1

CHƯƠNG I GIẢI TÍCH PHỨC

§1. SỐ PHỨC

I. Dạng đại số của số phức được xác định z = x + iy

trong đó : x Rez gọi là phần thực của z

y Imz gọi là phần ảo của z

Cho hai số phức 1 1 1 2 2 2z x iy ;z x iy ta nói 1 2 1 2z z x x và 1 2y y

số phức z x iy gọi là số phức liên hợp của z x iy

Mặt phẳng phức được thể hiện bởi một hệ trục tọa độ.Trong đó trục 0y được gọi là trục

ảo,còn trục 0x là trục thực .

Khi cho z x iy thì tương đương với M(x,y) trên m/p được gọi là tọa vị của M.

Độ dài vectơ OM

được gọi là môdun của số phức z x iy và 2 2OM x y z r

Góc 0x,OM k2

được gọi là Argumen của z ,còn argz gọi là argumen phần

chính của z.

z r cos isin được gọi là dạng lượng giác của số phức 2z z.z

Công thức Moavơrơ:

nn nz r cos isin z r cos isin r cosn isin n

thừa nhận: icos isin e (công thức ơle)

Ví dụ:

a) 1 2 1 2Arg(z z ) Argz +Argz

b) 11 2

2

zArg Argz -Argzz

c) 1 2 1 2z z z z

d) 1 2 1 2z / z z / z

2

e) Với Rez 0 vµ Rea 0 thì a z 1a z

f) 1 2z z 1 và 1,2z 1 thì 1 2

1 2

z z1 z z

II. CĂN BẬC n CỦA SỐ PHỨC

W được gọi là căn bậc n của số phức z và viết nnW z (n N) nÕu W z

n1

k2 k2Gi¶ sö z r(cos isin ) vµ W=r (cos isin ) W= r(cos isin )n n

(CÇn chØ râ cho häc sinh c¨n bËc n chØ cã n gi¸ trÞ ph©n biÖt víi k 0,n 1)

3 4VD :TÝnh 1 i ; 1

§2. HÀM BIẾN PHỨC

Khái niệm:Hàm f(z) xác định trên tập G với oz G mà of (z ) có duy nhất một giá trị thì

hàm f (z) gọi là hàm đơn trị,trái lại hàm được gọi là hàm đa trị.

I. Giới hạn

Lưu ý: oz z

lim f (z)

thì oz z theo nhiều cách khác nhau

với hàm f (z) biểu diễn dưới dạng f (z) U(x, y) iV(x, y) víi z x iy

II. Đạo hàm của hàm biến phức

o oo

z 0

f (z z) f (z )W f (z) lim f (z )

z

và z 0 theo nhiều cách khác nhau

ta có o oo

z 0

f (z z) f (z )lim f (z )

z

với z x iy; z x i y

o o o o o o o o o of (z z) f (z ) U(x x, y y) iV(x x, y y) U(x , y ) iV(x , y ) cho y 0 và x 0 o x o o x o of (z ) U (x , y ) iV (x , y )

cho x 0 và y 0 o y o o y o of (z ) V (x ,y ) iU (x ,y )

3

x o o y o oU (x ,y ) V (x ,y ) và x o o y o oV (x , y ) U (x ,y ) (Đ/k Côsi-Riman)

Nhận xét:

a) nếu hàm số giải tích thì thỏa mãn đ/k Côsi-Riman.

Ngược lại nếu hàm thỏa mãn Côsi-Riman và các hàmU(x, y),V(x, y) cùng các đạo hàm

riêng liên tục tại một điểm thì tại đó nó có đạo hàm.

b) Quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức tương tự như hàm biến thực.

Từ đ/k Côsi-Riman ta thấy 2 2 2 2x y x yU U 0 vµ V V 0 đó là các hàm điều hòa.

Trong khuôn khổ chương trình ta đi tìm các hàm giải tích mà các hàm thành phần là các

hàm điều hòa.

III. MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN

1) Hàm nW z đơn trị và n 1W nz

2) Hàm nnW z W z đa trị , việc lấy đạo hàm của nó phải thực hiện theo từng

nhánh

3) Hàm mũ là hàm có phần thực xe cos y và phần ảo xe sin y x iy zW e e đó là

hàm đơn trị và có các tính chất như hàm mũ thực

4) Hàm lượng giác:iz ize ecosz

2

;

iz ize esin z2i

; sin ztgz

cos z và cos zcot gz

sin z

Lưu ý:

a) Các tính chất hàm lượng giác phức có tính chất như hàm lượng giác thực.

b) cosz và sin z nói chung không bị chặn như trong thực,chẳng hạn

n ne ecos(ni) 1

2

với n 1

5) Hàm Lôgarit là hàm ngược của hàm zW=e và viết W Lnz .

khai triển ta được Lnz ln z i(argz k2 ) với k ,còn ln z ln z iarg z được gọi

là nhánh chính của Lnz .Các tính chất của Lnz tương tự như trong thực.Riêng đạo hàm

của Lnz ta phải thực hiện trên từng nhánh.

4

6) Hàm lượng giác ngược,đó là các hàm đa trị :

a) 2W = arcsin z = -iln(iz+ 1 ) z

b) 2W = arccosz = -iln(z+ 1)z

c) 1W = ar n2 1

i izctgz l

iz

Ví dụ:Tính Re(ar )ictge với nhọn

7) Hàm lũy thừa tổng quát aW=z với a i và viết aLnzW=e

cụ thể ( i ) ln z iArgz i ln z Argzln z ArgzW = e e e

§3:TÍCH PHÂN HÀM BIẾN PHỨC

I. Định nghĩa:Cho hàm f(z) xác định trên đường L AB ,chia AB bởi các điểm chia

theo thứ tự 0 1 2 3 nA z ,z ,z ,z ....z B trên cung từ kz đến k 1z lấy bất kỳ điểm k

nếu tồn tại giới hạn n

k kd 0 k 0lim f ( ) z

trong đó kd max z với k k 1 kz z z

và giới hạn không phụ thuộc vào phép chia AB và cách chọn k thì giới hạn đó gọi là tích

phân hàm f(z) dọc theo cung AB và viết AB

f (z)dz

Với z x iy và f (z) U(x, y) iV(x, y) trong đó dz dx idy thì

AB AB AB

f (z)dz U(x, y)dx V(x, y)dy i V(x, y)dx U(x, y)dy

Do đó cách tính và các tính chất của tích phân hàm biến phức hoàn toàn như tích phân

đường loại 2.

Ví dụ: Tính 0

n0z z

dz(z z ) với n

5

Nếu có hàm F(z) thỏa mãn F (z) f (z) thì

z Bz A

AB

z AB f (z)dz F(z) F(B) F(A)

II. Định lý Côsi:Nếu hàm f(z) giải tích trong miền G có biên L(trơn) thì L

f (z)dz 0

III. Công thức tích phân Côsi : Nếu hàm f(z) giải tích trong miền G có biên L(trơn) và

0z G thì ooL

1 f (z) dz f (z )2 i z z

Chứng minh : Ta có oo

o o oL L L

f (z) f (z )1 f (z) 1 1 dzdz dz f (z )2 i z z 2 i z z 2 i z z

mặt khác do 0f (z) f (z ) nên

oo

o o oL L L

f (z) f (z )1 f (z) 1 dz 1dz f (z ) dz2 i z z 2 i z z 2 i z z

tức là ooL

1 f (z) dz f (z )2 i z z

Ví dụ :

a) z 1 2

dzIz 2

b) 2z 1 2

zdzIz 9

IV. Tích phân loại Côsi :Giả sử L là đường cong trơn từng khúc f(z) liên tục trên L,khi đó

z L thì L

f ( )F(z) dz

được gọi là tích phân loại Côsi.

Định lý : Cho f(z) liên tục trên L,khi đó L

f ( )F(z) dz

giải tích miền D không chứa L

và (n)n 1

L

n! f ( )F (z) d2 i ( z)

6

Ví dụ :

a) 3 2z 4 2

coszI dz(z 1) (z 5)

b) 2 3z 1 1

dzI(z 1)

§4: CHUỖI TAYLOR-LAURENT

I.Chuỗi Taylor:

Mọi hàm f(z) giải tích tại z = a luôn biểu diễn dưới dạng (n)

n

n 0

f (a)f (z) z an!

Khai triển Taylor của một số hàm sơ cấp cơ bản tại z 0

a)

2n 1n

n 0

zsin z ( 1)2n 1 !

b)

2nn

n 0

zcosz ( 1)2n !

c) n

z

n 0

zen!

Đặc biệt z ix ta có

n 2n 2n 1ix n n

n 0 n 0 n 0

(ix) z ze ( 1) i ( 1)n! 2n ! 2n 1 !

và ixe cos x isin x (Công thức Euler)

II.Chuỗi Laurent:

1. Định lý và định nghĩa : Hàm f(z) giải tích trong miền G r z a R ;z G

thì luôn có

n nn n

n 0 n 1

cf (z) c z az a

.Khai triển đó gọi là chuỗi Laurent của f(z)

tại tâm z a

trong đó

7

nnn 0

c z a

gọi là phần đều

nn

n 1

cz a

gọi là phần chính

Chứng minh : Theo tích phân Côsi 2 1C L L

1 f ( ) 1 f ( ) 1 f ( )f (z) d d d2 i z 2 i z 2 i z

trong đó 1L và 2L là hai đường tròn tâm z a ở trong G,sao cho miền giới hạn bởi 1L

và 2L chứa z.

Ta có 1 1z ( a) (z a)

với n

2 n 1n 0

1 (z a)L a z a ;( a) (z a) ( a)

2 2

nn 1

n 0L L

1 f ( ) 1 f ( )dd (z a)2 i z 2 i ( a)

(1)

Tương tự với 1L 1 1

nn 1

n 0L L

1 f ( ) 1 f ( )dd ( a)2 i z 2 i (z a)

(2)

Trong (2) đặt n 1 k

2 2 1

n nn 1 n 1

n 0 n 1L L L

1 f ( )d 1 f ( )d(z a) (z a)2 i 2 i( a) ( a)

trong 2 tích phân trên 1L và 2L không phụ thuộc vào đường lấy tích phân .

Nên ta đặt n n 1L

1 f ( )dc2 i ( a)

với n 0, 1, 2, 3,... Đó là điều phải chứng minh.

III.PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG

1) Không điểm: z a được gọi là không điểm của f(z) nếu f (a) 0 , còn z a được

gọi là không điểm cấp m của f(z) nếu: mf (z) (z a) (z) trong đó (a) 0 và giải tích

8

tại z a .

2) Định nghĩa: z a được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) nếu trong lân cận

của z a chỉ có duy nhất a là điểm bất thường của f(z) .

Giả sử z a là điểm bất thường cô lập của hàm f(z)

z alim f (z) A

thì z a gọi là điểm bất thường bỏ được.

Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại z a chỉ có hữu hạn số hạng

tức là

n m m 1 1n m m 1

n 1

c c c c...z az a z a z a

trong đó mc 0 thì z a được

gọi là cực điểm cấp m.

Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại z a có vô số số hạng thì

z a được gọi là điểm bất thường cốt yếu.

3) Định lý : Cho 1

2

f (z)f (z)f (z)

trong đó 2f (z) nhận z a là không điểm cấp m và

1f (a) 0 .Thì f(z) nhận z a là cực điểm cấp m.

§5:THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG

I.THẶNG DƯ

1) Định nghĩa : Cho 0z là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) thì oz z r

1 f (z)dz2 i

không phụ thuộc vào đường lấy tích phân.Nên ta gọi oz z r

1 f (z)dz2 i

là thặng dư của

f(z) tại 0z .Ký hiệu o

oz z r

1Resf (z),z z f (z)dz2 i

2) Công thức tính : Ta đã có n n 10L

1 f ( )dc2 i ( z )

với n 0, 1, 2, 3,... Khi n 1

9

1L

1c f (z)dz2 i trong đó 1c là hệ số trong khai triển Laurent tại 0z

3) Cách tính thặng dư:

a) Thặng dư cực điểm cấp m : (m 1)m

z a

1Resf (z),z a lim (z a) f (z)(m 1)!

b) Cho 1

2

f (z)f (z)f (z)

trong đó 2f (z) nhận z a là không điểm cấp 1 và 1f (a) 0

đồng thời 2f (z) giải tích tại z a thì 1

2

f (a)Resf (z),z af (a)

c) Đối với điểm bất thường cốt yếu để tìm thặng dư ta phải khai triển Laurent

qua đó xác định 1c

II.ỨNG DỤNG

1) Tích phân phức trên đường cong kín : Giả sử ka (k 1,N) là các điểm bất

thường của f (z) nằm trong miền giới hạn bởi L (trơn),thì

N

kk 1L

f (z)dz 2 i R esf (z),z a

2) Tích phân thực f (x)dx

trong đó f (x) là phân thức hữu tỷ

Bổ đề : Gọi RC là nửa đường tròn tâm 0,bán kính R có Imz 0 và thỏa mãn

zlim zf (z) 0

với 0 arg z thì R

R C

lim f (z)dz 0

.

Chứng minh : phương trình RC : iz Re (0 ) R

i i

C 0

f (z)dz f (Re )d(R e )

10

từ giả thiết ta có i i

0 0f (Re )iR e d zf (z) d

.Đó là điều phải chứng minh.

Định lý : Cho 1

2

f (z)f (z)f (z)

với if (z) có 1 2degf (z) 2 degf (z) và f (z)

có ka (k 1,N) là các cực điểm ở phía trên 0x và kb (k 1,M) là cực điểm đơn trên 0x

Khi đó N M

k kk 1 k 1

f (x)dx 2 i R esf (z),z a i R esf (z),z b

3) Tích phân dạng f (x)cos xdx

và f (x)sin xdx

với ( 0)

Theo công thức ơle,ta có i xf (x)e f (x)cos x if (x)sin x khi đó

i xf (x)e dx f (x)cos xdx i f (x)sin xdx

nếu các tích phân hội tụ.

Qua đó i xf (x)cos xdx Re f (x)e dx

và i xf (x)sin xdx Im f (x)e dx

a) Bổ đề : Gọi RC là cung tròn z R có Imz a với a cố định.Nếu

i xF(z) e f (z) với 0 cố định,còn f (z) giải tích trong nửa mặt phẳng Imz a trừ một

số hữu hạn các điểm bất thường vàzlim f (z) 0

thìR

i xR C

lim e f (z)dz 0

b) Định lý : Cho 1

2

f (z)f (z)f (z)

với if (z) có 1 2degf (z) 1 degf (z) và f (z) có

ka (k 1,N) là các cực điểm ở phía trên 0x và kb (k 1,M) là cực điểm trên 0x.

Khi đó N M

i x i x i xk k

k 1 k 1f (x)e dx 2 i R esf (z)e ,z a i R esf (z)e ,z b

11

4) Tích phân dạng 2

0

f (cos t,sin t)dt

Từ it ite ecos t

2

và

it ite esin t2i

.

Đặt itz e z 1 1 1cos t z2 z

và 1 1sin t z2i z

.Do đó

2

0 z 1

1 1 1 1 dzf (cos t,sin t)dt i f z , z2 z 2i z z

VÍ DỤ:

1. 2cos

2 10

x xdxIx x

2. 2sin

2 10

x xdxIx x

3. 2sin

4 20

x xdxIx x

4. 2sin

( 4)( 1)

xdxIx x

5. 2 2 10

dxIx x

6. 2

40

11

xI dxx

7. 2

0

dtIcos t sin t 2

§6: PHÉP BIẾN ĐỔI Z

12

I.Định nghĩa và tính chất

1) Định nghĩa:Cho dãy số ( ) x n biến đổi Z của dãy số trên được xác định

( )

n

nx n z nếu chuỗi hội tụ.Ký hiệu ( ) ( )

n

nx n z X z và ( )

x n ( )X z

VÍ DỤ:Tìm biến đổi Z của dãy số:

íi 0( )0 íi 0

na v nx nv n

2) Tính chất: Giả sử ( ) x n ( )X z và ( )

y n ( )Y z

a) Tuyến tính : ( ) ( ) ( ) ( ) x n x n X z Y z

b) Tính trễ : 0( ) ( ) n

ox n n z X z

Vì ( )( ) ( ) ( ) ( )

o ok n nn

o on k

x n n x n n z x k z z X z

c) Nhân với n : ( ) nx n ( )zX z

Vì từ 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n

n n nx n z X z X z nx n z z nx n z

( ) ( )

n

nnx n z zX z .Đó là điều phải chứng minh.

Ví dụ :Tìm biến đổi Z của dãy số:

2 íi 0( )

0 íi 0

n v nx nv n

Ta có 1 íi 00 íi 0 1

v n zv n z

với 2 íi 01

10 íi 0

zn v nz z z

zv n

Qua đó

2

3( )1

z zX zz

với 1z

13

II.Phép biến đổi Z ngược : Phần này ta giải quyết bài toán với một hàm W f (z) hãy tìm

một dãy số ( )x n sao cho qua biến đổi Z dãy ( )x n cho ảnh là W f (z) .

CHƯƠNG II:CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

§1:PHÉP BIÊN ĐỔI LAPLACE

I.KHÁI NIỆM:

1) Định nghĩa : Hàm số f (t) được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn các điều kiện sau

0. Hàm f (t) liên tục hay liên tục từng khúc t 0

1. Không tăng nhanh bằng hàm mũ,tức là oM 0,s 0 sao cho os tf (t) Me

Khi đó os được gọi là chỉ số tăng của f (t) .

2. f (t) 0 với t 0 .Điều kiện này thường áp dụng trong thực tế đối với các

hàm có biến là biến thời gian.

VÍ DỤ:

1. 1 nÕu t 0

(t)0 nÕu t 0

2. sin t nÕu t 0

(t)sin t0 nÕu t 0

Quy ước:Khi (t)f (t) là hàm gốc ta chỉ cần ghi f (t) là hàm gốc .

2) Định lý: Giả sử os là chỉ số tăng của f (t) ,với p s i thì tích phân pt

o

f (t)e dt

hội tụ os s ,hơn nữa ptp

o

lim f (t)e dt 0

14

Chứng minh:Ta có o(s s )tpt

oo o

Mf (t)e dt M e dts s

với os s .Tức là tích phân

pt

o

f (t)e dt

hội tụ.Mặt khác khi p tức là s

hay pt ptp

o of (t)e dt lim f (t)e dt 0

.

Đặt pt

o

F(p) f (t)e dt

,khi đó F(p) gọi là hàm ảnh của hàm gốc f (t) và được gọi là

toán tử Laplace.

Ký hiệu : f (t) F(p) hoặc F(p) L f (t)

Hơn nữa pt

o

F (p) tf (t)e dt

tức là tf (t) F (p)

II.Các tính chất

1) Tuyến tính:Cho f (t) F(p) và g(t) G(p) ; , const thì

f (t) g(t) F(p) G(p)

2) Tính đồng dạng : cho f (t) F(p) thì 1 pf ( t) F với 0

3) Dịch chuyển ảnh : cho f (t) F(p) thì ate f (t) F(p a)

4) Tính trễ :Cho hàm f (t) thì hàm (t a)f (t a) gọi là hàm trễ của f (t) với a 0

và khi f (t) F(p) thì pa(t a)f (t a) e F(p)

5) Hàm xung và biểu diễn hàm qua hàm (t) :Hàm xung là hàm có dạng

(t) víi a t b

f (t)0 víi t cßn l¹i

khi đó ta có f (t) (t a) (t) (t b) (t)

15

6) Ảnh của hàm tuần hoàn:Cho f (t) f (t T) thì

Tpt

0pT

e f (t)dtf (t)

1 e

ta có pt pt pT pu

o o T

f (t) e f (t)dt e f (t T)dt e e f (u)du

T T

pT pu pu pT pu

0 0 0e e f (u)du e f (u)du e F(p) e f (u)du F(p)

Tpu

0pT

e f (u)duF(p)

1 e

VÍ DỤ:Tìm ảnh của hàm f (t) sin t

7) Đạo hàm của hàm gốc: cho f (t) F(p) .Tìm ảnh của hàm (k)f (t)

với k 1 ta có pt pt pt0

0 0

f (t) e f (t)dt e f (t) p e f (t)dt pF(p) f (0)

với k 2 thì 2f (t) p pF(p) f (0) p F(p) pf (0) f (0)

vậy (k) k k 1 k 2 (k 2) (k 1)f (t) p F(p) p f (0) p f (0) .... pf (0) f (0)

8) Tích phân hàm gốc : cho f (t) F(p) .Tìm ảnh của hàm t

0

f (u)du

Chứng minh : Giả sử t

0

f (u)du (t) và (t) (p) .Khi đó (t) p (p) (0) nhưng

(0) 0 .Mặt khác (t) f (t) ,nên F(p)(p)p

.

9) Đạo hàm hàm ảnh: cho f (t) F(p) .Tìm gốc của (k)F (p)

Chứng minh:Ta đã có0

F (p) tf (t)dt tf (t) F (p)

nên tiếp tục lấy đạo hàm theo p

16

hai vế ta được 2

0

F (p) ( t) f (t)dt

,tức là 2( t) f (t) F (p) (k) kF (p) ( t) f (t)

10) Tích phân hàm ảnh : cho f (t) F(p) .Tìm gốc của p

F(u)du

(nếu hội tụ)

Chứng minh: Ta có

ut ut pt

p 0 0 p 0 p

f (t) f (t)e f (t)dt du f (t)dt e du e dt F(u)dut t

11) Tích chập và ảnh của nó : Cho hai hàm f (t) và g(t) thì f (u)g(t u)du

được

gọi là tích chập của hai hàm f (t) và g(t) .Ký hiệu : f g f (u)g(t u)du

LƯU Ý:

f g g f

Nếu f (t) và g(t) là hai hàm gốc thì t

0

f (u)g(t u)du f (u)g(t u)du

và

với f (t) F(p) và g(t) G(p) thì f g F(p)G(p)

Chứng minh:Ta có

pt

0

f g (f g)e dt

t

pt pt

0 0 0 uf (u)g(t u)du e dt g(t u)e dt f (u)du

đặt t u v thì p(u v) pv pu

0 0 0 0g(v)e dv f (u)du g(v)e dv e f (u)du F(p)G(p)

.

12) Công thức Duyhamen:Cho f (t) F(p) và g(t) G(p) thì

pF(p)G(p) p F(p) f (0) G(p) f (0)G(p) f (0)g(t) f g

hoặc pF(p)G(p) p G(p) g(0) F(p) f (0)F(p) f (0)f (t) g f (t)

17

13) Điều kiện để một hàm là ảnh của một hàm gốc

Định lý : Giả sử hàmF(p) là hàm biến phức thỏa mãn

1. Giải tích trong nửa mặt phẳng Re op s

2. lim ( ) 0

p

F p

3. ( )

a i

a i

F p dp hội tụ tuyệt đối với Re op a s

Khi đó F(p) là ảnh của hàm gốc f (t) và f (t) được xác định 1( ) ( )2

a ipt

a i

f t F p e dpi

14) Công thức tìm hàm gốc của một phân thức thực sự

Cho ( )( )( )

A pF pB p

(tối giản).Giả sử ( 1, )ka k M là các cực điểm của F(p) thì F(p) là ảnh

của hàm gốc f (t) và 1

( ) R es ( ) ,

M

ptk

kf t F p e p a

III.Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số:

Cho phương trình ( ) ( 1) ( 2) ( 3)1 2 3 1..... a x = f(t)

n n n no n na x a x a x a x a x

thỏa mãn điều kiện ( ) (0) kkx x với 0, 1 k n

Cách giải : Giả sử x X thay ( ) 1 21 2 1...

k k k ko k kx p X p x p x px x

và f(t) ( )F p .Qua đó ta tính được ( )( )

A pXB p

.Từ đây ta tìm được ( )x t

Chú ý: Đối với hệ phương trình ta cũng làm tương tự

VÍ DỤ:

a) ( 1) 0 íi (0) 1; (0) 1 y t y ty v y y

b) Giải hệ phương trình

3 4 3 0

5 0

x x yy x y

18

với điều kiện (0) (0) (0) (0) 0 x x y y

§2:PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

I. Nhắc lại một số vấn đề về chuỗi Fourier

Cho hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 thì luôn có 1

f(x) cos sin2

o

n nn

a a nx b nx

trong đó:

1a f(x)dx

o

1a f(x)cosxdx

n với n = 1,2,3...

1 f(x)sinnxdx

nb với n = 1,2,3...

Khi f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 thì luôn có 1

f(x) cos sin2

on n

n

a n na x b x

ở đó các hệ số được xác định

1a f(x)dx

o

1a f(x)cos xdx

nn với n = 1,2,3...

19

1 f(x)sin xdx

nnb với n = 1,2,3...

Nếu hàm f(x) là hàm chẵn thì 0nb với n = 1,2,3...

còn khi hàm f(x) là hàm lẻ thì 0na với n = 0,1,2,3...

II. Phép biến đổi Fourier

1) Định lý : Hàm f(x) khả tích trên và thỏa mãn điều kiện Đirichlet thì

1f(x) = ( )cos ( ) 2

d f t t x dt (1)

Ta có ( )cos ( ) f t t x là hàm chẵn theo và ( )sin ( ) f t t x lẻ theo nên

( )1 1f(x) = ( ) cos ( ) sin ( ) ( )2 2

i t xd f t t x i t x dt d f t e dt (2)

Khi đó (1) và (2) được gọi là công thức tích phân Fourier thực và phức tương ứng,và ta có

( )1 1( ) ( )2 2

i t x i x i td f t e dt e f t e dt d

2) Định nghĩa : Ta gọi

a) ( ) ( )

i tf f t e dt là biến đổi Fourier của hàm f(x)

b) 1f(x) = ( )2

i xf e d là biến đổi Fourier ngược của hàm f(x)

Nếu f(x) là hàm chẵn thì 0

1f(x) = ( ) cos cos sin sin

d f t t x t x dt

0 0

2= cos ( )cos

x f t tdt d

20

Và 0

( ) = ( )cos

f f t tdt gọi là biến đổi Fourier theo cosin

còn 0

2f(x) = ( )cos

f xd gọi là biến đổi Fourier ngược theo cosin

Còn khi f(x) là hàm lẻ tương tự ta có

0

( ) = ( )sin

f f t tdt gọi là biến đổi Fourier theo sin

và 0

2f(x) = ( )sin

f xd gọi là biến đổi Fourier ngược theo sin

LƯU Ý :

a) Các định nghĩa trên có ý nghĩa thuần túy toán học.

b) Nếu hàm x(t) là hàm dạng sóng theo biến thời gian t (với tần số f),đặt 2 f

thì ta có 2 21( ) ( ) ( )2

i t i u i ft i fux t e x u e du d e x u e du df

c) Trong kỹ thuật thì người ta định nghĩa :

2( ) ( )

i fuX f x u e du là biến đổi Fourier của hàm x(t)

2( ) ( )

i ftx t X f e du là biến đổi Fourier ngược của hàm x(t)

Ký hiệu :

ˆf (x) f ( ) F là biến đổi Fourier thuận hoặc f(x) ( )f

1 f̂ ( ) f (x) F là biến đổi Fourier ngược

d) Hàm Dirac0 víi 0

(t) = víi 0

tt

21

Đó là hàm chẵn và thỏa mãn (t)dt 1

Với mọi hàm ( )f t liên tục tại 0 luôn có ( ) (t)dt (0)

f t f .

Khi đó 2(t) (t)e dt 1

i ft 1 21 = e df

i ftF và 1(at) (t)

avới 0a

VÍ DỤ:

a) Tìm hàm ( )f t chẵn thỏa mãn

0

1 0 1( )cos

0 1

víi

f x tdtvíi

Qua đó tính tích phân 2

20

sinI =

x dx

x

Chứng minh:Ta có 1

0 0 0

2 2( ) ( )cos cos (1 )cos

f x f x tdt xd xd

1

2 20

2 sin sin cos 2 1 cos = .

x x x xx x x x

.

Từ 2

0

1 víi 0 11 coscos

0 víi >12

x

xdxx

2

20

sin 1 víi 0 12 cos 0 víi >12 2

2

xxxd

x

2

20

1 2 víi 0 2 1sin cos2 0 víi 2 >12

u udu

u

Với 0 thì I = 2

22

b) Tìm hàm lẻ ( )f t thỏa mãn

0

1 íi 0 1( )sin( ) 2 íi 1 2

0 íi 2

v t

f u ut du v tv t

Do hàm lẻ nên 0 0

2f (t) f (u)sin udu sin td

và 1 2

0 1

1( ) sin 2 sin 3 cos 2cos 2

f t td td t s t

t

c) Từ biến đổi Fourier của f(x) = ex với x 0 .Tính 20

sinI =1

x mx dxx

Chứng minh:Thác triển hàm f(x) = ex thành hàm lẻ,khi đó biến đổi Fourier là

220 0

0 0( ) e in e in e e sin

1

u u u uu u

X s udu s u cos u udu

Ta có 0

2f(x) X( )sin xd

là biến đổi Fourier ngược của f(x) = ex nên

2 20 0

2 sin 2 sin e1 1

xx xd d 2

0

sin .eI=21

mx mx dx

x

3) Các tính chất (trong kỹ thuật):

a) Tuyến tính : Cho ˆx(t) X(f )F và ˆy(t) Y(f )F với ;= cosnt thì

ˆ ˆx(t) y(t) X(f ) Y(f ) F

b) Đồng dạng : Cho ˆx(t) X(f )F thì 1 fˆx(at) Xa a

F

c) Trễ : Cho ˆx(t) X(f )F thì oi2 t0

ˆx(t t ) e X(f ) F

23

d) Dịch chuyển ảnh : Cho ˆx(t) X(f )F thì oi2 f t0

ˆe x(t) X(f f ) F

e) Điều chế:Cho ˆx(t) X(f )F thì

0 0 0

1x(t)cos(i2 f t) X(f f ) X(f f )2 F

f) Đạo hàm của hàm gốc: Cho ˆx(t) X(f )F thì (k) k ˆx (t) (i2 f ) X(f ) F

Chứng minh: với k 1 thì 2x (t) = ( 2 ) ( )

i fti f X f e df tức là ˆx (t) (i2 f )X(f ) F

với k 2 thì 2 2x (t) = ( 2 ) ( )

i fti f X f e df tức là 2 ˆx (t) (i2 f ) X(f ) F .Qua đó ta được

diều phải chứng minh.

g) Đạo hàm hàm ảnh : Cho ˆx(t) X(f )F thì n n (n)ˆt x(t) ( i2 ) X (f ) F

Vì ( ) 2( ) ( 2 ) ( )

k k i fuX f i u x u e du tức là n (n)ˆ( i2 t) x(t) X (f ) F hay

n n (n)ˆt x(t) ( i2 ) X (f ) F

h) Tích chập: Cho ˆx(t) X(f )F và ˆy(t) Y(f )F thì ˆ ˆx y X(f )Y(f ) F

Chứng minh: Ta có i2 ftx y x(u)y(t u)du e dt

F

i2 ftx(u) y(t u)e dt du

i2 fu i2 fv ˆ ˆx(u)e du y(v)e dv X(f )Y(f )

III. Biến đổi Fourier hữu hạn

Cho dãy số ( )

nnx n .Biến đổi Fourier hữu hạn của nó được xác định

2( ) ( )

ni nf

nX f x n e (khi chuỗi vế phải hội tụ)

24

kí hiệu: ( )x nF = ( )X f

Và công thức biến đổi ngược là 1

2

0

( ) ( ) i nfx n X f e df

Nếu đặt 2 f thì từ 1

2

0

( ) ( ) i fnx n X f e df ta có 2

0

1( ) ( )2

i nx n X e d

Điều kiện đủ để dãy tín hiệu rời rạc ( )

nnx n có biến đổi Fourier hữu hạn là:

( )

n

nx n (Tức là chuỗi hội tụ)

Tính chất: Cho ( )x nF = ( )X f và ( )y nF = ( )Y f

1) Tuyến tính: ( ) ( ) x n y nF = X(f ) + ( )Y f

2) Trễ : ( ) ox n nF = 2 ( ) oi n fe X f

3) Dịch chuyển ảnh: 2 ( ) oi n fe x nF = ( ) oX f f

IV. Biến đổi Fourier rời rạc:

Khi các hàm số biểu diễn cho các tín hiệu thì biến đổi Fourier của chúng được gọi là biểu

diễn phổ.Việc tính toán biến đổi Fourier dựa vào máy tính phải được rời rạc hóa bằng cách

chọn một số hữu hạn các giá trị mẫu theo thời gian và phổ cũng nhận được tại một số hữu

hạn các tần có số.

1) Định nghĩa: Cho dãy số x(n) xác định với n 0, 1, 2, 3,........,N-1 . Chuỗi Fourier

25

rời rạc của dãy x(n) được xác định 21

0X(k) = x(n)

i knNN

ne ở đó k .

Đặt 2

W = i

Ne .Khi đó

a) W = 1mN và W W mN n n .Chứng tỏ W tuần hoàn chu kỳ N

b) 1

0W 0

Nkn

k nếu n N và

1

0 W = N

N

kn

kkhi n = N ( )

Vì khi n N thì W 1n và W 1Nn nên 1

0

1 WW 0

1-W

NnNkn

nk

.Còn khi n = N

thì W 1n nên 1

01

N

kN

2) Định nghĩa:Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tín hiệu tuần hoàn chu kỳ N được xác

định :

1

0( ) ( )W

Nmk

mX k x m với k = 0, N-1

Từ định nghĩa ta thấy

a) ( ) ( ) X k mN X k .Chứng tỏ ( )X k là hàm tuần hoàn chu kỳ N

b) Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tín hiệu x(n) là kết quả một chu kỳ của chuỗi

Fourier rời rạc.

26

3) Định lý: Với mọi dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N,thì 1

0

1( ) ( )W

Nnk

kx n X k

N

Chứng minh:

Thật vậy: 1 1 1 1 1

( )

0 0 0 0 0

1 1 1( )W ( )W W = ( )W

N N N N N

nk mk nk k n m

k k m k mX k x m x m

N N N

1 1 1

( ) ( )

0 0 0

1 1( ) W = ( ) W = ( )

N N N

k m n k n n

m k kx m x n x n

N Ndo 0 m , n N 1

Và 1

0

1( ) ( )W

Nnk

kx n X k

Ngọi là biến đổi Fourier ngược của dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn

chu kỳ N.

4) Các tính chất:

VD:Cho dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N chẵn thỏa mãn x(n) x(n N/2)

CMR biến đổi Fourier rời rạc ( )X k của dãy x(n) thỏa mãn ( ) 0X k

Chứng minh:Ta có 1 1

0 0( ) ( ) ( / 2)

N Nkn kn

n nX k x n W x n N W

1

22

2

( )

N N Nkkm

Nm

x m W W 1

2

2

( ) = ( )

N N

km

Nm

x m W X k .Từ đó ( ) 0X k

27

V. QUAN HỆ GIỮA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER

Định lý : Giả sử hàmF(p) là hàm biến phức thỏa mãn

1. Giải tích trong nửa mặt phẳng Re op s

2. lim ( ) 0

p

F p

3. ( )

a i

a i

F p dp hội tụ tuyệt đối với Re op a s

Khi đó F(p) là ảnh của hàm gốc f (t) và f (t) được xác định 1( ) ( )2

a ipt

a i

f t F p e dpi

Cho một hàm f (t) thỏa mãn các điều kiện của một hàm gốc trong phép biến đổi Laplace,

để f (t) có ảnh Fourier thì f (t) khả tích trên .Tức tf (t) Me ( 0)

Ta đã có a i

pt

a i

1f (t) e F(p)dp2 i

.Do 0 chọn a 0 , nên

ipt

i

1f (t) e F(p)dp2 i

đặt p i thì i t1f (t) e F(i )d2

ở đó F(i ) F( ) , hay ta viết lại

i u i t1f (t) f (u)e du e d2

Đặc biệt khi 2 f : i2 fu i2 ftx(t) x(u)e du e d

.

Như vậy :với F(p) f (t) thì F(p) F( ) với p i .

Ví dụ: Tìm biến đổi Fourier của hàm

2(t 1) khi t 1x(t)

0 khi 0 t 1

28

Chứng minh:

Theo Laplace: 2x(t) (t 1)(t 1) p

32ep

vớip i thì

p i

3 3 32e 2e cos isin2ip (i )

Mặt khác t2 i t i t i t i

2 i t2 3 3

1 t 1

(t 1) e 2(t 1)e 2e 2eF( ) (t 1) e dti (i ) (i ) (i )