CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BỒI DƯỠNG H C SINH GI I

www.thuvienhoclieu.com

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Bài 1. Xét các hình chóp n – giác 1 2. ... nS A A A ( n là số tự nhiên tùy ý lớn hơn 2 ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a/ Đáy 1 2 ... nA A A có tất cả các cạnh đều bằng 1.

b/

01 2 2 3 n 1SA A SA A ... SA A 60= = = =

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất độ dài đường cao SH của hình chóp nêu trên.

Hướng dẫn giải Chứng minh nếu hình chóp 1 2. ... nS A A A tồn tại thì khi đó hình chóp là đều: Chứng minh rằng các cạnh bên bằng nhau Đặt : 1 1 SA x ; 2 2 SA x ; ..... ; n nSA x .

Dùng định lý cosin trong các tam giác 1 2SA A ; 2 3SA A ; ...; 1nSA A ta có:

2 2 0 22 1 1 1 11 2 cos 60 1x x x x x

2 2 0 23 2 2 2 21 2 os60 1x x x c x x

.......................................................

2 2 0 21 1 1 11 2 os60 1n n n n nx x x c x x

2 2 0 21 1 2 os60 1n n n nx x x c x x .

Đặt 2 21 3( ) 1 ( )2 4

f x x x x , ta có hệ:

22 123 2

21

21

( )

( )...............

( )

( )n n

n

x f xx f x

x f xx f x

với 1 23 ;,

2, ..., nx x x

Trên 3 ;2

+∞

( )f x đồng biến.

Do đó: 1 2x x≠ thì vô lý.

Thật vậy: nếu ( ) ( )1 2 1 2x x f x f x< ⇒ < ⇒ 2 22 3 2 3 n 1x x x x ... x x< ⇒ < ⇒ ⇒ < . Ta có 1 1x x< ( vô lý)

Tương tự nếu 1 2x x> cũng suy ra điều vô lý: 1 1x x> . Vậy 1 2x x= .

www.thuvienhoclieu.com Trang 1


Do 1 2x x= ta được 2 2

1 1 1 1x x x 1 x 1= − + ⇔ = . Từ đó ta được: 1 2 ... 1nx x x= = = = .

Chứng minh đáy 1 2... nA A A là đa giác đều. Từ 1 2 ... 1nSA SA SA= = = = suy ra hình vuông góc H của S lên đáy cách đều các đỉnh của đáy. Đa giác 1 2... nA A A có các cạnh bằng nhau và nội tiếp trong một đường tròn nên là đa giác đều. a) Tìm SH lớn nhất, nhỏ nhất. b) Chứng minh 6n < .Ta có các mặt bên của hònh chóp là các tam giác đều cạnh 1. Ngoài ra: 0

1 2 1 260 A SA A HA= < ; 02 3 2 360 A SA A HA= < ; ...; 0

1 160 n nA SA A HA= < .

Do đó: ( )0 0.60 360 6 2n n n< ⇔ < > .

• Tính SH và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của SH :

Xét tam giác vuông 1SHA : 2SH = 2 21 1 1 1

1SA HA .SA 1;HA2sin

n

− = =π

.

2 2 2 2

2

1 1 1 1SH 1 1 1 cot g 3 cot g , SH= 3 cot g4 4 4 4 2 44sin

n

π π π = − = − + = − − π 3;4;5n = .

3 : n SH= =23

; 4 : n SH= =2

2; 5 : n SH= = 1 1

2 2 5− .

• Do đó giá trị lớn nhất của SH là 23

, giá trị nhỏ nhất của SH là 1 12 2 5− .

Bài 2. Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D cạnh a .Gọi , , E G K lần lượt là trung điểm của các cạnh ' ', ' 'A D B C và AA'. H là tâm của hình vuông 'DCDC . , M N là hai điểm lần lượt ở trên hai đường thẳng

AD và EG sao cho MN vuông góc với KH và cắt KH .Tính độ dài đoạn MN theo a . Hướng dẫn giải

Xác định đoạn MN

C

C’

A B

D E1

A’ B’

D’ E

G

H

H1

N1 I1

I

M

G1 A B

C D

G1 E1

M

H1

I1

N1



Gọi 1 1 1 1, , , E N G H là hình chiếu vuông góc của , , , E N G H trên mặt phẳng ( )ABCD . Do KH MN⊥ (gt) và K 1KH NN⊥ suy ra 1KH MN⊥ , suy ra 1 1AH MN⊥ tại

1I . Mà theo giả thiết MN cắt KH tại I suy ra

1 1 // II NN mà I là trung điểm của đoạn MN nên 1I phải là trung điểm của 1MN . Từ đó suy ra cách dựng hai điểm , M N . Tính độ dài MN

Đặt 1 1 1 1 1DAH H AN E N Mα α= ⇒ = = .

Xét tam giác vuông DAH , ta có: sinα =15

tgα⇒ =12

os2c α⇒ =35 1AN⇒ = 1AE 5 a

cos 2 6=

α.

Xét tam giác vuông 1AIN , ta có: 1 1IN AN= . sinα = 15 1 a 5 a 5a. MN6 6 35

= ⇒ = .

(Cách khác: Gọi P là trung điểm của 1CG , suy ra được 1N ở trên AP , suy ra 1 1E N =2 a3

.)

2 2 2 2 2 21 11 1 1

E N a 5 5 14 a 14MN MN NN MN a a a MNcos 3 9 9 3

= = ⇒ = + = + = ⇒ =α

.

Cách khác: Dùng phương pháp tọa độ trong không gian....

Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy 12,54( )a cm= ,các cạnh bên nghiên với đáy một góc 072α = . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp .S ABCD .

Hướng dẫn giải

Chiều cao của hình chóp: 0272 27,29018628

2

aSH tg= ≈

Thể tích của hình chóp: ( )2 311430,475152

3V a h cm= ≈

Trung đoạn của hình chóp

= + ≈2

2 28,001199394

ad SH

Diện tích xung quanh của hình chóp: ( )21.4 . 702,2700807

2xqS a d cm= ≈

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy 12,54( )a cm= , 12,54( )a cm= ,các cạnh bên nghiên với đáy một góc 072α = . a) Tính thể tích hình cầu ( )1S nội tiếp hình chóp .S ABCD .



b) Tính diện tích của hình tròn thiết diện của hình cầu ( )1S cắt bởi mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của mặt

cầu ( )2S với các mặt bên của hình chóp .S ABCD .

Hướng dẫn giải .27.29018628; 4.992806526SH MHSH IH R

MH MS= = = =

+ (bán kính mặt cầu nội tiếp)

Thể tích hình chóp ( )1S : 3 34 521.342129( )3

V R cmπ= ≈

28,00119939SM ≈

6, 27;MH IK IH= =

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của ( )1S với các mặt bên của hình chóp:

2

4.866027997IHd EISH IH

= = =−

Bán kính đường tròn giao tuyến: 2 2 1,117984141r EK R d= = − ≈

Diện tích hình tròn giao tuyến: 274,38733486( )S cm≈

Bài 5. Một thùng hình trụ có đường kính đáy ( bên trong) bằng ( )12,24 cm đựng nước

cao lên ( )4,56 cm so với mặt trong của đáy. Một viên bi hình cầu được thả vào trong thùng thì mực nước dâng lên sát với điểm cao nhất của viên bi (nghĩa là mặt nước là tiếp diện của mặt cầu). Hãy tính bán kính của viên bi.


Ta có phương trình : 2 3 2 3 2 24 .2 4 6 3 0 (0 )3

R h x R x x R x R h x Rπ π π+ = ⇔ − + = < <

Với , , R x h lần lượt là bán kính đáy của hình trụ, hình cầu và chiều cao ban đầu của cột nước.

Bấm máy giải phương trình: 34 224,7264 512,376192 0(0 6,12)x x x− + = < ≤ Ta có: 1 22,588826692; 5,857864771x x≈ ≈ ( ) : 5 3 8 0; ( ) : 3 8 42 0;( ) : 2 5 3 0AB x y AC x yBC x y

− + = − + =+ − =

B. Xét hai độ dài khác nhau , a b . Tìm điều kiện của , a b để tồn tại tứ diện ( )T có một cạnh bằng a và các

cạnh còn lại đều bằng b .Với tứ diện ( )T này, hãy xác định mặt phẳng ( )α sao cho thiết diện của mặt phẳng

( )α và tứ diện ( )T là một hình vuông ( )V .Tính diện tích của hình vuông ( )V theo a và b .

E K

I

H M

S

720I

M

HD

B

C

A

S

K



Điều kiện độ dài , a b :

+ Giả sử tứ diện ( )T tồn tại. Gọi AB là cạnh bằng a , các cạnh , , , , AC AD BC BD CD đều cùng bằng b .

Gọi I là trung điểm cạnh CD .Tam giác AIB là tam giác cân:

3; 2

bAB a AI BI= = = . Từ AB AI BI< + Suy ra: 30 ba <<

+Ngược lại với: 30 ba << .Dựng tam giác đều BCD cạnh b với chiều cao BI .

Dựng tam giác cân AIB có AB a= , nằm trong mặt phẳng chứa BI và vuông góc với mặt phẳng ( )BCD .Ta có: A mp ( )BCD . Tứ diện ABCD thỏa điều kiện bài toán.

Xác định mặt phẳng ( )α :

+ Giả sử thiết diện MNPQ là hình vuông . Các mặt của tứ diện ( )T lần lượt chứa các đoạn giao tuyến

, , , MN NP PQ QM được gọi tên là mặt ( )I , mặt ( )II , mặt ( )III , mặt ( )IV .

Do // ; // MN PQ MQ NP nên cạnh chung của mặt ( )I và mặt ( )III ; cạnh chung của mặt ( )II và mặt ( )IV

nằm trên hai đường thẳng song song với mp ( )α .

Ngoài ra hai đường thẳng này vuông góc với nhau, vì MN vuông góc MQ .

+ Do a khác b nên tứ diện ( )T chỉ có một cặp cạnh đối vuông góc , đó là AB và CD .

∉

Q

P

M

N

a

I

D

C

B

A



Vì vậy mặt phẳng ( )α phải song song với AB và CD .

+ Gọi giao điểm của mp ( )α với , , , AC BC BD AD , lần lượt là , , , M N P Q .Đặt: k =MCMA .

Ta có: 1

aMNk

=+

;1kbMQ

k=

+. Từ MN MQ= ta có : ak

b= .

+ Diện tích của hình vuông MNPQ là : 2)(ba

ab+

........................................................................................................................................

Bài 6. Cho hình chóp tứ giác .S ABCD , có đáy là một hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC . M là một điểm thay đổi trong miền hình bình hành ABCD .Tia MG cắt mặt bên của hình chóp tại điểm N

.Đặt MG NGQNG MG

= +

1/ Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho Q đạt giá trị nhỏ nhất.

2/ Tìm giá trị lớn nhất của Q .


1/

+ 2MG NGQNG MG

= + ≥ .Dấu bằng khi và chỉ khi MGNG

= 1NGMG

= .

D'

C'

H

G

N'

N

M

O

D

C

B

A

s



+ SG cắt mp ( )ABCD tại tâm O của hình bình hành ABCD . Gọi K là trung điểm của SG . Từ K dựng

mặt phẳng song song với mp ( )ABCD cắt , , , SA SB SC SD lần lượt tại 1 1 1 1, , , A B C D . Từ N dựng mặt

phẳng song song với mp ( )ABCD cắt SG tại 'N .

Ta có : MGNG ' ;N G

OG= 1NG

MG= 'N⇔ trùng K N⇔ thuộc cạnh hình bình hành 1 1 1 1A B C D

Nối NK cắt cạnh hình bình hành 1 1 1 1A B C D tại P , ta có : // PM SG .

+ Từ đó 2Q = khi và chỉ khi M thuộc cạnh hình bình hành '1

'1

'1

'1 DCBA

'1

'1

'1

'1 DCBA là hình chiếu song song của hình bình hành 1 1 1 1A B C D lên mp ( )ABCD

theo phương SG .

2/

+ Miền hình bình hành ABCD hợp bởi các miền tam giác , , , OAB OBC OCD ODA

M thuộc miền hình bình hành ABCD nên M thuộc một trong bốn miền tam giác này. Chẳng hạn M thuộc miền OAB∆ . M A≡ ⇒ 'N C≡ ; M B≡ ⇒ 'N D≡ ; M O≡ ⇒ N S≡ .

Do đó N thuộc miền ' 'SC D∆ và 'N thuộc đoạn SH , với ', 'C D và H lần lượt là trung điểm của , SC SD và SO .

Do đó: 'HG N G≤ SG≤ . Vì vậy: OGHG

≤OG

GN '≤

OGSG hay 1

2≤

MGNG

2≤ .

+Đặt : x =MGNG Ta có : 1Q

x= + x với x

1 ;22 ∈

.

' 0Q = vàø x1 ;2 12

x ∈ ⇔ =

. ( ) ( )1 5Max Max ; 2 ; 12 2

Q Q Q Q = =

.

+Giá trị lớn nhất của Q là : 25

. Đạt khi M trùng với O hoặc các đỉnh , , , A B C D .

Bài 7. Cho tứ diện ABCD có diện tích các tam giác ADB và ADC là bS và cS . Mặt phẳng phân giác của nhị diện tạo bởi hai mặt ( )ADB và ( )ADC cắt BC tại M . α là góc giữa hai mặt ( )ADB và ( )ADC . Chứng minh:



a/ b

c

SMBMC S

=

b/ Diện tích mS của tam giác ADM là: b c

mb c

2S .S .cos2S

S S

α

=+

.

Hướng dẫn giải Câu a:

+ Do M ở trên mặt phẳng phân giác của góc nhị

diện cạnh AD nên khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng

( )ADB , ( )ADC bằng nhau và kí hiệu là d .

+ Do đó:

b bADBM

ADCM c c

S .d SVMB dt(DBM)MC dt(DCM) V S .d S

= = = =

Câu b:

+ Tính công thức thể tích tứ diện:

b cABCD c c c

2S .S .sin1 1 1 sinV S .BH S .BK.sin S .BK.AD.3 3 3 AD 3AD

αα= = α = =

+ ABCD ADBM ADCMV V V= + , áp dụng công thức tính thể tích trên ta suy ra:

b m c mb c

2S .S .sin 2S .S .sin2S .S .sin 2 23AD 3AD 3AD

α αα= +

Rút gọn, được: b c

mb c

2S .S .cos2S

S S

α

=+

.

Bài 8. Với hai đường thẳng , MN PQ chéo nhau trong không gian, kí hiệu ( ),d MN PQ và ( ),MN PQ lần lượt là khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng , MN PQ . a/ Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD thỏa điều kiện: ( ) ( ) ( ), , ,d AB CD d AC BD d AD BC= =

H

K

A

D

S

M

C



thì trong ba số: ( ) ( ) ( )cotg , ; cotg , ; cotg ,AB CD AC BD AD BC có một số bằng tổng hai số còn lại.

b/ Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD thỏa điều kiện: ( ) ( ) ( ), , ,d AB CD d AC BD d AD BC= = và

( ) ( ) ( ), , ,AB CD AC BD AD BC= = thì nó là hình chóp tam giác đều.


a /

• Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện 1 1 1 1AC BD B DAC . • Giả thiết ( ) ( ) ( ), , ,d AB CD d AC BD d AD BC= =

suy ra các mặt của hình hộp cùng diện tích S . Đặt 1 1, , , , ,a AB a CD AC b BC b AD c= = = = =

1 1 1 1, , ,BC c AD z AC y AB x= = = = .

• Từ hình bình hành 1 1AC BD ta có:

( ) ( )

2421

2 2 2 21

1

aa y4 4

a a 2 y z ; cos AB,CD 1 a.a2

+ −+ = + =

( )2 2

1

y zcos AB,CD

a.a−

=

• Chú ý: ( )1 1 1dt sin ,S AC BD a a AB CD= = . Do đó: ( )2 2y z

cot g AB,CD2S−

=

Tương tự: ( )2 2z x

cot g AC, BD ; 2S−

= =2 2x y2S−

• Nếu x y z≤ ≤ thì ( ) ( ) ( ) ( )cotg , cotg , cotg , cotg ,AB CD AC BD AD BC AD BD+ + = . • Các trường hợp khác cũng có kết quả như thế.

b/ • Từ các kết quả câu a/ nếu thêm ( ) ( ) ( ), , ,AB CD AC BD AD BC= =

thì ( ) ( ) ( )cotg , cotg , cotg , 0AB CD AC BD AD BC= = = .

• Suy ra các cặp cạnh đối của tứ diện ABCD vuông góc đôi một.

• Lúc này ta cũng có: 2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1

a a b b c c (Do x = y = z)

a.a b.b c.c + = + = +

= =

A1

B

C1 A

C

D B1

D1



• Suy ra { } { } { }1 1 1, , ,a a b b c c= = . Vì vậy phải có ít nhất một mặt của tứ diện ABCD là một tam giác đều. Từ đó ABCD là hình chóp tam giác đều.

Bài 9. Trong không gian cho ba tia , , Ox Oy Oz không đồng phẳng và ba điểm , , A B C ( khác điểm O ) lần lượt trên , , Ox Oy Oz .Dãy số (an) ( )na là một cấp số cộng có 1 0a > và công sai 0d > . Với mỗi số n nguyên dương, trên các tia , , Ox Oy Oz theo thứ tự lấy các điểm , , n n nA B C sao cho

1 2. ; . ; .n n n n n nOA a OA OB a OB OB a OC+ += = = .Chứng minh các mặt phẳng ( ), ,n n nA B C luôn luôn đi qua một đường thẳng cố định.


+ Phát biểu và chứng minh mệnh đề:

Nếu hai điểm ,X Y phân biệt. Điều kiện cần và đủ để điểm S thuộc đường thẳng XY là tồn tại cặp số thực , x y thỏa:

OS xOX yOYx y 1 = +

+ =

, với điểm O tùy ý.

+Từ giả thiết: ( )na là cấp số cộng công sai 0d > nên: n 1 nn 1 n

a aa a d 1d d+

+ = + − = .

+ áp dụng nhận xét trên, ta có:

n 1 nn n

a aOI OB OAd d+= −

thì n nI A B∈ .

và n n n 1 n n n 1OA a OA ; OB a OB ( do a ,a 0)+ += = >

Thế vào trên ta được: OB OA 1OI AB , n=1,2...d d d

= − = ∀

suy ra I cố định, nên đường thẳng n nA B

luôn đi qua một điểm cố định I .

+ Tương tự, chứng minh được:

• n nB B luôn đi qua một điểm cố định J xác định bởi: 1OJ BCd

=

.

• n nA C luôn đi qua một điểm cố định K xác định bởi: 1OK AC2d

=

Vậy các đường thẳng , , n n n n n nA B B C A C lần lượt đi qua ba điểm , , I J K cố định.

+Chứng minh ba điểm thẳng hàng:



Ta có: 1OI ABd

=

, 1OJ BCd

=

, 1OK AC2d

=

.

Do đó: 1 1 1 1OK AC (AB BC) (d.OI d.OJ) (OI OJ)2d 2d 2d 2

= = + = + = +

Vậy , , I J K thẳng hàng. Điều này chứng tỏ mặt phẳng n n nA B C luôn đi qua một đường thẳng cố định.

Bài 10. Trong không gian cho ba mặt phẳng cố định có một điểm chung duy nhất. M là một điểm của không gian, các đường thẳng đi qua M song song với hai mặt phẳng cắt mặt phẳng còn lại lần lượt tại

, , A B C . Biết 1998MA MB MC+ + = .Tìm tập hợp các trọng tâm của tam giác ABC . Hướng dẫn giải

+ Gọi O là giao điểm của 3 mặt phẳng. , , a b c là 3 giao tuyến . Dùng tính chất hình hộp và tính chất trọng

tâm, ta có: 2OM' OM

3

, với "M là trọng tâm của ABC∆ .

+ Tìm tập hợp các điểm M :

Ba mặt phẳng chia không gian làm 8 miền. Ta chỉ cần xét một miền: Gọi , , U V Ö thuộc , , a b c : 1998OU Ô OV= = = .

Chứng minh được: M thuộc miền trong tam giác UVÖ khi và chỉ khi: OM WxOU yOV zO

với 1+ + =x y z .

Mà 1998 1MA MB MC x y z+ + = ⇔ + + = .

Do đó: Tập các điểm M là miền trong của tam giác UVÖ .

_ U

_ C

_ V

_ M ' _ O

_ M

_ A

_ C _ B



Suy ra các điểm 'M ( trọng tâm của tam giác ABC ) là ảnh của miền trong tam giác UVÖ qua phép vị

tựtâm O tỉ 23

Bài 11. Cho hình chóp .S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có , AB a BC b= = , SA SB SC SD c= = = = . K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC . a/ Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK .

b/ Gọi , M N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD . Chứng minh: Các đường thẳng BM và MN vuông góc nhau.


a) + Theo giả thiết ta được: ( ) ( ) ( )SO ABCD SAC ABCD⊥ ⇒ ⊥ .

Mà ( )BK SAC⊂ và B BK AC BK SA⊥ ⇒ ⊥ .

+ Gọi H là hình chiếu của K xuống SA

HK SA⇒ ⊥ và HK BK⊥ ( vì ( )HK SAC⊂ )

⇒HK là đoạn vuông góc chung của SA và BK .

Suy ra được: BH SA⊥ và HBK∆ vuông tại K .

+ Do ABC∆ vuông đỉnh A nên: 2 2

22 2 2 2 2

1 1 1 a bBKBK AB BC a b

= + ⇒ =+

.

+ SAB∆ cân đỉnh S , BH là đường cao nên

22 ac .aSI.AB 4HB

SA c

−= =

+ Do HBK∆ vuông tại K nên:

_ D _ C

_ B _ A

_ S

_ O

_ K _ M

_ N



2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

(4c a )a a bHK HB BK4c a b−

= − = −+

2 2 2 4 2 2 2 2

22 2 2 2 2

(4c a b )a a (4c a b )HK HK4c (a b ) 2c (a b )− − − −

= ⇒ =+ +

b) + 2BM BA BK= +

( vì M là trung điểm của AK )

+ 1 1MN MB BC CN (AB KB) BC BA2 2

= + + = + + +

+ 1MN KB BC2

= +

.

+ Do đó:

4BM.MN (BA BK).(KB 2BC)

= BA.KB 2BA.BC BK.KB 2BK.BC

= BA.KB BK.KB 2BK.BC

= KB

= + +

+ + +

+ +

.(BA BK 2.BC)

= KB.(BA BC BK BC)

= KB.(CA CK) KB.CA KB.CK 0

+ −

− + −

+ = + =

Vậy: BK MN⊥ .

( Có thể tính và áp dụng định lý Pythagor).

Bài 12. Cho tứ diện ABCD cóhai cạnh đối bằng , b c và các cạnh còn lại bằng a . a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách từ một điểm tùy ý trong không gian đến các đỉnh của tứ diện.

b/ Giả sử tứ diện ABCD thay đổi vị trí trong không gian nhưng có ba đỉnh , , A B C lần lượt ở trên mặt cầu cố định và đồng tâm.Chứng minh rằng đỉnh D luôn ở trong một hình cầu cố định khi độ dài , , a b cthay đổi thỏa các giả đã cho.

Hướng dẫn giải a)

• Ta có thể giả sử , AD b BC c= = và các cạnh còn lại bằng a . Gọi , I J lần lượt là trung điểm của các cạnh

, AD BC . Ta dễ dàng suy ra I vuông góc với AD và

I

J

A

B

C

D

D’

A’

K0



BC và IJ chính là trục đối xứng của tứ diện.

• Lấy M tùy ý trong không gian, 'M là điểm đối xứng của M qua IJ suy ra trung điểm K của 'MM chính là

hình chiếu của M trên đường thẳng IJ và ta có:

• ( )2 ' ' ' 'MA MB MC MD MA MB MC MD M A M B M C M D+ + + = + + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'MA M A MB M B MC M C MD M D= + + + + + + +

( )2 2 2 2 1KA KB KC KD≤ + + + .

( Do tính chất: trung tuyến của một tam giác thì bé hơn nữa tổng

của hai cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của nó).

• Do đó: MA MB MC MD KA KB KC KD+ + + ≤ + + + • Bài toán trở thành tìm điểm K trên IJ sao cho KA KB KC KD+ + + bé nhất. • Trong mặt phẳng ( )BCI dựng hình thang ' 'BCD A sao cho IJ là trung điểm của hai đáy và

', 'IA IA ID ID= = . Ta thấy rằng: với K tùy ý trên I thì 'KA KA= và 'KD KD= . Do đó: ( ) ( )' ' ' ' ' 'KA KB KC KD KA KB KC KD KA KC KB KD A C BD+ + + = + + + = + + + ≤ + .

• Vậy KA KB KC KD+ + + nhỏ nhất khi K chính là giao điểm 0K của hai đường chéo 'A C và 'BD .

• Tính 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2c b c bIJ : IJ DJ ID DC JC ID a IJ a4 4 4 4

= − = − − = − − ⇒ = − − .

• Tính 2 2 2 2

2 2 2 2BC A 'D ' b c c b bcBD' : BD ' IJ a a2 2 4 4 2+ + = + = + − − = +

.

• Tổng các khoảng cách nhỏ nhất là: 2d 2BD' 4a 2bc= = + . b) • Gọi 1 2 3, , r r r là bán kính các mặt cầu tâm O và lần lượt đi qua các đỉnh , , A B C . Ta có: •

1 2 3OD OC DC OC AB OC OA OB r r r< + < + < + + = + + . Do đó D ở trong hình cầu cố định tâm O , bán kính 1 2 3R r r r= + + .

Bài 13. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. M là điểm di động trên BC . , P Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên , AB AC .Tìm tập hợp các điểm S không phụ thuộc mặt phẳng ( )ABC sao cho:

( ) ( ) ( ), , ,g SA PQ g SP AQ g SQ AP= = .

( ký hiệu ( ),g a b là góc giữa hai đường thẳng , a b )

Hướng dẫn giải + Với tứ diện ABCD ta chứng minh:



( ) ( ) ( ), , ,g AB CD g AD BC g AC BD AB CD= = ⇔ ⊥ và , AD BC AC BD⊥ ⊥ .

Thật vậy ta có đẳng thức: AB.CD AC.DB AD.BC 0+ + =

. Từ đó nếu:

( ) ( ) ( ), , ,g AB CD g AD BC g AC BD ϕ= = = thì ( )1 2. . . os 0AB CD AC DB AD BC cε ε ϕ+ + =

Với 1 2, ε ε nhận giá trị1 hay 1− . Mặt khác ta có bất đẳng thức đối với các cạnh của tứ diện là:

1 2. . . 0AB CD AC DB AD BCε ε+ + ≠ , nên 090ϕ = .

+ ( ) ( ) ( ) 0, , , 90g SA PQ g SP AQ g SQ AP= = = khi và chỉ khi hình chiếu S lên ( )ABC là trực tâm tam giác

APQ .

+ Đặt BM tBC

= . Gọi , E F là hình chiếu của B và C lên , AC AB . Ta có:

MH MP MQ MB BP MC CQ= + = + + +

mà ta có:

BP tBE, CQ (1 t)CE, MB (1 t)BC, BH BM MH tBF (1 t)BE= = − = − = + = + −

+Suy ra: EH BH BE tEF= − =

. Tập hợp các điểm H là đoạn EF .

Vậy tập hợp các điểm S là dải mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng , a b lần lượt đi qua , E F và vuông góc

mặt phẳng ( )ABC .

Bài 14. Cho tứ diện đều ABCD . Mặt phẳng ( )P chứa cạnh BC và cắt cạnh AD của tứ diện tại E . Gọi

, x y lần lượt là góc tạo bởi ( )P với các mặt phẳng ( )BCD và ( )ABC

a, cm ( ) 1os3

c x y+ =

b, Cho 5 2tan7

x = . Tính tỉ số thể tích 2 tứ diện ABCE và BCDE

Bài 15. Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình thang ( )AD BC và 2AD BC= . Gọi , M N lần

lượt là trung điểm của , SA SB . Mặt phẳng ( )DMN cắt SC tại P . Tính tỉ số CPCS

.

Bài 16. Cho tam giác đều ABC :

1. M là điểm nằm trong tam giác sao cho 2 2 2MA MB MC= + . Hãy tính góc .BMC



2. Một điểm S nằm ngoài mặt phẳng ( )ABC sao cho tứ diện SABC đều, gọi , I K là trung điểm

của các cạnh AC và SB . Trên đường thấng AS và CK ta chọn các điểm , P Q sao cho

// PQ BI . Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1.

Bài 17. Trong mặt phẳng ( )α cho đường tròn ( )C Đường kính AB cố định và điểm M di động trên ( )C . Gọi S là điểm cố định trên đường thẳng vuông góc với mp ( )α tại A . Hạ các đường , AI AJ lần lượt vuông góc với SM và SB .

2.1 Chứng minh rằng IJAI ⊥ .

2.2 Tìm quỹ tích của điểm I khi M di động trên ( )C .

Bài 18. Cho hình lập ph ương .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ cạnh a . a. Tính góc giữa hai đ ường thẳng AC′ và A B′ . b. Gọi M , N , P lần l ượt là các điểm thuộc các cạnh A B′ ′ , BC , DD′ sao cho A M BN DP′ = = .

Chứng minh rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc một đ ường thẳng cố đị nh khi M , N , P thay đổi.

Bài 19. Cho hình lăng trụ 1 1 1 1.ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thoi ,M N lần lượt là trung điểm của

1BB và CD . Mặt phẳng ( )1A MC cắt AB tại E .

a. Chứng minh tam giác ACE là tam giác vuông.

b. Mặt phẳng ( )1A MN cắt 1CC tại K . Tính tỉ số 1

KCKC

.

Bài 20. Cho lăng trụ đứng 1 1 1.OAB O A B có đáy là tam giác vuông cân tại O , OA OB a= = , 1 2AA a= . Gọi M là trung điểm của OA .

a. Xác định thiết diện giữa lăng trụ và mặt phẳng ( )P đi qua M , vuông góc với 1A B .

b. Tính diện tích thiết diện vừa tìm được theo a .

Bài 21. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với AC và chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng

( )BCD là trực tâm của tam giác BCD . Chứng minh rằng ( ) ( )2 2 2 26BC CD DB AB AD AC+ + ≤ + + .

Bài 22. Cho tứ diện ABCD . Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm , , ,AB AD CD BC . a. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. Tìm điều kiện của tứ diện để MNPQ là hình thoi.

b. Mặt phẳng α đi qua N và song song với ,AB CD . Xác định thiết diện của ( )α và tứ diện ABCD .

Thiết diện là hình gì?



Hướng dẫn giải 1/ (1,5 điểm)

* //

////

MN BDMN PQ

PQ BD⇒

* Tương tự MQ // NP

Kết luận: Tứ giác MNPQ là hình bình hành

* MNPQ là hình thoi khi AC = BD

0,5

0,5

0,25

0,25

0,5

2 / (1 điểm)

( ) ( )( ) ( )

* //

* //

ABD NE NE AB

ACD NF NF CD

α

α

∩ = ⇒

∩ = ⇒

⇒ Thiết diện là tứ giác NEQF

* Tứ giác NEQF là hình bình hành

0,25

0,25

0,25

0,25

Bài 23. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a ( 0a > ). Cạnh SA vuông góc với

đáy và 3SA a= . M là một điểm khác B trên SB sao cho AM MD⊥ . Tính tỉ số SMSB

.


B

C

D

A

M

Q

N

P

FE

A

D

B

C

S

H



Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ nh ư hình vẽ. Suy ra ta có: ( )0;0;0=A , ( )2 ;0;0=D a ,

( )0;0; 3S a= và 3; ;0

2 2a aB

. Suy ra ph ương trình của SB là

2 2 33 3

x y z aa a a

−= =

−

Gọi ( )0 0 0; ;M x y z thuộc cạnh SB , ta có:

0 0

0 0

3

3 2 3

y x

z a x

=

= −.

Mặt khác AM DN⊥ ⇔ . 0AM DM =

2 2 20 0 0 0 0

32 08ax ax y z x⇔ − + + = ⇔ =

3 3 3 3 3; ;8 8 4 4a a aM SM SB

⇔ ⇒ =

hay 34

SMSB

=

Bài 24. Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và các cạnh bên có độ dài bằng nhau. Một mặt phẳng )(α thay đổi và luôn cắt các cạnh bên của chóp, gọi giao điểm của )(α với các cạnh bên , , ,SA SB SC SD lần lượt là , , ,M N P Q . Đặt x SM= , y SN= , z SP= , t SQ= . Chứng

minh rằng: tyzx1111

+=+ .

Bài 25. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , c ạnh bằng a , m ặt bên SAB là tam

giác đ ều và mp ( )SAB vuông góc v ới mp( )ABCD .

a. Tính các kho ảng cách: ( ),d O SBC , ( ),d A SCD , ( ),d AC SB .

b. Xác đ ịnh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiế .S ABCD .

c. M ặt phẳng ( )P ch ứa AB và vuông góc v ới mặt phẳng ( )SCD c ắt hình chóp

thi ết diện hình gì? Tính di ện tích thiết diện theo a . Bài 26. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông góc với mặt phẳng

( )ABC và 3SA a= . Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC , H là hình chiếu vuông góc của điểm

O lên mặt phẳng ( )SBC . 1/. Chứng minh rằng : H là trực tâm của tam giác SBC .

2/. Tính góc giữa đường thẳng OH và mặt phẳng ( )ABC .




1/. Gọi M là trung điểm của cạnh BC .

Do ABC∆ đều, G là trọng tâm của ABC∆ nên ta có AM BC⊥ .

Do ( )SA ABC⊥ nên AM là hình chiếu vuông góc của SM lên ( )ABC .

Theo Định lí ba đường vuông góc ta có SM BC⊥ .

Mặt khác do H là hình chiếu vuông góc của O lên ( )SBC nên OH BC⊥ và OM BC⊥ Suy ra HM BC⊥ .

Suy ra SH BC⊥ (1)

* Do ABC∆ đều nên ta có CO AB⊥

Do ( )SA ABC⊥ nên SA OC⊥ .

Từ đó suy ra ( )OC SAB⊥ .

Suy ra SB OC⊥ .

Mặt khác ( )OH SBC OH SB⇒⊥ ⊥

S

A

K

O

B

C

H

2a

3a

M



Từ đó ta có ( )SB COH⊥ .

Suy ra CH SB⊥ (2)

Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của SBC∆ .

2/. Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm A lên ( )SBC .

Do đó ta có //OH AK .

Ta có đường thẳng AM là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AK lên ( )ABC .

Vì vậy góc giữa đường thẳng OH và ( )ABC bằng góc giữa đường thẳng AK và ( )ABC bằng góc giữa hai

đường thẳng ( ),AK AM bằng góc KAM .

Do

090KAM AMS+ = và

090ASM AMS+ = nên SMKAM A=

Xét SAM∆ vuông tại A có 3AM a= , 3SA a= .

Suy ra

03tan SM tan SM SM 30S 3

AMA A AA

= ⇔ = ⇔ =

Từ đó ta có góc ( )( ) 0, 30OH ABC = .

Kết luận: ( )( ) 0, 30OH ABC = .

Bài 27. Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một ; ;AB CD AC BD AD BC= = = . Chứng minh với mọi điểm M trong không gian ta đều có:

2 2 2 2 MA MB MC MD+ + ≥ Bài 28. Cho hai đường thẳng ,d d ′ chéo nhau và vuông góc với nhau nhận OI làm đường vuông góc

chung ( O thuộc d và I thuộc d ′ ). Trên d lấy điểm A cố định, trên d ′ lấy hai điểm ,M N di động sao cho mặt phẳng ( ),d M vuông góc với mặt phẳng ( ),d N . a/. Chứng minh trực tâm tam giác AMN cố định. b/. Xác định ,M N để diện tích tam giác AMN là nhỏ nhất.

Bài 29. Cho tứ diện .S ABC có 1SA SB SC= = = , mặt phẳng ( )P đi qua trọng tâm M của tứ diện, cắt cạnh , ,SA SB SC lần lượt tại , ,D E F (khác S ).

Chứng minh rằng: 1 1 1 14

SM SD SE SFSD SE SF

= + +

.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 1 1 1. . .SD SE SE SF SF SD

+ + .



Bài 30. Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2,AB a BC a= = và 2SA SB SC SD a= = = = . Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và H là hình chiếu

vuông góc của K trên SA . 1/. Chứng minh rằng SA BK⊥ . 2/. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( )BKH .

Bài 31. Cho góc tam diện Sxyz thỏa mãn góc

0 0121 ; 59xSy xSz= = . Trên tia Sx lấy điểm A sao cho

SA a= cho trước. Trên tia phân giác của góc xSy lấy điểm B thỏa mãn 3SB a= . Tính các góc của tam giác SAB .

Bài 32. Cho hình thang vuông ABCD có 090A D= = , 2 , , 3AB a CD a AD a= = = và M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng AD . 1/. Xác định vị trí của điểm M để hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau. 2/. Lấy điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với ( )mp BCD tại M sao cho SM AM= , xét mặt

phẳng ( )P qua điểm M và vuông góc với SA . Mặt phẳng ( )P cắt hình chóp SABCD theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích của thiết diện theo ,a x biết x AM= và 0 3x a< ≤ ?.

Bài 33. Cho tứ diện ABCD có các đường cao ', ', ', ' AA BB CC DD đồng qui tại một điểm thuộc miền trong của tứ diện. Các đường thẳng ', ', ', ' AA BB CC DD lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo

thứ tự tại 1 1 1 1, , ,A B C D . Chứng minh:

1 1 1 1

83

AA BB CC DDAA BB CC DD

′ ′ ′ ′+ + + ≥

Bài 34. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. ,M N lần lượt là trung điểm của AB , SC . a/. Tìm giao tuyến của ( )SMN và ( )SBD .

b/. Tìm giao điểm I của MN và ( )SBD , tính tỷ số MIMN

.


S

A

B C

D

M

N

K

I

J



a/. Trªn ( )ABCD gäi K lµ giao ®iÓm cña MC vµ BD .

Ta cã: S lµ ®iÓm chung thø nhÊt cña 2 mp ( )SMN vµ ( )SBD .

MÆt kh¸c:

- K BD∈ nªn ( ) K SBD∈

- C SN∈ nªn ( ) C SMN∈ do ®ã ( ) MC SMN⊂ .

- K MC∈ nªn ( ) .K SMN∈

⇒ K lµ ®iÓm chung thø 2 cña 2 mp ( )SMN vµ ( )SBD .

VËy: giao tuyÕn cña ( )SMN vµ ( )SBD lµ SK .

b/. Trªn ( )SMN gäi I lµ giao ®iÓm cña SK vµ MN .

Ta cã: I SK∈ , mµ ( ) SK SBD⊂ nªn ( ) I SBD∈ .

VËy I lµ giao ®iÓm cña MN vµ ( )SBD .

Gäi J lµ trung ®iÓm cña SK th× JN lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c SKC nªn 1//2

JN KC= .

MÆt kh¸c dÔ thÊy K lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn 12

MK KC= . Do ®ã: //JN MK= .

Suy ra: 1IM MKIN JN

= = nªn : 12

MIMN

= .

Bài 35. Cho hình thoi ABCD có 60 , 2 .oBAD AB a= = Gọi H là trung điểm AB . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD tại H lấy điểm S thay đổi khác H . Trên tia đối của tia BC

lấy điểm M sao cho 1 .4

BM BC=

a/. Khi 3 .2

aSH = Chứng minh đường thẳng SM vuông góc với mặt phẳng ( )SAD .

b/. Tính theo a độ dài của SH để góc giữa SC và ( )SAD có số đo lớn nhất.




a/. Ta có

01 1 , 604 2 2

aMB BC HB HBM HAD= = = = =

HBM⇒ ∆ vuông tại M .

3.sin 60 .2

o aHM HB⇒ = =

Gọi N là giao của HM và AD .

Ta có: 32

aHN HM SH= = = SMN⇒ ∆ vuông tại S .

( ( ))( )

( / / )SH AD SH ABCD

AD SMN AD SMMN DA AD BC

⊥ ⊥⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥

Kết hợp với ( )SM SN SM SAD⊥ ⇒ ⊥ b/. Gọiϕ là góc giữa SC và ( )SAD ; K là hình chiếu vuông góc của H lên SN ; I là giao của HC với AD . Lấy E đối xứng với I qua K .

Vì ( )AD SMN AD HK⊥ ⇒ ⊥ . Kết hợp với ( )HK SN KH SAD⊥ ⇒ ⊥ .

Mà HK là đường trung bình của tam giác ICE nên //HK CE .

A

S

B C

D

H

M

K

I N



Suy ra ( )CE SAD⊥ tại E . Suy ra SEC∆ vuông tại E và SE là hình chiếu của SC trên ( )SAD . Ta có CSEϕ = .

Đặt ( 0)x SH x= > . Tam giác SHN vuông tại H và HK là đường cao nên

2 2 2 2

. 3 2 33 4 3 4

SH HN ax axHK CESN a x a x

= = ⇒ =+ +

.

2 22 2 2 225 3 7

4 4a aCH CM MC a= + = + =

Tam giác SHC vuông tại H nên 2 2 2 27SC SH CH x a= + = + .

2 2 2 2 4 4 2 2

2 3 2 3sin(4 3 )( 7 ) (4 21 ) 31

EC ax axSC x a x a x a a x

ϕ = = =+ + + +

.

2 2 2 2

2 3 12sin sin .4 21 314 21. 31.

ax

a x a xϕ ϕ⇒ ≤ ⇒ ≤

++

Dấu đẳng thức xảy ra khi 421.4

x a= .

Vậy ϕ lớn nhất khi và chỉ khi sinϕ lớn nhất khi và chỉ khi 421. .4

SH a=

Bài 36. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

( )ABCD là trung điểm H của cạnh AB . 0 360 , 2 , .2

aBAD AB a SH= = = Trên tia đối của tia

BC lấy điểm M sao cho 1 .4

BM BC=

a/. Tính côsin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( )ABCD .

b/. Chứng minh rằng đường thẳng SM vuông góc với mặt phẳng ( )SAD .


A

S

B C

D

H

M

N www.thuvienhoclieu.com Trang 24


a/. Vì H là hình chiếu của S trên ( )ABCD nên

góc giữa SD và ( )ABCD là SDH

( vì tam giác SDH vuông tại H nên SDH nhọn) Tam giác ABD đều cạnh 2a nên 3DH a=

Ta có 2 2 15 .2

aSD SH HD= + =

Trong tam giác SHD ta có:

2os .5

DHc SDHSD

= =

b/. Ta có

01 1 , 604 2 2

aMB BC HB HBM HAD= = = = =

HBM⇒ ∆ vuông tại M .

3.sin 60 .2

o aHM HB⇒ = =

Gọi N là giao của HM và AD . Suy ra 32

aHN HM SH= = = SMN⇒ ∆ vuông tại S .

( ( ))( )

( / / )SH AD SH ABCD

AD SMN AD SMMN DA AD BC

⊥ ⊥⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥

Kết hợp với ( )SM SN SM SAD⊥ ⇒ ⊥ Bài 37. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy.

3, .SA a AB BC a= = = Gọi H là hình chiếu của A trên SB . a/. Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng ( )SAB . b/. Tính độ dài đoạn thẳng HC theo a .


S

A

B

C

H



a/. Ta có BC AB⊥ (Vì ABC vuông tại B ) (1)

BC SA⊥ (Vì ( )SA ABC⊥ ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ( )BC SAB⊥ .

b/. Ta có AH SB⊥ (theo giả thiết) (3)

( )(4)

( )BC SAB

BC AHAH SAB

⊥⇒ ⊥ ∈

Từ (3) và (4) suy ra ( )AH SBC AH HC⊥ ⇒ ⊥ hay tam giác AHC vuông tại H .

Tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao nên 2

22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4 3 .3 3 4

aAHAH SA AB a a a

= + = + = ⇒ =

Tam giác ABC vuông tại B nên 2 2 2 22 .AC AB BC a= + =

Do đó, 2 2 5 .2

aHC AC AH= − =

Bài 38. Cho hình chóp ABCD , M là điểm nằm trong hình chóp. Kéo dài DM cắt mặt phẳng ( )ABC tại N. Chứng minh: a) ADN BDN CDN ADB BDC CDA+ + < + + 3DMA DMB DMC AMB BMC CMA π+ + + + + > Bài 39. Cho tứ diện ABCD . Gọi , , , , ,M N P Q R S lần lượt là trung điểm của , ,DA DB , , , .DC BC CA AB a) Tính góc giữa AB và CD biết 2AB CD a= = , 3MQ a= .

b) Giả sử MQ NR SP= + . Chứng minh rằng:

cos cos cosDA DB DCBDC CDA ADB

= =

Bài 40. Cho hình lập phương ’ ’ ’ ’ABCDA B C D . Một mặt phẳng ( )P bất kì đi qua ’BD và cắt cạnh ’AA ở E , cắt cạnh ’CC ở F .



a) Chứng minh rằng tứ giác ’BED F là hình bình hành và ’A E CF= .

b) Tìm E để diện tích tứ giác ’BED F đạt GTNN.

Bài 41. Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng tam giác ABC tại A . Trên d lấy điểm N và điểm M sao cho BN vuông góc với CM . a) Chứng minh rằng . . .BM CN BACA AN AM= +

.

b) Tìm điều kiện cần và đủ để , M N nằm cùng phía đối với A trên đường thẳng d .

Bài 42. Cho hình chóp đáy là đa giác đều .S ABCD . M cố định trên SC . Mặt phẳng ( )α quay quanh trục AM cắt , SB SD tại , .P Q

a) Xác định mặt phẳng ( )α để diện tích tứ giác APMQ nhỏ nhất.

b) Cho 1; 3AB SA= = ; 2 3 3

CM = . Tính diện tích tứ giác SPMQ .

Bài 43. Cho tứ diện ABCD có ; ; .AB CD c AD BC b AC BD a= = = = = = Gọi 1A , 1C lần lượt là trọng tâm của các mặt đối diện với đỉnh A và đỉnh C . a) Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 3AA CC a c b⊥ ⇔ + = .

b) Gọi AH là đường cao của tứ diện, H thuộc mặt phẳng ( ) ,BCD 1H là trực tâm BCD∆ . Kéo dài 1CH cắt

BD tại K . Chứng minh 21 14 .AH CH H K= .

Bài 44. Cho 2 đường thẳng , ’∆ ∆ chéo nhau và vuông góc với nhau. Gọi AB là đường vuông góc chung ’( .), A B∈∆ ∈∆ M và N là 2 điểm di động trên ’∆ sao cho 090MAN∠ = không đổi. I là điểm cố định

trên ∆ . a) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác MIN cố định. b) Tìm tập hợp hình chiếu K của M trên IN .

Bài 45. Cho góc tam diện vuông Oxyz , tia Ot bất kì nằm trong góc tam diện. Gọi , ,α β γ theo thứ tự là góc hợp bởi tia Ot với các tia , , .Ox Oy Oz

Chứng minh rằng: 2cot .cot .cot4

g g gα β γ ≤

Bài 46. Chứng minh rằng nếu một tứ diện MNPQ thỏa mãn điều kiện MN vuông góc với PQ và MP vuông góc với NQ thì MQ vuông góc với NP . Bài 47. Cho hình chóp .S ABCD . đáy ABCD là hình bình hành, AC cắt BD tại H và: ;ASB CSD BSC DSA= = . Chứng minh: SH vuông góc với mặt phẳng ( ).ABCD Bài 48. a)Cho tứ diện ABCD và M là Một điểm nằm trong BCD∆ . Chứng minh: MAB MAC MAD BAD DAC CAB+ + ⟨ + +



b)Gọi S và R là tổng độ dài các cạnh và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Hỏi tứ diện nào có tỉ số SR

lớn

nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Hướng dẫn giải

a) Gọi K là giao điểmcủa BM và CD , ta có :

MAB MAC MAB MAK KAC KAB KAC+ ⟨ + + = + KAB KAC BAD DAK KAC BAD DAC+ ⟨ + + = + Hay : MAB MAC BAD DAC+ ⟨ + (1)

tương tự : MAB MAD BAC CAD+ ⟨ + (2)

MAD MAC DAB BAC+ ⟨ + (3)

Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có đpcm. �

b) Gọi G và O lần lượt là trọng tâm và tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ta có :

( )( )

22

2 2 2 2 2 26 (1)

S BC CA AB DA DB DC

BC CA AB DA DB DC

= + + + + +

≤ + + + + +

Mặt khác ta có :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 22

2 2 2

16

16 16 16 (2)

BC CA AB DA DB DC OC OB OA OC OB OA

OA OD OB OD OC OD R OA OB OC OD

R OG R

+ + + + + = − + − + − +

+ − + − + − = − + + + =

= − ≥

Từ (1) và (2) 2 26.16S R⇒ ≤ hay 4 6SR≤ . đẳng thức xảy ra

BC CA AB DA DB DCG O

= = = = =⇔ ≡

ABCD⇔ là tứ diện đều.

Và khi đó (max) 4 6.SR

=

Bài 49. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , ( )SA ABCD⊥ và độ dài SA a= . Một mặt phẳng đi qua CD cắt cạnh , SA SB lần lượt ở ,M N . Đặt AM x= .

a)Tính diện tích tứ giác MNCD theo , a x .

b) Xác định x để thể tích hình chóp .S MNCD bằng 29

lần thể tích hình chóp .S ABCD .


A



a) Gọi K là giao điểm của AE và MN ; H là giao điểmcủa AC và BD . Áp dụng định lý cosin trong tam

giác ACE ta có : 2 2AE AC AE= ⇒ = = .

090 2 .MEN BCD MN EK⇒⇒ = = =

Theo Tính chất đường phân giác SK trong SAE∆ ta có :

24 4

AEEK = = .

12AMENS⇒ = .

b) Gọi hình chóp đều đó là .S ABCD , vì thiết diện cắt tất cả các mặt bên nên các đỉnh , , , ,K M L N P của ngũ giác đều nằm trên các cạnh , , , ,AB SB SC SD AD tương ứng

Không mất tính tổng quát, hình chiếu trên mặt phẳng vuông góc với cạnh BC .(xem hình 3)

Giả sử ’ ’ : ’ ’ .B K A B p=

VÌ ’ ’ / / ’ ’; ’ ’ / / ’ ’M K N P M P K L nên

’ ’ : ’ ’ ’ ’ : ’ ’ ’ ’ : ’ ’ .B M B S A P A S S N A S p= = =

( )2’ ’ : ’ ’ 1 ’ ’ : ’ ’ 1P S A S p S N A S p⇒ = − ⇒ = −

(vì ’ ’ / / ’ ’M N L P )

( )2’ ’ : ’ ’ 1 .p S N A S p⇒ = = − 1 3 0p− ≠ 2 3 1 3 0 52

p p p⇒ − + =−

⇔ = .

Giả sử 1; 2 .SA ASB a= = Ta có : 2 2 2(1 ) 2 (1 )cosNP p p p p α= + − − − và 2 2 24(1 )sin 2 4 (1 )sin 2KP p p p pα α= + − − − ( 2cos 2 1 2sinα α= − )

21 3 4(1 3 )sinp p α⇒ − = − (Do 1 3 0p− ≠ )

⇔ 2 01sin 304

α α= ⇒ = . Vậy mặt bên của hình chóplà tam giác đều.

Bài 50. a) Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD . Trên cạnh SC lấy điểm E . Thiết diện tạo thành do mặt phẳng đi qua AE và song song với BD cắt ,SB SD lần lượt tại , .M N

Tính diện tích thiết diện đó khi cho cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 3 và 2 33

CE = .

S

L

N

M

K

P

S’

N’

M’

Hình 3



b) Giả sử thiết diện của hình chóp tứ giác đều là một ngũ giác đều. Hãy chứng minh rằng mặt bên của hình chóp này là các tam giác đều.

Bài 51. Cho hình chóptam giác đều .S ABC , cạnh đáy bằng a và mỗi mặt của góc tam diện đỉnh S bằng 030 . a. Hỏi phải cắt hình chóp bằng một mặt phẳng đi qua A như thế nào để thiết diện tam giác ’ ’AB C

’ , ’( )B SB C SC∈ ∈ thu được có chu vi nhỏ nhất. b. Tính giá trị chu vi nhỏ nhất đó theo a .

Bài 52. Cho lăng trụ .ABC A B C′ ′ ′ . Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho 12

AM AB= . Gọi E là

trung điểm AC . a)Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng ( )MEB′ .

b) Gọi ( ) ( ),D BC MEB K AA MEB′ ′ ′= ∩ = ∩ . Tính tỉ số CDCB

và'

AKAA

.

Hướng dẫn giải +) Xác định được điểm D và suy ra hai giao tuyến DE và DD′

+) Xác định được điểm K ; suy rađược đoạn giao tuyến EK và ’KB

+) Kết luận thiết diện là tứ giác ’DEKB

b,(1,25)

+) Xét tam giác ’MBB có 1 1' 3 ' 3

AK MA AKBB MB AA

= = ⇒ =

+) Trong ( ).ABC Dựng ( )/ /EN AB N BC∈ , khi đó 12

EN AB=

+) Xét tam giác DBM có: 1 13 2

DN NE DN BNDB BM

= = ⇒ =

Suy ra D là trung điểm CN . Vậy 14

CDCB

=

Bài 53. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang / /AD BC và AD BC> . Gọi , ,M N E lần lượt là trung điểm của , ,AB CD SA . a)Chứng minh rằng: ( ) ( )/ /MNE SBC .

b) Chứng minh: ( )/ /SC MNE và AF không song song với ( )SBC .

c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ( )MNE . Thiết diện là hình gì?



Bài 54. Trong mặt phẳng ( )P cho đường tròn tâm O bán kính R và 1 điểm A cố định trên ( ).O Tứ giác

ABCD biến thiên nội tiếp trong ( ).O sao cho 2 đường chéo luôn vuông góc với nhau. Trên đường thẳng d

vuông góc với mặt phẳng ( )P tại A lấy1 điểm S . Nối S với , , , .A B C D a. Chứng minh 2 cạnh , BD SC vuông góc với nhau.

b. Nêu cách xác định điểm I cách đều 5 điểm , , , , .A B C D S

c. Tứ giác ABCD là hình gì để diện tích của nó lớn nhất. Tìm GTLN đó theo R


a, Vì ( )SA P⊥ nên AC là hình chiếu của SC trên mp ( )P

H

A B

C

D

d

S

O

d’

I

K

P



Theo gt AC BD⊥ nên theo định lí 3 đường vuông góc ta có SC BD⊥ .

b, Cách dựng:

Qua O kẻ đường thẳng ’d vuông góc với mp ( )P .

Dựng mp ( )Q là mp trung trực của SA .

Giao của mp ( )Q và đường thẳng ’d là điểm I cần xác định

CM:

Vì 'I d∈ nên I cách đều , , ,A B C D .

Vì ( )I mp Q∈ nên I cách đều S và A .

Vậy điểm I vừa dựng cách đều 5 điểm , , , ,A B C D S .

c, 1 .2ABCDS AC BD=

. Kẻ OH AC⊥ tại H . Kẻ OK BD⊥ tại K

Ta có 2 2 2 22 2AC AO OH R OH= − = −

2 2 2 22 2BD BO OK R OK= − = −

Để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất thì độ dài AC và BD lớn nhất khi và chỉ khi 0OH OK= =

H OK O≡

⇒ ≡

Vậy tứ giác ABCD là hình vuông. Khi đó 21 .2 .2 22ABCDS R R R= =

Bài 55. Cho hình vuông cạnh a tâm O . gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng ( )ABCD sao cho SB SD= ,

M là điểm tùy ý trên AO với AM x= . Mặt phẳng ( )α qua M và song song SA và BD cắt , ,SO SB AB lân lượt tại , ,N P Q . a)Tứ giác MNPQ là hình gì? b) SA a= . Tính diện tích MNPQ theo a và x . Tìm x để diện tích lớn nhất. Bài 56. Cho hình lập phương .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ cạnh a .



a) Tính góc giữa hai đường thẳng AC′ và A B′ .

b) Gọi , , M N P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh , ,A B BC DD′ ′ ′ sao cho A M BN DP′ = = . Chứng minh rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc một đường thẳng cố định khi , ,M N P thay đổi.

Bài 57. Cho hình chóp cố định .S ABC có các góc tam diện đỉnh A ba mặt vuông. Hình lăng trụ .AMN A M N′ ′ ′ thay đổi sao cho ( )/ / ;MN BC M AB N AC∈ ∈ ; các điểm , ,A M N′ ′ ′ lần lượt thuộc

, ,SA SB SC . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối lăng trụ .AMN A M N′ ′ ′ theo thể tích khối chóp .S ABC Bài 58. Cho hính chóp .S ABC có SA SB AB AC a= = = = ,diện tích tam giác SBC là 0S .Gọi M là điểm di động trên SB , N là trung điểm của BC . Biết AN vuông góc với mặt phẳng ( )SBC . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN theo a và 0S . Bài 59. Cho hình chóp OABC . Xét các điểm 1 1 1, ,A B C theo thứ tự thuộc các cạnh , ,OA OB OC sao cho

1 1 1

3OA OB OCOA OB OC

+ + = . Chứng minh rằng khi các điểm 1 1 1, ,A B C thay đổi thì mặt phẳng 1 1 1( )A B C đi qua một

điểm cố định. Bài 60. Cho hình hộp 1 1 1 1ABCDA B C D . Hãy xác định các điểm ,M N theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng

1AC và 1 1B D sao cho MN song song với 1A D . Bài 61. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết , , 2 ,SA a AB a BC a= = = cạnh bên SA vuông góc với ( ).mf ABCD

a)Tính góc giữa các mặt phẳng ( )SBC và ( )SCD với ( )ABCD .

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD .Tính khoảng cách từ O đến ( ).mf SCD

Hướng dẫn giải Hình vẽ ;

a).



Góc giữa ( )SCD với ( )ABCD chính là góc SDA

Góc giữa ( )SBC với ( )ABCD là góc SBA

Ta có

1tan2

SDA =

tan 1SBA =

b). Từ A kẻ ( )AJ SD AJ mf SDC⊥ ⇒ ⊥ . Nối CJ và từ O kẻ ( )/ / .OI AJ OI mf SCD⇒ ⊥

Vậy OI chính là khoảng cách cần tìm

Ta có 12

OI AJ= ; 2 2 2

1 1 1AJ SA AD

= +

Từ đó ta có kết quả ; 55

OJ a=

Bài 62. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên 2SA a= vuông góc với mặt đáy ( )ABCD .

a) Gọi M là trung điểm SD . Tính góc giữa SA và CM .

b) Xác định thiết diện của hình chóp .S ABCD cắt bởi mp ( )α đi qua A và vuông góc với SC . Tính diện tích của thiết diện đó.

Bài 63. Cho hình tứ diện ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt bên DBC là tam giác cân đỉnh D , cạnh bên DBC tạo với mặt đáy một góc bằng 060 . a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC .

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng ( )ABC .Chứng minh H nằm trên

trung tuyến AM của tam giác ABC . Tính DH , biết tam giác HBC vuông.

c) Gọi E là trung điểm AC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ( )mp P đi qua E và

vuông góc với AB . Bài 64. Cho tứ diện ABCD có AB CD a= = , AC BD b= = , AD BC c= = . M là điểm tùy ý trên cạnh AB , ( )P là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt , ,BC CD DA lần lượt tại , , .N P Q Tìm vị trí của M và điều kiện của , ,a b c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó. Bài 65. Cho tứ diện ABCD . Tìm M trong không gian sao cho 2 2 2 2MA MB MC MD+ + + đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 66. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm SC . 1) Tìm giao điểm F của đường thẳng SD và mặt phẳng ( ).ABM



2) Gọi I là giao điểm của AM và SO . Chứng minh ba điểm , ,B I F thẳng hàng

3) Tính tỉ số BFBI

I

F M

O ̀

B A

D C

S

1) Trong mp ( )SDC dựng đường thẳng qua M song song với CD cắt SD tại F , suy ra F là trung điểm

của SD

Do MF CD

MF ABAB CD

⇒

Suy ra F thuộc mp ( ). ABM

2) Ta có BI là giao tuyến của ( )ABM và mp ( ). SBD

Mặt khác( ) ( )

( ) ( )F SD SBD F SBDF ABM F ABM∈ ⊂ ∈

⇒ ∈ ∈ suy ra F nằm trên giao tuyến của mp ( )SBD và mp ( ). ABM

Vậy , ,B I F thẳng hàng.

3) Xét tam giác SBD có I là trọng tâm nên 32

BFBI

= .



Bài 67. Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2,AB a BC a= = và

2 .SA SB SC SD a= = = = . Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và H là hình chiếu vuông góc

của K trên SA .

a)Tính độ dài HK theo a .

b)Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng ,AK CD . CMR các đoạn thẳng BM và MN vuông góc

với nhau.

Bài 68. (HSG Nghệ An 2016) Cho hình thoi ABCD có BAD=60 , 2 .=o AB a Gọi H là trung điểm AB . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD tại H lấy điểm S thay đổi khác H . Trên tia đối của

tia BC lấy điểm M sao cho 14

=BM BC .

a) Khi 32

aSH = . Chứng minh đường thẳng SM vuông góc với mặt phẳng ( )SAD .

b) Tính theo a độ dài của SH để góc giữa SC và ( )SAD có số đo lớn nhất.

Hướng dẫn giải Bài 69. (HSG Hà Tĩnh 2008) Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn 2AD a= , đáy nhỏ BC a= , các cạnh bên AB CD a= = . Trên nửa đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD lấy điểm S (không trùng với

A). Mặt phẳng ( )P đi qua điểm A và vuông góc với SD cắt các cạnh , , SB SC SD tại 1 1 1, ,B C D .

a. Chứng minh rằng: 1 1 1AB C D là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.

b. Khi điểm S chạy trên nửa đường thẳng At , chứng minh đường thẳng 1 1C D đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn giải Bài 70. (HSG Nghệ An Bảng B 2016) Cho hình chóp tam giác .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ( )ABC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB , H là hình chiếu vuông góc của C lên SB .

a) Chứng minh đường thẳng SB vuông góc với mp ( )HCM .

b) Biết góc tạo bởi đường thẳng AB và mp ( )HMC bằng 300. Tính diện tích tam giác HMC .



Bài 71. (HSG Quảng Bình 2011) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi , I J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và DBC . Mặt phẳng ( )α qua IJ cắt các cạnh , , , AB AC DC DB lần lượt tại các điểm

, , , M N P Q với AM = x , AN = y ( 0 ,< <x y a ). a) Chứng minh , , MN PQ BC đồng qui hoặc song song và MNPQ là hình thang cân.

b) Chứng minh rằng: ( ) 3+ =a x y xy . Suy ra: 4 33 2≤ + <

a ax y .

c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và = +s x y .

Bài 72. (HSG Vĩnh Phúc 2011) Cho hình hộp .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ có tất cả các mặt đều hình vuông cạnh a 1. Chứng minh rằng AC′ vuông góc với mặt phẳng ( )A BD′ và đường thẳng AC′ đi qua trọng tâm của

tam giác A BD′ . 2. Hãy xác định các điểm ,M N lần lượt nằm trên các cạnh , A D CD′ ′ sao cho MN vuông góc với mặt

phẳng ( )CB D′ ′ . Tính độ dài đoạn MN theo a . Bài 73. (HSG Vĩnh Phúc 2016) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD . Biết , 3= =AB a BC a và 5.=SD a

a) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường thẳng ,CB CD lần lượt tại ,I J . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC . Hãy xác định các giao điểm ,K L của ,SB SD với ( )HIJ và chứng minh

rằng ( ).⊥AK SBC

b) Tính diện tích tứ giác .AKHL


Trong ( )SCD gọi ( )IJ= ∩ ⇒ = ∩L SD JH L SD H Trong ( )SBC gọi ( )IJ= ∩ ⇒ = ∩K SB IH K SB H

L

K

J

D

I

J

A

B

D

CB C

A

S

I

H



Ta có ( )IJ SAC IJIJ SA

⊥⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥

IJ ACSC , mà ⊥AH SC . Suy ra ( )IJH .⊥SC

Suy ra ⊥AK SC . Mà ( )⊥ ⇒ ⊥BC SAB BC AK .Vậy ( ).⊥AK SBC b) Ta có 2 2 2= − =SA SD AD a ;

2 2

. 23

= =+

SA AC aAHSA AC

; 2 2

. 26

= =+

SA AB aAKSA AB

Do ( )⊥ ⇒ ⊥AK SBC AK KH , do đó 2 2 26

= − =aKH AH AK .

Tương tự phần (a) thì ( )⊥ ⇒ ⊥AL SCD AL HL . Từ đó tính được

2 2 2 .15

= − =aLH AH AL

Suy ra 21 1 8. . .

2 2 15= + = + =AKHL AKH ALH

aS S S AK KH AL LH

Bài 74. (Bình Sơn Vĩnh Phúc) Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có đường cao SH . Mặt phẳng ( )α

đi qua A và vuông góc với SC , cắt SH tại 1 H sao cho: 1 13

=SHSH

và cắt các cạnh

bên , ,SB SC SD lần lượt tại , ,B C D′ ′ ′ .

a) Tính tỷ số diện tích thiết diện AB C D′ ′ ′ và diện tích đáy hình chóp.

b) Cho biết cạnh đáy của hình chóp là a . Tính SH .

Bài 75. (HSG Vĩnh Phúc 2012) 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , các cạnh bên bằng nhau và bằng 3a ( 0>a ). Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh

của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo a . 2. Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng đường thẳng SB vuông góc với đường thẳng SC, biết rằng

2 2 2 2

1 1 1 1= + +

SH SA SB SC.

3. Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện , ,= = =AB CD BC AD AC BD và một điểm X thay đổi trong không gian. Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng + + +XA XB XC XD đạt giá trị nhỏ nhất.




Gọi = ∩I AC BD . Do = = =SA SB SC SD nên các tam giác SAC, SBD cân tại đỉnh S nên SI vuông góc với AC, BD suy ra SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Dễ thấy mọi điểm nằm trên đường thẳng SI cách đều các đỉnh A, B, C, D.

Trong tam giác SIC, dựng trung trực của cạnh SC cắt đường thẳng SI tại O suy ra = = = =OS OA OB OC OD.

Ta có 2

2 2 2 2

. 3 .3 9 9 2. .82 2 9

= ⇒ = = = =− −

SM SC a a a aSM SC SO SI SOSI SA IA a a

.

Vậy 9 28

=aSO .

Gọi K là giao điểm của đường thẳng AH và BC; trong mặt phẳng (SBC) gọi D là giao điểm của đường thẳng qua S, vuông góc với SC. Ta có BC vuông góc với SH và SA nên BC vuông góc với mặt phẳng (SAH) suy ra BC vuông góc với SK.

Trong tam giác vuông SAK ta có 2 2 2

1 1 1= +

SH SA SK, kết hợp với giả

thiết ta được 2 2 2

1 1 1= +

SK SB SC (1)

Trong tam giác vuông SDC ta có 2 2 2

1 1 1= +

SK SD SC (2)

Từ (1) và (2) ta được =SB SD , từ đó suy ra ≡B D hay suy ra SB vuông góc với SC.

I

O

M

S

D C

A B

D

K

H

C

B

S

A



Gọi G là trọng tâm của tứ diện; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD. Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên =AN BN suy ra ⊥MN AB , tương tự ta chứng minh được ⊥MN CD và đường thẳng PQ vuông góc với cả hai đường thẳng BC, AD. Từ đó suy = = =GA GB GC GD .

Ta có . . . .+ + ++ + + =

XAGA XB GB XC GC XD GDXA XB XC XDGA

. . . .+ + +≥

XAGA XB GB XC GC XD GDGA

( ) 2. 4.4

+ + + += =

XG GA GB GC GD GAGA

GA. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X trùng với điểm G. Vậy

+ + +XA XB XC XD nhỏ nhất khi và chỉ khi X là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Bài 76. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tất cả các cạnh bên đều bằng a. Gọi điểm M thuộc cạnh SD sao cho 3SD SM= , điểm G là trọng tâm tam giác BCD .

a) Chứng minh rằng MG song song với mp ( )SBC b) Gọi (α ) là mặt phẳng chứa MG và song vớiCD . Xác định và tính diện tích thiết diện của hình

chóp với mp(α ) c) Xác định điểm P thuộc MA và điểm Q thuộc BD sao cho PQ song song với SC . Tính PQ

theo a . Hướng dẫn giải

Q

P N

M

A

D

C

G

B



a) Gọi I là trung điểm của BC

Ta có 2 / /3

= = ⇒DG DM MG SIDI DS

mà ( )⊂SI SBC nên ( )/ /MG SBC

b) Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F . Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC tại H . Thiết diện của hình chóp với mp(α ) là tứ giác EFHM .

Ta có / /HM EF vì cùng song song với CD

02 , , 603 3

= = = = = =a aMD HC DE CF MDE HCF nên tam giác DME bằng tam giác CHF suy ra ME

HF= do đó EFHM là hình thang cân

Ta có 2 2 2

2 2 2 0 4 2 12 . . os60 2 . .9 9 3 3 2 3

= + − = + − =a a a a aEM DM DE DM DE c

,EF = 3

=aMH a .Gọi h là độ dài đường cao của hình thang ta có

2 2 22 EF 2

2 3 9 3− = − = − =

HM a a ah EM

Diện tích thiết diện là 2

EF1 1 2 4 2 2. .(EF ) . .2 2 3 3 9

= + = =HMa a aS h HM

D C

BA

S

I

M

GE

F

H



c) Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD tại N. Nối A với N cắt BD tại Q. Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM tại P.

Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN

Suy ra hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ta có 23

= =MN DMSC DS

, 3 32 5

= = ⇒ =AQ AB AQQN DN AN

3 3 2 2, . .5 5 3 5

= = = = =PQ AQ PQ PQ MNMN AN SC MN SC

Suy ra 25

=aPQ

Bài 77. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi ,I J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và DBC . Mặt phẳng ( )α qua IJ cắt các cạnh , , , AB AC DC DB lần lượt tại các điểm , , , M N P Q với , AM x AN y= = ( 0 ,< <x y a ). a) Chứng minh , , MN PQ BC đồng qui hoặc song song và MNPQ là hình thang cân.

b) Chứng minh rằng: ( ) 3+ =a x y xy . Suy ra: 4 33 2≤ + <

a ax y .

c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và = +s x y .

Q

S

C

BA

D

M

N

P



Hướng dẫn giải a) Ta có: ( ) ( )α ∩ =ABC MN , ( ) ( )α ∩ =BCD PQ , ( ) ( )∩ =ABC BCD BC , ( ), ( ), ( D)α ABC BC phân biệt nên

, ,MN PQ BC song song hoặc đồng qui.

Gọi K là trung điểm BC , ta có: D

=KI KJKA K

nên / /AD IJ , do đó / /( )AD P

Các mặt phẳng ( ) ( ),ABD ADC đi qua AD cắt ( )α theo các giao tuyến lần lượt là , MQ NP nên : / / , / / MQ AD NP AD . Suy ra : / / MQ NP hay MNPQ là hình thang.

Ta có: ,∆ ∆BAD CAD là các tam giác đều, / / , / / MQ AD NP AD Nên , AM DQ AN DP= = . Suy ra : ∆ = ∆ ⇒ =AMN DQP MN PQ , hay MNPQ là hình thang cân.

b) Ta có: 0 0 0AMN

3 3S sin 60 sin 30 sin 303 3

= + ⇔ = +AMI ANIax ayS S xy 3 ( )⇔ = +xy a x y

Vì : 2( )

4+

≤x yxy nên ;

23( ) 4( )4 3+

+ ≤ ⇔ + ≥x y aa x y x y

Mặt khác: 0 ,< <x y a 2( )( ) 0 ( ) 0⇒ − − > ⇒ − + + >a x a y a a x y xy 2 ( ) 3( ) 0

3 2+

⇒ − + + > ⇒ + <a x y aa a x y x y . Vậy : 4 3

3 2≤ + <

a ax y .

c) Ta có: = = −MQ BM a x , = = −NP CN a y , 2 2 2= + −MN x y xy Gọi h là chiều cao hình thang cân MNPQ, ta có:

2 2 2 2

2 2 3( ) 2 3( ) 82 4 4− + − + − = − = =

MQ NP x y xy x y xyh MN

22

( )3( ) 8 9 834 12

++ − −

= =

a x yx y s as

Vậy: 22 8. 32 4 3+ −

= = −MNPQMQ NP a s asS h s

Bài 78. (HSG Hà Tĩnh 2013) Cho hình chóp SABC có ( )⊥SC ABC và tam giác ABC vuông tại B . Biết

; 3= =AB a AC a và góc giữa hai mặt phẳng ( ) ( ), SAB SAC bằng α với 13sin19

α = . Tính độ dài SC

theo a. Gọi ,H K là hình chiếu của C lên ,SA SB .

Ta chứng minh được

( ), ( )⊥ ⊥CK SAB SA CHK . Suy ra ∆CHK vuông tại K và ⊥SA KH .

Do đó .α = ∠CHK

Đặt 0= >SC x . Trong tam giác vuông SAC ta có

C A

B

S

H

K

x

a



2 22

2 2 2 2 2

1 1 1 3 .3

= + ⇒ =+

a xCHCH CA CS a x

Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có 2 2

22 2

2 .2

=+

a xCKa x

Ta có 2

2

13 13sin19 19

α = ⇔ =CKCH

2 2

2 2

2(3 ) 133(2 ) 19

+⇔ =

+a xa x

6⇔ =x a , vì x > 0. Vậy 6=SC a

Bài 79. (HSG Quảng Bình 2013) Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình thang cân ( )/ /AD BC

và 2BC a= , ( )0AB AD DC a a= = = > . Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Biết SD vuông góc với AC . a) Tính SD .

b) Mặt phẳng (α ) qua điểm M thuộc đoạn OD ( M khác , O D ) và song song với hai đ ường thẳng

SD và AC .

Xác đị nh thiết diện của hình chóp .S ABCD cắt bởi mặt phẳng (α ). Biết MD x= . Tìm x để diện tích

thiết diện lớn nhất.

a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a . Kẻ / /DT AC (T thuộc BC ). Suy ra CT AD a= = và DT vuông góc SD . Ta có: DT AC= = 3a . Xét tam giác SCT có 2 , ,SC a CT a= = 0120∠ =SCT

7⇒ =ST a Xét tam giác vuông SDT có DT = 3a ,

7 2= ⇒ =ST a SD a b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt

, AD DC lần lượt tại , .N P Qua , , M N P kẻ các đường thẳng song song với SD cắt

, , SB SA SC lần lượt tại , , K J Q . Thiết diện là ngũ giácNPQKJ . Ta có: , , NJ MK PQ cùng vuông góc với NP .

( ) ( )dt NPQKJ dt NMKJ= + ( )dt MPQK = 1 1( ) ( )2 2

+ + +NJ MK MN MK PQ MP

1 ( ).2

= +NJ MK NP ( ) do NJ PQ= .

O

B C

A D

S

T

MN

P

K

Q

J



Ta có: . . 3 3

3

= ⇒ = = =NP MD AC MD x aNP xaAC OD OD

.

2 .. 3 2( 3)

3

− = = ⇒ = = = −

aa xNJ AN OM SD OMNJ a xaSD AD OD OD

( )2 . 3. 2 ( 3 )3 3

−= ⇒ = = = −

a a xKM BM SD BMKM a xSD BD BD a

Suy ra: ( )dt NPQKJ = 1 22( 3) ( 3 ) 3 2(3 2 3 )2 3 − + − = −

a x a x x a x x

2 21 1 3 3(3 2 3 )2 3 (3 2 3 ) 2 3

43 4 3 = − ≤ − + = a x x a x x a

Diện tích NPQKJ lớn nhất bằng 23 34

a khi 34

=x a

Bài 80. (HSG Đà Nẵng 2011) 1) Cho hình hộp . ' ' ' '.ABCD A B C D Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ( ').ACD

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).

b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D' khác S. Chứng minh rằng:

4 ' ' 33 2≤ + ≤

SB SDSB SD

.



Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N.

Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=AC∩BD) cắt B’D’ tại F.

Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại R, Q.

Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S.

Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P.

Thiết diện là lục giác MNPQRS

Do các mặt đối diên của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diên MNPQRS song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’.

⇒ Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng

⇒ '' '

= = = = = = =MJ MA NC NK PC PK QD QIMN MB NB NM PC PQ QC QP

⇒ MJ=NK và PK=QI

⇒ Các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và gọi diện tích các tam giác JKI, ACD’ lần lượt là S2, S)

Đặt ;=AM kAB

ta có điều kiện 0 1< <k và có:

2 2 221 = = = =

S JM AM AM kS AC DC AB

⇒ S1 = k2S

( )2 2 2

22 1+ = = = + = +

S JK JM MK JM MK kS AC AC AC AC

⇒ S2 =( k2 + 2k +1)S⇒ Diện tích thiết diện:

2 13= −tdS S S

22 1 3 1 32 ( ) 2

2 4 2 2 = − + + = − − ≤

td

SS S k k S k (dấu bằng

xảy ra ⇔ 12

=k )

Lấy I = AM∩B'D' và O = AC∩BD,

ta có: S, O, I là các điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD)

P

N

D'

I

O

M

D

B

C

A

S

B'www.thuvienhoclieu.com Trang 46


⇒ S, O, I thẳng hàng.

Và I là trọng tâm các mặt chéo SAC

⇒ 23

=SISO

Vẽ BP // B'I và DN // D'I ( ), ∈P N SO ⇒ =OP ON . Đặt ;' '

= =SD SBx ySD SB

⇒ 2 32 3' ' 2

+ = + = + = = =SB SD SP SN SOx ySB SD SI SI SI

⇒ , [1;2]∈x y (*)

Suy ra: 2

1 1 3 2 433

+ = ≥ = + x y xy x y

Suy ra: 2

1 1 3 2 433

+ = ≥ = + x y xy x y

Bài 81. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi , M N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh , AB AC sao cho mặt phẳng ( )DMN vuông góc với mặt phẳng ( )ABC . Đặt ,=AM x =AN y . Tìm ,x y để

diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. Kẻ DH MN⊥ , do ( ) ( )DMN ABC⊥ suy ra ( )DH ABC⊥ .

Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC .

Ta có: AMNS = 12

. 0. .sin 60AM AN = 34

xy ; AMN AMH ANHS S S= +

= 12

0. .sin30AM AH + 12

0. .sin30 AN AH = 1 3.4 3

( )x y+ .

Suy ra 34

xy = 1 3.4 3

(x+y)⇒ 3x y xy+ = 0 , 1x y≤ ≤

Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN :

AMD AND DMN AMNS S S S S= + + + = 12

0. .sin 60AD AM + 12

0. .sin 60AD AN

+ 12

.DH MN + 12

0. .sin 60AM AN . = 3 xy + 6 3 (3 1)6

−xy xy .

Từ 2 43 2 .3 9

= + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥xy x y xy xy xy

H

A

B C

D

M N



Suy ra 3(4 2)min ,9+

=S khi 2 .3

= =x y

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC,

M là điểm thuộc cạnh SA. Mặt phẳng ( )α chứa C’M cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’, D’.

a) Khi ( )α song song với BC. Xác định vị trí của M để tứ giác B’C’D’M là hình bình hành.

b) Khi ( )α thay đổi. Xác định vị trí của M để D 3' D'

SB SSB S

+ = .


a) (2.5 điểm) Khi ( )α song song với BC. Xác định vị trí của M để tứ giác B’C’D’M là hình bình hành. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Gọi 'I C M SO= ∩ ' 'I B D⇒ ∈ . Ta có:

B'C'/ / BC/ /( ) 'C'/ / D'M.

' / /BC B

D M BC

⇒ ⇒

α

Mặt khác, vì C’ là trung điểm SC nên 1 1' ' D2 2

B C BC A= = .

Khi đó tứ giác B’C’D’M là hình bình hành khi 1D' ' ' D2

M B C A= = .

I

O

A B

D C

S

C'

MB'

D'



Vậy M là trung điểm của SA. b,

b) Khi ( )α thay đổi. Xác định vị trí của M để D 3' D'

SB SSB S

+ = .

Xét ta giác SAC: Qua A, C lần lượt kẻ các đường thẳng song song với C’M, cắt SO tại E, F. Ta có:

;'

SA SE SC SFSM SI SC SI

= = 2'

SA SC SOSM SC SI

⇒ + = .

Tương tự, xét ta, giác SBD, ta có:

D 2' D '

SB S SOSB S SI

+ = D 2' D' '

SB S SA SC SASB S SM SC SM

⇒ + = + = + .

Vậy D 3 1' D'

SB S SA M ASB S SM

+ = ⇔ = ⇔ ≡ .

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD=600; SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD); 3

4aSO = . Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm

của DE. 1/ Chứng minh (SOF) ⊥ (SAD). 2/ Tính khoảng cách từ O và C đến mặt phẳng (SAD). 3/ Gọi ( )α là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( )α . Tính diện tích của thiết diện này.

C'

I

S

A C

O

M

E

F




1/ Tam giác ABD đều nên BE AD⊥ ; OF//BE OF AD⇒ ⊥ (1).

( )SO ABCD SO AD⊥ ⇒ ⊥ (2). Từ (1) và (2) ( OF) ( ) ( OF)AD S SAD S⇒ ⊥ ⇒ ⊥ . 2/ Kẻ OH SF⊥ tại H ( )OH SAD⇒ ⊥ ( ; ( ))d O SAD OH⇒ = .

2 22 2 2 2

1 1 1 1 1 64 39 3OF 9 816 16

aOHa aOH SO a

= + = + = ⇒ = .

O là trung điểm của AC nên 3( ;( )) 2 ( ;( ))4ad C SAD d O SAD= = .

3/ Gọi K là hình chiếu của C trên mp(SAD) ⇒H là trung điểm của AK.

( ) ( )mp mp BCKα ≡ ; BC//AD nên mp(BCK) cắt mp(SAD) theo giao tuyến song song với AD. Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD, SA tại M và N. Thiết diện tạo thành là hình thang BCMN.

N MK

FE

O

D

B C

A

S

H



22 2 2

22

2

12 12OF .16 4

3. .4

a aSF SO SF

SH SOSO SH SFSF SF

= + = ⇒ =

= ⇒ = =

⇒MN cắt SF tại trung điểm I ⇒MN là đường trung bình của tam giác SAD.

2

2 23( )( ) 92 4 .

2 2 16td

AD aMN

a aaMN BC CK aS

⇒ = =

++⇒ = = =

Bài 82. [VĨNH PHÚC -2010-2011] Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a . a) Chứng minh rằng 'AC vuông góc với mặt phẳng ( )'A BD và đường thẳng 'AC đi qua trọng tâm của tam

giác 'A BD .

b) Hãy xác định các điểm , M N lần lượt nằm trên các cạnh ' , 'A D CD sao cho MN vuông góc với mặt phẳng ( )' 'CB D . Tính độ dài đoạn MN theo a .

Hướng dẫn giải a) Ta có BD AC⊥ và 'BD AA⊥ nên ( )' ' 'BD ACC A AC BD⊥ ⇒ ⊥ .

Tương tự ta chứng minh được ' 'AC A D⊥ . Từ đó ta suy ra ( )' 'AC A BD⊥ .

Gọi I là giao điểm của AC và BD . Khi đó ' 'G AC A I= ∩ chính là giao điểm của 'AC và mặt phẳng ( )'A BD .

Do / / ' ' 2' ' '

GI AIAC A CGA A C

⇒ = = suy ra G là trọng tâm của tam giác 'A BD .

b) Đặt ' , ' ' , ' ' ; . . . 0A A m A D n A B p m n p a m n n p p m= = = ⇒ = = = = = =

và ' . ' ; ' . 'A M x A D D N y D C= =

Ta có ' . . ; ' . . ' ' ' 'A M x m x n D N y m y p MN MA A D D N= + = + ⇒ = + +

( ) ( )1y x m x n y p= − + − +

Do đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

21 0. ' 0 1 2 0 3

2 0 1. ' 0 1 03

xy x m x n y p m nMN B C y xy xMN D C y x m x n y p m p y

= − + − + + = = + − = ⇔ ⇔ ⇔ − == − + − + + = =



Vậy M, N là các điểm sao cho 2 1' ' ; ' '3 3

A M A D D N D C= =

Do đó ta có 2

21 1 1 33 3 3 3 3

a aMN m n p MN MN= − + + ⇒ = ⇒ =

.

Bài 83. [Cao Văn Bá – THPT Diễn Châu 3 – 2009-2010] Cho hình chóp .S ABCD , có đáy là hình thang với / / . AD BC M là một điểm di động bên trong tứ giác ABCD . Qua M vẽ những đường thẳng lần lượt song song với , SA SB cắt các mặt phẳng ( )SBC và ( )SAD theo thứ tự tại N và P . a) Nêu cách dựng các điểm , N P .

b) Chứng minh: MN MPSA SB

+ không đổi.

c) Tìm tập hợp điểm M sao cho diện tích của tam giác MNP có giá trị lớn nhất.

Bài 84. [TRƯỜNG THPT CẨM THUỶ I 2008-2009] Cho tam giác .S ABCD đáy là hình thang, đáy lớn

2BC a= , đáy bé , AD a AB b= = . Mặt bên SAD là tam giác đều. M là một điểm di động trên AB , mp( )P qua điểm M và song song với , SA BC . a) Tìm thiết diện của .S ABCD với mặt phẳng mp ( )P . Thiết diện là hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện theo a và ( ) 0x AM x b= < < . Tìm giá trị của x để diện tích thiết diện lớn nhất

Hướng dẫn giải a) Từ M kẻ đường thẳng song song BC và SA , lần lượt cắt DC tại N , SQ tại Q .

Từ Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC tại P suy ra được MNPQ là thiết diện. Dễ dàng chứng minh được là hình thang cân.

G

I

C'

B'

A'

C

A

D

B

D'

M

N



b) * Tính diện tích thiết diện MNPQ

Sử dụng định lý Talets ta suy ra được .b xMQ NP ab−

= = ; .2 ,x ab axPQ a MNb b

+= =

Từ đó tính ra được ax 3.2

QK bab−

=

Áp dụng công thức ( ) ( ) ( )2

2

1 3. 32 4MNPQ

aS MN PQ QK b x b xb

= + = − +

*Tìm x để MNPQS đạt giá trị lớn nhất

( ) ( )22 2 2

2 2

3 3 3 3 3 33 3 312 12 2 12MNPQ

a a b x b x aS b x b xb b

− + + = − + ≤ =

Dấu "=" xảy ra khi 3bx = .

Bài 85. [THPT Quảng Xương 2 THANH HOÁ 2009- 2010] Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a và đường cao SO a= .

D

A

a

C

S

N

B

b

2a

M

Q

P

x

P

Q

N

M

H

K



a) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng ( )ABCD và ( )SCD .

b) Gọi I là trọng tâm tam giác ABO , xác định hình chiếu H của I lên ( )mp SCD và tính độ dài IH theo

a .

Hướng dẫn giải a) Gọi M là trung điểm CD suy ra góc giữa ( )ABCD và ( )SCD là góc SMO ,

Tam giác SMO vuông tại O , , 2aSO a OM= = suy ra tan 2SMO = hay 63,4SMO = ° .

b) Kẻ OK là đường cao tam giác SOM suy ra OK vuông góc ( )mp SCD , từ I kẻ đường thẳng song

song với OK trong ( )mp SOM cắt SM tại H thì H là điểm cần tìm.

Ta có 5 5 5 5. .3 3 5 3

a aIH OK= = =

Bài 86. Cho tứ diện ABCD có các đường cao ', ', ', 'AA BB CC DD đồng qui tại một điểm thuộc miền trong của tứ diện. Các đường thẳng ', ', ', 'AA BB CC DD lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo thứ

tự tại 1 1 1 1, , ,A B C D . Chứng minh: 1 1 1 1

' ' ' ' 83

AA BB CC DDAA BB CC DD

+ + + ≥ .

Bài 87.



a. Cho tứ diện ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho 2 BK KD= . Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng ( ) IJK . Chứng minh rằng DE DC= . b. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trên các

đoạn thẳng , SB AC sao cho ( ), 0, 1BM NC x x xMS NA

= = > ≠ , Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Chứng

minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định khi x thay đổi và tìm x để ( ) / / NG SAD . Bài 88. [ÔN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 3] Cho hình chóp .S ABC đều cạnh a , cạnh bên

bằng 32

a . Gọi ( )P là mặt phẳng qua A song song với BC và vuông góc với mặt phẳng ( )SBC . Gọi I

là trung điểm của BC . a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P).Tính khoảng cách từ điểm I đến ( )P .

b) Tính sinα với α là góc giữa AB và ( )P .

Bài 89. [ÔN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 2] Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có , 2 , 2’ 5AB a AC a AA a= = = và góc 120OBAC = . Gọi M là trung điểm của 'CC .

a) CMR: 'MB MA⊥ .

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )’A BM .

Bài 90. [HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2005] Cho tứ diện OABC có , , OA OB OC đôi một vuông góc với nhau tại O . Gọi 1 1 1, , A B C thứ tự là trung điểm của các cạnh , , BC CA AB . a) Chứng minh tam giác 1 1 1A B C là tam giác nhọn.

b) Biết số đo 3 góc của tam giác ABC là , , A B C . Gọi α là số đo của góc nhị diện [ ]1 1 1, ,C OA B , tìm cosα theo B và C .

c) Gọi d là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 cạnh , , OA OB OC và gọi h là độ dài lớn nhất trong độ dài 3

đường cao của tam giác ABC . Chứng minh rằng: 63

h d h≤ <

Bài 91. [HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2004] Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng a . a) Ta coi hình chóp đã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O , gọi α là góc giữa mp ( )SAB và mp ( )ABC .

Hãy tính cosα để O cách đều tất cả các mặt của SABC .

b) Biết 30ASB = ° . Xét mặt phẳng ( )P thay đổi đi qua A , sao cho mp ( )P cắt các đoạn thẳng , SB SC thứ

tự tại ', 'B C . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ' 'AB C theo a .



Bài 92. [HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2011-2012] Cho tứ diện đều .S ABC . Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua đường cao SO của tứ diện; mặt phẳng ( )P cắt các mặt phẳng

( ) ( ), SBC SCA và ( )SAB lần lượt theo các giao tuyến , , SM SN SP . Các giao tuyến này lần lượt tạo với

mặt phẳng ( )ABC các góc , ,α β γ . Chứng minh: 2 2 2tan tan tan 12α β γ+ + =

Bài 93. [NGHỆ AN 2015-2016] Cho hình thoi ABCD có góc 060BAD = , 2AB a= . Gọi H là trung điểm AB . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD tại H lấy điểm S thay đổi khác H .

Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho 14

BM BC= .

a) Khi 32

SH a= , chứng minh rằng đường thẳng SM vuông góc với mặt phẳng ( )SAD .

b) Tính SH theo a để góc giữa SC và ( )SAD có số đo lớn nhất.

Bài 94. [TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG - BÌNH ĐỊNH] Trong không gian cho khối đa diện có số cạnh qua mỗi đỉnh là một số chẵn .Một thiết diện tạo bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh nào của khối đa diện với khối đa diện .Chứng minh số cạnh của thiết diện là một số chẵn.

Hướng dẫn giải Giả sử số đỉnh của thiết diện là m ;Ta xét một tron2k .

Tổng các cạnh đi qua m đỉnh mới là 3m .

Vậy số cạnh của khối đa diện này bằng 2 32

k m Z m+∈ ⇒ là số chẵn

Bài 95. [VĨNH PHÚC 2009-2010] Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2,AB a BC a= = và 2SA SB SC SD a= = = = . Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và H là

hình chiếu vuông góc của K trên SA . a) Tính độ dài HK theo a .

b) Gọi , M N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng , AK CD . Chứng minh rằng các đoạn thẳng BM và MN vuông góc với nhau.

Bài 96. [TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho tứ diện .S ABC đều, gọi ,I K là trung điểm của các cạnh AC và SB . Trên đường thẳng AS và CK ta chọn các điểm ,P Q sao cho

/ /PQ BI . Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1. Hướng dẫn giải



S

A

B

C

P

QI K

E

F Ta có PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK và song song với BI và mặt phẳng chứa SA và song song với BI . Trong mặt phẳng ( ) SBI kẻ / / , KE BI CE cắt SA ở P .

Qua A kẻ / / A F BI ( F thuộc BC ) , CK cắt SF tại Q . Vậy / / PQ BI .

Ta có , I E là các trung điểm của AC và SI 13

SPSA

⇒ =

Mà 1 13 3

PQ SP PQ AFAF SA

= = ⇔ =

Ta có 2 3AF BI= = . Vậy 33

PQ = .

Bài 97. [TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho hình chóp .S ABCD , đáy ABCD là hình vuông và SA SB SC SD= = = . Mặt phẳng ( )P thay đổi nhưng luôn cắt các cạnh

, , ,SA SB SC SD lần lượt tại , , ,A B C D′ ′ ′ ′ ( , , ,A B C D′ ′ ′ ′ không trùng với đầu mút các đoạn thẳng

, , ,SA SB SC SD . Chứng minh rằng: . ..

SB SD SB SDSA SC SA SC′ ′ ′ ′+

=′ ′ ′ ′+


Gọi O là tâm đáy ABCD , O A C B D′ ′ ′ ′ ′= ∩ . Ta có , ,S O O′ thẳng hàng (do chúng thuộc giao tuyến hai mặt phẳng ( )SAC và ( )SBD ).



Đặt 2 .ASC BSD α= = Trong tam giác SA C′ ′ , ta có:

1 1 1. sin 2 . sin . sin2 2 2SA C SA O SC OS S S SA SC SA SO SO SCα α α′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + ⇔ = +

( ) 2cos2 . cos (1)..

SA SCSA SC SO SA SCSA SC SO

αα′ ′+′ ′ ′ ′ ′⇔ = + ⇔ =′ ′ ′

Tương tự với tam giác SB D′ ′ ta được 2cos (2)..

SB SDSB SD SO

α′ ′+=

′ ′ ′

Từ (1) và (2) ta suy . .. . .

SB SD SA SC SB SD SB SDSB SD SA SC SA SC SA SC′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + +

= ⇔ =′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+

Ta có ĐPCM.

Bài 98. [THPT QUỲNH LƯU – HOÀNG MAI NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho hình chóp .S ABCD , đáy ABCD là nửa lục giác đều với 2BC a= , ( ) 0 .AB AD DC a a= = = > Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Cho biết SD vuông góc với AC . a) Tính SD .

b) Mặt phẳng ( )α qua điểm M thuộc đoạn OB ( M không trùng với B ), song song với SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp .S ABCD với mặt phẳng ( ).α Tính diện tích thiết diện theo a và x biết

3BM x= . Tìm x để diện tích thiết diện đó lớn nhất. Hướng dẫn giải

a) Tính SD +) Dựng OI song song SD ( I thuộc cạnh SB ); 3AC BD a= =

Ta có: 1 2 2 32 3 3

OA AD aOC ACOC BC

= = ⇒ = =

+) Mặt khác:

1 22 3 3

332

aSI BSOI BI BOSD BS BD SD OI

= == = = ⇒ =

C'O'

O

CD

A B

S

A'

B'

D'



+) Áp dụng định lý cosin trong tam giác SIC , tính được 2

2 289aIC =

+) Do SD AC⊥ và / /OI SD nên OI AC⊥ .

Trong tam giác vuông OIC , tính được 43aOI = 3 2

2SD OI a⇒ = = .

b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng ( ).α +) Xác định được thiết diện là tam giác NPQ (với N, P, Q lần lượt nằm trên các cạnh BA, BC, BS)

+) Ta có: / / , / /MQ SD NP AC

NP MQSD AC

⇒ ⊥ ⊥

⇒Diện tích thiết diện: 1 .2NPQS NP MQ=

+) Trong tam giác SBD , tính được 2MQ x=

+) Trong tam giác BAC , tính được 3 32

NP x=

+) Diện tích thiết diện: 23 3

2NPQxS =

+) Vì M thuộc đoạn BO ( M B≠ ) nên 2 3 20 3 03 3

a ax BO x< ≤ = ⇔ < ≤

Do đó, 2 23 3 2 2 3.

2 3 3NPQa aS ≤ =

. Vậy,

22 3min3NPQ

aS = .

Bài 99. Cho tứ diện SABC. Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trên AB, AC sao cho 3AB ACAI AJ

+ = . Chứng

minh rằng mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua một đường thẳng cố định. Hướng dẫn giải

Đặt ; .AB b AC c= =

Gọi M là trung điểm BC, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Gỉa sử

1 1 3 133 1 3 1

AB AC k k kAI kb AJ c IJ AJ AI c kbAI k AJ k k k k

−= ⇒ = ⇒ = − = ⇒ = ⇒ = − = −

− −

.



Ta có: 2 2 3 1 1. .3 3 2 3 3

b c kGI GA AI AG kb AM kb kb b c+ −= + = − + = − + = − + = −

Ta thấy

3 1 1 1 3 1 3 .3 3 3 3 1 3

k k k kGI b c c kb IJk k k

− − − = − = − = −

Vậy G, I, J thẳng hàng. Hay IJ luôn đi qua

điểm G cố định, hay mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua đường thẳng cố định SG.

Bài 100. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC và , ,α β γ lần lượt là góc tạo bởi OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

2 2 2os os ossin 2 sin 2 sin 2c c c

A B Cα β γ= = .

Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC)

⇒ H là trực tâm của tam giác ABC.

⇒ ; ;OAH OBH OCHα β γ= = =

Gọi AK là đường cao của tam giác ABC. Ta có: ( )2 2

22os 1

.AH AH AHcOA AH AK AK

α = = =

Mặt khác: 2 2 2 22cos 0

2 . 2 .AB AC BC OAA

AB AC AB AC+ −

= = >

Tương tự: cos ,cos 0B C > nên tam giác ABC nhọn.

- Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:

2 ; sin sin 2sin sinBC BCR A BHC R

A BHC= = ⇒ = ⇒ R cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam

giác BHC.

- Trong tam giác ABH: 2 .sin 2 .cosAH R ABH R A= =

Nên: ( )2

.sin 2 2sin .cos 2 . 22 2BC AH BC AHA A A

R R R= = =



Từ (1) và (2) ta có: 2 2os

sin 2 ABC

c A RA S∆

=

Chứng minh tương tự ta cũng có: 2 2 2 2os os;

sin 2 sin 2ABC ABC

c B R c C RB S C S∆ ∆

= =

Vậy ta có ĐPCM. Bài 101. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b.Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; S là một điểm di động trên (P) sao cho S.ABC là hình chóp có hai mặt bên SAB,

SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là α và 2π α− . Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc

của S trên BC, AB, AC.

a. Chứng minh rằng 2 .SH HI HJ= .

b. Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của α .

Hướng dẫn giải Bài 102. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tất cả các cạnh bên đều bằng a. Gọi điểm M thuộc cạnh SD sao cho SD = 3SM, điểm G là trọng tâm tam giác BCD. a) Chứng minh rằng MG song song với mp(SBC)

b) Gọi (α ) là mặt phẳng chứa MG và song với CD. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp với mp(α )

c) Xác định điểm P thuộc MA và điểm Q thuộc BD sao cho PQ song song với SC. Tính PQ theo a. Hướng dẫn giải

D C

BA

S

I

M

GE

F

H



Gọi I là trung điểm của BC

Ta có 2 / /3

DG DM MG SIDI DS

= = ⇒

Mà ( )SI SBC⊂ nên MG //(SBC)

Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC tại H

Thiết diện của hình chóp với mp(α ) là tứ giác EFHM

Ta có HM//EF vì cùng song song với CD

02 , , 603 3a aMD HC DE CF MDE HCF= = = = ∠ = ∠ = nên tam giác DME bằng tam giác CHF

suy ra ME = HF do đó EFHM là hình thang cân

Ta có: 2 2 2

2 2 2 0 4 2 12 . . os60 2 . .9 9 3 3 2 3a a a a aEM DM DE DM DE c= + − = + − =

,EF = 3aMH a=

Gọi h là độ dài đường cao của hình thang ta có 2 2 2

2 EF 22 3 9 3HM a a ah EM − = − = − =

Diện tích thiết diện là 2

EF

1 1 2 4 2 2. .(EF ) . .2 2 3 3 9HM

a a aS h HM= + = =



Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD tại N. Nối A với N cắt BD tại Q. Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM tại P.

Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN

Suy ra hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ta có 23

MN DMSC DS

= = , 3 32 5

AQ AB AQQN DN AN

= = ⇒ =

3 3 2 2, . .5 5 3 5

PQ AQ PQ PQ MNMN AN SC MN SC

= = = = =

Suy ra 25aPQ = .

Bài 103. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’. Dựng và tính đoạn vuông góc chung của AN và DM.

Gọi I là trung điểm của BC.

NI ⊥ mp(ABCD) NI DM⇒ ⊥ (1đ)

Chứng minh được: AI DM⊥

( )DM mp AIN⇒ ⊥

Q

S

C

BA

D

M

N

P

A B

C D

A’ B’ C’ D’

M

N

I

K

H



Gọi H là giao điểm của AI và DM, từ H hạ HK AN⊥ ,HK là đoạn vuông góc chung của AN và DM,

Tính được 5

aAH =

52

32

aAI

aAN

=

=

AKH đồng dạng AIN

KH AHIN AN

=

2. 35 3 52

a a aKH a= =

Vậy khoảng cách AN và DM là: 2 515a

Bài 104. Cho tứ diện ABCD, Chứng minh rằng 6 mặt phẳng ,mỗi mặt phẳng đi qua trung điểm một cạnh và vuông góc với cạnh đối diện đồng quy tại một điểm. Bài 105. Cho hình chóp SABC có ( )SC ABC⊥ và tam giác ABC vuông tại B. Biết ; 3AB a AC a= =

và góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng α với 13sin19

α = . Tính độ dài SC theo a.

Hướng dẫn giải Xét hai trường hợp:

+) B và C không tù. Khi đó

2 2 1cos ' sin ,cos5 5 5

' 5cos ' 2

CBB C C

BBBCCBB

∠ = ⇒ = =

= =∠

Suy ra ' 4 3sin ,cos5 5

CCB BBC

= = =

A

B

C

B’

C’ H



2 ' 5 1 5sin sin cos sin cos . 'sin 2 2 25BBA B C C B AB S AB CC

A⇒ = + = ⇒ = = ⇒ = = .

+) B hoặc C tù.

Do ' 'BB CC> nên B C< và C tù 2 1sin ,cos5 5

C C⇒ = = − .

Còn 4 3sin ,cos5 5

B B= = (giống trường hợp 1) 2 25sin ,25 5

A AB⇒ = = Suy ra 252

S = .

Bài 106. Cho tứ diện ABCD , O là điểm bất kì nằm trong miền tam giác BCD . Từ O kẻ các đường thẳng song song với , , AB AC AD cắt các mặt phẳng ( ) ( ) ( ), , ACD ABD ABC lần lượt tai , , M N P .

Chứng minh rằng: OM ON OPAB AC AD

+ + không đổi.

Bài 107. Cho hình hộp . ’ ’ ’ ’ABCD A B C D có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a . a) Chứng minh rằng ’AC vuông góc với mặt phẳng ( )’A BD và đường thẳng ’A C đi qua trọng tâm

tam giác ’A BD . b) Hãy xác định các điểm , M N lần lượt nằm trên các cạnh ’ , ’A D CD sao cho MN vuông góc với

mặt phẳng ( )’ ’ .CB D Tính độ dài đoạn MN theo a . Bài 108. Cho hình chóp .S ABCD . Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E . AD và BC cắt nhau tại F . AC và BD cắt nhau tại G . ( )P là mặt phẳng cắt , , SA SB SC lần lượt tại ’, ’, ’A B C .

a) Tìm giao điểm ’D của SD và ( )P .

b) Với điều kiện nào của ( )P thì ’ ’ ’ ’A B C D là hình bình hành. Bài 109. Cho tứ diện ABCD , mặt phẳng (α ) song song với hai đường thẳng AD và BC . Gọi

, , ,M N P Q tương ứng là giao điểm của (α ) với các đường thẳng , , , AB AC CD DB . Xác định tất cả các vị trí của (α ) để:

a) Tứ giác MNPQ là hình thoi. b) Diện tích thiết diện giữa (α ) và tứ diện ABCD là lớn nhất.

Bài 110. Cho tam giác ABC vuông tại A có , AB c AC b= = .Gọi ( )P là mặt phẳng qua BC và

vuông góc với mặt phẳng ( )ABC ; S là một điểm di động trên ( )P sao cho .S ABC là hình chóp có hai mặt



bên SAB , SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là α và 2π α− . Gọi , , H I J lần lượt là hình

chiếu vuông góc của S trên , , BC AB AC . a) Chứng minh rằng 2 .SH HI HJ= . b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của α .

Bài 111. Cho hình lăng trụ tứ giác . ’ ’ ’ ’ABCD A B C D . Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với hai đáy của lăng trụ, cắt các đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng lần lượt tại các điểm M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất. Bài 112. Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông và SAB là tam giác đều, mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác SAB. Gọi M là một điểm di động trên đoạn AB và P là hình chiếu vuông góc của S lên CM.

a) Tìm quỹ tích của điểm P khi M di động. b) Xác định vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng nối M với trung điểm của đoạn SC đạt giá trị lớn

nhất. Bài 113. Gọi O là một điểm trên cạnh AB của tứ diện ABCD (O không trùng với A và B). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt các cạnh BC và BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M và N (M ≠ C, N≠ D). Mặt cầu ngọai tiếp tứ diện BOCD cắt các cạnh AC và AD của tứ diện ABCD lần lượt tại P và Q (P ≠ C, Q≠ D). Chứng minh rằng tam giác OMN đồng dạng với tam giác OQP. Bài 114. Cho P là một điểm cố định nằm bên trong một hình cầu cho trước. Ba đoạn thẳng PA, PB, PC đôi một vuông góc với nhau, có ba đầu mút A, B, C nằm trên mặt cầu. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

a) Tính PG theo PA, PB, PC. b) Tìm quỹ tích điểm G khi A, B, C thay đổi.

Bài 115. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2, chiều cao bằng h. Gọi 1( ; )C O r là hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi 2C (K;R) là hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với 8 cạnh của hình chóp. Biết rằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD).

a) Chứng minh rằng: 21 1.hr

h+ −

=

b) Tính giá trị của h, từ đó suy ra thể tích hình chóp. Bài 116. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có các cạnh bằng a. Xét các đoạn thẳng MN có hai đầu mút M, N lần lượt nằm trên các đoạn thẳng BC’, CA’ và song song với mặt phẳng(ABB’A’). Tìm theo a độ dài của đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng ấy. Khi MN ngắn nhất hỏi MN có vuông góc với BC’ và CA’ hay không? Chứng minh. Bài 117. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân được vuông góc hạ từ O đến (ABC).

a) Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng 3. . .2HBC HAC HAB

abca S b S c S+ + ≤ .

Bài 118. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=2CD=2AD, SA vuông góc với đáy tại A. Gọi M là trung điểm của SC, K là điểm di động trên AB. Tìm tập hợp hình chiếu của H của M lên CK. Bài 119. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Tìm điểm M sao cho tổng:

. . . . . . . .MA MB MC MD

GB GC GD GAGC GD GAGB GD GAGB GC+ + + đạt giá trị bé nhất.


Documents

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BỒI DƯỠNG H C SINH GI I