1

VAÁN ÑEÀ 2 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Phöông trình ñaïi soá laø moät vaán ñeà raát quan troïng trong chöông trình toaùn phoå thoâng, laø moät

trong nhöõng noäi dung thöôøng gaëp trong caùc ñeà kieåm tra toaùn, thi tuyeån sinh vaøo lôùp 10, thi

tuyeån sinh vaøo Ñaïi hoïc, thi choïn hoïc sinh gioûi toaùn THCS vaø THPT.

Phöông trình chöùa caên laø moät chuû ñeà cuûa phöông trình. Baøi vieát naøy chuùng toâi xin ñöôïc trao ñoåi

cuøng caùc thaày coâ : “Caùc phöông phaùp thöôøng duøng ñeå giaûi phöông trình chöùa daáu caên”.

PHÖÔNG PHAÙP 1 : ÑÖA VEÀ PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN DAÏNG A = B ; A = B

Löu yù : A B

0 ( 0)A hoaëc B

A B

A = B

2

0B

A B

Baøi 1 : Giaûi caùc phöông trình sau :

a) 3 1x – 7x = 0 b) 2 8

x

x =

1

3

Lôøi giaûi

a) 3 1 7x x = 0 3 1 7x x

7 0

3 1 7

x

x x

7

2 8

x

x

7

4

x

x

x = 4 Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = {4}.

b) 2

1

38

x

x

2 8x = 3 x 2 8x = 9x

2

2

8 0

8 9

x

x x

2 9 8 0

x R

x x

1

8

x

x

(vì a + b + c = 0)

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = {1 ; 8}

Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau :

a) 2 27x – x = 6 b) 7x – 5 = –x

Lôøi giaûi

a) 2 27x – x = 6 2 27x = x + 6 2

6 0

2 27 ( 6)

x

x x

2

6

2 27 12 36

x

x x x

2

6

10 9 0

x

x x

6

1 ; 9 ( 0)

x

x x vì a b c

x = –1

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = {–1}

b) 7 5x = –x 7x = 5 – x 2

5 0

7 (5 )

x

x x

2

5

7 25 10

x

x x x

2

5

11 18 0

x

x x

5

( 2)( 9) 0

x

x x

5

2

9

x

x

x

x = 2

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = {2}.

2

PHÖÔNG PHAÙP 2 : NAÂNG LEÂN LUÕY THÖØA

Baøi 3 : Giaûi phöông trình 2 1x – 2 1x = –1

(Ñeà thi tuyeån sinh vaøo lôùp 10 tröôøng PTNK – ÑHQG, Tp. Hoà Chí Minh, naêm hoïc 2008 – 2009)

Lôøi giaûi

ÑKXÑ : x 1

Ta coù 2 1x – 2 1x = 1 2 1x + 1 = 2 1x

( 2 1x + 1)2 = (2 1x )

2 2x – 1 + 2 2 1x + 1 = 4(x – 1)

2 2 1x = 2x – 4 2 1x = x – 2 2

2 0

2 1 ( 2)

x

x x

2

2

6 5 0

x

x x

2

1 ; 5 ( 0)

x

x x vì a b c

x = 5

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = {5}.

Baøi 4 : Giaûi phöông trình : 2 2 3x x = 3 5x

Lôøi giaûi

ÑKXÑ x 5

3

Ta coù 2 2 3x x = 3 5x 2x = 3 5 2 3x x

(2 22) ( 3 5 2 3)x x x

x + 2 = 3x – 5 + 2 (3 5)(2 3)x x + 2x – 3

2 (3 5)(2 3)x x = –4x + 10 (3 5)(2 3)x x = –2x + 5

2

2 5 0

(3 5)(2 3) ( 2 5)

x

x x x

2 2

5

2

6 9 10 15 4 20 25

x

x x x x x

2

5

2

2 10 0 (*)

x

x x

Giaûi (*) = 1 + 80 = 81, 9

x1 = 1 8

24

; x2 =

1 9 5

4 2

x1 = 2 thoûa ñieàu kieän x 5

2 vaø x

5

3

x2 = 5

2

khoâng thoûa ñieàu kieän x

5

3

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = {2}.

Baøi 5 : Giaûi phöông trình : 1 2 3 3 2 2x x x x

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn lôùp 9, tænh Baéc Giang, naêm hoïc 2009 – 2010)

3

Lôøi giaûi

ÑKXÑ: x 1

1 2 3 3 2 2x x x x 2 3 2 2 3 1x x x x

2( 2 3 2 2)x x = (

23 1)x x

2x + 3 – 2 (2 3)(2 2)x x + 2x – 2 = 3x – 2 3 ( 1)x x + x + 1

(2 3)(2 2)x x = 3 ( 1)x x (2x + 3)(2x – 2) = 3x(x + 1)

4x2 – 4x + 6x – 6 = 3x

2 + 3x x

2 – x – 6 = 0

17

2

Thöû laïi, ta coù x = 2 laø nghieäm. Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = {2}.

PHÖÔNG PHAÙP 3 : ÑÖA VEÀ PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI

Baøi 6 : Giaûi phöông trình 3 4 1x x + 8 6 1 5x x

(Ñeà thi tuyeån sinh vaøo lôùp 10, tröôøng THPT chuyeân Leâ Hoàng Phong, Tp. HCM, naêm hoïc

2002 – 2003)

Lôøi giaûi

Ñieàu kieän x 1

Ta coù 3 4 1 8 6 1 5x x x x

1 4 1 4 1 6 1 9 5x x x x 2 2( 1 2) ( 1 3) 5x x

1 2 1 3 5x x 1 3 3 1x x

1 3 0x (vì A = –A A 0) 1 3x 0 x – 1 32 1 x 10

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = \1 10x x

Baøi 7 : Giaûi phöông trình : 2 3 2 5x x + 2 2 5 2 2x x

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi caáp Huyeän, Tænh Tieàn Giang, naêm hoïc 2008 – 2009)

Lôøi giaûi

Ñieàu kieän x 5

2

Ta coù 2 3 2 5 2 2 5 2 2x x x x

2 4 6 2 5 2 4 2 2 5 4x x x x

2 5 6 2 5 9 2 5 2 2 5 1 4x x x x

2 2( 2 5 3) ( 2 5 1) 4x x 2 5 3 2 5 1x x = 4

2 5 1 1 2 5x x 2 5 1 0x (vì A A A 0) 2 5 1x

0 2x – 5 12

53

2x .

4

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = 5

\ 32

x x

PHÖÔNG PHAÙP 4 : ÑÖA VEÀ PHÖÔNG TRÌNH TÍCH

Baøi 8 : Giaûi phöông trình (2x + 7)22 7 9 7x x x

(Ñeà thi tuyeån sinh vaøo lôùp 10 THPT chuyeân Ñaïi hoïc KHTN–ÑHQG Haø Noäi, naêm hoïc

2008 – 2009)

Lôøi giaûi

Ñieàu kieän x 7

2

Ta coù (2x + 7)22 7 9 7x x x 2x + 7 – (2x + 7 2 7 ( 7) 0x x x

( 2 7 )( 2 7 7) 0x x x x

2 7 0

2 7 7 0

x x

x x

2 7

2 7 7

x x

x x

1

2 x = 1 + 2 2

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = 1 2 2

Baøi 9 : Giaûi phöông trình 2 2 15 3 2 10x x x x

Lôøi giaûi

Ñieàu kieän x –2

2x 2 15 3 2 10x x x 2 2 10 3 2 15 0x x x x

2 ( 2 5) 3( 2 5) 0x x x ( 2 5)(2 3) 0x x

2 5 0

2 3 0

x

x

2 5

2 3

x

x

2 25

3

2

x

x

23

3

2

x

x

Caû hai giaù trò x = 23, x = 3

2 ñieàu thoûa maõn x –2.

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = 3

23 ; 2

PHÖÔNG PHAÙP 5 : ÑAËT AÅN PHUÏ

Baøi 10 : Giaûi phöông trình (2x – 1)2 = 12

2 2 1x x

(Ñeà thi tuyeån sinh vaøo lôùp 10 chuyeân Toaùn tröôøng PTNK – ÑHQG Tp. HCM, naêm hoïc

2010 – 2011)

Lôøi giaûi

(2x – 1)2 = 12

2 2 1x x 2 24 4 1 12 1 1x x x x

x2 – x – 2 – 3

2 2 2 0x x

Ñaët y = 2 2x x (y 0). Phöông trình trôû thaønh y

2 – 3y + 2 = 0

5

y1 = 1, y2 = 2 (vì a + b + c = 0)

y1 = 1. Ta coù 2 2 1x x

2

1 0

2 1x x

x

2 – x – 3 = 0 x =

1 13

2

y2 = 2. Ta coù 2 2x x = 2

2

2 0

2 4x x

x

2 – x – 6 = 0

3

2

x

x

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø S = 1 13 1 13

; ; 3 ; 22 2

Baøi 11 : Giaûi phöông trình

22 24 8

4

xx x

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn lôùp 9, Tp. Hoà Chí Minh, naêm hoïc 2006 – 2007)

Lôøi giaûi

Ñieàu kieän x2 – 4 0 x

2 4

2

2

x

x

Ñaët 2 3x (y 0). Ta coù x2 – 4 = y

2 x

2 = y

2 + 4

Phöông trình trôû thaønh

224

8 ( 4)4

yy y

22( 2)

44

yy

22

42

yy

y + 2 = 8 – 2y

2 2y

2 + y – 6 = 0

y = 3

2 (nhaän), y = –4 (loaïi)

y = 3

2. Ta coù

2 34

2x 2

2

30

2

34

2x

x = 5

2

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = 5 5

; 2 2

PHÖÔNG PHAÙP 6 : VAÄN DUÏNG LÖÔÏNG LIEÂN HÔÏP

Baøi 12 : Giaûi phöông trình. 2 2 2 23 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x

(Ñeà thi tuyeån sinh vaøo lôùp 10 chuyeân Toaùn – Tin, tröôøng ÑHSP Haø Noäi, naêm hoïc 2001 –

2002)

Lôøi giaûi

Ñieàu kieän

2

2

2

2

3 7 3 0 (1)

2 0 (2)

3x 5 1 0 (3)

x 3 4 0 (4)

x x

x

x

x

Daáu “=” ôû (1) vaø (3), ôû (2) vaø (4) khoâng ñoàng thôøi xaûy ra. Do ñoù :

2 2 2 23 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x

6

2 2 2 23 7 3 3 5 1 2 3 4x x x x x x x

2 2 2 2

2 2 2 2

(3 7 3) (3 5 1) ( 2) ( 3 4)

3 7 3 3 5 1 2 3 4

x x x x x x x

x x x x x x x

2 2 2 2

2 3(2 ) 0

3 7 3 3 5 1 2 3 4x

x x x x x x x

2 – x = 0 x = 2

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø S = {2}.

Baøi 13 : Giaûi phöông trình sau : 5 6 3 10 2x x x

Lôøi giaûi

Ñieàu kieän x –6

5. Töø x –

6

5, ta coù 5 6 3 10 0x x

Do ñoù 5 6 3 10 2x x x 5 6 3 10 2 0x x x

(5 6) (3 10)

5 6 3 10

x x

x x

+ x – 2 = 0 (x – 2)

21 0

5 6 3 10x x

x – 2 = 0 x = 2. Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø S = {2}.

PHÖÔNG PHAÙP 7 : ÑÖA VEÀ GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH

Baøi 14 : Giaûi phöông trình sau : 31 1

12 2

x x

Lôøi giaûi

Ñieàu kieän x 1

2. Ñaët u = 3

1,

2x v =

1

2x (v 0)

Ta coù u3 + v

2 =

1 11

2 2x x

Do vaäy, ta coù heä phöông trình 3 2

1

1

u v

u v

3 2

1

1

u v

u v

3 2

1

(1 ) 1

u v

v v

2 3 2

1

1 3 3 1

u v

v v v v

2

1

( 4 3) 0

u v

v v v

2

1

1

4 3 0

u v

v

v v

1

1

1, 3 ( a + b + c = 0)

u v

v

v v vì

1, 0

0, 1

2, 3

u v

u v

u v

u = 1, v = 1. Ta coù 1

2x = 1

1

2 – x = 1 x = –

1

2

u = –1 ; v = 3. Ta coù 1

2x = 3

1

2 – x = 9 x =

17

2

7

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = 1 1 17; ;

2 2 2

Löu yù : Ñoái vôùi caùc phöông trình coù daïng

( )n a f x + ( )m b f x = c

Thoâng thöôøng, ñaët u = ( )n a f x , v = ( )m b f x giuùp coù heä phöông trình n m

u v c

u v a b

Giaûi heä phöông trình ñeå tìm u, v.

Töø ñoù tìm ñöôïc taäp nghieäm cuûa phöông trình caàn giaûi.

Baøi 15. Giaûi phöông trình x + 217 x + x

217 x = 9

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn lôùp 9, Tp Hoà Chí Minh, naêm hoïc 2008 – 2009)

Lôøi giaûi

Ñaët 217 x = y (y 0). Ta coù 17 – x

2 = y

2 x

2 + y = 17

Ta coù heä phöông trình 2 2

9

17

x y xy

x y

Ñaët S = x + y, P = xy

Ta coù 2

9

2 17

S P

S P

. Do ñoù S

2 – 2(9 – S) = 17 S

2 + 2S – 35 = 0. Vaäy : S1 = 5, S2 = –7.

S1 = 5 thì P1 = 9 – S1 = 4. Ta coù

9

4

x y

xy

Do ñoù x, y laø nghieäm cuûa phöông trình X2 – 5X + 4 = 0

x1 = 1, x2 = 4 (Vì a + b + c = 0)

x = 1, x = 4 laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho

S2 = –7 thì P2 = 9 – S2 = 16. Ta coù

7

16

x y

xy

Do ñoù x, y laø nghieäm cuûa phöông trình: x2 + 7X + 16 = 0

= –15 < 0 Voâ nghieäm

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = {1 ; 4}

PHÖÔNG PHAÙP 8 : VAÄN DUÏNG BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

Baøi 16 : Giaûi phöông trình x2 + 9x + 20 = 2 3 10x

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn 9, tröôøng THCS Hoa Lö, Q. 9, TP. HCM, naêm hoïc 2002 –

2003).

Lôøi giaûi

Ñieàu kieän x –10

3

Ta coù x2 + 9x + 20 = 2 3 10x x + 9x + 20 – 2 3 10x = 0

(x2 + 6x + 9) + (3x + 10 – 2 3 10x + 1) = 0 (x + 3)

2 + ( 3 10x – 1)

2 = 0

8

x + 3 = 0 vaø 3 10x – 1 = 0 x = –3 (nhaän)

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = {–3}

Baøi 17: Giaûi phöông trình 7

1

x

x

+ 8 = 2x

2 + 2 1x

(Ñeà thi tuyeån sinh vaøo lôùp 10 chuyeân Toaùn Tröôøng ÑH KHTN, ÑHQG Haø Noäi, naêm hoïc

1999 – 2000)

Lôøi giaûi

Ñieàu kieän x 1

2.

7

1

x

x

+ 8 = 2x

2 + 2 1x

61

1x

+ 8 = 2x

2 + 2 1x (*)

Deã thaáy x = 2 laø nghieäm cuûa (*), vì

6

11x

+ 8 = 2.22 + 2.2 1 = (= 3 + 8)

Xeùt x > 2 : Ta coù 6

11x

+ 8 < 3 + 8 < 2x2 + 2 1x

Phöông trình khoâng coù nghieäm x > 2

Xeùt 1

2 x < 2 : Ta coù

61

1x

+ 8 > 3 + 8 > 2x

2 + 2 1x

Phöông trình khoâng coù nghieäm x, 1

2 x < 2

Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S = {2}

Baøi 18 : Giaûi phöông trình : 2x x +

2x x = x + 1

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn lôùp 9, Tp. Hoà Chí Minh, naêm hoïc 2007 – 2008)

Lôøi giaûi

Ñieàu kieän

2

2

0

0

1 0

x x

x x

x

AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ–si cho hai soá khoâng aâm, ta coù :

2x x +

2x x = 2( )1x x +

2( )1x x

2 1

2

x x +

2 1

2

x x = x + 1

Daáu “=” xaûy ra

2

2

1

1

x x

x x

x

Daáu “=” khoâng xaûy ra. Vaäy taäp nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : S =

BAØI TAÄP REØN LUYEÄN

Giaûi caùc phöông trình sau :

1. 22 1x – 1x = 0 2. 3 4x + 2 = x

9

3. 3 5x + 2 3x = 2x 4. x + 1x = 1

x

5. 2 2 1x x + 1 2 1x x = 2 6. 26 13 6x x + 3 2 3x – 3 = – 3 2x

7. x2 + 2 x = 2x

2 2 x 8.

2 1x x – 2 1x x = –2x

9. 3

3 10

x

x + 1 = 3 1x 10. (x + 2)(x + 4) + 5(x + 2)

4

2

x

x

= 2

11. 3(x2 – x + 6) = 10

3 8x 12. 4 4 x = x

13. 1

x +

2

1

2 x = 2 14.

3 5x + 4 x = 3

15. 23 (5 1)x +

23 (5 1)x = 1 – 225 1x 16.

4

x +

1

1x =

13

10

17. 3x + 7 x = –x2 + 6x – 7 18.

3 2x x + 2x x = x

2

19. 22 3x +4 2x = x2 + 8 20.

3 4x = 3 2 4x

VAÁN ÑEÀ 3 : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CHỨA CĂN THỨC

Baøi 1. a) Cho ba soá thöïc , , > 0. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc :

M = x y z

y z z x x y

. Vôùi moïi x, y, z > 0

b) Cho a > c, b > c, c > 0. Chöùng minh raèng : ( ) ( )c a c c b c ab .

c) Cho x, y, z döông thoûa maõn : x2

+ y2 + z

2 = xyz. Chöùng minh raèng :

( 2)(4 )x y + ( 2)(4 )y z + ( 2)(4 )z x 3

d) Neáu ba soá döông x, y, z thoûa 2x + y + z = 2 thì

2 2 2 2x xy y x xz z 1.

Höôùng daãn giaûi

a) Caùch 1 : AÙp duïng baát ñaúng thöùc phuï : (ax + by + cz)2 (a

2 + b

2 + c

2)(x

2 + y

2 + z

2) (*)

Thaät vaäy : (*) a2x

2 + b

2y

2 + c

2z

2 + 2abxy + 2bcyz + 2acxz

a2x

2 + b

2x

2 + c

2x

2 + a

2y

2 + b

2y

2 + c

2y

2 + a

2z

2 + b

2z

2 + c

2z

2

(bx – ay)2 + (bz – cy)

2 + (cx – az)

2 0

10

Daáu ñaúng thöùc xaûy ra

bx ay

bz cy

cx az

=

x y

a b

y z

b c

z x

c a

x y z

a b c

Vôùi caùc soá thöïc , , > 0 coù :

x

y z

+

y

z x

+

z

x y

+ ( + + ) =

x

y z

+ y

z x

+

z

x y

= ( )x y z

y z

+

( )x y z

z x

+

( )x y z

x y

= (x + y + z)

y z z x x y

= 1

2(y + z + z + x + x + y)

y z z x x y

= 1

2

2 22

y z z x x y

22 22

2 2 2

z x z xy z

2

1. . .

2y z z x x y

y z z x x y

= 1

2

2

Suy ra : M

2

2

– ( + + ). Daáu ñaúng thöùc xaûy ra

y z z x x y

Vaäy GTNN cuûa M =

2

2

– ( + + )

Caùch 2 :

A = x

y z

+

y

z x

+

z

x y

+ + + = (x + y + z)

y z z x x y

= 1

2(y + z + z + x + x + y)

y z z x x y

Ñaët X = y + z ; Y = x + z ; Z = x + y (X ; Y ; Z > 0)

Luùc ñoù

A = 1

2(X + Y + Z)

X Y Z

=

1

2( + + +

X

Y +

Y

X +

X

Z +

Z

X +

Y

Z +

Z

Y)

AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâsi vôùi 2 soá döông coù :

X

Y +

Y

X 2 .

X Y

Y X = 2

11

Töông töï :

X

Z +

Z

X 2 vaø

Y

Z +

Z

Y 2

= 1

2

2

. Suy ra A 1

2( + + + 2 + 2 2 + 2 )

M + ( + + ) 1

2

2

M

2

2

– ( + + )

Daáu ñaúng thöùc xaûy ra

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

y z x z

y z x y

x z x y

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

y z x z

y z x y

x z x y

x y y z z x

Vaäy GTNN cuûa M =

2

2

– ( + + )

b) CAÙCH 1

( ) ( )c a c c b c ab 2

2( ) ( ) ( )c a c c b c ab

c(a – c) + 2 ( )( ) ( )c a c b c c b c ab 2 2 ( )( )ac c c a c b c 2bc c ab

2 2 ( )( )c c a c b c + ab – ac – bc +

2 0c 2 2 ( )( )c c a c b c + a(b – c) – c(b – c) 0

2 2 ( )( )c c a c b c (a – c) (b – c) 0

2

( )( )c a c b c 0. (BÑT ñuùng)

Vaäy ( ) ( )c a c c b c ab

CAÙCH 2 : Ta coù a > c > 0, b > c > 0 0 < 1c

a , 0 1

c

b .

AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ-si cho hai soá döông, ta coù

1 1c c c c

b a a b

1

1 12

c c c c

b a a b

= 1 1 1 1

c c c c

b a a b

( ) ( )

1c a c c b c

ab ab

( ) ( )c a c c b c ab .

CAÙCH 3 : Ta coù a > c, b > c neân a – c > 0, b > 0.

AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ si cho hai soá döông ta coù

. .c a c c b c

b a a b

1 1

2 2

c a c c b c

b a a b

( ) ( )c a c c b c

ab ab

11 1

2

c c c c

b a a b

( ) ( )c a c c b c ab .

CAÙCH 4 Baøi toaùn phuï :

Chöùng minh vaäy 2 2 2 2( )( )ux vy u v x y (baát ñaúng thöùc Bu-nhia-Coáp-xki–Svaùc)

12

Thaät vaäy : 2( )ux vy ux vy 2 2( ) ( )ux vy uy vx

2 2 2 2 2 2 2 22 2u x uvxy v y u y uvxy v x 2 2 2 2 2 2( ) ( )u x y v x y

2 2 2 2( )( )u v x y . Vaäy

2 2 2 2( )( )ux vy u v x y .

AÙp duïng baøi toaùn phuï ta coù

( ) ( )c a c c b c a c c c b c ( )( )a c c b c c ab .

c) Ta coù : xyz = x2

+ y2 + z

2 > x

2 + y

2 2xy z > 2.

Lyù luaän töông töï : y > 2, z > 2

( 2)(4 )x y coù nghiaõ ( 2)(4 )x y 0, maø x > 2.

Do ñoù : 4 – y 0 y 4

Lyù luaän töông töï : x 4; z 4.

AÙp duïng BÑT Coâsi cho hai soá khoâng aâm, ta coù :

( 2)(4 )x y + ( 2)(4 )y z + ( 2)(4 )z x

2 4

2

x y +

2 4

2

y z +

2 4

2

z x = 3

d) Vôùi x, y > 0, ta coù:

2 2 2 21

x xy y (4x 4xy 4y )

4

= 2 2 2

1 1(x y) 3(x y) (x y)

4 4

2 21

x xy y (x y)

2

(1)

Vôùi x, z > 0, ta coù:

2 2 2 2

1x xz z (4x 4xz 4z )

4

= 2 2 2

1 1(x z) 3(x z) (x z)

4 4

2 21

x xz z (x z)

2

(2)

Coäng (1) vaø (2), ta ñöôïc:

2 2 2 21 1

x xy y x xz z (2x y z) .2

2 2

2 2 2 2

x xy y x xz z 1

Baøi 2. a) Cho a, b, c > 0. Chöùng minh raèng : 2a b c

b c c a a b

.

b) Cho x, y, z > 0 vaø 3

2x y z . Chöùng minh raèng :

2 2 2

2 2 2

1 1 1 317

2x y z

x y z

2 2 2

2 2 2

1 1 1 317

2x y z

x y z .

c)

2 22 27( ) 8 2( )

a ba b a b

b a , vôùi a > 0, b > 0.

d) Cho ba soá döông x, y, z coù toång baèng 1. Chöùng minh raèng :

1x yz y zx z xy xy yz zx 1x yz y zx z xy xy yz zx .

13

e) Cho x, y, z döông thoaû maõn 3 3 3 1x y z .

Chöùng minh

2 2 2

2 2 22

1 1 1

x y z

x y z

.

f) Cho a, b, c > 0. Chöùng minh raèng :

2 2 2a b c

b c a

2 22 2a ab b + 2 22 2b bc c +

2 22 2c ac a .

Höôùng daãn giaûi

a) AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ-si cho hai soá döông,

Ta coù a + b + c 2 ( )a b c (a + b + c) 1 a

a b c b c

12 ( ). .

aa b c

a b c b c

2a a

b c a b c

(1)

Chöùng minh töông töï, ta cuõng coù : 2b b

c a a b c

(2) ;

2c c

a b a b c

(3)

Töø (1); (2) vaø (3) ta coù : 2a b c

b c c a a b

Daáu “=” xaûy ra

a b c

b c a

c a b

a = b = c = 0. (Traùi vôùi giaû thieát)

Vaäy daáu “=” khoâng xaûy ra. Do ñoù 2a b c

b c c a a b

b) Baøi toaùn phuï : Cho x, y, z > 0. Chöùng minh raèng 1 1 1 9

x y z x y z

.

Ta coù 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 17 1 16 117 8 16 8

17 17x x x x

x x x x

2 2 21 4 1 1 4 1 4

417 17 17

x x x xx x x x

.

Do ñoù 2

2

1 1 4

17x x

x x

.

Töông töï coù 2

2

1 1 4

17y y

y y

;

2

2

1 1 4

17z z

z z

.

AÙp duïng baøi toaùn phuï vaø baát ñaúng thöùc Coâ-si cho hai soá döông, ta coù

2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 4 4 4

17x y z x y z

x y z x y z

1 1 1 1 1 9

( ) 4 ( ) 417 17

x y z x y zx y z x y z

=

14

1 144 36 135

( ) ( )9 917

x y z x y zx y z

1 144 36 135 32 ( )

9 9 217x y z

x y z

1 12 135 3 1 45 3

2 6 48 173 9 2 2 217 17

.

c) Ta deã daøng bieán ñoåi baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh töông ñöông vôùi :

2 2

2 2

( )( ) ( )8.

2( ) ( )

a b a b a b

ab a b a b

Ta coù : 2 22( ) ( ) ( )a b a b a b

(a + b + a + b)(a + b) = 2(a+ b)

2 2.4ab = 8ab

d) Vì x, y, z > 0, theo baát ñaúng thöùc Coâ-si cho hai soá döông : 2y z yz .

Maø x + y + z = 1. Ta coù 2y z yz 2x y z x yz 1 2x yz

2 2x x x yz

2 2x yz x x yz yz

2

x yz x yz x yz x yz (1)

Töông töï coù y zx y zx (2) vaø z xy z xy (3)

Töø (1), (2) vaø (3) ta coù : x yz y zx z xy x y z xy yz zx .

e) Ñieàu kieän 21 0x ,

21 0y , 21 0z vaø x > 0, y > 0, z > 0 (theo giaû thieát) .

Do ñoù 0 < x < 1 ; 0 < y < 1 ; 0 < z < 1.

AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ-si cho hai soá döông ta coù : 2 2 2 2(1 ) 2 (1 )x x x x

23

22

1

xx

x

.

Töông töï coù

23

22

1

yy

y

;

23

22

1

zz

z

. Maø

3 3 3 1x y z (theo giaû thieát)

Do ñoù

2 2 23 3 3

2 2 22( )

1 1 1

x y zx y z

x y z

. Vaäy

2 2 2

2 2 22

1 1 1

x y z

x y z

.

f)

2

2 2 2a b c

b c a

=

2ab

b

+

2bc

c

+

2ca

a

+

2 22 2a ab bb

b

+

2 22 2b bc cc

c

+

2 22 2c ac aa

a

2(a + b + c)

2a + 2b + 2c + 22 22 2a ab b + 2

2 22 2b bc c + 22 22 2c ac a 2(a + b + c)

= 2(2 22 2a ab b +

2 22 2b bc c +2 22 2c ac a ) (ñpcm).

Daáu “=” xaûy ra a = b = c.

Baøi 3. a) Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa 3 26 21 18y x x x vôùi

11

2x

b) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : 2 22 2 5 2 4 4y x x x x

c) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa : 2 23 18 4 5y x x x x

d) Cho bieåu thöùc 5 (3 ) 2P x x x x .

Tìm giaù trò nhoû nhaát vaø giaù trò lôùn nhaát cuûa P khi 0 x 3.

15

e) Cho a, b, c laø caùc soá thöïc döông thoûa maõn heä thöùc : a + b + c = 6abc.

Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : S = 3 3 3( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

bc ca ab

a c b b a c c b a

Höôùng daãn giaûi

a) Giaû söû 1 2

1, ;1

2x x

vaø 1 2x x Xeùt 2 2

1 2y y 3 2

1 1 16 21 18x x x 3 2

2 2 26 21 18x x x

3 3 2 2

1 2 1 26x x x x 1 221 x x 1 2x x 2 2

1 1 2 2 1 26 6 21 0x x x x x x

Vì 2 2

1 1 2 2 1 22 6 6 21x x x x x x 2 2

1 2 1 2 1 236 2 12 12x x x x x x 2 2

1 2 6x x

2 2 2

1 2 1 2( 6) 6 0x x x x vaø 1 2 0x x

Suy ra 2 2

1 2y y maø 1 20, 0y y . Do ñoù 1 2y y .

Vaäy treân ñoaïn 1

,22

haøm soá y = f(x) ñoàng bieán. Do ñoù 1

94 344

y

b) Baøi toaùn phuï : 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a c b d Daáu “=” xaûy ra ad = bc.

AÙp duïng baøi toaùn phuï, ta coù : 2 25

2 2 22

y x x x x

=

2 2

2 21 32 (1 ) 1

2 2x x

2 21 3

2 1 1 132 2

x x

c) Ñieàu kieän xaùc ñònh :

2

2

3 18 0

4 5 0

x x

x x

( 6)( 3) 0

( 5)( 1) 0

x x

x x

3 6

1 5

x

x

– 1 x 5

Neân 2 2( 3 18) ( 4 5)x x x x = – x + 13 > 0. Vì x 5. Do ñoù y > 0. Ta coù

2y = (– x + 6) (x + 3) + (– x + 5) (x + 1) – 2 ( 6)( 3)( 5)( 1)x x x x

= (– x + 6) (x + 1 + 2) + (– x + 5) (x + 3 – 2) – 2 ( 6)( 1)( 5)( 3)x x x x

= (– x + 6) (x + 1) + 2(– x + 6) + (– x + 5)(x + 3) – 2(– x + 5) 2 ( 6)( 1)( 5)( 3)x x x x

= (– x + 6) (x + 1) + (– x + 5) (x + 3) – 2 ( 6)( 1)( 5)( 3)x x x x – 2x + 12 + 2x – 10

2

( 6)( 1) ( 5)( 3) 2 2x x x x .

Vaäy : 2y 2 vaø y 0 do ñoù y 2

d) Vì 0 x 3, do ñoù 5 5 3 2

0

x

x

neân 5 2x x x

Daáu “=”xaûy ra x = 3 hoaëc x = 0 vaø 2 2

3 0

x

x

, do ñoù (3 ) 2 (3 ) 2x x x .

Daáu “=” xaûy ra x = 0 hoaëc x = 3. Vaäy 2 (3 ) 2 3 2P x x .

0 x 3 neân P > 0 : 2 2 2(5 ) (3 ) (2 ) 2 5 (3 ) 2P x x x x x x x x

2 3 18 2 (3 ) (5 )(2 )x x x x x x 18 (3 ) 2 (5 )(2 ) 1x x x x .

16

Ta coù

29 3 9

0 (3 )4 2 4

x x x

.

AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ-si cho hai soá khoâng aâm, ta coù: 2 (5 )(2 ) 5 2 7x x x x .

Do ñoù 2 9 63

18 (7 1)4 2

P . Vaäy 63 3 14

2 2P .

e) AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ-si vôùi hai soá döông ta coù :

3( 2 )

bc

a c b +

2

9

c b

abc

3

22 .

( 2 ) 9

bc c b

a c b abc

=

2

2

3a

Lyù luaän töông töï ta ñöôïc : 3( 2 )

ac

b a c +

2

9

a c

abc

2

2

3bvaø

3 2

2 2

( 2 ) 9 3

ab b a

c b a abc c

3( 2 )

bc

a c b +

3( 2 )

ac

b a c +

3( 2 )

ab

c b a +

3

a b c

abc

2

3 2 2 2

1 1 1

a b c

1

3

2 2 2

ab bc ac

3( 2 )

bc

a c b +

3( 2 )

ac

b a c +

3( 2 )

ab

c b a

1

3 3

a b c

abc

=

1

3

6abc

abc = 2

Daáu ñaúng thöùc xaûy ra a = b = c = 2

2. Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa S =2 vôùi a = b = c =

2

2.

CAÙC BAØI TOAÙN CAÊN THÖÙC TRONG CAÙC KÌ THI

CHOÏN HOÏC SINH GIOÛI LÔÙP 9 VAØ THI VAØO LÔÙP 10

Baøi 1 : Cho : 2 2( 3)( 3)x x y y = 3. Haõy tính giaù trò cuûa bieåu thöùc : E = x + y

(Ñeà thi tuyeån sinh vaøo lôùp 10 chuyeân Toaùn - Tin ÑH KHTN, ÑHQG haø Noäi, 1995 – 1996)

Baøi 2 : Cho ba soá döông a, b, c thoûa maõn ñieàu kieän a + b + c = 1

abc.

Chöùng minh raèng :

2 2 2 2

2 2 2 2

(1 )(1 )b c a ca b

c a b c

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn 9, Tp. HCM, naêm hoïc 2014 – 2015)

Baøi 3 : Cho x, y laø hai soá döông thoûa maõn : xy + 2 2(1 )(1 ) 2000x y

Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc S = x21 y + y

21 x

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn 9, THCS Nguyeãn Du, Quaän 1, Tp. HCM naêm hoïc 1999 – 2000)

Baøi 4 : Cho x, y laø caùc soá höõu tæ khaùc 0 thoûa maõn : x3 + y

3 = 2x

2y

2

Chöùng minh raèng : 1

1xy

laø moätø soá höõu tæ

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn 9, Quaän 9, Tp. HCM naêm hoïc 2013 – 2014)

17

Baøi 5 : Ruùt goïn bieåu thöùc : P = 2 3 6 8 4

2 3 4

(Ñeà thi vaøo lôùp 10 chuyeân Toaùn THPT chuyeân Leâ Quyù Ñoân, Ñaø Naüng, naêm hoïc 2003 – 2004)

Baøi 6 : Giaûi phöông trình : 2x2

+ x + 3 = 3x 3x

(Ñeà thi vaøo lôùp 10 chuyeân Toaùn THPT chuyeân Tp. HCM, naêm hoïc 2015 – 2016)

Baøi 7 : Giaûi phöông trình : 2

1 12

2x x

(Ñeà thi vaøo lôùp 10 THPT chuyeân Haø Tónh, naêm hoïc 2006 – 2007)

Baøi 8 : Giaûi phöông trình : 3 28 1 46 10 5 4 1x x x x x

(Ñeà thi vaøo lôùp 10 chuyeân Toaùn THPT chuyeân Tp. HCM, naêm hoïc 2012 – 2013)

Baøi 9 : Giaûi phöông trình : 27

8 2 2 11

xx x

x

(Ñeà thi tuyeån sinh vaøo lôùp 10 chuyeân Toaùn ÑH KHTN, ÑHQG haø Noäi, 1999 – 2000)

Baøi 10 : Giaûi phöông trình : 25 1 2 1x x x x

(Ñeà thi vaøo lôùp 10 chuyeân Toaùn THPT chuyeânLeâ Hoàng Phong, Nam Ñònh naêm hoïc 2004 – 2005)

Baøi 11 : Giaûi phöông trình : 1

2009 2008 2 ( )2

x y z x y z

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn 9,tænh Ñoàng Thaùp naêm hoïc 2009 – 2010)

Baøi 12 : Giaûi heä phöông trình : 2 2

1 3 5 1 3 5

80

x x x y y y

x y x y

(Ñeà thi tuyeån sinh vaøo lôùp 10 chuyeân Toaùn, tröôøng PTNK ÑHQG, Tp. HCM, 2001 – 2002)

Baøi 13 : Cho ba soá döông x, y, z coù toång baèng 1. Chöùng minh raèng :

1x yz y zx z xy xy yz zx

(Ñeà thi tuyeån sinh vaøo lôùp 10 tröôøngTHPT Naêng khieáu, Traàn Phuù, 2002 – 2003)

Baøi 14 : Cho caùc soá a vaø b thoûa maõn ñieàu kieän : 3 3 3

1

4a b b . Chöùng minh –1 0a

(Ñeà thi tuyeån sinh vaøo lôùp 10 chuyeân Toaùn, tröôøng PTNK ÑHQG, Tp. HCM, 2015 – 2016)

Baøi 15 : Cho a > c, b > c, c > 0. Chöùng minh raèng : ( ) ( )c a c c b c ab

(Ñeà thi vaøo lôùp 10 chuyeân Toaùn THPT chuyeânLeâ Hoàng Phong, Tp.HCM naêm hoïc 2005 – 2006)

Baøi 16 : Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A = 2 22 2 5 2 4 4x x x x

18

(Ñeà thi choïn hoïc sinh gioûi Toaùn 9, Tp. HCM, naêm hoïc 1997 – 1998)