:: Cálculo de Coordenadas y Paralelo de Referencia en la Proyección de Mercator ::

Fecha de Publicación: 02/06/2007

Autor del Artículo:

José Millán Gamboa.

José Millán Gamboa es Oficial de la Armada, Ingeniero Hidrógrafo. Ha impartido clases en los

últimos años en la Escuela de Hidrografía de la Armada en el Instituto Hidrográfico de la

Marina, en las asignaturas de Geodesia y Topografía, Fotogrametría Aérea, Cartografía Náutica,

Carta Electrónica y Derecho Marítimo.

Además, José Millán es autor de varias obras de referencia en castellano en materia de

cartografía. Tiene su propia editorial (JM Ediciones: http://www.jmediciones.com) y su último

libro "Fundamentos para Cartografía Naútica" puede ser comprado a través de la red con

envío al extranjero en este enlace.

José Millán puede ser contactado en josmil@wanadoo.es

1. CÁLCULO DE COORDENADAS MERCATOR

Las cartas que se utilizan para la navegación, tanto marítima

como aérea, cumplen la condición de ser conformes, es decir,

conservan los ángulos en cualquier dirección. Así, las líneas que

marcan la dirección, entre dos puntos de la representación, son

rectas. Esto es especialmente útil para la navegación ya que las

derrotas y demoras, se corresponden con líneas rectas, lo que

facilita su trazado, el mantenimiento del rumbo, y la medida de

distancias entre dos puntos

cualesquiera.

Mercator fue el primer

cartógrafo que diseñó una

proyección de este tipo, que es

la que actualmente lleva su

nombre. Para su desarrollo

partió de una proyección no conforme como es la cilíndrica

gnomónica directa (proyección efectuada sobre un cilindro

tangente al Ecuador desde el centro de la Tierra, Fig. 1).

Su idea fue la de calcular en qué cantidad debería alterar la

distancia entre paralelos de esa proyección, como los A’B’ y

C’D’ de la Fig.2, para que las deformaciones de la proyección

en la dirección de la latitud fuesen iguales a las existentes en la

dirección de la longitud, consiguiendo así la conservación de los ángulos, y por tanto, la

conformidad.

Una vez finalizado su desarrollo, llegó a la conclusión de que los paralelos, en el plano de

representación, deberían estar separados una distancia infinitesimal igual a la existente entre

ellos sobre la superficie de la Tierra pero multiplicada por el factor:

(1)

En (1) es a el semieje mayor del elipsoide que se toma como referencia para la figura de la

Tierra, y N la gran normal en el punto de latitud , que define el paralelo en cuestión, y que se

calcula según:

(2) donde: (3)

En la que e es el valor de la primera excentricidad del elipsoide y f es el aplanamiento del

elipsoide. Para llegar a esta conclusión y las consideraciones que siguen a continuación, se ha

tomado y se tomará como superficie de referencia de la Tierra, la del elipsoide de revolución, de

manera que las formulas que se exponen sean de aplicación directa para cualquier datum

geodésico de referencia que se adopte.

Siguiendo con el desarrollo de Mercator, teniendo en cuenta (1) y efectuando la integral

correspondiente para pasar de elementos diferenciales a distancias concretas sobre la Tierra, se

deduce que en el plano de representación de la Mercator, las distancias que separan cada paralelo

del Ecuador son menores que las correspondientes de la proyección cilíndrica gnomónica directa,

tal como se muestra en la Fig.2. El resultado de ese desarrollo da las expresiones analíticas de la

proyección Mercator que son:

(4)

El parámetro de la segunda ecuación se denomina latitud aumentada o latitud creciente.

De acuerdo a estas fórmulas, se puede afirmar que el sistema de referencia ortogonal OXY

(Fig.4), del plano de representación, tendrá su origen en el punto de cruce del meridiano de

Greenwich con el Ecuador, ya que para x = 0 e y = 0, han de ser = 0 y = 0 (Fig.3). Además,

para = 0 siempre será y = 0, por lo que el eje X coincide con la transformada del Ecuador. Para

= 0 siempre será x = 0, por lo que el eje Y coincide con la transformada del meridiano de

Greenwich.

Para calcular las coordenadas Mercator en un punto cualquiera como puede ser, por ejemplo, uno

central en la península Ibérica, de = 40º 30’ N y = 003º 30’ W, sobre un elipsoide WGS84 en

el que a = 6.378.137 m y f = 1/298.257223563, se hará:

Las coordenadas así obtenidas se medirán, en la carta mercatoriana, desde el cruce de las

transformadas del meridiano de Greenwich y del Ecuador según el sistema ortogonal cartesiano

OXY de la figura anterior.

Estas expresiones verifican las condiciones de contorno que Mercator estableció para la

proyección que hoy lleva su nombre:

La transformada del Ecuador es una línea recta a lo largo de la cual se conservan las

distancias.

Las transformadas de los meridianos son líneas rectas, paralelas y equidistantes entre

ellas, normales a la transformada del Ecuador.

Las transformadas de los paralelos son líneas rectas, paralelas a la transformada del

Ecuador, es decir, normales a las transformadas de los meridianos.

La proyección es conforme.

2. EL PARALELO DE REFERENCIA

Cuando se ha de realizar la representación de una zona concreta alejada del Ecuador, como

podría ser, por ejemplo, una carta que cubriera las aguas próximas a la península Ibérica, los

marcos de la representación se elegirán de tal forma que abarquen solamente esas aguas,

descartando representar otras zonas más alejadas. Así, resulta que en el área cartografiada no

aparecerá la línea automecoica de representación, que sirve como medida de escala verdadera, y

que de acuerdo a las condiciones de contorno establecidas para la proyección de Mercator, es la

línea del Ecuador. Fuera de esta línea automecoica, el concepto general de escala es irreal, ya

que en una misma representación no existe un valor fijo para ella en todos los puntos, sino que la

escala varía, en general, de un punto a otro. En el caso de la proyección Mercator este efecto se

ve acentuado en casos como el expuesto para la península Ibérica, demasiado alejada del

Ecuador.

Para evitar este inconveniente, y reducir estas variaciones de escala, se recurre al artificio de la

reducción de las coordenadas mediante un factor de reducción de escala que no altera la

conformidad ni la naturaleza de la representación, pero que afecta a todos los elementos lineales

y superficiales, de forma que actúa como un factor multiplicador de la escala original E que

provoca que la escala real E’, en un punto cualquiera de la representación presente menores

variaciones. Este artificio, consiste en variar la primera de las cuatro condiciones de contorno

establecidas, en el sentido de que la línea recta a lo largo de la cual deben conservarse las

distancias, sea la transformada de un paralelo que pase por la zona a representar, en lugar de la

transformada del Ecuador. Al paralelo así elegido se le denomina paralelo de referencia, y su

latitud se suele representar por . Para materializar este artificio, bastará con efectuar la

proyección sobre un cilindro secante a la esfera en ese paralelo , en lugar de utilizar un cilindro

tangente en el Ecuador.

Si la zona a representar se encuentra en las proximidades de un punto A como el de la Fig.5, se

utilizará un paralelo de referencia , que puede ser aquel cuya latitud es la del punto A. El

cilindro secante, por tanto, lo será justo en esa latitud, de forma que su intersección será

exactamente el círculo del paralelo de A. Considérese el elipsoide inscrito en él, si el elipsoide

terrestre original tenía un semieje mayor a, este nuevo elipsoide tendrá un semieje mayor a’, que

tendrá por valor:

(5)

El elipsoide así definido, es un sistema de elipsoide y cilindro tangente que posee las mismas

propiedades con las que se ha definido la proyección de Mercator, y por tanto, es igual de válido

para representar cualquier zona del elipsoide original. La única diferencia existente, es el valor

del semieje mayor antes y después de considerar el cilindro secante. Esta diferencia vendrá

determinada por la relación matemática entre ellos, comportándose como un factor de escala que

indica que la proyección se realiza en un modelo de similares propiedades, pero de distinto

tamaño. Así, las fórmulas de correspondencia (4) adaptadas para el caso del elipsoide inscritos al

cilindro secante, siendo N el valor de la gran normal en A, tendrán la forma:

(6)

Para estas fórmulas (6), el origen de abcisas será el meridiano de Greenwich y el origen de

ordenadas será el Ecuador, pero en ambos casos, establecidos sobre el elipsoide inscrito. Es

decir, las coordenadas x e y así obtenidas, estarán medidas sobre modelos distintos a los del

elipsoide original, por lo cual sólo serán comparables a través del mencionado factor de escala

que los relaciona:

(7)

Ejemplo:

Calcular las coordenadas Mercator para el lugar del ejemplo anterior de = 40º 30’ N y l = 003º

30’ W, utilizando un paralelo de referencia en la latitud de = 35º 14’ 30” N sobre un elipsoide

WGS84 en el que a = 6.378.137 m y f = 1/298.257223563.

Como primer paso se determinará el valor de la excentricidad e y e2, de acuerdo a (3):

Y por tanto:

A continuación, con (2) se calculará el valor de la gran normal N para la latitud del paralelo de

referencia:

Con estos valores y las formulas de correspondencia (6) se obtendrán las coordenadas buscadas:

Como puede observase, para el mismo punto del ejemplo anterior, al utilizar el paralelo de

referencia, se obtienen unas coordenadas distintas, con valores absolutos de x e y menores. Es

debido a la reducción de escala producida por el empleo del paralelo de referencia, que tiene el

significado intuitivo de estar utilizando un modelo de proyección de distintas dimensiones. Este

efecto tiene su importancia a la hora de representar, en Sistemas de Información Geográfica,

información náutica procedente de cartografía náutica que emplean distintos paralelos de

referencia, lo cual es frecuente. Las coordenadas de los elementos geográficos contenidos en

cartas con distintos paralelos de referencia, no son comparables, por proceder de modelos

distintos. Por tanto, para su correcta representación en un SIG y efectuar comparación en

solapes, etc., previamente se debe deshacer este efecto, transformando las coordenadas al modelo

original de cilindro tangente en el Ecuador en cada una de las cartas empleadas. Para ello, bastará

con dividir las coordenadas obtenidas en este ejemplo por el factor de escala (7), obteniéndose

así las del ejemplo anterior.

Autor del Artículo:

José Millán Gamboa.

José Millán Gamboa es Oficial de la Armada, Ingeniero Hidrógrafo. Ha impartido clases en los

últimos años en la Escuela de Hidrografía de la Armada en el Instituto Hidrográfico de la

Marina, en las asignaturas de Geodesia y Topografía, Fotogrametría Aérea, Cartografía Náutica,

Carta Electrónica y Derecho Marítimo.

Además, José Millán es autor de varias obras de referencia en castellano en materia de

cartografía. Tiene su propia editorial (JM Ediciones: http://www.jmediciones.com) y su último

libro "Fundamentos para Cartografía Naútica" puede ser comprado a través de la red con

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