11/27/2017

1

3.6 Phép đẳng tham số cho phần tử thanh dàn: Xét

thanh dàn trong mặt phẳng (2D) như hình vẽ:

Trong đó:

• T: lực tác dụng tại nút 1 và 2 dọc theo trục thanh

• x': trục tọa độ địa phương của thanh

• 𝑢1′ , 𝑢2

′ : chuyển vị của nút 1 và 2

• 𝑓1𝑥′ , 𝑓2𝑥

′ : ngoại lực tác dụng tại nút 1 và 2

74

T

𝑓1𝑥′ , 𝑢1

′

T1 2lEA, l x'

𝑓2𝑥′ , 𝑢2

′

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Theo định luật Hooke, ta có: ε =𝜎

𝐸và ε =

𝛿

𝑙

Nội lực trong thanh được xác định theo công

thức:

75

Trong đó:

𝛿 = 𝑢2′ - 𝑢1

′

𝜎 = 𝑢2′ − 𝑢1

′

𝑙𝐸

𝑇 = 𝜎. 𝐴

(3.5)

(3.6)

T T1 2l

𝑓1𝑥′ , 𝑢1

′

x'

𝑓2𝑥′ , 𝑢2

′

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

11/27/2017

2

Từ công thức (3.5) và (3.6) ta có:

𝑇 = 𝐴𝐸(𝑢2′ − 𝑢1

′

𝑙)

Khi nút 2 cố định, ta có:

𝑓1𝑥′ = −𝑇

Khi nút 1 cố định, ta có:

𝑓2𝑥′ = 𝑇

Thay thế (3.7) vào công thức trên ta có

𝑓1𝑥′ = −𝐴𝐸(

𝑢2′ − 𝑢1

′

𝑙)

𝑓2𝑥′ = 𝐴𝐸(

𝑢2′ − 𝑢1

′

𝑙)

76

(3.7)

(3.8a)

(3.9b)

(3.9a)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.8b)

Công thức (3.9a) và (3.9b) được viết lại dưới

dạng ma trận:

𝑓1𝑥′

𝑓2𝑥′ = 𝐴𝐸

𝑙1 −1−1 1

𝑢1′

𝑢2′

Trong đó:

𝑘𝑒 =𝐴𝐸

𝑙: độ cứng của thanh

𝐾 𝑒 =𝐴𝐸

𝑙

1 −1−1 1

: ma trận độ cứng

𝑘𝑒 va 𝐾 𝑒 được tính trong hệ tọa độ địa phương

của thanh77

(3.10)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

11/27/2017

3

Công thức (3.10) có thể được viết dưới dạng ma

trận như sau:

𝑓 𝑒 = 𝐾 𝑒 𝑢 𝑒

78

(3.11)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

• Công thức (3.11) được viết cho một phần tử

• 𝑓 𝑒: Vector lực tác dụng lên các nút của phần tử

• 𝐾 𝑒: Ma trận độ cứng của phần tử

• 𝑢 𝑒: Vector chuyển vị tại các nút của phần tử

• Từ công thức (3.11) ta giải hệ phương trình để

tìm ra chuyển vị của các nút giàn

• Nội lực của thanh giàn được xác định bởi công

thức

𝜎𝑒 = 𝐸. 휀𝑥𝑒 = 𝐸.

𝑢2′ − 𝑢1

′

𝑙

𝑁𝑒 = 𝜎𝑒𝐴

79

(3.12a)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.12b)

11/27/2017

4

Trong bài toán thanh dàn chịu kéo nén đúng tâm ta thấy:

80

T

𝑓1𝑥′ , 𝑢1

′

T

1 2

EA, l x'

𝑓2𝑥′ , 𝑢2

′

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

1) Các thông số bài toán được tìm thông qua các

chuyển vị tại nút

2) Vector chuyển vị của phần tử: là bao gồm tất cả

các chuyển vị tại các nút của phần tử;

3) Bài toán có thể được giải khi biết ma trận độ

cứng của phần tử

3.6.1. Hàm dạng của phần tử thanh dàn: Xét thanh dàn

như hình vẽ

81

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

1) s: là hệ trục gắn với trục thanh với gốc tại trung

điểm của đoạn thanh

2) Thanh có hai bậc tự do với hai chuyển vị 𝑢1 tại nút

1 và 𝑢2 tại nút 2.

3) x: là hệ tọa độ tổng quát của phần tử.

𝑥1

1 2L

u, x

𝑠 = 0𝑠 = −1

1 2L

u, x

𝑠 = 1𝑥2

11/27/2017

5

Khi trục 𝒔 song song với trục 𝒙: Khi đó, tọa độ trọng

tâm được xác định bởi:

𝑥𝑐 =𝑥1 + 𝑥22

Mối liên hệ giữa 𝑥 và 𝑠, ta có:

𝑥 = 𝑥𝑐 +𝐿

2. 𝑠

Mối liên hệ giữa 𝑠 và 𝑥, ta có:

𝑠 =𝑥 − (𝑥1 + 𝑥2)

2

2

𝑥2 − 𝑥182

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Khoảng chia

số khoảng chia

(3.37a)

(3.37b)

(3.37c)

Gọi 𝑁1 𝑥 ,𝑁2 𝑥 là các hàm dạng của phần tử tại nút 1

và 2, theo (3.31) tọa độ 𝑥 có thể viết theo các hàm dạng

như sau:

𝑥 = 𝑁1 𝑥 𝑥1 +𝑁2 𝑥 𝑥2

Dưới dạng ma trận:

𝑥 = 𝑁1(𝑥) 𝑁1(𝑥)𝑥1𝑥1

83

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.38a)

(3.38b)

Mặt khác, mối liên hệ giữa tọa độ 𝒙 và 𝒔 có thể được

viết bằng đa thức cấp 1 sau:

𝑥 = 𝑎1 + 𝑎2. 𝑠 (3.39)

11/27/2017

6

Ta có:

𝑠 = −1, 𝑥 = 𝑥1, thay vào (3.39), ta có: 𝑎1 − 𝑎2 = 𝑥1

𝑠 = 1, 𝑥 = 𝑥2, thay vào (3.39), ta có: 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑥2

Thay vào (3.39), ta có:

𝑥 =1

21 − 𝑠 𝑥1 + 1+ 𝑠 𝑥2

Hoặc dưới dạng ma trận:

𝑥 =1 − 𝑠

2

1 + 𝑠

2

𝑥1𝑥2

= 𝑁1(𝑥) 𝑁1(𝑥)𝑥1𝑥1

84

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.40)

(3.41)

Ta có:

𝑁1 𝑥 =1 − 𝑠

2

𝑁2 𝑥 =1 + 𝑠

2

85

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.42a)

𝑠

𝑠 = −1 𝑠 = 1

𝑁2 =1 + 𝑠

2

𝑁2

1

𝑠

𝑠 = −1 𝑠 = 1

𝑁1 =1 − 𝑠

2

𝑁1

1

(3.42b)

Hàm dạng trong hệ tọa độ s của phần tử

11/27/2017

7

Do phân tử là đẳng tham số, vì vậy có thể xác định

chuyển vị của phần bởi các hàm dạng 𝑁1 𝑥 ,𝑁2 𝑥 , ta

có:

𝑢 = 𝑁1 𝑥 𝑢1 +𝑁2 𝑥 𝑢2

86

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.43)

𝑠𝑠 = −1 𝑠 = 1

𝑢

1 2

𝑢 = 𝑁1𝑢1 + 𝑁2𝑢2

𝑢1𝑢2

Hàm chuyển vị trong hệ tọa độ s của phần tử

3.6.2 Biến dạng và chuyển vị trong thanh dàn: Trong hệ

tọa độ tổng quát, biến dạng tỉ đối của thanh dàn là:

휀𝑥 =𝑑𝑢

𝑑𝑥Mặt khác, ta có:

𝑑𝑢

𝑑𝑠=𝑑𝑢

𝑑𝑥.𝑑𝑥

𝑑𝑠Từ (3.45) và (3.44), ta có:

휀𝑥 =(𝑑𝑢𝑑𝑠)

(𝑑𝑥𝑑𝑠)

87

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.44)

(3.45)

(3.46)

11/27/2017

8

Từ định nghĩa của các số gia 𝑑𝑢, 𝑑𝑠, ta có:

𝑑𝑢

𝑑𝑠=𝑢2 − 𝑢12

;𝑑𝑥

𝑑𝑠=𝑥2 − 𝑥12

=𝐿

2

Từ (3.47) và (3.46), ta có:

휀𝑥 = −1

𝐿

1

𝐿

𝑢1𝑢2

Mặt khác, gọi 𝛿 𝑒 là chuyển vị tại các nút của phần tử,

ta có:

𝑢 = 𝑁 𝛿 𝑒

88

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.47)

(3.48)

(3.49)

Theo lý thuyết đàn hồi, ta có:

Dưới dạng ma trận

휀 = 𝜕 𝑢

89

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.50)

휀𝑥휀𝑦휀𝑧𝛾𝑥𝑦𝛾𝑦𝑧𝛾𝑧𝑥

=

𝜕

𝜕𝑥𝜕

𝜕𝑦𝜕

𝜕𝑧𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥𝜕

𝜕𝑧

𝜕

𝜕𝑦𝜕

𝜕𝑧

𝜕

𝜕𝑥

𝑢𝑣𝑤

11/27/2017

9

Thế (3.49) vào (3.50), ta có:

휀 = 𝜕 𝑁 𝛿 𝑒 = 𝐵 𝛿 𝑒

Trong đó: 𝐵 = 𝜕 𝑁 : ma trận chứa đạo hàm của các

hàm dạng (ma trận để tính biến dạng)

Đồng nhất công thức (3.48) và (3.51), ma trận tính biến

dạng 𝐵 có dạng sau:

𝐵 = −1

𝐿

1

𝐿

90

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.51)

(3.52)

3.6.3 Ứng suất trong thanh dàn: Theo định luật Hooke

tổng quát ta có:

𝜎 = 𝐸 휀 = 𝐸 𝐵 𝛿 𝑒

Trong đó:

𝐸 : ma trận các module đàn hồi, trong trường

hợp bài toán thanh dàn 𝐸 = const, do vậy

𝐸 = 𝐸, công thức (3.53) được viết lại như sau:

𝜎 = 𝐸 𝐵 𝛿 𝑒

91

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.53)

(3.54)

11/27/2017

10

3.6.4 Độ cứng của thanh dàn: Theo phương pháp thế

năng toàn phần, độ cứng của phần tử thanh dàn được

xác định bởi công thức

𝐾 𝑒 =

𝑉

𝐵 𝑇 𝐸 𝐵 𝑑𝑉

Trong bài toán 1D - thanh dàn, ta có:

𝐸 = 𝐸

𝑑𝑉 = 𝐴. 𝑑𝑥

Ta có:

𝐾 𝑒 =

0

𝐿

𝐵 𝑇 𝐸 𝐵 𝐴. 𝑑𝑥

92

(3.55)

(3.56)

Công thức (3.56), 𝐵 là ma trận được viết trong hệ trục

s, do vậy ta phải chuyển tọa độ 𝑥 sang 𝑠, ta có:

0

𝐿

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

−1

1

𝑓 𝑠 𝐽 𝑑𝑠

Trong bài toán 1 chiều – thanh dàn, ta có:

𝐽 = J =𝑑𝑥

𝑑𝑠=𝐿

2Thay (3.57b) vào (3.56), ta có:

𝐾 𝑒 =𝐿

2

−1

1

𝐵 𝑇 𝐸 𝐵 𝐴. 𝑑s

93

(3.57a)

(3.57b)

(3.58)

11/27/2017

11

Trong hệ tọa độ s (tọa độ địa phương), độ cứng thanh

dàn được xác định bởi:

𝐾 𝑒 =𝐴𝐸𝐿

1 −1−1 1

Trong hệ tọa độ tổng quát, áp dụng công thức chuyển

trục, ta có ma trận độ cứng của phần tử được xác định

bởi công thức:

𝐾 𝑒 =𝐴𝐸

𝑙

𝐶2 𝐶𝑆 −𝐶2 −𝐶𝑆𝐶𝑆 𝑆2 −𝐶𝑆 −𝑆2

−𝐶2 −𝐶𝑆 𝐶2 𝐶𝑆−𝐶𝑆 −𝑆2 𝐶𝑆 𝑆2

94

(3.59a)

(3.59b)

3.6.5 Vector tải trọng tác dụng lên thanh dàn:

a) Trọng lượng bản thân: trong hệ tọa độ địa phương

trọng lượng bản thân thanh dàn được quy về lực tập

trung tác dụng ở hai nút

𝑓𝑏 𝑒 =𝐴𝐿𝜌

211

Trong đó:

𝜌: trọng lượng riêng của thanh dàn

95

(3.60)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

11/27/2017

12

b) Lực phân bố dọc theo chiều dài thanh 𝒒(𝒙):

Trường hợp 1: Khi 𝑞(𝑥) là hàm của biến 𝑥:

𝑓𝑠 𝑒 =

0

𝐿

𝑁𝑠𝑇 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥

Thay hàm dạng theo tọa độ s và 𝑑𝑥 =𝐿

2𝑑𝑠 , ta có:

𝑓𝑠 𝑒 =

−1

1 1 − 𝑠

21 + 𝑠

2

𝑇

𝑞(𝑥)𝐿

2𝑑𝑠

Trường hợp 2: Khi 𝑞 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ta có

𝑓𝑠 𝑒 = 𝑞(𝑥)𝐿

211

96

(3.60)

(3.61)