 2) ( 2)dy

y xy y xy ydx

( 2)dy

xdxy y

1 12

2dy xdx

y y

22ln .

2 2xy y

x C C ey y

.


VD 6. Giải ptvp 2 3( 1) ( 1)( 1) 0x y dx x y dy .

Giải. 2

3

10

11

x ypt dx dy

yx

3

3

1 ( 1) 21

3 11

d xdy C

yx

31ln 1 2 ln 1

3x y y C

3

6

1ln 3 3

( 1)

xC y

y

3 6 31 ( 1) .yx C y e


VD 7. Giải ptvp 2xy y y thỏa điều kiện 1(1)

2y .

Giải. 2 2dyxy y y x y y

dx

2

1 11

dy dx dxdy

x y y xy y

1 1ln ln ln ln

y yx C Cx

y y

1y Cxy (*).

Thay 11,

2x y vào (*) ta được 1y xy .


Chẳng hạn, hàm số:

( , )2 3x y

f x yx y

là đẳng cấp bậc 0,

24 3( , )

5x xy

f x yx y

là đẳng cấp bậc 1,

2( , ) 3 2f x y x xy là đẳng cấp bậc 2.

2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 a) Hàm đẳng cấp hai biến số Hàm hai biến ( , )f x y được gọi là đẳng cấp bậc n nếu

với mọi 0k thì ( , ) ( , )nf kx ky k f x y .

Chương 4. Phương trình vi phânChương 4. Phương trình vi phân


Bước 1. Biến đổi (2) yy

x

.

Bước 2. Đặt yu y u xu

x .

Bước 3. (2) ( )( )du dx

u xu uu u x

( ) 0u u x (đây là ptvp có biến phân ly).

b) Phương trình vi phân đẳng cấp • Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng:

( , ) (2).y f x y

Trong đó, ( , )f x y là hàm số đẳng cấp bậc 0.


VD 8. Giải phương trình vi phân 2 2x xy y

yxy

.

Giải.

2

2 21

y yx xx xy y

y yxy y

x

.

Đặt yu y u xu

x .

21 1u u du u

pt u xu xu dx u

10 1

1 1udu dx dx

du Cu x u x

1/2/2012

4


ln ( 1) 1 .yxy

u x u C x C ex

.

Vậy .yxy x C e

.


VD 9. Giải phương trình vi phân x yy

x y

với điều kiện đầu (1) 0y .

Giải. 1,

1x y u y

y u xu ux y u x

2

2 2

1 11 1 1

du u u dxx du

dx u xu u

21arctan ln(1 ) ln

2u u x C

2 2

2ln arctan

x y yx C

xx

(*).


Thay 1, 0x y vào (*) ta được 0C .

Vậy 2 2 arctan

2

yxx y

x ex

.

VD 10. Giải phương trình vi phân:

ln lny y

xy y xx x

( , 0)x y .

Giải. ln ln ln ln 1y y y y y

xy y x yx x x x x


( ) ln ln 1u xu u u u

ln 1 lndu dx

x u ududx x

ln lnu u u x C .

Vậy ln ln 1y y

x Cx x

.


2.2.3. Phương trình vi phân toàn phần • Cho hai hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y và các đạo hàm riêng

của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện , ( , )x yQ P x y D . Nếu tồn tại hàm ( , )u x y sao cho

( , ) ( , ) ( , )du x y P x y dx Q x y dy thì phương trình vi phân có dạng:

( , ) ( , ) 0 (3)P x y dx Q x y dy được gọi là phương trình vi phân toàn phần.

• Nghiệm tổng quát của (3) là ( , )u x y C . Nhận xét

( , ) ( , ), ( , ) ( , )x yu x y P x y u x y Q x y .


Phương pháp giải Bước 1. Từ (3) ta có xu P (3a) và yu Q (3b).

Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được: ( , ) ( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx x y C y (3c).

Trong đó, ( )C y là hàm theo biến y .

Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: ( )y yu C y (3d).

Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được ( )C y . Thay ( )C y vào (3c) ta được ( , )u x y .

1/2/2012

5


VD 11. Cho phương trình vi phân: 2 2(3 2 2 ) ( 6 3) 0y xy x dx x xy dy (*).

1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần. 2) Giải phương trình (*).

Giải

1) 2

2

3 2 2 6 2

2 66 3y

x

P y xy x P y x

Q x yQ x xy

đpcm.

2) Ta có: 2

2

3 2 2 ( )

6 3 ( ).x

y

u P y xy x a

u Q x xy b


2( ) (3 2 2 )a u y xy x dx

2 2 23 ( )xy x y x C y

26 ( )yu xy x C y (c).

So sánh (b) và (c), ta được: ( ) 3 ( ) 3C y C y y .

Vậy (*) có nghiệm 2 2 23 3xy x y x y C .


VD 12. Giải ptvp ( 1) ( ) 0yx y dx e x dy .

Giải. Ta có: 1 ( )

( ).x

yy

u x y a

u e x b

2

( ) ( 1) ( )2x

a u x y dx xy x C y

( )yu x C y (c).

So sánh (b) và (c), ta được: ( ) ( )y yC y e C y e .

Vậy phương trình có nghiệm 2

2yx

xy x e C .


VD 13. Giải phương trình vi phân: [( 1) ] ( ) 0x y x yx y e e dx e xe dy .

Giải. Ta có: ( 1) ( )

( ).

x yx

x yy

u x y e e a

u e xe b

( ) ( ) ( )x ya u x y e xe C y

( )x yyu e xe C y (c).

So sánh (b) và (c), ta được ( )C y C . Vậy phương trình có nghiệm ( ) x yx y e xe C .


Bước 1. Tìm biểu thức ( )

( )p x dx

A x e .

2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:

( ) ( ) (4).y p x y q x

• Khi ( ) 0q x thì (4) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.

Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)


Bước 3. Nghiệm tổng quát là ( ) ( )y A x B x C .

Bước 2. Tìm biểu thức ( )

( ) ( ).p x dx

B x q x e dx .

Nhận xét ( ) ( )

( ) ( ). .( )

p x dx q xB x q x e dx dx

A x

Chú ý

• Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0.

• Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm tổng quát của (4) dưới dạng:

( )( ) .

p x dxy C x e

1/2/2012

6


VD 14. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm

nghiệm tổng quát của 2 4 lny

y x xx

dưới dạng:

A. 2

( )C xy

x ; B.

3

( )C xy

x ;

C. ( )C xy

x ; D. ( )C x

yx

.

Giải. 2( )

( ) ( )dx

p x dx xy C x e C x e

2ln

2

( )( ) x C x

C x e Ax

.


VD 15. Giải phương trình vi phân 2 0y x y thỏa điều kiện đầu 9

3xy e

.

Giải. Ta có: 2( ) , ( ) 0p x x q x .

3

2( ) 3( )x

p x dx x dxA x e e e

.

( )

( ) ( ). 0p x dx

B x q x e dx 3

3x

y Ce là nghiệm tổng quát của phương trình.

Từ điều kiện đầu, ta có nghiệm riêng 3

3x

y e .


VD 16. Giải phương trình sincos xy y x e .

Giải. Ta có: sin( ) cos , ( ) xp x x q x e .

cos sin( )xdx xA x e e

.

( )( )

( )q x

B x dx dx xA x

.

Vậy sin ( )xy e x C .

ChươngChương 3. 3. PhươngPhương trìnhtrình vi vi phânphân VD 17. Giải phương trình 2 tan2 sin 4y y x x .

Giải. Ta có: ( ) 2 tan2 , ( ) sin 4p x x q x x .

sin 2 (cos2 )

2cos2 cos2 1

( )cos2

x d xdx

x xA x e ex

.

2( )( ) 2 cos 2 sin2

( )q x

B x dx x x dxA x

2 31cos 2 (cos2 ) cos 2

3x d x x .

Vậy phương trình có nghiệm 21cos 2

cos2 3C

y xx

.


2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli

• Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:

( ) ( ) (5).y p x y q x y

• Khi 0 hoặc 1 thì (5) là tuyến tính cấp 1.

• Khi ( ) ( ) 1p x q x thì (5) là pt có biến phân ly.


Phương pháp giải (với α khác 0 và 1)

(5) ( ) ( )y y

p x q xy y

• Bước 1. Với 0y , ta chia hai vế cho y:

1( ) ( ).y y p x y q x

• Bước 2. Đặt 1 (1 )z y z y y , ta được: (5) (1 ) ( ) (1 ) ( )z p x z q x (đây là phương trình tuyến tính cấp 1).

1/2/2012

7


Đặt 1 2z y z y y , ta được: 1 1

. .pt z z x z z xx x

.

VD 18. Giải phương trình vi phân 2yy xy

x

với điều kiện đầu 1, 1x y .

Giải. Ta có: 2 2 11.

yy xy y y y x

x x .

( ) , ( )dxxA x e x B x dx x

21( )z x x C x Cx

y .


Vậy từ điều kiện đầu, ta có nghiệm 2 2 1 0x y xy .

VD 19. Giải phương trình vi phân 3 42y xy x y .

Giải. 3 4 4 3 32 2y xy x y y y xy x .

Đặt 3 43z y z y y . 3 31

2 6 33

pt z xz x z xz x .

26 3( )

xdx xA x e e ,


23 3( ) 3 xB x x e dx

2 22 3 2 3 21 1

3 (3 ) (3 1)6 6

x xx e d x e x .

Vậy 2 23 3 2

3

1 1(3 1)

6x xe e x C

y

.

…………………………………………………………………………………


§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 3.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 khuyết 3.1.1. Phương trình khuyết y và y’

• Phương trình vi phân khuyết y và y có dạng:

( ) (1).y f x


• Lấy tích phân hai vế (1) hai lần:

1( ) ( ) ( )y f x y f x dx x C

1 1 2( ) ( )y x dx C x x C x C .


Giải. 3

2 213

xy x y x dx C

3 4

1 1 23 12x x

y C dx y C x C

.

VD 1. Giải phương trình vi phân 2y x .


VD 2. Giải ptvp 2xy e với 7 3(0) , (0)

4 2y y .

Giải. 2 21

12

x xy e y e C (a).

Thay 30, (0)

2x y vào (a) ta được 1 1C

211

2xy e 2

214

xy e x C (b).

Thay 70, (0)

4x y vào (b) ta được 2 2C .

Vậy phương trình có nghiệm riêng 212

4xy e x .

1/2/2012

8


3.1.2. Phương trình khuyết y

• Phương trình vi phân khuyết y có dạng:

( , ) (2).y f x y


• Đặt z y đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1.


VD 3. Giải phương trình vi phân yy x

x

.

Giải. Đặt z y ta có:

1yy x z z x

x x

.

1( )

dxxA x e

x

, 2 31

( )3

B x x dx x .

Suy ra 3 2 1

11 1 1

3 3

Cz x C y x

x x

.

Vậy 31 2

1ln

9y x C x C .


VD 4. Giải pt vi phân ( 1) 01

yy x x

x

với điều kiện (2) 1, (2) 1y y .

Giải. Đặt z y ta có: 1

( 1)1

pt z z x xx

.

1( ) 1dxxA x e x

, 21( )

2B x xdx x .


Ta có 21

1( 1)

2y x x C

.

3 21 1(2) 1 3 3

2 2y y x x x

4 3 2

2

33

8 6 2x x x

y x C .

4 3 23 1(2) 1 3

8 6 2 3x x x

y y x .


3.1.3. Phương trình khuyết x

• Phương trình vi phân khuyết x có dạng:

( , ) (3).y f y y


• Đặt z y ta có:

.dz dz dy dz

y z zdx dy dx dy

.

• Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly.


VD 5. Giải phương trình vi phân 2(1 ) 2( ) 0y y y .

Giải. Đặt z y dzy z

dy .

22

2(1 ) 2 0 4

1dz z dy

pt y z z dzdy yz

2 21ln 4 ln( 1) ln ln[ ( 1) ]z y C z C y

21 12( 1)

( 1)

dyz C y C dx

y

1/2/2012

9


1 21

1C x C

y

.

Vậy phương trình có nghiệm 1 2

11y

C x C

.


VD 6. Giải phương trình vi phân 2 (1 2 ) 0y y y

với điều kiện 1(0) 0, (0)

2y y .


dy .

2 (1 2 ) 0dz

pt z z ydy

22(2 1) 2 2dz y dy z y y C (a).

Thay 10, 0,

2x y y vào (a) 1

2C


2 21 22 2 (2 1)

2dy

y y y ydx

2

2 12 1(2 1)

dydx x C

yy

(b).

Thay 0, 0x y vào (b) 1C .

Vậy phương trình có nghiệm ( 1)(2 1) 1 0x y .


VD 7. Giải phương trình vi phân 22 1yy y .


dy .

22

22 1

1

dz zdz dypt yz z

dy yz

2

212

( 1)ln( 1) ln

1

d z dyz C y

yz

21 11 1z C y z C y .


1 11 1z C y y C y

1 1

dydx

C y

1

1 1

( 1)1 122 1

d C ydx

C C y

Vậy 1 21

1 11

2C y x C

C .


3.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG

3.2.1. Phương trình thuần nhất

• Phương trình thuần nhất có dạng:

1 2 0 (4).y a y a y

1 2,a a

Phương pháp giải Xét phương trình đặc trưng của (4):

21 2 0 (5).k a k a

Ta có 3 trường hợp sau:

1/2/2012

10

ChươngChương 3. 3. PhươngPhương trìnhtrình vi vi phânphân Trường hợp 1

Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2, k k .

Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 21 2, k x k xy e y e

và nghiệm tổng quát là: 1 2

1 2 .k x k xy C e C e

Trường hợp 2 Phương trình (5) có nghiệm kép thực k . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2, kx kxy e y xe và nghiệm tổng quát là:

1 2 .kx kxy C e C xe


Trường hợp 3

• Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp: k i .

• Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng:

1 2cos , sinx xy e x y e x

và nghiệm tổng quát là:

1 2cos sin .xy e C x C x


VD 8. Giải phương trình vi phân 2 3 0y y y .

Giải. Phương trình đặc trưng: 2

1 22 3 0 1, 3k k k k .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: 3

1 2,x xy e y e

và nghiệm tổng quát là 31 2

x xy C e C e .



Giải. Phương trình đặc trưng: 2 6 9 0 3k k k (nghiệm kép).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: 3 3

1 2,x xy e y xe

và nghiệm tổng quát là 3 31 2

x xy C e C xe .


VD 10. Giải phương trình vi phân 16 0y y .

Giải. Phương trình đặc trưng: 2 2 2

1,216 0 16 4k k i k i

0, 4.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng: 1 2cos 4 , sin 4y x y x

và nghiệm tổng quát là 1 2cos 4 sin 4y C x C x .



Giải. Phương trình đặc trưng 2 2 7 0k k có: 2

1,26 6 1 6i k i

1, 6 .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng:

1 2cos 6 , sin 6x xy e x y e x và nghiệm tổng quát:

1 2cos 6 sin 6xy e C x C x .

1/2/2012

11


VD 12. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 0y y y .

Giải. Phương trình đặc trưng 2 1 0k k có:

21,2

1 33 3

2i

i k

1 3,

2 2 .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát:

21 2

3 3cos sin

2 2

x

y e C x C x

.

ChươngChương 3. 3. PhươngPhương trìnhtrình vi vi phânphân 3.2.2. Phương trình không thuần nhất

• Phương trình không thuần nhất có dạng: 1 1 22 ( ), , (6).ay a y a y f x a

• Để tìm 1( )C x và 2( )C x , ta giải hệ Wronsky:

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

C x y x C x y x

C x y x C x y x f x

a) Phương pháp giải tổng quát

• Nếu (4) có hai nghiệm riêng 1 2( ), ( )y x y x thì (6) có nghiệm tổng quát là 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ).y C x y x C x y x

ChươngChương 3. 3. PhươngPhương trìnhtrình vi vi phânphân VD 13. Giải phương trình vi phân 2y y y x (a). Giải. Xét phương trình thuần nhất:

2 0y y y (b).

Ta có: 2 2 1 0 1k k k

1 2,x xy e y xe là 2 nghiệm riêng của (b).

Suy ra, nghiệm tổng quát của (a) có dạng:

1 2( ). ( ).x xy C x e C x xe . Ta có hệ Wronsky:

1 2

1 2

. ( ) . ( ) 0

. ( ) ( 1) . ( )

x x

x x

e C x xe C x

e C x x e C x x


Giải hệ bằng định thức Crammer, ta được: 2

1

2

( )

( )

x

x

C x x e

C x xe

2

1 1 1

2 2 2

( ) ( ) ( 2 2)

( ) ( ) ( 1) .

x

x

C x C x dx e x x C

C x C x dx e x C

Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là: 1 2 2x xy C e C xe x .


b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT

Phương pháp cộng nghiệm • Định lý Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6).

VD 14. Cho phương trình vi phân: 22 2 (2 ) xy y y x e (*).

1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là 2 xy x e . 2) Tìm nghiệm tổng quát của (*).


Giải 1) 2 2 2(*) ( 4 2) 2(2 ) 2x x xVT x x e x x e x e 2(2 ) (*)xx e VP đpcm.

2) Xét phương trình thuần nhất 2 2 0y y y (**): 2

1,22 2 0 1k k k i .

Suy ra (**) có nghiệm tổng quát: 1 2( cos sin )xy e C x C x .

Vậy (*) có nghiệm tổng quát là: 2

1 2( cos sin )x xy x e e C x C x .

1/2/2012

12


VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2 sin 2 4 cos2y y x x ,

biết 1 nghiệm riêng là cos2y x .

Giải. Phương trình 0y y có: 2

1 20 0, 1k k k k

0y y có nghiệm tổng quát 1 2xy C C e .

Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là:

1 2 cos 2xy C C e x .


Phương pháp chồng chất nghiệm

• Định lý

Cho phương trình vi phân: 1 2 1 2( ) ( ) (7)y a y a y f x f x .

Nếu 1( )y x và 2( )y x lần lượt là nghiệm riêng của

1 2 1( )y a y a y f x ,

1 2 2( )y a y a y f x

thì nghiệm riêng của (7) là:

1 2( ) ( ).y y x y x


VD 16. Tìm nghiệm tổng quát của 22cosy y x (*). Cho biết 1y y và cos2y y x lần lượt có

nghiệm riêng 1y x , 22 1

cos2 sin 210 10

y x x .

Giải. Ta có: 22cos 1 cos 2y y x y y x .

Suy ra (*) có nghiệm riêng là: 2 1

cos 2 sin 210 10

y x x x .


Mặt khác, phương trình thuần nhất 0y y có nghiệm tổng quát là 1 2

xy C C e .

Vậy phương trình (*) có nghiệm tổng quát là:

1 22 1

cos 2 sin 210 10

xy C C e x x x .


Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

Xét phương trình 1 2

( ) (6)y a y a y f x

và 1 2

0 (4).y a y a y

• Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x) ( ( )

nP x là đa thức bậc n ).

Bước 1. Nghiệm riêng của (6) có dạng:

( )m xn

y x e Q x

( ( )n

Q x là đa thức đầy đủ bậc n ).


Bước 2. Xác định m :

1) Nếu không là nghiệm của phương trình đặc trưng của (4) thì 0m .

2) Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng của (4) thì 1m .

3) Nếu là nghiệm kép của phương trình đặc trưng của (4) thì 2m .

Bước 3. Thế . ( )m xn

y x e Q x vào (6) và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng cần tìm.

1/2/2012

13


VD 17. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân: 3 22 3 ( 1)xy y y e x .

Giải. Ta có 3 2( ) ( 1)xf x e x , 22

3, ( ) 1P x x .

Suy ra nghiệm riêng có dạng: 3 2( )m xy x e Ax Bx C .

Do 3 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 2 2 3 0k k nên 1m .

Suy ra nghiệm riêng có dạng 3 2( )xy xe Ax Bx C .


Thế 3 2( )xy xe Ax Bx C vào phương trình đã cho, đồng nhất thức ta được:

1 1 9, ,

12 16 32A B C .

Vậy nghiệm riêng là 3 21 1 912 16 32

xy xe x x

.


VD 18. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 2 2x xy y y xe e .

Giải. Xét phương trình 2 xy y y xe (1). Ta có ( ) xf x xe ,

11, ( )P x x .

Dạng nghiệm riêng của (1) là 1

( )m xy x e Ax B .

Do 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng 2 2 1 0k k nên 0m 1

( )xy e Ax B .


Xét phương trình 2 2 xy y y e (2). Ta có ( ) 2 xf x e ,

01, ( ) 2P x .

Nghiệm riêng của (2) có dạng m xy Cx e . Do 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng

2 2 1 0k k nên 2m 22

xy Cx e .

Áp dụng nguyên lý chồng nghiệm, suy ra nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng:

21 2

( )x xy y y e Ax B Cx e .


• Trường hợp 2 f(x) có dạng eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx]

( ( )n

P x là đa thức bậc n , ( )m

Q x là đa thức bậc m ).

Bước 2. Xác định s :

1) Nếu i không là nghiệm của phương trình đặc trưng của (4) thì 0s .

2) Nếu i là nghiệm của phương trình đặc trưng của (4) thì 1s .

Bước 1. Nghiệm riêng có dạng: [ ( )cos ( )sin ]s x

k ky x e R x x H x x

( ( ), ( )k k

R x H x là đa thức đầy đủ bậc max{ , }k n m ).


Bước 3. Thế [ ( )cos ( )sin ]s xk k

y x e R x x H x x vào (6) và đồng nhất thức ta được nghiệm riêng.

VD 19. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 2 3 cos 3 sinx xy y y e x xe x .

Giải. Ta có ( ) (cos 3 sin )xf x e x x x 1, 1, 0, 1, 1n m k .

Suy ra nghiệm riêng có dạng: [( )cos ( )sin ]s xy x e Ax B x Cx D x .

1/2/2012

14


Do 1i i không là nghiệm của phương trình đặc trưng 2 2 3 0k k nên 0s .

Vậy dạng nghiệm riêng là: [( )cos ( )sin ]xy e Ax B x Cx D x .


VD 20. Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân: 22 2 [( 1)cos sin ]xy y y e x x x x .

Giải. Ta có 1, 1, 2k .

1 i là nghiệm của 2 2 2 0 1k k s .

Vậy dạng nghiệm riêng cần tìm là: 2 2[( )cos ( )sin ]xy xe Ax Bx C x Dx Ex F x .


VD 21. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 3 siny y x (*).

Giải. Ta có 2 1 0k k i . Nghiệm tổng quát của 0y y là:

1 2cos siny C x C x (1).

Mặt khác: 0, 1 1, 0s k .

Dạng nghiệm riêng của (*) là ( cos sin )y x A x B x .


Thế ( cos sin )y x A x B x vào (*), ta được: 3 3, 0 cos

2 2

xA B y x (2).

Từ (1) và (2), ta có nghiệm tổng quát là:

1 2

3cos sin cos

2

xy C x C x x .


3.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng • Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n có dạng:

( ) ( 1) ( 2)1 2 1+ + +...+ + 0 (8).n n n

n ny a y a y a y a y

Trong đó, , 1,2,...,

ia i n .


• Định lý Nếu phương trình đặc trưng của (8)

1 21 2 1... 0n n n

n nk a k a k a k a

có n nghiệm thực đơn 1 2 1, , ..., , n nk k k k

thì phương trình (8) có n nghiệm riêng 1 2 1

1 2 1, ,..., , n nk x k x k x k xn ny e y e y e y e

và nghiệm tổng quát là:

1 2 11 2 1... .n nk x k x k x k x

n ny C e C e C e C e

Trong đó, , 1,2,...,i

C i n .

1/2/2012

15


VD 22. Giải phương trình 2 2 0y y y y .

Giải. Phương trình đặc trưng: 3 22 2 0 1, 2k k k k k .

Vậy phương trình có 3 nghiệm riêng: 2

1 2 3, , x x xy e y e y e

và nghiệm tổng quát là 2

1 2 3x x xy C e C e C e .


VD 23. Giải phương trình vi phân (4) 5 4 0y y y .

Giải. Phương trình đặc trưng: 4 25 4 0 1, 2k k k k .

Vậy phương trình có 4 nghiệm riêng: 2 2

1 2 3 4, , , x x x xy e y e y e y e và nghiệm tổng quát là

2 21 2 3 4

x x x xy C e C e C e C e .

………………Hết………………

Documents

chương 3-A3DH(Y soan).ppt - trantuananhlikemysite.weebly.comtrantuananhlikemysite.weebly.com/uploads/7/4/0/5/7405544/chng_3-a3dhy...Nhận thấy hàm , C y C x thỏa (*). Thay