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Muchos problemas que se encuentran en transferencia de calor requieren un análisis que tomen en cuenta la generación o absorción de calor dentro de un cuerpo, tales tipos de problemas se encuentran:
o Materiales a través de los cuales fluye corriente eléctrica.
o En reactores nucleares.
o Horno de Microondas.
o Indústrias de proceso químicos.
o Proceso de combustión,
o Esfuerzo térmico en el concreto durante su curado o secado, ya que se genera calor en el proceso de curado, procurando que ocurran diferencias de temperatura en la estructura.
III. CONDUCCION CON FUENTES DE CALOR III. CONDUCCION CON FUENTES DE CALOR (Generación Interna)(Generación Interna)
3.1. GENERALIDADES
En esta sección se considera una pared plana, un cilindro sólido y esfera sólida, en estos sistemas existe fuentes de calor interna uniforme:
3.2 Placa o pared Plana
Considere una placa delgada de cobre sumergida en un baño a temperatura constante igual a Tf. Suponga que circula una corriente eléctrica a través de la placa, provocando en esta una generación de calor uniforme por unidad de tiempo y volumen.
El coeficiente de transferencia de calor por convección en cada lado de la placa es el mismo, dando por resultado una temperatura en ambos casos.
3 3
Cantidad de energía
.unidad de tiempo y unidad de volumenoW Btuq o
m h pie
Para encontrar la distribución de temperatura en la placa, se debe conocer la Ecuación Diferencial apropiada.
Haciendo un balance de energía en la placa de espesor (dx) y Área Transversal (A) , constante
Fig. Nº 1.- Pared Plana con generación de Calor Uniforme
1. (1)
2. (2)
3. Reemplazando las cantidades de calor en 1:
(3)
4. Simplificando Ecuación diferencial del 2do orden (4)5. Condiciones de Frontera:
CF : 1 x= 0 (5)
También se tiene que:
CF : 2 x = L T = Tw
x = - L T = Tw (6)
x gen x dxQ Q Q
º0genQ q Adx
0 2
20
dT dT d TKA Adx KA KA dx
dx dx dxq
º2º
20
qd T
dx K
0dT
dx
ºº
12
2x L
dTKA q LA
dx ºº
12
2x L
dTKA q LA
dx
Estas ecuaciones expresan el hecho de que la distribución de temperatura es simétrica con respecto al eje y (x=0).
6. De la ecuación (4), separando variables e integrando se obtiene:
(7)
7. Separando variables e integrando nuevamente
8. Aplicando la CF:1 (8)
9. Con la CF:2 (9)
9. Reemplazando en T(x), C1 y C2 y Simplificando se tiene
( Distribución de temperatura)(10)
1
.ooq xdT
Cdx K
º 2º
( ) 1 22x
q xT C x C
K
1 0C º 2º
2 2
q xC Tw
K
10. La temperatura en el centro, T=Tc en x=0 de acuerdo a la figura, se tiene:
(11)
11. El flujo de calor se obtiene a partir de
(12)
(13)
De igual forma se conduce para el oro lado, en x = -L
º2º
max2
qTc Tw L T
K
x
dtq K
dx
( / )x oq K q L K
x x L oq q L
ox L
q LdT
dx K
3.3 CILINDRO SÓLIDO
rLA 2 LrV 2 rLdrdv 2 (14)
Tf
a. DETERMINACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS
1. Sea el cilindro sólido de longitud L, que tiene una perdida de calor despreciable en los extremos, de K= cte con generación interna de calor, la superficie exterior del cilindro se mantiene en una temperatura Tw (conocida)
2. 2. Se determinara la ecuación diferencial que describe la distribución de temperaturas, haciendo un balance de energía en una cáscara cilíndrica de espesor (dr)
(15) 3. Reemplazando los valores de calor en la ecuación anterior y
simplificando
(16)
4. Las condiciones de frontera para resolver la ecuación (16), son
CF: 1 r=r0 T=Tw (17)
CF: 2 r=0 (simetría) (18)
r gen r dr r r
dQ Q Q Q Q dr
dr
0 0q rd dT
rdr dr K
0dT
dr
5. Operando en la ecuación(16), para esto separando variables e integrando se tiene:
(19)
6. Separando variable e integrando nuevamente
(20)
7. Las constantes de integración se evalúan con las condiciones de frontera, obteniéndose, con la CF:2,
C1 = 0
(21)
8. Con la primera condición de frontera:
º 2º
12
q rdTr C
dr K
ºº 1
2
q r CdT
dr K r
º 2º
1 24 n
q rT C L r C
K
º 2
24o oq r
Tw CK
º 2
02 4
oq rC Tw
K (22)
9. Reemplazando en ( 1 ) se tiene la distribución de temperatura
(23)
10. También para r = 0 y T = Tmáx (24)
Tc, es la temperatura máxima en el cilindro y ocurre en el centro del mismo.
b. CÁLCULO DEL FLUJO DE CALOR
Como: (25)
Reemplazando se tiene
(26)
º 2º 2º 0º
4 4
q rq rT Tw
K K
º2 2º
04
qT Tw r r
K
º 2º 0
4
q rTc Tw
K
r r ro
dTq K
dr 0 0
2r ro
q rdT
dr K
0 0
2r r ro
q rq
3.4 ESFERA SÓLIDA
3 2 24 4 4
3V r dV r dr A r
a. Determinación de la distribución de temperaturas
(27)
(28)
3.Simplificando se tiene la ecuación diferencial gobernante:
Calor generado por unidad de tiempo en la cáscara esférica de espesor dr y por área de la superficie y representa un incremento de energía de volumen
(29)
34
3V r 24dV r dr
24A r
r gen r r
dQ Q Q Q dr
dr
genQ
24gen oQ q r dr
22 0 0
r qd dTr
dr dr K
4. Es una ecuación diferencial de segundo orden, se requiere dos condiciones límites para obtener una solución
CF: 1 r=r0 T=Tw (30)
5. Debido a que (qo) es uniforme a través de la esfera y Tw es constante sobre toda la superficie (la frontera) de la esfera, es de esperar que la distribución de temperatura sea simétrica con respecto al centro de la esfera-
CF: 2 r=0 (31)
6. Separando variable (1) e integrando, se tiene:
(32)
7. Separando variables de nuevo o integrando:
(33)
0dT
dr
º 32 º
13
q rdTr C
dr K
ºº 1
23
q r CdT
dr K r
º 2º 1
26
q r CT C
K r
8. Aplicando la segunda condición en la frontera, a la ecuación (33)
(34)
O sea
9. Aplicando la primera condición de frontera:
10. Reemplazando los valores C1 y C2 en ( 5 ), se tiene la distribución de temperaturas:
(36)
11. Se puede determinar la temperatura Tc en el centro de la esfera (r=o)
(37)
0 = - 0 + C1 C1 = 0
º 2º
26
q rT C
K
º 2º
26oq r
Tw CK
º 2º
2 6oq r
C TwK
º
2 2º06
qT Tw r r
K
2ºº max
6oq r
Tc Tw TK
b. DETERMINACIÓN DEL FLUJO DE CALOR
40
3.5 DETERMINACION DE LA TEMPERATURA DE LA PARED (Tw)
NOTA 1.- Puede suceder que algunos problemas no se conozca Tw, pero en cambio qo, h y Tf (temperatura de fluido), son conocidas.
.
V = Volumen de todo el cuerpo = área de la superficie del cuerpo que
transfiere calor por convección al fluido que se encuentra en Tf
0 0
0 0 0 0
3
3 3
r r ro
r
q rdT dTq K
dx dx Kq r q r
q KK
. ( )oo Superf W fq V h S T T
SuperfS
3.5.1 PARED PLANA DE ESPESOR 2L
Calor total generado en la pared :
Calor que transfiere por convección la pared al fluido que lo rodea , por tanto se tiene:
Igualando ambas cantidades de calor y simplificando se obtiene (Tw)
(41)
3.5.2 CILINDRO DE LONGITUD (L) Y RADIO (r0) DONDE (L>> r0)
Calor total generado en el cilindro sólido ,
Calor transferido por convección del cilindro al fluido que lo rodea
Igualando estas expresiones
(42)
. .2ogen oQ q A L
.2 . w fQc h A T T
. .2 .2 .o w fq A L h A T T ºº
w f
q LT T
h
º 2º 0genQ q r L
0.2 . . . w fQc h r L T T
º
º 2 º 0º 0 02
2w f w f
q rq r L hL r T T T T
h
3.5.3 ESFERA SOLIDA (de radio ro)
Energía total generado en la esfera, (43)
Calor que transfiere por convección la esfera al fluido que lo rodea
,
igualando estas cantidades y simplificando se tiene:
(44)
(45)
º º 3º º 0
4
3genQ q V q r
20.4 . w fQc h r T T
º 3 2º 0 0
44
3 w fq r h r T T
ºº 0
3w f
q rT T
h
PROBLEMA RESUELTOS
PROBLEMA Nº 01
Una varilla cilíndrica larga, de 200 mm de diámetro y conductividad térmica de 0,5 W/m.k, experimenta una generación volumétrica uniforme de calor de 24000 W/m3. La varilla está encapsulada en una manga circular que tiene un diámetro externo de 400 mm y una conductividad térmica de 4 W/m. K. La superficie externa de la manga se expone a un flujo de aire cruzado a 27 ºC con un coeficiente de convección de 25 W/m2.Ka. Realizar el circuito térmico.b. Encuentre la temperatura en la interfaz entre la varilla y la manga y en la superficie externa.c. ¿Cuál es la temperatura en el centro de la varilla?
Resolución:
1. El circuito térmico para la manga.
2. El calor generado por unidad de longitud y tiempo es:
( )o
3
0.20q 24,000 754.044
221
gen
D mW WQ x x mmp pæ ö÷ç ÷= = =ç ÷ç ÷çè ø
3. La resistencia térmica por conducción a través de la manga
( )2
1 2S
ln 400ln 20R' 2.758 10 .2 2 4 .
r
r kx m WWk xs m Kp p
-
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø= = =
4. La resistencia térmica por convección
2conv
2 2
1 1R 3.183 10 .
25. 0.400
kx m WWh Dm Kx x m
pp
-= = =
5. Cálculo de la cantidad de calor a través del sistema ( de la temperatura interior y la temperatura exterior de la manga, es
1 2
s
q'' ' 'conv conv
T T T T
R R R
- ¥ - ¥= =
+
( )
( )2 2
1
1
1
q' ' '
.27º 754 2.758 10 3.183 10
71.8º
s convT T R R
W K mT C x xm WT C
- -
¥= + +
= + +
=
22
2
q' ' 27º 754 3.183 10 .
51.0º
convW KT T R C x x mm W
T C
-¥= + = +
=
6. Cálculo de la temperatura del centro de la varilla:
( )
( )322
10 10
0
24,0000.100
71.8º4 4 0.5 .
192º
r
Wm mq r
T T T CWK x m K
T C
= = + = +
=
PROBLEMA 2
Un muro de espesor 2L = 40 mm y conductividad térmica k = 5 W/m·K experimenta una generación volumétrica de calor qo,(W/m3)
mientras está sometido a un proceso de convección en sus dos superficies (x = -L, x = L) con un fluido a temperatura Tf = 20 ºC.
En condiciones de estado estacionario la distribución de temperaturas en el muro es de la forma T(x) = a + bx + cx2, siendo a = 82 ºC, b = -210 ºC/m y c = -2·104 ºC/m2.
El origen de coordenadas se encuentra en el plano medio del muro.a) Calcular el valor de la generación volumétrica de calor qo
b) Calcular los valores de los flujos de calor en las dos superficies del muro,
.
c) ¿Cómo están relacionados estos flujos de calor con la generación volumétrica de calor en el interior del muro?
Solución:
1.Diagrama de flujo
Q(-L) y Q(+L)
2. El perfil se obtiene al resolver la ecuación diferencial, para este sistema, separando variables e integrando dos veces
3. Al comparar con la ecuación del enunciado: T(x) = a + bx + cx2
4. Despejando: qo=2x105 W/m3 .
5. Aplicando la ley de Fourier en los dos extremos de la pared, para evaluar la transferencia de calor:
6. Toda la energía generada en la pared ha de salir por las dos superficies
Considere un alambre largo usado como resistencia, con un radio r1 = 0,3 cm y conductividad térmica kalambre = 18 W/m. °C, en el cual se genera calor interno de manera uniforme a una razón constante de qo = 1,5 W/cm3, como resultado del calentamiento por resistencia. El alambre está recubierto con una capa gruesa de plástico de 0,4 cm de espesor, cuya conductividad térmica es kplástico = 1,8 W/m. °C. La superficie exterior de la cubierta de plástico, pierde calor por convección hacia el aire ambiente que está a Tf = 25 °C, con un coeficiente combinado promedio de transferencia de calor de h = 14 W/m2.°C. Al suponer una transferencia unidimensional de calor, determine en condiciones estacionarias:
PROBLEMA N° 3
( ) ( ).2 . . .o o o x L x Lq V q L A q A qo A= =-= = + =
52 10 0,04 5050 2950 8000W´ ´ = + =
a. La temperatura en el centro del alambre.b. La temperatura en la inter-fase alambre – capa de plástico.c. La temperatura superficial del plástico
Solución.-
1.Diagrama de flujo
2. Sea: Tc = temperatura en el centro del alambre Ts = Temperatura en la inter-fase alambre – plástico Tp = temperatura superficial del plástico K1 = conductividad térmica del alambre K2 = conductividad térmica del plástico También: T´ = temperatura en función del radio para el alambre T´´= temperatura en función del radio para el plástico
3. Cálculos en el alambre3.1 Ecuación diferencial de conducción de calor con generación interna de calor
1 constanteoqd dT
r kr dr dr k
3.2 Separando variables e integrando dos veces, se tiene2
11 2+ T´=
2 4o oq r q rCdT
C Lnr Cdr k r k
3.3 Condiciones de frontera para evaluar las constantes de integración
1 0 0 :1 : 2 dT
r r r T Tsdr
CF CF
3.4 Evaluando se tiene; 2
11 2
1
0 ; 4oq r
C C Tsk
3.5 Distribución de temperatura para el alambre
2 21
1
´4
oqT Ts r r
k
4. Cálculos en el plástico 4.1 Ecuación diferencial de conducción de calor a través del plástico
0 d dT
rdr dr
4.2 Separando e integrando dos veces
33 4 T´=
CdTC Lnr C
dr r
4.3 Condiciones de frontera para evaluar las constantes de integración
1 2
´ T -k: 3 : ´ 4 fCF CF
dTr r Ts r r h T T
dr
4.4 Evaluando las constantes se tiene:
4 3 1 32 2
1 2
fT TsC Ts C Lnr C
r kLn
r hr
4.5 Reemplazando y simplificando se tiene la siguiente distribución de temperaturas
12 2
1 2
´́ (ii)fT Ts rT Ts Ln
r k rLnr hr
5 En la inter-fase alambre - plástico la cantidad de calor intercambiado, se tiene
11 2 gen
´ ´́1 =Q
r r
dT dTk r k
dr dr
6. El calor generado en el alambre es igual al que se conduce a la superficie del mismo, igual al que se conduce a través del plástico y es igual al transferido por convección al fluido.
1 ´́
2o
p
q r dTk
dr
2 1
1 2
´́ 1f sT TdTr kpdr rLnr hr
7. Reemplazando y despejando, Ts2
1 2
1 22po
s fp
kq r rT Ln T
k r hr
8. Calculo de la temperatura de la Inter-fase (Ts)
261,5 10 0,003 0,7 1,825
4 1,8 0,3 14 0,007
97,0549 97,1
s
s
T Ln
T C
9. Cálculo de la temperatura en el centro, Tc
6
21,5 1097,1 0,003
4 1897,28 97,3
c
c
T
T C
10. Cálculo de la temperatura superficial, Tp, de la relación (ii)
25 97,1 0,797,1
0,7 1,8 0,30,3 14 0.007
93,92
p
p
T LnLn
T C
Una placa plana cuyo espesor es 10 cm., genera calor a razón de 30000 , cuando se hace pasar una corriente eléctrica a través de ella, una de las caras de la pared esta aislada y la otra esta expuesta al aire con temperatura de 25ºC. Si el coeficiente convectivo de transferencia de calor entre el aire y la superficie de la placa es h = 50 , y la conductividad térmica del material K = . Determine:
a) El perfil de temperatura de función de la distancia x.
b) La temperatura máxima de la pared. Solución.-
3mw
Kmw
2
mKw3
PROBLEMA N° 4
1. Ecuación diferencial
2. Separando variables e integrando 2 veces
3. Las constantes y evaluadas a la C.F
CF: 1 x=0
CF: 2 x=L
4. Los valores de las constantes son:
º2º
20
qd T
dr K
º º2º º
1 1 2 2
q qdTx C T x C x C
dx K K
0
x L x
dT
dxdT
K h T Tdx
C1=0Con la primera condición de frontera Con la segunda condición de frontera
( )2
( ) 2
2
x L
x Lx L
x L
o
xo
x
qdTL
dx kdTK hT hT
qdx T L Ck
Reemplazando
5. El perfil de temperatura (Reemplazando C1 y C2)
6. Operando las cantidades en el perfil y simplificando
Distribución de temperatura
222
o oq qK L h L C hT
k k
22
2
21
2
2
2
o o oq L q q L kC T L T
Despe
h k k
jando C
hL
22 21
2
qL x kT T
k L hL
2
230000 2 3 25 0.1 1
2 3 0.1 50 0.1
x xT
x x
2135 5000 T x
7. La T máx , estará cuando, 0dT
dx=
5000(2 ) 0dT
xdx
estará en, x = 0
max max135 5000(0) 135T T
Problema 5
Dos Grandes placas de acero a 90ºC y 70ºC están separadas por una barra de acero de 0.3 m de largo y 2.5 cm de diámetro. La barra está soldada en cada placa. El espacio entre las placas se rellena de aislante que también aisla la circunferencia de la varilla. Debido al diferencial de voltaje entre ambas, fluye corriente a través de la barra, y se disipa energía eléctrica a razón de 12 W. Calcule la temperatura máxima en la barra y la razón de flujo de calor en cada extremo.
Verifique los resultados comparando la razón neta del flujo de calor en ambos extremos con la razón total de generación de calor
Dato: Conductividad del acero, Kacero=14.4 W/mºC .
Solución:
1. Cálculo del calor generado por unidad de volumen y por unidad de tiempo
0 0
0
0.025² 0.3 12 ³
4
81487.33086 / ³
gen
x xQ q xV w q m
q w m
pé ùê ú= =ê úë û
=
2. Ecuación diferencial gobernante
0²0
²
qd T
dx K+ =
3. Separando variables e integrando 2 veces:
0 01 1 2
²
2
q q xdTx C T C x C
dx K K=- + =- + +
4. Condición de frontera
C.F.1. x = 0 T = T1 = 70ºC C2 = T1 = 70ºC
C.F.2. x = L = 0.3 T = T2 = 90ºC
( ) 02 1
02 1 1 1
02 11
. ²² 2
2
2
q LT Tq L KT C L T C
K Lq LT T
CL K
- -=- + + =
-= -
5. Reemplazando C1 y C2 en ()
( )
( )( )
0 0 02 1 2 11 1
.. ² ²
2 2 2
81487.33086 ² 0.3 90 7070
2 14.4 0.3
2829.42121 ² 915.493029 70
q q L qT T T TT x x T T x Lx x T
K L K K L
x xT x
T x x
é ù æ ö- - ÷çê ú=- + + + =- - + +÷ç ÷÷çê ú è øë û- - æ ö+ ÷ç= + +÷ç ÷÷çè ø
=- + +
6. La temperatura máxima se encuentra cuando x = 0.1617 por la condición
( ) 20 2 2829.4212 915.49302
0.1617
dT dTx
dx dxx
= =- +
=
( ) ( )2829.42121 0.1617 ² 915.4930298 0.1617 70
144.05ºmáx
máx
T
T C
=- + +
=
7. Flujo de calor xx
Q dTq K
A dx= =-
Para X=0.30.3
0.3
|x xx
dTq K
dx==
=-
0.3
0.3
0.3
º782.1596
º| 14.4 782.1596
º
| 11263.0996 / ²
x
x x
x x
dT C
dx m
w Cq x
m C m
q w m
=
=
=
=-
æ ö æ ö÷ ÷ç ç=- -÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
=
Calculando el flujo de calor:
0.3 0.3
0.3
| |
| 11263.0996 0.025² ²² 4
x x x x
x x
Q q xA
wQ x x m
m
p= =
=
=
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= ÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
0.3| 5.52876 x xQ w= =
Para X=0
00
0 02 1
0
0
0
|
.
2
90º 70º 81487.33086 / ³ 0.3
0.3 2 14.4 / º
º915.493020
x xx
x
x
x
dTq K
dx
q x q LT TdT
dx K L K
dT C C w m x m
dx m x w m C
dT C
dx m
==
=
=
=
=-
-=- + +
æ ö æ ö- ÷ ÷ç ç= +÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
=
0
0
º| 14.4 915.493020
º
| 13183.099 / ²
x x
x x
w Cq x
m C m
q w m
=
=
æ ö æ ö÷ ÷ç ç=- ÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
=-
Calculando el Flujo de Calor
0 0| | .x x x xQ q A= ==
0
0
| 13183.099 . .0.025²² 4
| 6.47123
x x
x x
wQ
m
Q w
p=
=
æ öæ ö÷ ÷ç ç= - ÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè øè ø
=-
Flujo de calor neto
0.3 0| | | | | | | 5.52876 | | 6.47123 |x x x x x xQ Q Q Q w w= == + = + -
11.999xQ w=
11.999 12
x genQ Q
w w
@
@
PROBLEMA Nº 06
Un cilindro sólido con generación interna de calor uniforme de 2 cm. de diámetro, sus extremos se encuentran a las temperaturas siguientes en x1 = 0, T1 = 400ºC y en x2 = 3m, T2 = 0ºC su superficie exterior se encuentra aislada, la conductividad térmica del cilindro es 100 w/m.k, si su temperatura máxima se alcanza a x = 0.8 m del extremo inicial, determinar:
a) La temperatura máxima.
b) La generación interna de calor.
c) Los flujos de calor en x = 0 y x = 3m.
d) Realizar un diagrama T (vs) longitud del cilindro.
Solución:
1. Diagrama de flujo
2. Ecuación diferencial gobernante
Sistema Unidimensional con generación de calor
º2º
20
qd T
dx K
3. Separando variable e integrando
4. Separando variables e integrando nuevamente, de (2)
(2)
(3)
5. Las constantes C1 y C2 se pueden evaluar para las condiciones de frontera.
CF: 1 x1=0 T1 = 40ºC
CF: 2 x1=3 T2 = 0ºC
6. Reemplazando los CF se tiene:
6.1.
6.2.
ºº
1
qdTx C
dx K
º2
1 22oq
T x C x CK
C2 = 400 °Cº º
21 2 1
º
1
9 0 3 400
2 2 100
9 133,333 0,015 133,3333
3 200
o o
oo
q qx C x C C
K
qC q
6.3. Reemplazando C1 y C2 en T Ecuación (3)
Perfil de temperatura
7. La temperatura máxima (Tmax), se encuentra cuando x = 0.8m por la condición de máximo:
7.1. Hallamos: de la ecuación 6.3, se tiene
7.2.
2 0.015 133.333 4002(100)
oo
qT x q x
0.8 | 0x
dT
dx dT
dx
3
0 0.8 0015 133.333100
19047.57
oooo
oo
wqm
max x=0.8
2
max
max
T
19047.57T 0.8 [0.015(19047,57) 133,333]0.8 400
2 100
T 460.95º C
8. Calculo del flujo de calor en x = 0 y x = 3
8.1.
Con x = 0
0 0
2
º 0.015 º 133.333
100
º 0.015 º 133.333
100 4
x x
x
dTQ KA
dxdT q
x qdx
Kq DQ x K q K
2
0
0
2
3
3
(0.02)100 0.015 19047.57 133.333 100
44.787
100(19047.57) (0.02)100 0.015 19047.57 133.333 100
100 4
13.16
x
x
x
x
Q
Q
Q
Q
9. Comprobación
PROBLEMA Nº 07 Se está usando una resistencia de alambre larga y homogénea de radio exterior ro = 0,25 pulgadas y conductividad térmica k = 8,6 Btu/h.pie. °F, para hervir agua a la presión atmosférica por el paso de corriente eléctrica. Se genera calor uniformemente en el alambre como resultado del calentamiento por resistencia a razón de qo = 1800 Btu/h. pulg3. El calor generado se transfiere al agua a 212 °F por convección, con un coeficiente promedio de transferencia de calor unidimensional en estado estable de 820 Btu/h.pie2.°F.
0 3 17.947oo x xq V q q
0 3
19047.57 0.02 3 17.954
oo
x x
q V
q q
a. Exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción de calor a través del alambre.
b. Obtenga una relación para la variación de la temperatura resolviendo la ecuación diferencial
c. Determine la temperatura en la línea central del alambre
Solución.-
1. Diagrama de flujo
2. Ecuación diferencial y condiciones de frontera
3. Condiciones de fronteras:
CF: 1 r = 0
CF: 2 r = ro T = Ts ó
3. Separando variables e integrando dos veces se tiene:
10
0
oo
oo
qTr
r r r k
q rTr
r r k
0dT
dr
( )f
dTk h T T
dr
1
2
1 2
2
4
oo
oo
q r CdT
dr k r
q rT C Lnr C
k
4. Aplicando las condiciones de frontera se tiene los siguientes valores para las constantes de integración
5. Reemplazando las constantes en el perfil, se tiene que la distribución de temperaturas es:
6. Cálculo de la temperatura en el centro:
1
2
2
0
2 4
o oo o o o
f
C
q r q rC T
h k
3 3
2
1800 3110400. lg .
0,25 0,253110400 3110400
12 12212
4 8,6 2 820
290,76
oo
C
C
Btu Btuq
h pu h pie
T
T F
2 2C
2
Cuando, r = 0 T=T ó Tmáx4 2
4 2
o oo o o
o f
o oo o o o
C f
q q rT r r T
k h
q r q rT T
k h
Problema N°8
A través de un calentador eléctrico fabricado de una banda de constatan con sección transversal 1 x 6 mm y longitud de 1m, circula corriente eléctrica de 20 A. La caída de tensión en los extremos del calentador es de 200V.Determinar las temperaturas de la superficie y del centro del espesor de la banda, así como el flujo de calor en las superficies; si el coeficiente de traspaso de calor en la superficie del calentador es
La temperatura del ambiente Tf = 100°C y la conductividad
térmica del constatan es
.
21000Whm C
20 Wk m C
SOLUCION:
1. Diagrama de flujo
2. Considerando que el espesor de la pared es:
2 6 , 3L mm entonces L mm 3. La temperatura superficial Ts y la temperatura en el
centro Tc se puede evaluar, mediante las ecuaciones:
20 0
2S F C S
q L q LT T T T
h K
4. Cálculo de TS:
La potencia: P = Qgen = q0V6
630 6 3
20 200 4000 10666.666 10
6 1 10 1 6
P x W x Wq xmV x x x m
Reemplazando en las formulas:6
3
2
62
666.666 10 0.0005100 433.33
1000
4000 100.0005
6433.333 437.4992 20
S
C
Wx x mmT C
Wm C
xx
T Cx
6. Cálculo de la cantidad de calor disipado en la superficie de la placa
2 2
22
1000 433.333 100 333333
333333 0.006 1 1999.998 1.99
1.99
x
x x
x
W Wq Cm C m
WQ q A m W KWm
Q KW
x S F S F
Q dT Qq K Q hA T T h T T
A dx A
Problema N°9
Un cable eléctrico de 1,4 m de largo y 0,2 cm de diámetro es extendido a través de una habitación que se mantiene a 20°C. En el cable se genera calor como resultado de la disipación de la energía eléctrica, al medirse la temperatura de la superficie del cable, resulta ser de 240°C, en condiciones de operación estacionaria. Asimismo al medirse el voltaje y la corriente eléctrica en el cable, resulta ser de 110 V y 3 A, respectivamente. Si se ignora cualquier transferencia de calor por radiación, determine:
a)El coeficiente de transferencia de calor por convección para la transferencia de calor entre la superficie externa del cable y el aire de la habitación. Si el cable es de cobre de k=401W/mK cual es su temperatura en el centro.
Solución:
1. Diagrama de flujo
1. Ecuación diferencial gobernante:
2. Separando variables e integrando dos veces, se tiene
20
20
qT
r k
0 1
20
1 2
2
4
q r CdT
dx k r
q rT C Lnr C
k
3. Condiciones de frontera para evaluar las constantes de integración:
0:1
: 2 0 0
SCF r r T T
dTCF r
dr
4. Evaluando las constantes de integración
5. Reemplazando las constantes de integración se tiene la distribución de temperaturas, y evaluando la temperatura en el centro, se tiene:
20 0
1 20 4S
q rC C T
k
2 200
200
Cuando: 0 ; la temperatura en el cent
(
)4
ro es
4
:
S
C S
C
qT T r r
k
qT T r
r T T
k
6. Por balance de energía
20 0 0
0 0 0 0
2 ( )
( ) 2 2( )
gen K C S f
S fS f
Q Q Q q r L h r L T T
q r q rh T T h
T T
7. Cálculo de la cantidad de calor generado interno por unidad de volumen y unidad de tiempo
0 2 2
30
. 110 3 330
330 330
(0.001 ) 1.4
75030012.01
P V I W V voltaje
P W Wq V volumen
V r L m m
Wqm
8. Cálculo de la temperatura en el centro y el coeficiente de transferencia de calor por convección
2
2
75030012.01240 (0.001)
4240.0467768
75030012.01 0.001170.4865
2(240 20)
C
C
T
T C
Whm C
PROBLEMA 10
Considere corazas cilíndricas y esféricas con superficies interior y exterior en r1 y r2 que se mantienen a temperaturas
uniformes Ts,1 y Ts,2, respectivamente. Si hay generación
uniforme de calor dentro de las corazas, obtenga expresiones para las distribución radiales unidimensionales de la temperatura, flujo de calor y transferencia de calor. Compare sus resultados con los que se resumen en el apéndice C.
2. Diagrama de flujo
3. Condiciones: 3.1 Un estado de equilibrio dimensional 3.2 Conducción uniforme generación de calor 3.3 Constante K
4. Ecuaciones para el cálculo de las incognitas 4.1 Para un depósito cilíndrico, la ecuación diferencial
de transferencia de calor es:
4.2 Separando variables e integrando dos veces, es:
4.3 Usando las condiciones limites:
CF:1 r = r1 T = T s,1 CF:2 r = r2 T = T s,2
4.4 Al resolver las ecuaciones obtendremos los valores de las constantes C1 y C2:
4.5 Reemplazando C1 y C2 en la ecuación, se obtiene la
distribución de temperaturas:
4.6 Para evaluar la transferencia de calor, lo obtenemos a partir de la ecuación de Fourier:
El flujo de distribución de calor es:
En forma similar con:
El calor de distribución es:
5. Para un depósito esférico: 5.1 La ecuación diferencial de transferencia de calor, es:
5.2 Aplicando las condiciones de frontera tendremos:
5.3 Al resolver las ecuaciones en forma simultánea, obtendremos:
5.4 Reemplazando C1 y C2 en la ecuación, obtenemos la
distribución de temperaturas:
5.5 Para el flujo de calor, a partir de la ecuación de Fourier:
5.6 El flujo de distribución de calor es:
5.7 En forma similar con:
5.8 El calor de distribución es:
