O cilindro deitado

Eduardo Colli

Sao poucas as chamadas funcoes elementares: potencias erazes, exponenciais, logaritmos, funcoes trigonometricas e suas in-versas, funcoes trigonometricas hiperbolicas e mais algumas quemerecem um nome especial. A partir delas podemos evidentementeconstruir muitas outras, fazendo uso das operacoes de adicao, sub-tracao, multiplicacao e divisao, alem da composicao de funcoes.Por exemplo, ex

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e x elevado ao quadrado, com sinal trocado edepois exponenciado.

No entanto mesmo a enorme gama de funcoes que podem serdefinidas dessa forma nao e suficiente para resolver certos proble-mas. Por exemplo, dada uma funcao f definida como uma com-binacao de funcoes elementares, pode-se escrever sua inversa f1

como combinacao de funcoes elementares?A resposta e nao, nem sempre! O experimento do cilindro dei-

tado ilustra como isso pode surgir num problema pratico. Suponha

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que queiramos determinar uma escala de volume na borda do ci-lindro. Na pratica, podemos determinar uma escala de angulos,variando de 0 (recipiente vazio) a pi (recipiente cheio) - vide figuraabaixo. E facil ver que o volume V depende do angulo segundoa relacao

V () = l pir2 1pi( 1

2sen 2) .

Mas como, dado V , podemos achar ? Nao ha uma formula paraisso, porem e possvel resolver o problema, para cada V , usandometodos numericos...

r

Inversao de funcoes e zeros de funcoes

Neste problema, convem adotar o volume relativo como variavel.Em outras palavras, como lpir2 e o volume total do cilindro, usare-mos

v() =V ()

lpir2=

1

pi( 1

2sen 2) ,

cujo grafico se ve na figura abaixo.

v( )

pi0

1

v

2

Assim, v() = 1 quando = pi (e igual a 12 quando =pi2 ). Isso

tambem permite que as contas adotadas sejam universais, isto e,independentes do comprimento e do diametro do cilindro.

Se quisermos por exemplo fazer uma marca no angulo que cor-responde ao preenchimento de 80% do volume do cilindro, teremosque resolver a equacao

v() = 0.8 .

Isto e o mesmo que achar o zero (ou a raiz) da funcao f() =v() 0.8.

De forma geral, isso nos da uma receita para achar, dado v entre0 e 1, o angulo = (v) tal que v() = v. A funcao (v) e a inversada funcao v()!

Ha varios metodos para se achar zeros de funcoes, porem destaca-se o Metodo de Newton, por causa de sua simplicidade e eficiencia.

O Metodo de Newton

Procuramos a solucao tal que f() = 0, mas precisamoster pelo menos um palpite inicial para comecar. Esse palpite inicialsera chamado de 0. Em seguida, refinaremos o palpite, obtendo1 que, esperamos, esteja mais proximo de

. Sucessivamente,obteremos k+1 como melhoramento de k, com a esperanca deque a sequencia de valores k se aproxime assintoticamente de

.O refinamento de k para k+1 e feito da seguinte forma. Pri-

meiro aproxima-se a funcao f em primeira ordem em torno de k:

f() ' f(k) + f (k)( k) .Se a expressao do lado direito fosse exata, seria facil calcular ondef se anula. No entanto, como nao e, o valor de que anula o lado

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direito e apenas mais uma aproximacao de , que chamaremos dek+1. Entao k+1 se define pela expressao

f(k) + f(k)(k+1 k) = 0 ,

isto e,

k+1 = k f(k)f (k)

.

O ponto mais delicado do Metodo de Newton e a escolha dopalpite inicial. Dependendo do valor tomado, pode ocorrer que asequencia dos k nao convirja, ou convirja para outro zero da funcaoque nao corresponde ao valor buscado.

Aplicacao do metodo

Apliquemos o Metodo de Newton no exemplo do cilindro. Porexemplo, queremos achar tal que v() = 0.6, ou seja, achar ozero da funcao f() = v() 0.6. Entao montamos a formula deiteracao do Metodo de Newton:

k+1 = k f(k)f (k+1)

= k v(k) 0.6v(k)

.

Substituindo a expressao de v() e manipulando a expressao obte-mos

k+1 =12sen (2k) k cos(2k) + 0.6pi

1 cos(2k) .Escolhemos 0 =

pi2 como chute inicial, o que numa calculadora

com 10 casas decimais da 0 = 1.570796327. Usando a formulade iteracao obtemos 1 = 1.727875959, depois 2 = 1.729193776,3 = 1.729194052 e 4 = 1.729194052. O fato de 4 ter dadoigual a 3 nao quer dizer que este seja o valor exato da solucao.A convergencia assintotica da teoria da lugar, na pratica, a esse

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tipo de fenomeno, pois com um numero limitado de algarismossignificativos nao e possvel distinguir k de k+1, a partir de umcerto iterado.

Exerccios

1. Suponha que a secao do recipiente que contem a agua seja umtriangulo, ao inves de um crculo. Calcule o volume de aguaem funcao de sua altura no reservatorio. Obtenha a funcaoinversa, isto e, a altura da agua em funcao de seu volume.

2. Faca o mesmo que no item anterior com uma secao pentago-nal, em vez de triangular.

3. Calcule a raiz quinta de 19, resolvendo a equacao x5 = 19com o auxlio do Metodo de Newton e uma calculadora.

4. Monte a formula de iteracao do Metodo de Newton paraf(x) = x2 a (usada para extrair a raiz quadrada de a) einterprete-a em termos de medias aritmeticas e geometricas.

5. Uma loja vende uma geladeira a` vista por R$1000,00, mas aprazo por R$1800,00, em 5 vezes. Calcule a taxa de juros uti-lizada pela loja, utilizando o Metodo de Newton. Observacoes

para se ter em mente: seja x = taxa de juros100 + 1 (por exem-plo, se a taxa e 50% entao x = 1.5). Seja v o valor a` vista en o numero de prestacoes. A loja calcula o valor total a prazop da seguinte maneira:

p =v

n+

v

nx+

v

nx2 + . . .+

v

nxn1

=v

n x

n 1x 1 .

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Pesquisar

Como saber que uma funcao escrita como composicao (finita) defuncoes elementares nao tem uma inversa escrita como composicao(finita) de funcoes elementares? Ou ao menos como provar queexiste uma tal funcao? Existem funcoes polinomiais com essa pro-priedade?

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