Chương 1. Biến cố và xác suất của biến cố · 2/13/2019 1 CHƯƠNG 1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT nguyenvantien0405.wordpress.comBài giảng Xác suất Thống kê

2/13/2019

1

CHƯƠNG 1.

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 1nguyenvantien0405.wordpress.com

1.1 Phép thử và biến cố

• Phép thử

• Biến cố (kết quả, kết cục)

• Không gian mẫu

• Ký hiệu: Ω

• Phân loại biến cố


Biến cố ngẫu nhiên

• Biến cố sơ cấp wi

• Biến cố (ngẫu nhiên)

• Ký hiệu: A, B, C, A1, A2 …

• Biến cố ngẫu nhiên chứa một vài biến cố sơ cấpnào đó.

3Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019nguyenvantien0405.wordpress.com

Biểu diễn

• Không gian mẫu: chứa tất cả các kết quả của phépthử

• Biến cố: tập con của không gian mẫu, chứa mộtvài kết quả của phép thử

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 4

BA

A và B là các biến cố trongkhông gian mẫu Ω

B chứa nhiều kết quả hơn A Các kết quả nằm trong A

đều nằm trong B

nguyenvantien0405.wordpress.com

1.2 Quan hệ các biến cố

• Kéo theo

• Tương đương

• Tổng (Hợp)

• Đối lập

• Tích (Giao)

• Xung khắc

• Hiệu


Quan hệ kéo theo

• Định nghĩa. Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố Bnếu A xảy ra thì B cũng xảy ra.

• Ký hiệu: AB,

• Ta nói A là biến cố thuận lợi cho B

• Biểu diễn:


BA


2/13/2019

2

Ví dụ 1

• Theo dõi 3 bệnh nhân đang được điều trị.

• Gọi Ai: có i bệnh nhân khỏi bệnh (i=0,1,2,3)

• B: có nhiều hơn 1 bệnh nhân khỏi bệnh.

• Xét quan hệ kéo theo giữa các cặp biến cố sau:

• A2 và B

• A3 và B

• A1 và B


Quan hệ tương đương

• Định nghĩa. Biến cố A tương đương với biến cố B nếuA xảy ra thì B xảy ra và ngược lại

• Kí hiệu: A=B

• Ví dụ 2. Mua ngẫu nhiên 5 bóng đèn

• A: ít nhất 3 bóng hỏng

• B: nhiều nhất 2 bóng tốt

• A và B có tương đương?


A BA B

B A


Biến cố tổng

• Định nghĩa. Biến cố C được gọi là tổng (union)của hai biến cố A và B nếu C chỉ xảy ra khi có ítnhất một trong hai biến cố A và B xảy ra.

• Kí hiệu. C=A∪B hay C=A+B

• Biến cố C xảy ra khi A hoặc B xuất hiện trongphép thử


Ví dụ 3

• Mua ngẫu nhiên 2 bóng đèn.

• A: biến cố bóng 1 hỏng

• B: biến cố bóng 2 hỏng

• Hãy mô tả biến cố A+B?


Biến cố đối lập

• Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu 𝐴 là biến cốxảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.

• Ta có: Ω 𝐴= Ω\ Ω𝐴


A

A

A


Ví dụ 4

• Khi gieo một con xúc sắc.

• Gọi A: bc số chấm chẵn thì 𝐴 là bc số chấm lẻ


1,2,3,4,5,6

2,4,6 1,3,5 \A AA


2/13/2019

3

Biến cố tích

• Định nghĩa. Biến cố C gọi là tích của hai biến cố Avà B nến C xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A vàB cùng đồng thời xảy ra.

• Ký hiệu. C=A.B


Ví dụ 5

Sinh viên đi thi 2 môn Toán Cao cấp và Nguyên lý 2.Cho các biến cố sau

• A: sinh viên đậu Toán Cao cấp

• B: sinh viên đậu Nguyên lý 2

a) A.B là biến cố nào?

b) Biểu diễn các biến cố sau theo A, B

i. C: Sinh viên không đậu cả hai môn

ii. D: Sinh viên chỉ đậu môn Toán Cao cấp


Quan hệ xung khắc

• Định nghĩa. Hai biến cố A, B được gọi là xung khắcvới nhau nếu A và B không thể đồng thời xảy ratrong một phép thử.

• Ngược lại thì hai biến cố gọi là không xung khắc

• Nếu hai biến cố A, B xung khắc thì:


0

AB

P AB


Xung khắc từng đôi

• Định nghĩa. Các biến cố A1, A2,…,An gọi là xungkhắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố nào trong nbiến cố này cũng xung khắc với nhau.

• Ví dụ 6. Tổ có 3 sinh viên, hãy chỉ ra nhóm cácbiến cố xung khắc từng đôi trong số các biến cốsau.

• A1: có đúng 1 nam A2: có đúng 2 nam

• A3: tất cả là nam A4: có ít nhất 1 nam

• A5: có cả nam và nữ


Biến cố hiệu

• Định nghĩa. Biến cố xuất hiện biến cố A nhưngkhông xuất hiện biến cố B gọi là biến cố hiệu của Avà B, ký hiệu A\B.

• Ta có:

• Nghĩa là:


\ .A B A B

BA

A\B


Ví dụ 7

• Sinh viên đi thi 2 môn Toán Cao cấp và Nguyên lý 2

• A: sinh viên đậu Toán Cao cấp

• B: sinh viên đậu Nguyên lý 2

• Mô tả các biến cố:

• A\B; A+B

• B\A; A + B; A + B ; A . B

• Nhận xét gì về: A + B và A . B


2/13/2019

4

Tính chất


) . . .

) . .

)

) . .

)

) . .

) . . . .

i A A A A A A

A A A A A A

ii A B B A A B B A

iii A B C AB AC

iv A B C A B A C

v A A

vi A B A B A B A B

vii A B C A B C A B C A B C


Ví dụ 8

• Có 3 xạ thủ bắn vào mục tiêu

• A, B, C là bc xạ thủ 1,2,3 bắn trúng

Biểu diễn các biến cố sau theo A, B, C và các phéptoán (các quan hệ).

a) Có đúng một xạ thủ bắn trúng

b) Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng

c) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng


Ví dụ 9

a) Xác định biến cố X từ đẳng thức sau:

b) Cho 4 sản phẩm. Gọi A là bc cả 4 sp đều tốt. Blà bc có ít nhất 1 phế phẩm. Cho biết ý nghĩacác bc sau:


X A X A B

, , , ,

, , , , .

A B A B AB AB

AB A B A B A B A B


1.3 Xác suất của biến cố

• Khái niệm

• Các định nghĩa

nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 22

Khái niệm

• Xác suất của một biến cố là một con số đặctrưng cho khả năng xuất hiện của biến cố trongphép thử.

• Kí hiệu xác suất: P(A)

• Tính chất:


) 0 1

) 0, 1

i P A

ii P P


Định nghĩa cổ điển

• Xác suất xuất hiện biến cố A là tỷ số giữa số biếncố thuận lợi cho A và tổng số các biến cố đồng khảnăng có thể xảy ra.


𝑃 𝐴 =n(A)

n(Ω)=

Số biến cố thuận lợi cho A

Số biến cố có thể xảy ra


2/13/2019

5

Ví dụ 10

Cơ quan có 50 người, trong đó có 25 người học vềđại học về kinh tế, 20 người học về kỹ thuật, 10người học cả hai, còn lại không ai học đại học.

Tìm xác suất chọn ngẫu nhiên 1 người thì người đó:

a) Chỉ học ĐH đúng 1 ngành

b) Học ĐH ít nhất 1 ngành

c) Học 2 ngành nếu người đó có học đại học


QUI TẮC ĐẾM

• Quy tắc cộng

• Quy tắc nhân

• Tổ hợp chập k của n phần tử

• Chỉnh hợp chập k của n phần tử

• Hoán vị của n phần tử


Ví dụ 11

• Một khách hàng chọn mua một hộp gồm 12 sảnphẩm. Ông ta chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm củahộp để kiểm tra, nếu không có phế phẩm thì sẽmua hộp sản phẩm đó.

• Tính xác suất người đó mua hộp sản phẩm biếtrằng trong hộp có 4 phế phẩm.


Ví dụ 12

Một nhóm gồm n người. Tìm xác suất để trong

nhóm có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh (cùng

ngày và tháng).


Định nghĩa hình học

• Nếu phép thử có không gian mẫu được biểudiễn bởi miền hình học và biến cố A được biểudiễn bởi miền hình học A:


Ñoä ño mieàn A

Ñoä ño mieàn

s AP A

s


Ví dụ 13

• https://brilliant.org/wiki/1-dimensional-geometric-probability/

• Your bus is coming at a random time between 12 pm and 1 pm. Ifyou show up at 12:30 pm, how likely are you to catch the bus?


2/13/2019

6

Ví dụ 14

• Both the bus and you get to the bus stop at random timesbetween 12 pm and 1 pm. When the bus arrives, it waits for 5minutes before leaving. When you arrive, you wait for 20minutes before leaving if the bus doesn't come. What is theprobability that you catch the bus?


Ví dụ 15

• Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm nàođó từ 19h đến 20h. Mỗi người đến (chắc chắnsẽ đến) điểm hẹn độc lập nhau, chờ khoảng 20phút; nếu không thấy người kia đến sẽ bỏ đi.Tìm xác suất để 2 người gặp nhau.


Ví dụ 16

• Ta có: x, y là thời điểm đến củamỗi người

• A: bc hai người gặp nhau. Nhưvậy:

• Biểu diễn:


1

3x y

, :19 20;19 20

1, :19 20;19 20;

3

x y x y

A x y x y x y

5

9P A


Định nghĩa thống kê

• Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷsố giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện vàtổng số phép thử được thực hiện


n A

f An


Định nghĩa thống kê

• Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử làmột số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đótrong n phép thử sẽ dao động rất ít xung quanh nókhi số phép thử tăng lên vô hạn.


limn

n AP A

n p P A f A


Ví dụ 17


• Nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi gieođồng xu cân đối, đồng chất.

• Tần suất dần tới 0.5

• https://seeing-theory.brown.edu/basic-probability/index.html#section2


Người

tung

Số lần

tung

Số lần

sấp

Tần

suất

Buyffon 4040 2048 0,5069

Pearson 12000 6019 0,5016

Pearson 24000 12012 0,5005

2/13/2019

7

Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn

• Nguyên lý xác suất nhỏ (nguyên lý biến cố hiếm):Nếu một biến cố có xác suất rất gần 0 thì thực tếcó thể xem rằng trong một phép thử biến cố đósẽ không xảy ra.

• Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xácsuất rất gần 1 thì thực tế có thể xem rằng biến cốđó sẽ xảy ra trong một phép thử.


Ví dụ 18

• Lớp có 50 sinh viên. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 2sinh viên thì cả 2 sinh viên đều không làm bài tập.

• Hãy ước lượng số sinh viên không làm bài tronglớp? (sử dụng nguyên lý xác suất nhỏ)


1.4 Các công thức tính xác suất

• Xác suất điều kiện

• Công thức nhân

• Công thức cộng

• Công thức Bernoulli

• Công thức xác suất đầy đủ

• Công thức Bayes


Xác suất điều kiện

• Định nghĩa. Xác suất của biến cố A được tính với điềukiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện củaA hay xác suất của A trong điều kiện B.

• Kí hiệu: P(A|B)


Tính độc lập

• Định nghĩa. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập vớinhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố nàykhông làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia vàngược lại.

• Nếu hai biến cố A, B độc lập thì:


P

P

B

A B

A P B P B A P

P A P P A

B

A B


Độc lập từng đôi và độc lập toàn phần

• Các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập từng đôi(pairwise independence) nếu mỗi cặp hai biến cốtrong n biến cố đó độc lập với nhau.

• Các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập toàn phần(mutual independence) nếu mỗi biến cố độc lậpvới mọi tổ hợp bất kỳ của các biến cố còn lại.


2/13/2019

8

Công thức nhân xác suất

• Hai biến cố bất kỳ

• Hai biến cố độc lập


. .P A B P A P B A P B P A B

.P AB P A P B


Công thức nhân mở rộng

• Các biến cố bất kỳ

• Các biến cố độc lập toàn phần


1 2 1 2 1 1 2 1. ... ... . ...n n nP A A A P A P A A P A A A A

1 2 1 2. ... ...n nP A A A P A P A P A


Công thức xác suất điều kiện

• Công thức:


( ) 0

P ABP A B neu P B

P B


Ví dụ 19

• Xác suất một chuyến bay khởi hành đúng giờ là0,83

• Xác suất chuyến bay đến đúng giờ là 0,82

• Xác suất một chuyến bay vừa khởi hành đúng giờvừa đến đúng giờ là 0,78

• a) XS chuyến bay đến đúng giờ biết nó đã khởihành đúng giờ

• b) Khởi hành đúng giờ biết nó đến không đúnggiờ.


Ví dụ 19


Công thức cộng xác suất

• Hai biến cố bất kỳ

• Hai biến cố xung khắc


.P A B P A P B P A B

P A B P A P B


2/13/2019

9

Ví dụ 20

Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là 0,1;trúng điểm 9 là 0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và ít hơn8 điểm là 0,45. Tìm xác suất để xạ thủ được ít nhất9 điểm.


Ví dụ 21

• Sinh viên A sắp tốt nghiệp. Sau khi tham gia hộichợ việc làm tại trường, được 2 công ty phỏng vấnanh ta đánh giá như sau:

• Xs anh ta được công ty A chọn là 0,8.

• Xs anh ta được công ty B chọn là 0,6.

• Xs anh ta được cả 2 công ty chọn là 0,5.

• Tính xác suất anh ta được chọn bởi ít nhất 1 côngty?


Công thức cộng mở rộng

• Các biến cố xung khắc từng đôi

• Các biến cố tùy ý


1 2 1 2... ... n nP A A A P A P A P A

1 2 ... ??? nP A A A


Công thức cộng mở rộng

• Cho 3 biến cố:

• Cho n biến cố:


1 2 3 1 2 3

1 2 2 3 33 1 1 2

( ) ( ) ( )

P A

P A A A P A

A P A A P A

P A P A

P A A AA

1 2

1

1

1 2... 1 ...

( ... )n n

i i j

i i j

nn

i j k n

j k

n

i

P A P A A

P A A A

P A A

A A

A

P A


Tính chất xác suất điều kiện

• Khi cố định điều kiện A với P(A)>0. Ta có:


) 0, 1

) 1, 0

)

) 1

i P B A P A A

ii P A P A

iii P B C A P B A P C A P BC A

iv P B A P B A


Ví dụ 22

• Trong đợt đấu giải tennis, A sẽ gặp B và sau đó Asẽ gặp C. Xác suất A thắng B là 0,6 và xác suất Athắng C là 0,7.

• Nếu A đã thắng B thì xác suất A thắng C là 0,85.

• Tính xác suất:

• a) A thắng cả B lẫn C.

• b) A chỉ thắng một trong hai người

• c) A thắng ít nhất 1 người


2/13/2019

10

Ví dụ 23

• Hộp 1 có 7 bóng trắng và 3 bóng đen

• Hộp 2 có 10 trắng và 5 đen

• Lấy ngẫu nhiên 2 bóng từ hộp 1 rồi bỏ vào hộp 2(không nhìn bóng lúc bỏ)

• Tính xác suất lấy ngẫu nhiên 1 bóng từ hộp 2 thì tađược bóng màu đen.


Dãy phép thử Bernoulli

• i) Các phép thử độc lập

• ii) Chỉ quan tâm biến cố A hoặc 𝐴

• iii) Xác suất xuất hiện biến cố A trong mọi phépthử là bằng nhau


1P A p P A p q


Công thức Bernoulli

Xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong dãy nphép thử Bernoulli là:


k k n k

n nP k C p q


Ví dụ 24

• Một người đi bán hàng ở 3 nơi độc lập, xác suấtbán được ở mỗi nơi đều bằng 0,8. Tính xác suấtngười đó:

• A) Bán được ở đúng 1 nơi

• B) Bán được ở đúng 2 nơi

• C) Bán được ở ít nhất 1 nơi


Ví dụ 25

• Một sinh viên thi trắc nghiệm môn Ngoại Ngữgồm có 10 câu hỏi. Mỗi câu có 4 phần để lựa chọntrả lời, trong đó chỉ có 1 phần đúng. Giả sử sinhviên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các phầncủa câu hỏi. Tính xác suất trong các trường hợpsau:

• a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm).

• b) Sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi.


Công thức xác suất đầy đủ

• Hệ biến cố đầy đủ

• “luôn có 1 và chỉ 1 biến cố trong hệ xảy ra khi thựchiện phép thử”


1 2

) . ,

) ...

i j

n

i A A i j

ii A A A


2/13/2019

11

Công thức xác suất đầy đủ


1

n

i i

i

P A P H P A H


• Biến cố A phụ thuộc vào hệ biến cố đầy đủ Hi

• Xác suất của biến cố A:

Công thức Bayes


1

i i

i n

i i

i

P H P A HP H A

P H P A H


https://www.bayestheorem.net/

P B A P AP A B

P B

Ví dụ 26

• Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiênra 3 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được 2chính phẩm và 1 phế phẩm?


6 chính phẩm4 phế phẩm



HỘP 1

HỘP 3

HỘP 2


Ví dụ 27

• Công ty có 3 máy sản xuất các sản phẩm. Tươngứng máy B1, B2, B3 sản xuất 30%; 45% và 25% sảnphẩm của công ty. Theo đánh giá có 2%; 3% và 1%các sản phẩm của các máy tương ứng kém chấtlượng.

• Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Xác suất sản phẩmnày kém chất lượng là bao nhiêu?

• Giả sử sp chọn ra là sp tốt. Khả năng cao nhất spnày do máy nào sx ra?


Tính xác suất của biến cố

• 1. Gọi tên biến cố, xác định rõ phép thử dẫn đếnbiến cố đó.

• 2. Biểu diễn biến cố thông qua các quan hệ đểđơn giản hóa.

• 3. Xác định công thức tính (cần chú ý các điều kiệnđối với mỗi công thức sử dụng)


Bài tập chương 1

• 1.1; 1.3; 1.8;1.9; 1.17

• 1.19;1.22;1.23;1.24;1.27;1.29;1.30; 1.33;1.37

• 1.38;.139;1.42; 1.46; 1.48;1.49;1.50

• 1.51;1.52;1.56;1.59;1.61;1.63


Documents

Chương 1. Biến cố và xác suất của biến cố · 2/13/2019 1 CHƯƠNG 1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT nguyenvantien0405.wordpress.comBài giảng Xác suất Thống kê