Chương 1. Biến cố và xác suất của biến cố · PDF file7/16/2016 1 Bài giảngXác suấtThốngkê 2015 NguyễnVănTiến CHƯƠNG 1 1 PHÉP THỬ -BIẾN CỐ –XÁC

7/16/2016

1

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

CHƯƠNG 1

1

PHÉP THỬ - BIẾN CỐ – XÁC SUẤTCÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

• [email protected]• nguyenvantien0405.wordpress.com


Phép thử và biến cố

• Hành động mà ta thực hiện gọi là phép thử

• Kết quả của phép thử gọi là biến cố

Ví dụ 1.

a) Tung một viên phấn lên cao, viên phấn rơi xuống.

b) Một sinh viên đi thi môn Toán và đậu môn này,nhưng đi thi ngoại ngữ lại bị rớt.

c) Bóc một tờ lịch trong quyển lốc lịch năm 2016, đượctờ có ghi ngày 31-2-2016.

Hãy chỉ ra phép thử và biến cố trong từng ví dụ trên.

2


Phân loại biến cố

• Biến cố luôn luôn xảy ra trong phép thử đượcgọi là biến cố chắc chắn, kí hiệu là Ω

• Biến cố không bao giờ xảy ra được gọi là biến cốkhông thể, kí hiệu là Φ

• Biến cố có thể xảy ra, hoặc không xảy ra trongphép thử được gọi là biến cố ngẫu nhiên, kíhiệu là A, B, ..., C1, C2, ...

3 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 2

• (Tiếp ví dụ 1)

• a) là biến cố ...........................................

• b) là các biến cố ....................................

• c) là biến cố............................................

4


Biến cố sơ cấp – Không gian mẫu

• Các kết quả của phép thử được gọi là các biếncố sơ cấp (bcsc). Kí hiệu: wi

• Không gian mẫu: tập hợp tất cả các biến cố sơcấp. Kí hiệu: Ω

• Ví dụ: T : gieo một đồng xu

• Không gian mẫu là:

Ω=S, N


Biến cố (định nghĩa 2)

• Một biến cố (bc) liên quan đến phép thử T làmột sự kiện mà việc nó xảy ra hay không xảy ratùy thuộc vào kết quả của phép thử T.

• Kí hiệu: chữ cái in hoa A, B, C,…, A1, A2,…

• Kết quả w của T được gọi là thuận lợi cho biếncố A nếu A xảy ra khi kết quả của T là w.

• Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A kíhiệu là: ΩA hay tập hợp các bcsc chứa trong A.

6

7/16/2016

2


Ví dụ 3

• Phép thử T: tung một cục xúc sắc 6 mặt1,2,3,4,5,6 và quan sát số chấm mặt ngửa lên.

• Gọi A là bc mặt ngửa lên chẵn; B là bc mặt ngửa có sốchấm nhỏ hơn 3; C: số chấm tối thiểu 4

• Gọi wi: bcmặt ngửa lên có i chấm.

a) Hãy xác định không gian mẫu Ω

b) Hãy xác định ΩA ; ΩB ; ΩB theo các biến cố wi.


Biến cố (sự kiện)

• Một biến cố (event), kí hiệu bởi các chữ hoa A,B, C …, là một tập con của không gian mẫu Ω.

Chú ý:

• Mỗi bc A tương ứng với một và chỉ một tập conΩA Ω.

• Mỗi biến cố sơ cấp w cũng là một biến cố.

8


Quan hệ giữa các biến cố

• Hoặc phép toán giữa các biến cố. Gồm:

• Kéo theo

• Tương đương

• Đối lập

• Tổng

• Tích

• Xung khắc

• Độc lập

• Hệ đầy đủ


Kéo theo

Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, kýhiệu AB, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra

Ta có:

10

A B

BA


Tương đương (bằng nhau)

Biến cố A đgl tương đương với biến cố B nếu Axảy ra thì B xảy ra và ngược lại

Kí hiệu: A=B

Ta có:

11

A BA B

B A

A B


Biến cố đối lập

• Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau nếu:

• + Biến cố A xảy ra thì biến cố B không xảy ra

• + Biến cố A không xảy ra thì B phải xảy ra, kíhiệu .

12

AB

7/16/2016

3


Biến cố đối lập

• Biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là biến cốxảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.

• Ta có:

• Ví dụ: khi gieo một con xúc sắc

• A: bc số chấm chẵn thì là bc số chấm lẻ

13

A

\ AA

A

1,2,3,4,5,6

2,4,6 1,3,5 \A AA


Tổng (hợp) hai biến cố

• Cho A, B là hai biến cố. Khi đó, tổng (hợp) của Avà B là một biến cố C sao cho bc này xảy ra khi Ahoặc B xảy ra (ít nhất một trong hai bc A, B xảyra)

• Kí hiệu: C=A∪B hay C=A+B

14

A B

BA


Tổng (hợp) các biến cố

• A1, A2,…,An là các bc trong phép thử T.

• Tổng (hợp) của các bc này kí hiệu:

• Bc này xảy ra khi ít nhất một trong các bc A1,A2,…,An xảy ra

• Ta có:

15

1 2 1 2... ...n nA A A hay A A A

1 2 1 2... ...n nA A A A A A


Tích (giao) hai biến cố

• Cho A, B là hai bc. Khi đó, tích (giao) của A và Blà một biến cố C sao cho bc này xảy ra khi cảhai bc A, B cùng xảy ra

• Kí hiệu: C= A∩B hay C=A.B

16

A B

BA


Tích (giao) các biến cố

• A1, A2,…,An là các bc trong phép thử T.

• Tích (giao) của các bc này kí hiệu:

• Bc này xảy ra khi tất cả các bc A1, A2,…,An cùngxảy ra

• Ta có:

17

1 2 1 2... ...n nA A A hay A A A

1 2 1 2... ...n nA A A A A A


Ví dụ 4

• Một sinh viên thi hai môn Toán, Lý. Gọi A là biến cốsinh viên đó đậu Toán, B là biến cố sinh viên đóđậu Lý.

Hãy viết các biến cố sau thành phép toán của A và B:• a) Sinh viên đó đậu ít nhất 1 môn.• b) Sinh viên đó đậu cả hai môn.• c) Sinh viên đó bị rớt môn Toán.• d) Sinh viên đó bị rớt cả hai môn.• e) Sinh viên đó chỉ đậu môn Lý.• f) Sinh viên đó chỉ đậu một môn.• g) Sinh viên đó đậu không quá một môn.

18

7/16/2016

4


Hai biến cố xung khắc

• Hai biến cố xung khắc nhau nếu chúng khôngcùng xảy ra.

• Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc nếu:

19

AB

B

A

A và B xung khắc


Một số tính chất

20

) . . .

) . .

)

) . .

)

) . .

) . . . .

i A A A A A A

A A A A A A

ii A B B A A B B A

iii A B C AB AC

iv A B C A B A C

v A A

vi A B A B A B A B

vii A B C A B C A B C A B C


Ví dụ 5• Có 3 xạ thủ bắn vào mục tiêu

• A, B, C là bc xạ thủ 1,2,3 bắn trúng

Biểu diễn các biến cố sau theo A, B, C và các phéptoán.

a) Có đúng một xạ thủ bắn trúng

b) Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng

c) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng


Kiểm tra chất lượng 4 sản phẩm. Gọi Ak là biếncố sản phẩm thứ k tốt. Biểu diễn các biến cốsau theo Ak.

• A là bc cả 4 sản phẩm tốt

• B là bc có 3 sản phẩm tốt

• C là biến cố có ít nhất 2 sản phẩm xấu

• D là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm tốt

• E là biến cố có tối đa 1 sản phẩm xấu

22

Ví dụ 6


XÁC SUẤT CỦA BC• Con số đặc trưng cho khả năng xuất hiện của

biến cố trong phép thử gọi là xác suất của biếncố đó.

• Kí hiệu xác suất của bc A: P(A)

• Xác suất không có đơn vị

• Điều kiện:

23

) 0 1

) 0, 1

)

i P A

ii P P

iii P A B P A P B khi AB


Quan điểm cổ điển

• Được sử dụng nhiều nhất (trên lớp)

• Nếu các bcsc là đồng khả năng, và hữu hạn bcscthì:

24

𝑃 𝐴 =n(A)

n(Ω)=

Số bcsc thuận lợi cho A

Số bcsc có thể xảy ra

7/16/2016

5


Quan điểm cổ điển

• Gọi phép thử, tính số trường hợp có thể xảy ra.

• Gọi tên biến cố cần tìm xác suất, tính số trườnghợp làm xuất hiện biến cố đó trong phép thử.

• Áp dụng công thức định nghĩa cổ điển tìm xácsuất của biến cố đã cho.


ÔN TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP

• Quy tắc cộng

• Quy tắc nhân

• Tổ hợp

26


Quy tắc cộng

• Giả sử một công việc V có thể thực hiện theo haiphương án V1 hoặc V2.

• Số cách thực hiện V1 là m1, số cách thực hiện V2

là m2.

• Mỗi cách thực hiện V1không trùng với bất kì cáchthực hiện V2 nào.

• Khi đó, số cách thực hiện công việc V là n = m1 +m2


Ví dụ

• Ví dụ 1. Nhà An có 2 xe đạp, 3 xe máy. Khi đếntrường An đi xe đạp hoặc xe máy. Hỏi An có baonhiêu cách đi đến trường?

• Ví dụ 2. Một bộ bài có 52 lá với 4 chất khácnhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một lá cơhoặc lá át? Trong ví dụ này có thể sử dụng quytắc cộng (bằng cách lấy số cách chọn một lá átcộng với số cách chọn một lá cơ) được không?Tại sao?

28


Quy tắc nhân

• Giả sử một công việc V bao gồm hai công đoạnV1 và V2.

• Số cách thực hiện V1 là m1, số cách thực hiệnV2 là m2 .

• Mỗi cách thực hiện V1 đều có m2 cách thực hiệnV2 .

• Khi đó số cách thực hiện công việc V là n = m1 .m2


Ví dụ

• Ví dụ 3. Từ nhà Bình (Q.3, TP. HCM) về quê(Long Xuyên, An Giang) phải đi qua bến xe MiềnTây. Từ nhà ra bến xe, Bình đi xe buýt; từ bến xevề quê, Bình đi xe ôtô khách. Biết rằng có 3 xebuýt đi đến bến xe Miền Tây và từ đó có 5 xekhách về quê. Hỏi Bình có bao nhiêu cách vềquê?

30

7/16/2016

6


Tổ hợp

• Mỗi tập con gồm k phần tử khác nhau lấy ra từtập hợp có n phần tử được gọi là một tổ hợpchập k của n phần tử đã cho.

• Ví dụ 4. Có 5 đội bóng thi đấu vòng loại. Mỗitrận đấu giữa các đội (gồm 2 phần tử lấy từ 5phần tử) là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử đãcho.


Công thức tính số tổ hợp

• Kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk

, ta có công thức:

32

!

! 1.2.3...( 1).! !

k

n

nC trong do n n n

k n k


Ví dụ

• Ví dụ 5. Số các trận đấu vòng loại do 5 đội đó thực hiện làsố các tổ hợp chập 2 của 5 phần tử: C5

2=10

• Ví dụ 6. Trong một cái hộp có 10 viên phấn trắng và 6 viên

phấn màu. Lấy ra 5 viên phấn. Hỏi có bao nhiêu cách lấy

được:

• a) các viên phấn bất kì? b) 2 viên phấn màu?

• c) ít nhất 4 viên phấn màu? d) ít nhất 1 viên phấn

màu?

• Ví dụ 7. Từ bộ bài 52 lá, người ta lấy ra 8 lá. Hỏi có bao

nhiêu cách lấy được:

• a) các lá bài bất kì? b) 3 lá cơ?

• c) 2 lá cơ và 3 lá píc? d) ít nhất 3 lá át?


Ví dụ 7

Đề cương thi môn Triết có 70 câu hỏi. Một sinh

viên chỉ ôn 40 câu. Cho biết đề thi tự luận gồm 3

câu thuộc đề cương và nếu sinh viên trả lời đúng

ít nhất hai câu thì đậu. Tìm xác suất sinh viên đó

đậu môn Triết.

34


Ví dụ 8

• Một chi đoàn có 30 sinh viên nam và 15 sinhviên nữ. Cần chọn ra 8 sinh viên tham gia chiếndịch mùa hè xanh. Tìm xác suất để trong nhómchọn ra có đúng 3 sinh viên nữ.


Ví dụ 9

Tung 2 đồng tiền, mỗi đồng có một mặt sấp vàmột mặt ngửa. Tìm xác suất được:

a) 2 mặt đều sấp.

b) 2 mặt đều ngửa.

c) 1 mặt sấp và 1 mặt ngửa.

Trong ba biến cố trên, biến cố nào thường xảyra nhiều hơn?

36

7/16/2016

7


Quan điểm tần suất

• Thực hành 3 bước:

• Thực hiện phép thử với số lần n, rất lớn

• Đếm số lần biến cố A xuất hiện, giả sử n(A)

• Xác suất của bc A là:

37

n A

P An


Ví dụ 10

Người

tung

Số lần

tung

Số lần

sấp

Tần

suất

Buyffon 4040 2048 0,5069

Pearson 12000 6019 0,5016

Pearson 24000 12012 0,5005

38

• Nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi gieođồng xu cân đối, đồng chất.

• Tần suất dần tới 0.5


Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn• Nguyên lý xác suất nhỏ (nguyên lý biến cố hiếm):

Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tếcó thể xem rằng trong một phép thử biến cố đósẽ không xảy ra.

• Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xácsuất rất gần 1 thì thực tế có thể xem rằng biến cốđó sẽ xảy ra trong một phép thử.


Chú ý• Việc qui định một mức xác suất đủ nhỏ hay đủ

lớn tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.

• Thông thường: 0,05 được coi là đủ nhỏ

• Đủ lớn:≥ 0,95.

40


Tính chất xác suất

41

a. 0 ( ) 1P A với mọi biến cố A.

b. ( ) 1 ( ) 0P P

c. Nếu A B thì ( )P A P B .

d. ( ) 1 ( )P A P A

e. ( ) ( ) (B) PP A B P A P AB

nếu A.B xung khắc


Công thức tính xác suất

• Công thức cộng

• Công thức xác suất điều kiện

• Công thức nhân xác suất

• Công thức xác suất đầy đủ

42

7/16/2016

8


• Cho hai biến cố A, B và C=A+B.

• Ta cần tính xác suất của C.

• Nếu A, B xung khắc:

• Nếu A, B không xung khắc:

Công thức cộng

43

P .P C P A B P A P B A B

P C P A B P A P B


Ví dụ 11

Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là 0,1;trúng điểm 9 là 0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và íthơn 8 điểm là 0,45. Tìm xác suất để xạ thủđược ít nhất 9 điểm.

• A1: “trúng điểm 10” A2: “trúng điểm 9”

• A: “ít nhất 9 điểm”

• Ta có: A=A1+A2 và A1, A2 XUNG KHẮC

• Vậy:

44

1 2

1 2 0,1 0,2 0,3

P A P A A

P A P A


Ví dụ 12

• Có 10 cái bút, trong đó có 4 bút đỏ, số còn lại làbút xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 cái bút.

• Tìm xác suất lấy được:

• a)1 bút đỏ.

• b) 2 bút đỏ.

• c) 3 bút xanh.

• d) không quá 1 bút đỏ.

• e) ít nhất 1 bút đỏ.


Ví dụ 13

• Sinh viên A sắp tốt nghiệp. Sau khi tham gia hộichợ việc làm tại trường, được 2 công ty phỏngvấn anh ta đánh giá như sau:

• Xs anh ta được công ty A chọn là 0,8.

• Xs anh ta được công ty B chọn là 0,6.

• Xs anh ta được cả 2 công ty chọn là 0,5.

• Tính xác suất anh ta được chọn bởi ít nhất 1công ty?

46


• Cho 3 biến cố:

• Cho 4 biến cố:

Công thức cộng mở rộng

47

( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C

P AB P BC P CA P ABC

1 2 3 4

1 2 1 3 1 4 2 3 2

1 2 3 4

1 2 3 1 2

4 3 4

1 2 3

4 1 3 4 2 3 4

4

( ) (

)

)

(P A A A A

P A A P A A P A A P A A P A A

P A P A P A P A

P A A A P A A A P A

P A A

P A A A

A A P A

A

A A


Công thức nhân

• Cho hai biến cố A, B và C = A.B. Cần tính xácsuất của C theo xác suất của A và B.

• Nếu hai biến cố A và B độc lập:

• Nếu hai biến cố A và B không độc lập:

• Trong đó: P(B|A) là xác suất của B nếu A đã xãyra. Tương tự cho P(A|B)

48

. .P AB P A P B A hay P AB P B P A B

.P AB P A P B

7/16/2016

9


Ví dụ 14

• Một sinh viên phải thi Toán và Lý. Cho biết xácsuất đậu hai môn đó lần lượt là 0,9; 0,8. Hãytính các xác suất sau đây:

• A) Sinh viên đó rớt Toán.

• B) Sinh viên đó chỉ đậu Toán.

• C) Sinh viên đó đậu cả hai môn.

• D) Sinh viên đó chỉ đậu một môn.

• E) Sinh viên đó đậu không quá một môn.

• F) Sinh viên đó đậu ít nhất một môn.


Ví dụ 15

• Một cậu bé có 10 cái bút chì, trong đó có 3 bútchì màu. Cậu bé cho anh mình 2 cái bút, sau đócho chị mình 1 cái bút. Tìm xác suất cậu bé cònlại

• a) toàn bút chì đen.

• b) 2 bút chì màu.

• c) 1 bút chì màu.

• d) ít nhất 1 bút chì màu.

• e) không quá 1 bút chì màu.

50


Xác suất điều kiện

51

• Xác suất của biến cố A với giả thiết là biến cố Bđã xảy ra gọi là xác suất của A với điều kiện B.

• Kí hiệu: P(A|B)

• Công thức tính:

• Nếu P(B)=0 thì xác suất trên không xác định.

( ) 0

P ABP A B neu P B

P B


Ví dụ 16

• Xác suất một chuyến bay khởi hành đúng giờ là0,83

• Xác suất chuyến bay đến đúng giờ là 0,82

• Xác suất một chuyến bay vừa khởi hành đúnggiờ vừa đến đúng giờ là 0,78

• a) XS chuyến bay đến đúng giờ biết nó đã khởihành đúng giờ

• b) Khởi hành đúng giờ biết nó đến không đúnggiờ.

52


• Khi cố định điều kiện A với P(A)>0. Ta có:

Tính chất

53

0 1

1 0

1

) ,

) ,

)

)

i P B A P A A

ii P A P A

iii P B C A P B A P C A P BC A

iv P B A P B A


Công thức nhân

• Xác suất để cả 2 biến cố A và B cùng xảy ra là:

• Hoặc:

54

.P AB P A P B A

.P AB P B P A B

7/16/2016

10


Ví dụ 17

• Hộp có 6 quả bóng trắng và 4 quả bóng đỏ. Lấyngẫu nhiên, lần lượt ra 2 quả bóng (không hoànlại). Tính xác suất quả bóng thứ 2 là màu đỏ?


Công thức nhân mở rộng

• Xác suất để cả 3 biến cố A, B, C cùng xảy ra:

• Chứng minh:

56

. . . . .P A BC P A P B A P C A B

. . . . .

. . .

P A BC P A B P C A B

P A P B A P C A B


Ví dụ 18

• Ba lá bài được chia ngẫu nhiên từ bộ bài tây 52lá. Tính xác suất (theo thứ tự) ta được là Át, láK, lá Q.


Công thức nhân tổng quát

• Cho A1, A2,…,An là các biến cố trong phép thử T.

• Điều kiện:

• Công thức trên được chứng minh bằng qui nạp.

58

1 2 1 2 1 1 2 1. ... ... . ...n n nP A A A P A P A A P A A A A

1 2 1. ... 0nP A A A


Ví dụ 19

• Tại giải vô địch Taekwondo thế giới, Việt Namcó hai vận động viên A, B tham gia. Khả năng lọtvào vòng chung kết của A, B theo đánh giá lầnlượt là 0,9 và 0,7. Biết A và B không cùng bảngtrong vòng đấu loại. Tính xác suất

• A) Cả hai lọt vào vòng chung kết.

• B) Ít nhất một người lọt vào vòng chung kết.

• C) Chỉ có A lọt vào vòng chung kết.


Ví dụ 20

• Hộp 1 có 7 bóng trắng và 3 bóng đen

• Hộp 2 có 10 trắng và 5 đen

• Lấy ngẫu nhiên 2 bóng từ hộp 1 rồi bỏ vào hộp2 (không nhìn bóng lúc bỏ)

• Tính xác suất lấy ngẫu nhiên 1 bóng từ hộp 2 thìta được bóng màu đen.

60

7/16/2016

11


Hai biến cố độc lập_1

• A và B độc lập nếu việc A xảy ra hay khôngxảy ra không ảnh hưởng đến xác suất của Bvà ngược lại.

• Vậy hai bc A và B độc lập nếu

• Hoặc:

61

P B A P B

P A B P A


Hai biến cố độc lập_2

• Hai biến cố A, B gọi là độc lập nếu:

• Hai biến cố không độc lập gọi là 2 bc phụthuộc.

62

. .P A B P A P B


Chú ý

• Cho A và B là hai biến cố độc lập. Khi đó các cặpbiến cố sau cũng độc lập.

• Thông thường dựa vào bản chất của phép thửta công nhận các biến cố độc lập mà không phảichứng minh.

63

&A B&A B &A B


Độc lập từng đôi

• Hệ các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập từngđôi nếu mỗi cặp hai biến cố trong n biến cố đóđộc lập với nhau.

• Độc lập từng đôi ↔ Ai, Aj bất kỳ độc lập.

64


Độc lập toàn phần

• Hệ các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập toànphần nếu mỗi biến cố trong hệ độc lập với mộttổ hợp bất kỳ các biến cố còn lại.

• Chú ý:

– Độc lập toàn phần độc lập từng đôi

– Không có chiều ngược lại.


Ví dụ 21

Bắn hai lần độc lập nhau, mỗi lần một viên đạnvào cùng một bia. Xác suất bắn trúng đích củaviên đạn thứ nhất là 0,7 và của viên đạn thứ 2là 0,4.

a) Tìm xác suất để chỉ có một viên đạn trúng bia.

b) Biết rằng chỉ có một viên đạn trúng bia. Tínhxác suất đó là viên đạn thứ nhất.

66

7/16/2016

12


Ví dụ 22

Xác suất để động cơ thứ nhất của máy baytrúng đạn là 0,2; để động cơ thứ 2 của máy baybị trúng đạn là 0,3; còn xác suất để phi công bịtrúng đạn là 0,1. Tìm xác suất để máy bay rơi,biết rằng máy bay rơi khi cả 2 động cơ bị trúngđạn hoặc phi công bị trúng đạn.


Hệ biến cố đầy đủ

68

Hệ gồm 5 biến cố đầy đủ

Hệ gồm 2 biến cố đầy đủ

1 2

) . ,

) ...

i j

n

i H H i j

ii H H H

• Hệ H1, H2,…,Hn là một hệ đầy đủ nếu nếu luôncó một và chỉ một biến cố của hệ xảy ra trongphép thử.


Công thức xác suất đầy đủ

• Cho H1, H2,…,Hn là một hệ đầy đủ các biến cố.

• A là một biến cố trong phép thử

• Xác suất của A bị phụ thuộc vào hệ biến cố

• Khi đó:

69

1

n

i i

i

P A P H P A H


Ví dụ 23

• Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫunhiên ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được2 chính phẩm và 1 phế phẩm?

70

6 chính phẩm4 phế phẩm



HỘP 1

HỘP 3

HỘP 2


Chú ý

• Nếu phép thử gồm 2 giai đoạn và biến cố A liênquan đến giai đoạn sau thì các kết quả có thể cócủa giai đoạn đầu chính là một hệ biến cố đầyđủ.

• Khi trình bày cần:

– Ghi rõ công thức.

– Tính đủ các thành phần.

– Có thể không cần quá chi tiết: gọi phép thử, khônggian mẫu. Nhưng bắt buộc phải gọi biến cố và gọichính xác.


Ví dụ 24

• Cho 3 cái hộp đựng bút hình dáng giống nhau.Hộp thứ nhất có 2 bút đỏ, 8 bút xanh. Hộp thứhai có 4 bút đỏ, 6 bút xanh. Hộp thứ ba có 4 bútđỏ, 8 bút xanh. Lấy ngẫu nhiên một hộp, từ đólấy ngẫu nhiên 3 cái bút. Tìm xác suất lấy được

• a) 3 bút đỏ.

• b) 1 bút đỏ.

• c) ít nhất một bút đỏ.

72

7/16/2016

13


Ví dụ 25

• Công ty có 3 máy sản xuất các sản phẩm. Tươngứng máy B1, B2, B3 sản xuất 30%; 45% và 25%sản phẩm của công ty. Theo đánh giá có 2%; 3%và 1% các sản phẩm của các máy tương ứngkém chất lượng.

• Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Xác suất sảnphẩm này kém chất lượng là bao nhiêu?

• Giả sử sp chọn ra là sp tốt. Khả năng cao nhấtsp này do máy nào sx ra?


Ví dụ 26

• Một loại bệnh ung thư mới được phát hiện trêncác phụ nữ 60 tuổi với xác suất 0,07. Để pháthiện ung thư, người ta làm xét nghiệm máu.Theo đánh giá, xét nghiệm này cho giá trị âmgiả với tỷ lệ là 10% (nghĩa là bị sai khi đưa ra kếtquả âm tính) và tỷ lệ dương giả là 5% (cho kếtquả dương tính sai)

• Giả sử một phụ nữ 60 tuổi xét nghiệm và có kếtquả là âm tính thì khả năng người này bị ungthư là?

74


Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II. Xác suất bắntrúng đích của xạ thủ loại I là 90% và của xạ thủloại II là 80%.

a) Lấy ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ đó bắn mộtviên đạn. Tính xác suất viên đạn trúng đích.

b) Lấy ngẫu nhiên 2 xạ thủ và mỗi xạ thủ bắn mộtviên đạn. Xác suất cả hai viên đều trúng là baonhiêu?

75

Ví dụ 27


Ví dụ 28Tỉ lệ người dân nghiện thuốc là 30%. Tỉ lệ bịviêm họng trong số những người nghiện là60%. Tỉ lệ bị viêm họng trong số những ngườikhông nghiện là 20%.

a) Lấy ngẫu nhiên một người thì thấy ngườinày bị viêm họng. Tính xác suất người nàynghiện thuốc lá?

b) Nếu người đó không bị viêm họng. Tính xácsuất người đó nghiện thuốc

76


Ví dụ 29Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến bán ởcông ty A 3 lần. Xác suất lần đầu bán đượchàng là 0,8. Nếu lần trước bán được hàng thìxác suất lần sau bán được hàng là 0,9. Cònnếu lần trước không bán đươc hàng thì xácsuất lần sau bán được là 0,4. Tính xác suất

a) Cả 3 lần đều bán được hàng?

b) Có đúng 2 lần bán được hàng?


Công thức Bayes

• Cho H1, H2,…,Hn là một hệ đầy đủ các biến cố.

• A là một biến cố trong phép thử

• Xác suất của A bị phụ thuộc vào hệ biến cố Hi

• Khi đó:

• Điều kiện: P(A)>0.

78

1

k k

k n

i i

i

P H P A HP H A

P H P A H

7/16/2016

14


Công thức Bayes

79

1

k k

k n

i i

i

P H P A HP H A

P H P A H

. kP A H

P A


Ví dụ 30

• Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫunhiên ra 3 sản phẩm. Kết quả được 2 chínhphẩm và 1 phế phẩm. Tính xác suất để các spđó thuộc hộp 3?

80




HỘP 1

HỘP 3

HỘP 2


Ví dụ 30 (tiếp theo VD 23)

• Công thức Bayes thường dùng với công thứcxác suất đầy đủ.

• Giúp ta đánh giá lại xác suất của hệ biến cố khicó một biến cố xảy ra.

81

3 3

3 0,3165P H P A H

P H AP A


Ví dụ 31

• Người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàngvề một loại sản phẩm định đưa ra thị trường vàthấy có:

– 34 người trả lời: “Sẽ mua”

– 96 người trả lời: “Có thể sẽ mua”

– 70 người trả lời: “Không mua”

Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự muasản phẩm dựa theo các cách trả lời trên là: 40%;20% và 1%.

82


Ví dụ 31

• Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sảnphẩm đó? (tỷ lệ người thực sự mua)

• Trong số khách hàng đã mua sản phẩm, có baonhiêu phần trăm trả lời là sẽ mua?


Công thức Bernoulli

Giả sử:

• Phép thử T lặp lại n lần

• Bc A có thể xuất hiện trong mỗi phép thử vớixác suất không đổi.

Khi đó xác suất để A xuất hiện k lần trong n phépthử là:

84

, 1n kk k

n nP k A C p p

7/16/2016

15


Ví dụ 32

Một hộp có 10 viên bi gồm 3 bi vàng và 7 bi đỏ.

Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi, mỗi lần 1 bi và cóhoàn lại.

Tính xác suất trong 4 bi đã lấy có 3 bi đỏ?

Giải


Ví dụ 32

Xem việc lấy ra 1 bi là một phép thử thì ta có dãy4 phép thử độc lập.

Xác suất để lấy được bi đỏ mỗi lần là: P(A)=0,7

Gọi F là biến cố lấy được 3 bi đỏ.

Ta có:

86

3 3 1

4 43, .0,7 .0,3P F P A C


Ví dụ 33

• Một sinh viên thi 5 môn với xác suất đậu từngmôn là 0,7. Tìm xác suất sinh viên đó

• a) đậu 3 môn.

• b) không đậu môn nào.

• c) đậu ít nhất một môn.


Ví dụ 34

• Một xạ thủ đã bắn 6 viên đạn. Cho biết xác suấtbắn trúng mục tiêu của mỗi lần bắn đều là 0,9.Tìm xác suất anh ta bắn trúng

• a) 4 viên.

• b) không quá 2 viên.

• c) ít nhất một viên đạn.

88


Ví dụ 35

• Một bác sĩ có xác suất chữa khỏi bệnh là 0,8.Có người nói rằng cứ 10 người đến chữa bệnhthì chắc chắn có 8 người khỏi bệnh. Điều khẳngđịnh đó có đúng không?


Bài 36

• Trong một kỳ thi, giáo viên cho sinh viên 100câu hỏi ôn tập. Sinh viên A đã làm được 80 câu,còn 20 câu không làm được. Khi vào thi giáoviên cho chọn ngẫu nhiên 3 câu để làm bài thivà quy ước nếu A làm được ít nhất 2 câu thìđậu. Tính xác suất để sinh viên A thi đậu.

90

Documents

Chương 1. Biến cố và xác suất của biến cố · PDF file7/16/2016 1 Bài giảngXác suấtThốngkê 2015 NguyễnVănTiến CHƯƠNG 1 1 PHÉP THỬ -BIẾN CỐ –XÁC