CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT VÀ TUYỂN · PDF fileChuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 - Định nghĩa

Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009

MÔN: TOÁN BIÊN SOẠN: TỔ TOÁN – TT BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ - Chuyên đề này sẽ trình bày cho các bạn các phương pháp tìm giá trị lớn nhất của hàm số như: dung đạo hàm để tìm GTLN, GTNN ; dùng phương pháp chiều biến thiên hàm số, pp miền giá trị…

- Các bạn sẽ nắm vững được các pp thường gặp để tìm GTLN, GTNN bằng cách dùng hàm số.

II. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Lý thuyết.

a. Định nghĩa:

Giả sử F(x) là hàm số xác định trên miền D. Số M gọi là giá trị lớn nhất của F(x) trên

miền D nếu như nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1/ F(x) ≤ M.

2/ Tồn tại x0 ∈ sao cho F(x0) = M. M

Khi đó ta sử dụng ký hiệu: M = max F(x).

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của F(x) trên miền D nếu như nó thỏa mãn 2 điều kiện

sau:

1/ F(x) ≥ M.

2/ Tồn tại x0 ∈ sao cho F(x0) = m. M

Khi đó ta sử dụng ký hiệu: m = min F(x).

Chú ý: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1


- Định nghĩa có 2 phần và ko được xem nhẹ phần nào. Nói vậy vì các bạn học sinh

thường bỏ qua phần thứ 2 trong định nghĩa. Nói rõ hơn:Từ F(x)≤ M x M thì chưa thể

suy ra M = max F(x).

∀ ∈

Xét VD sau:

Cho F(x,y,z) = +x

y z + +y z

x+

+y

x z+ +x z

y+

+z

y x+ +x y

z

Trên miền D = { x>0, y > 0, z > 0}

Nếu bạn làm:

+x

y z + +y z

x ≥ 2

+y

x z+ +x z

y ≥ 2

+z

y x+ +x y

z ≥ 2

Từ đó F(x,y,z) ≥ 6 Với x>0, y > 0, z > 0. ∀

Vì thế: Max F(x,y,z) = 6 với x,y,z ∈D.

Chúng tôi nói rằng bạn đã sai. Vì sao?

Đơn giản bạn hãy thử lấy x = y = z =1. Khi đó F(1,1,1) = 7,5 > 6.

Lý do sai là mới từ phần 1 của định nghĩa đã suy ra kết luận.

- Các bạn cần phân biệt 2 khái niệm:

+ “giá trị lớn nhất của F(x) trên miền D” với “cực đại của hàm số” .

+ “giá trị nhỏ nhất của F(x) trên miền D” với “cực tiểu của hàm số” .

Nói chung các khái niệm này khác nhau.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2


Xét VD sau:

Cho hàm số F(x) = x3 – 3x2 trên miền D = {-2 ≤ x ≤ 4}.

Ta có: F’(x) = 3x2 – 6x.

Lập bảng biến thiên sau:

x -2 0 2 4

F’(x) + 0 - 0 +

F(x) -20 0 -4 12

Ta thấy khi hàm số có cực đại tại (0,0) => giá trị cực đại = 0

Hàm số có cực tiểu tại (2,-4) => giá trị cực tiểu= -4

Trong khi đó dề thấy:

Max F(x) = 12 Min F(x) = -20

x ∈D x ∈D

Trong VD này:

+ Giá trị lớn nhất của F(x) trên miền > giá trị cực đại của hàm số.

+ Giá trị nhỏ nhất của F(x) trên miền < giá trị cực tiểu của hàm số.

Như vậy ta có thể nói rằng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên miền D

mang tính toàn cục; còn giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số mang tính địa phương.

Dân gian có câu: “ Xứ mù thằng chột làm vua” . Có thể lấy câu ví von này làm VD

chứng minh cho tính địa phương của giá trị cực đại.

b. Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số:

- Đạo hàm là công cụ duy nhất để tìm cực đại, cực tiểu của hàm số.



- Để tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số F(x) trên miền D ta có thể sử

dụng đạo hàm và kết hợp với việc so sánh giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trị đặc biệt (ta

gọi đó là các giá trị tới hạn).

- Giá trị tới hạn này thường là giá trị tại đầu mút các đoạn (mà trên đó cần tìm Giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số) hoặc là giá trị của hàm số tại các điểm mà không

tồn tại đạo hàm.

- Lược đồ chung của phương pháp sử dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của một hàm số F(x) trên miền D cho trước như sau:

+ Tìm đạo hàm F’(x) và từ đó tìm cực đại, cực tiểu của F(x) (dĩ nhiên ta chỉ quan tâm

tới cực đại, cực tiểu thuộc miền D).

+ So sánh giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trị tới hạn trên miền D.

+ Từ đó suy ra được kết luận cần tìm.

1. Các bài toán đơn thuần tìm GTLN và GTNN của một hàm số:

Ví dụ 1: Cho x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0. Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 32x + 3y.

Từ x + y = 1 => y = 1 – x. Thay vào P ta có:

P = 32x + 31-x = 32x + x

33

.

Do x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1 => 0 ≤ x ≤ 1

=> 1 ≤ 3x ≤ 3.

Đặt t = 3x, khi đó ta đưa bài toán về: Tìm giá trị mã, min của hàm số:

F(t) = t2 + 3t

với 1 ≤ t ≤ 3.



Ta có: F’(t) = 2t - 23t

= −2

22t 3

t

Lập bảng xét dấu với chú ý: 1 ≤ t ≤ 3 :

t 1 3 32

3

F’(t) - 0 +

F(t) 4 3 3 94

10

Từ đó suy ra:

Min F(t) = F( 3 32

) = 3 3 94

với 1 ≤ t ≤ 3.

Max F(t) = max {f(1), f(3)} = max {4,10} = 10 với 1 ≤ t ≤ 3

Vậy

Max P = Max F(t) = 10

1 ≤ t ≤ 3

Min P = Min F(t) =

1 ≤ t ≤ 3

3 3 94

Giá trị lớn nhất của P đạt được khi t = 3 <=> 3x = 3 <=> x = 1, y = 0

Giá trị nhỏ nhất của P đạt được khi

t = 3 32

<=> 3x = 3 32



Suy ra: x= log3 3 32

= 13

log3 3 32

y = 1 - 13

log3 3 32

Nhận xét: Người ta hay dung phương pháp đổi biến trong quá trình tìm giá trị max, min của

hàm số để đưa về 1 bài toán mới có cấu trúc đơn giản hơn. Chỉ lưu ý 1 điều: Khi đã đổi biến

thì phải đổi miền xác định của bài toán.

Như VD trên miền xác định cũ là: 0 ≤ x ≤ 1. Khi chuyển sang biến t mới (do t= 3x) nền

miền xác định mới là: 1 ≤ t ≤ 3.

Ví dụ 2: Cho hàm số:

y= Sin+ 22x

1 x + Cos

+ 24x

1 x + 1, Với x ∈R.

Tìm giá trị max, min của hàm số trên R.

áp dụng công thức Cos2u= 1 – 2sin2u, ta có thể đưa hàm số F(x) về dạng:

F(x) = -2Sin2+ 22x

1 x + Sin+ 22x

1 x + 2.

Đặt t = Sin+ 22x

1 x,

Với x ∈R ta có: -1 ≤ + 22x

1 x ≤ 1

-Sin1 ≤ t ≤ Sin1

(Do [-1,1] ∈[- π2

, π2

] nên ta có điều trên).

Bài toán đưa về tìm giá trị max, min của hàm số:



F(t) = -2t2 + t + 2 với -Sin1 ≤ t ≤ Sin1

Ta có: F’(t) = -4t + 1.

Lập bảng biến thiên:

t -Sin1 14

Sin1

F'(t) /// 0 ///

F(t) /// ///

(bạn có biết vì sao ta có – Sin1 < 1/4 < Sin1 không?)

Từ đó suy ra:

Max F(t) = F(1/4) = 17/8

t ≤ Sin1

Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)}

t ≤ Sin1 = Min {-2Sin21 – Sin1 + 2; -2Sin21 + Sin1 + 2 }

= -2Sin21 – Sin1 + 2

Tóm lại:

Max F(x) = Max F(t) = F(1/4) = 17/8

x ∈R. t ≤ Sin1

Min F(x) = Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)}



x ∈R. t ≤ Sin1 = -2Sin21 – Sin1 + 2

Giá trị nhỏ nhất của F(x) đạt được khi t = - Sin1 = Sin(-1).

Tức là: Sin+ 22x

1 x = Sin (-1).

<=> + 22x

1 x = -1 (Chú ý: -1 ≤

+ 22x

1 x ≤ 1)

<=> (x+1)2 = 0

<=> x = 1.

Giá trị lớn nhất của F(x) đạt được khi nào, các bạn tự tính.

2. Bài toán giá trị lơn nhất, giá trị nhỏ nhất chứa tham số:

- Trong các bài toán này, giá trị max, min của một hàm số F(x) trên một miền D sẽ phụ

thuộc vào tham số m. Khi m biến thiên, nói chung các giá trị này cũng thay đổi. Cần nhấn

mạnh rằng phương pháp dùng đạo hàm tỏ ra có hiệu lực rõ rệt với loại bài toán này.

- Có 2 loại bài toán chinhs thường gặp:

+ Tìm giá trị max, min của hàm số F(x) trên miền D theo tham số m.

+ Xét 1 bài toán khác sau khi đã tìm xong giá trị max, min.

Chúng ta hãy xét các VD sau:

Ví dụ 3: Cho hàm số :

y = Sin4x + Cos4x + m SinxCosx, Với x ∈R.

Tìm giá trị max, min của hàm số và biện luận theo m?



Ta có y = 1 – 12

Sin22x + m2

Sin2x

Đặt t = Sin2x. Bài toán quy về: Tìm giá trị max, min của hàm số :

F(t) = - 12

t2 + m2

t +1 với -1 ≤ t ≤ 1

F'(t) = -t + m2

.

Xét các khả năng sau:

1) Nếu m ≥ 2 (khi đó m2

≥ 1). Ta có bảng biến thiên sau:

t -1 1 m 2

F'(t) + /// 0

F(t) ///

Ta có:

Max F(t) =

t ≤ 1

F(1) = +m 12

Min F(t) =

t ≤ 1

F(-1) = − +m 12

2) Nếu m ≤ -2 (khi đó m2

≤ 1). Ta có bảng biến thiên sau:



t m2

-1 1

F'(t) 0 /// -

F(t) ///

Ta có:

Max F(t) =

t ≤ 1

F(-1) = − +m 12

Min F(t) =

t ≤ 1

F(1) = +m 12

3) Nếu -2 < m < 2 (Khi đó -1 < m2

< 1) Ta có bảng biến thiên sau:

t -1 m2

1

F'(t) + 0 - ///

F(t) ///

Max F(t) =

t ≤ 1

F( m2

) = +2m 88



Min F(t)

t ≤ 1

= Min{f(-1); f(1)}

Nếu 0 ≤ m ≤ 2

= Min{− +m 12

; +m 12

}

=

⎧ −⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪ +⎪⎪⎪⎪⎩

1 m2

1 m2

Nếu -2 ≤ m ≤ 0

Tóm lại ta đi đến kết quả sau:

+1 m2

Nếu 2 ≤ m

+ 28 m8

Nếu -2 < m < 2 Max y

x ∈R. =

−1 m2

Nếu -2 ≤ m

Nếu 0 ≤ m Min y

x ∈R. =

⎧ −⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪ +⎪⎪⎪⎪⎩

1 m2

1 m2

Nếu m < 0

Chú ý: Có thể viết đáp số gọn hơn: VD Min y = +1 m2

Ví dụ 4: Cho hàm số F(x) = 4x2 – 4ax + a2 – 2a, Xét khi -2 ≤ x ≤ 0

Tìm a để: Min F(x): = 2?

-2 ≤ x ≤ 0

Ta có: F'(x) = 8x – 4a =>F'(x) = 0 khi x = a2

.



Xét các khả năng sau:

1) Nếu a > 0 (tức a2

> 0). Ta có bảng biến thiên sau:

x -2 0 a2

F'(x) 0 - /// 0

F(x) ///

Vì thế: Min F(x) = F(0) = a2 – 2a.

-2 ≤ x ≤ 0

Min F(x) = 2 <=> a2 – 2a = 2.

<=> ⎡ = +⎢⎢

= −⎢⎣

a 1 3

a 1 3

Vì a> 0 nên chỉ lấy giá trị: a = 1+ 3

2) Nếu a < -4 (Tức a2

< -2) Ta có bảng biến thiên sau:

x a2

-2 0

F'(x) 0 /// + ///

F(x) /// ///

Vì thế: Min F(x) = F(-2) = a2 – 6a + 16.



-2 ≤ x ≤ 0

Min F(x) = 2 <=> a2 – 6a + 16 = 2.

<=> a2 – 6a + 14 = 0

∆ = 9 – 14 = -5 < 0. PT vô nghiệm.

3) Nếu -4 ≤ a ≤ 0 (Tức -2 ≤ a2

≤ 0) Ta có bảng biến thiên sau:

x -2 a2

0

F'(x) // - 0 + ///

F(x) // ///

Vì thế: Min F(x) = F( a2

) = – 2a

-2 ≤ x ≤ 0

Min F(x) = 2 <=> –2a = 2

<=> a = -1.

Giá trị a = -1 thỏa mãn điều kiện -4 ≤ a ≤ 0 nên chấp nhận được.

Tóm lại các giá trị cần tìm của tham số a là: a = -1 và a = 1+ 3

3. Phương pháp miền giá trị hàm số



Xét bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) …? Một miền D cho…? . Gọi

yo là một giá trị tùy ý của f(x) trên D, thì hệ sau đây (của x) có nghiệm 0( ) (1)(2)

f x yx D

=⎧⎨ ∈⎩

Tùy dạng của hệ (1) (2) mà ta có các điều kiện có nghiệm tương ứng. Trong nhiều trường hợp, điều kiện ấy (sau khi biến đổi) đưa được về dạng 0 (3)yα β≤ ≤ . Vì yo là một giá trị bất kì của f(x), nên từ (3) ta có ( ) ; ( )

x D x DMin f x Max f xα β∈ ∈

= = . Như vậy khi sử dụng phương pháp

này để tìm giá trị lớn nhất của một hàm số, thực chất ta đã qui về việc tìm điều kiện để một phương trình (thường làm có thêm điều kiện phụ) có nghiệm.

Xét các thí dụ sau:

Thí dụ 1

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2sin osx+1( ) , ?i x Rsinx-2cosx+3

x cf x += ∈v .

Bài giải:

Để ý rằng do

3 5 s inx-2cosx+3 3 5, x− ≤ ≤ + ∀ , nên f(x) xác định xác định trên toàn R. Gọi yo là một giá

trị tùy ý của f(x), ta có phương trình sau (của x) 02sin osx+1(1)s inx-2cosx+3

x cy += có nghiệm.

Dễ thấy (1) <=> 2sinx + cosx + 1 = yo sinx - 2yo cosx + 3 yo

<=> (2 - yo)sinx + (1 + 2 yo)cosx = 3 yo - 1 (2)

Vì (2) có nghiệm, nên ta có 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 01(2 ) (1 2 ) (3 1) 4 6 4 0 2 3 2 0 2(3)2

y y y y y y y y− + + ≥ − ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Từ

(3) suy ra 1( ) ; ( ) 22x R x R

Min f x Max f x∈ ∈

= − =

Chú ý

Nếu thay yo = 2 vào (2) ta có 5cosx = 5 <=> cosx = 1 <=> 2x kπ= . Vậy Maxf(x) đạt được khi 2 ,x k k Zπ= ∈ (Xét tương tự cho Min(fx).

Thí dụ 2



Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:2

22 7 23( ) ,

2 10x xf x x Rx x

+ += ∈

+ +

Bài giải:

Gọi yo là một giá trị tùy ý của hàm số, thì phương trình sau (của x) 2

0 22 7 23 (1)

2 10x xyx x

+ +=

+ + có

nghiệm.

Dễ thấy 20 0 0(1) ( 2) (2 7) 10 23 0(2)y x y x y⇔ − + − + − =

Xét 2 khả năng:

+ Nếu yo = 2, thì (2) <=> -3x – 3 = 0 => phương trình này sẽ …? có nghiệm

+ Nếu , thì (2) có nghiệm 0 2y ≠ 20 0 0

3 50 9 16 15 02 2

y y y⇔ Δ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

Tóm lại (2) có nghiệm 03 52 2

y⇔ ≤ ≤

Vì yo là giá trị tùy ý của f(x), nên 3 5( ) ; ( )2 2x R x R

Min f x Max f x∈ ∈

= =

Thí dụ 3:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức với x, y thỏa mãn 2 2,P x y= +

{ }2 2 2 2 2 2 2( , ) ( 1) 4 0x y D x y x y x y∈ = − + + − − =

Bài giải:

Gọi to là một giá trị tùy ý của P, khi ( , )x y D∈ . Vậy hệ sau đây (của x,y)

2 20

2 2 2 2 2 2 2

(1)

( 1) 4 0(2)

x y t

x y x y x y

⎧ + =⎪⎨

− + + − − =⎪⎩có nghiệm. Hệ (1),(2) tương đương với hệ sau:

2 22 2

002 22 2 2 2 2 2

0 0

(3)

3 1 4 0 (4( ) 3( ) 1 4 0

x y tx y t

t t xx y x y x

⎧⎧ + =+ =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨− + + =+ − + + + =⎪ ⎪⎩ ⎩ )



Để (4) (của x) có nghiệm ta cần có 20 0 0

3 5 3 53 1 0 (52 2

t t t− +− + ≤ ⇔ ≤ ≤ )

Với điều kiện (5). Gọi x là nghiệm của (4), và thay vào (3) ta có: 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 04 4 4 3 1 4 4 4 1(*x y t t t y t y t t+ = ⇔ − + − + = ⇔ = + + )

(*) chắc chắn có nghiệm vì >0. 20 0 1t t+ +

Vậy (5) là điều kiện cần và đủ để hệ (3), (4) có nghiệm. Từ đó suy ra

( , ) ( , )

3 5 3 5;2 2x y D x y D

Min P Max P∈ ∈

− += =

Thí dụ 4

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của trên miền 2 3P x xy y= − − 2, { }2 2( , ) : 3D x y x xy y= + + ≤

Bài giải:

Gọi { } { }{ }

2 2 21

2 22

( , ) : 3, 0 ( , ) : 3, 0

( , ) : 3, 0

D x y x xy y y x y x y

D x y x xy y y

= + + ≤ = = ≤

= + + ≤ ≠

=

Ta có 1 2

2 2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

Max P=Max Max P, Max P , (1)

Min P=Min Min P, Min P (2)

x y D x y D x y D

x y D x y D x y D

∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

Từ 1( , )x y D∈ thì , do đó 2P x=11 ( , )( , )

ax P=3; M in P=0 (3)x y Dx y D

M∈∈

Xét biểu thức

2

2 2 2

2 2 2 2

33 3

11

x xy yx xy y t tS

x xy y t tx xy y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Gọi α là một giá trị tùy ý của S, tức là phương trình (ẩn t)

2

23 (4)1

t tt t

α− −=

+ +có nghiệm. Dễ thấy 2(4) ( 1) ( 1) 3 0 (5)t tα α α⇔ − + + + + =



+ Nếu α = 1 thì (5) có nghiệm t = -2

+ Nếu 1α ≠ thì (5) có nghiệm khi 2 20 ( 1) 4( 1)( 3) 0 3 6 11 0α α α α αΔ ≥ ⇔ + − − + ≥ ⇔ − − − ≥

2( 1)

3 4 3 3 4 33 6 13 0 (6)3 3α

α α α≠

− − − +⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ≤

Thử lại (5) có nghiệm 3 4 3 3 4 33 3

α− − − +⇔ ≤ ≤

Ta có 2 2

2 2 22 2

3( ) ( )x xy yP x xy y x xy y Sx xy y− −

= + + = + ++ +

2

x xy y+ + ≤

Do khi 2 2( ) 3 ( ,


2 2) 3 4 3 3 4 3 ( , )y D P x y D∈ ⇒ − − ≤ ≤ − + ∀ ∈ x

Rõ ràng hệ phương trình

2 2

2 2

2 2

3 3 43

3

x xy yx xy y

x xy y

⎧ − − − +=⎪

+ +⎨⎪

+ + =⎩

3có nghiệm.

Như vậy 2( , )

3 4 3 (7)x y DMax P

∈= − + . Tương tự

2( , )3 4 3 (8)

x y DMin P

∈= − −

Từ (1), (2), (3), (7), (8) suy ra 2 2( , ) ( , )

3 4 3; 3 4 3x y D x y DMax P Min P

∈ ∈= − + = − − .

3. Phương pháp chiều biến thiên.

Phương pháp này kết hợp việc sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đồng biến và nghịch biến của hàm số, với việc so sánh các giá trị đặc biệt của hàm số (các điểm cực trị, các điểm tới hạn). Xét các thí dụ minh họa sau:

Thí dụ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1P x y zx y z

= + + + + + trên miền

3( , , ) : 0, 0, 0,2

D x y z x y z x y z⎧ ⎫= > > > + +⎨ ⎬⎩ ⎭

≤

Bài giải:

Theo bất đẳng thức CoSi, ta có:


1 1 1( ) 9

1 1 1 9

9 (1)

x y zx y z

x y z x y z

P x y zx y z

⎛ ⎞+ + + + ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ + + ≥+ +

⇒ ≥ + + ++ +

Đặt 3t = x + y + z 0<t2

⇒ ≤ . Xét hàm số 9 3( ) ,02

f t t tt

= + < ≤ ; 29'( ) 1f tt

= −

Ta có bảng biến thiên sau:

0

t

f ’(t)

f (t)

-3 032 3

0

Vậy 302

3 1f(t)=f2 2t

Min< ≤

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

5 . Từ (1) suy ra 152

P ≥ (2). Mặt khác với 12

x y z= = = (khi đó

32

x y z+ + = thỏa mãn điều kiện 32

x y z+ + ≤ ), ta có 152

P = . Từ đó kết hợp với (2) suy ra 152

MinP =

Chú ý: Nếu viết 1 1 1 6(*)P x y zx y z

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + ≥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

. Tuy nhiên dấu bằng trong (*)

có <=> x = y = z = 1. Nhưng 332

x y z+ + = > . Vậy không có dấu bằng trong (*)!

Thí dụ 2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 1 1

x yPy x

= ++ +

với { }( , ) , 0, 1x y D x y x y= ≥ + = ∈

Bài giải:

Đưa P về dạng 2 2 2( ) 2 (

1 ( ) 1)x x y y x y xy x yP

xy x y x y xy+ + + + − + +

= =+ + + + + +

Do x + y + 1, nên với ( , )x y D∈ , ta có : 2 2 (1)2

xyPxy

−=

+



Đặt t = xy, khi đó 2( ) 1

4 4x yxy t+

≤ ≤ ⇒ ≤ ≤0 0 .

Xét hàm số 2 2( )2

tf tt

−=

+ với 10

4t≤ ≤

Ta có 26'( )

(2 )f t

t−

=+

, nên có bảng biến thiên (các em tự vẽ hình) dẫn đến kết luận:

Vậy ( , ) ( , )

21;3x y D x y D

Max P Min P∈ ∈

= =

Chú ý:

Max P đạt được0

0, 10 1

1, 0, 0

xyx y

t x yx y

x y

=⎧= =⎡⎪⇔ = ⇔ + = ⇔⎨ ⎢ = =⎣⎪ ≥⎩

Min P đặt được 1 14 2

t x y⇔ = ⇔ = =

Thí dụ 3

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 6 2( ) 4(1 )3f x x x= + − khi [ ]1,1x∈ − .

Bài giải

Đặt 2x t= , thì 0 1t≤ ≤ . Ta có 6 2 3 3 3 3 2 3 3 24(1 ) 4(1 ) 4(1 3 3 ) 3 12 12 4x x t t t t t t t t t+ − = + − = + − + − = − + − +

Vậy 1 2 0 1 1 1 0 1

( ) ( ); ( ) ( )x t x t

Max f x Max F t Min f x Min F t− ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤

= =

Ở đây với 0 13 2( ) 3 12 12 4F t t t t= − + − + t≤ ≤

Ta có và có bảng xét dấu sau: 2'( ) 9 24 12F t t t= − + −


4

0

t 0

F‘(t)

F(t)

1

1

2

0

32

94


Vậy 1 1 1 1

4( ) 4; ( )9x x

Max f x Min f x− ≤ ≤ − ≤ ≤

= =

III. CỦNG CỐ KIẾN THỨC Bài 1

Tỉm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 23 3x yP = + , khi { }( , ) 0, 0, 1x y D x y x y∈ = ≥ ≥ + = .

Bài giải:

Khi ( , ) 1x y D y∈ ⇒ = − x , ở đây 0 1x≤ ≤ , và 2 1 2 33 3 33

x x xxP −= + = +

Đặt 3xt = , thì 1 3 (do t≤ ≤ 0 1x≤ ≤ ), và 3

2 3 3tP tt t

+= + =

Xét hàm số 3 3( ) tf t

t+

= với 1 3 t≤ ≤

Ta có 3

22'( ) tf t

t−

=3 . Lập bảng xét dấu sau:

t

f ’(t)

f (t)

1 3

0 4 1

3 3

2

3 934

Từ đó suy ra

{ } { }( , ) 1 3

3 3( , ) 1 3

( ) (1), (3) 4,0 10

3 9( ) 32 4

x y D t

x y D t

Max P Max f t Max f f Max

Min P Min f t f

∈ ≤ ≤

∈ ≤ ≤

= = =

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

Bài 2.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) 1 s inx 1 osx ,f x c x R= + + + ∈



Do ( ) 0,f x x≥ ∀ ∈R nên ta có 2 2( ) ( ); ( ) ( )(1)x R x R x R x RMax f x Max f x Min f x Min f x∈ ∈ ∈ ∈

= =

Ta thấy 2( ) 2 (s inx+cosx)+2 1+(sinx+cosx)+sinxcosxf x = +

Đặt 2t -1s inx+cosx( - 2 t 2) sinxcosx=2

t = ≤ ≤ ⇒

Xét hàm số: 2 21 2( ) 2 2 1 2 22 2

t tF t t t t 1t− + += + + + + = + +

2'( ) 1 2 ( 1) 1 2 1F t t t= + + = + +

Do vậy 1 2 , 1 2

'( )1 2 , 2

tF t

t

⎧ + − ≤ ≤⎪= ⎨− − ≤ ≤⎪⎩ 1−

Vì thế có bảng biến thiên sau:

t

F’(t)

F(t)

2− -1 2

4 2 2− 4 2 2+ 0

Từ đó có ( ) ( ){ } { }

2

2

( ) ( ) 2 , 2 4 2 2, 4 2 2 4 2 2

( ) ( ) ( 1) 1x R t

x R t

Max f x Max F t Max F F Max

Min f x Min F t F∈ ≤

∈ ≤

= = − = − + = +

= = − =

Bài 3: (Đại học-Cao đẳng khối A.2003)


Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của , , 0 à x+y+z 1. x y z v> ≤ 2 2 22 2

1 1P x y z 21

x y z= + + + + +

Áp dụng công thức qui biến về véc tơ w wu v u v+ + ≥ + +


Áp dụng với 1 1, , , , w ,u x v y z 1 ,x y z

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ta có

22 2 2 2

2 2 21 1 1 1 1 1( )x y z x y z

x y zx y z⎛ ⎞

+ + + + + ≥ + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(1)

Ta có 2 2

2 21 1 1 1 1 1( ) 81( ) 80( ) (2)x y z x y z x y zx y z x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + = + + + + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠2

Theo bất đẳng thức CôSi, thì:

2 22 21 1 1 1 1 1 1 1 181( ) 2 81( ) 18( )x y z x y z x y z

x y z x y z x y z⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + + + ≥ + + + + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Lại theo bất đẳng thức cơ sở có: 1 1 1( )x y zx y z

⎛ ⎞ 9+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

. Vì thế có:

22 1 1 181( ) 162x y z

x y z⎛ ⎞

+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

(3)

Do (4) 2( ) 1 80( ) 80x y z x y z+ + ≤ ⇒ + + ≤

Từ (3), (4) và (1), (2) suy ra: 82P ≥ (5)

Lấy 1 823

x y z P= = = ⇒ =

Từ đó đi đến: P = 82Min

2 22 21 1 1 1 1 1 1 1 181( ) 2 81( ) 18( )x y z x y z x y z

x y z x y z x y z⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + + + ≥ + + + + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Lại theo bất đẳng thức cơ sở có: 1 1 1( )x y zx y z

⎛ ⎞ 9+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

. Vì thế có:

22 1 1 181( ) 162x y z

x y z⎛ ⎞

+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

(3)

Do (4) 2( ) 1 80( ) 80x y z x y z+ + ≤ ⇒ + + ≤



Từ (3), (4) và (1), (2) suy ra: 82P ≥ (5)

Lấy 1 823

x y z P= = = ⇒ =

Từ đó đi đến: P = 82Min

Bài 4: (Đại học – Cao đẳng khối B. 2002)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 2( ) 4f x x x= + −

Ta có: 2

2 2

4'( ) 14 4

x x xf xx x

− −= − =

− −

Lập bảng xét dấu sau: x

'( )f x

( )f x

-2 0 2 2

+ + -

2 2

0

-2 2

(Chú ý: khi là biến thiên) '( ) 0f x > 2 x− ≤ ≤ 0

Từ đó có:

2ax f(x)=2 2

xM≤

{ } { }2

f(x) = min f(-2);f(2) min 2;2 2x

Min≤

= − =

Chú ý: Ta có thể giải bằng phương pháp bất đẳng thức như sau:

1/ Ta có: do 2( ) 4 22

( 2) 2f x x xxf

⎧⎪ = + − ≥ −≥ − ⇒ ⎨− = −⎪⎩

Vậy 2

f(x) = 2x

Min≤

−

rõ ràng đạt được trên miền . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky: 0x >ax f(x)M



( ) ( )2 22 2 2 2

2( )

4 (1 1 ) 4

8 ( ) 2 2x

2x x x

f f x

⎡ ⎤⇒ + − + ≥ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

⇒ ≥ ⇒ ≤

x

Lại có: ( 2) 2 2 ax (x)=2 2f m f= ⇒

IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 24 4 4( ) 1 1 1f x x x x= − + − + + trên miền { }: 1 1D x x= − ≤ ≤

Đáp số: x Dax ( ) 3M f x∈

=

Bài 2: Tìm giá trị bé nhất của biến thiên:

1 1 1( 1) x y zP xyz x yx y z y z x

⎛ ⎞= + + + + + + − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠z trên miền { }( , , ) : 0; 0; 0D x y z x y z= > > >

Đáp số: mi n 6P =

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biến thiên: P xyz= trên miền

1 1 1( , , ) : 0; 0; 0; 21 1 1

D x y z x y zx y z

⎧ ⎫= ≥ ≥ ≥ + +⎨ ⎬+ + +⎩ ⎭

=


Đáp số: 1ax P=8

m

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của: trên miền 2 (4 )P x y x y= − − { }( , ) : 0; 0; 6D x y x y x y= ≥ ≥ + ≤

Đáp số: ; ax P = 4M Min P = - 64

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: 2 2

2 2

( 4 )x x yPx y− −

=+

trên miền

{ }2 2( , ) : 0D x y x y= + >

Đáp số: ; P = - 2 2 2Min − ax P = 2 2 2M −


Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: 2 2

2 17

x yPx y+ +

=+ +

; ,x y R∈


Đáp số: 1ax P = 2

M ; 5 P = 14

Min −

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

2( ) 3 6 18 3f x x x x= + + − − + − x trên miền { }: 3 6D x x= − ≤ ≤

Đáp số: ; x D

ax f(x) = 3M∈ x D

9 3 2 f(x) = 2

Min∈

−

Bài 8: Cho 2 2( ) 4 4 2f x x ax a= − + − a xét trên miền { }: 2 0D x x= − ≤ ≤ .

Tìm a để x D

f(x) = 2Min∈

Đáp số: a hoặc 1= − 1 3a = +

Nguồn: Hocmai.vn

http://hocmai.vn/

Documents

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT VÀ TUYỂN · PDF fileChuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 - Định nghĩa