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Cinematica del punto materiale
❑ La cinematica descrive il moto dei corpi nel tempo e nello spazio, senza tener conto delle dimensioni dell’oggetto e delle cause che producono il moto; il corpo è descritto come un punto materialesenza dimensioni proprie
❑ Esempi in cui l’aspetto cinematico del moto è preponderante sono il moto nello spazio di un aereo, un treno, o un’automobile, o la traiettoria compiuta da un proiettile
❑ Le grandezze fondamentali della cinematica sono:✓ spostamento✓ velocità✓ accelerazione
❑ Queste grandezze, come molte altre grandezze fisiche, in generale non sono numeri, ma vettori
Grandezze scalari e vettoriali✓ Esempio: se vogliamo informare qualcuno su quanti siamo alti,
basta dire: “sono alto 180 cm”, non serve aggiungere altro, poiché l’altezza è una grandezza scalare. Se invece vogliamo informarlo sulla nostra posizione nello spazio un numero potrebbe non essere sufficiente, poiché la posizione è un VETTORE
✓ Di quanti numeri (o COMPONENTI) è composto un vettore ? Dipende dalla dimensione dello spazio in cui si muove il punto
✓ Un vettore è sempre definito rispetto ad un sistema di riferimento specifico, ovvero un sistema di assi cartesiani
x
y
z
x
x
y
una dimensione (1D) 3 dimensioni (3D)2 dimensioni (2D)
Grandezze scalari e vettoriali
In Fisica tutte le grandezze si suddividono in quantità scalari e vettoriali (o ancora più complesse, ovvero matrici)
A = B
A e B debbono essere sempre grandezze omogenee:scalare = scalare oppure vettore = vettore
✓ grandezze scalari: grandezze esprimibili mediante un singolo numero; temperatura, massa, lunghezza sono grandezze fisiche scalari✓ grandezze vettoriali: grandezze che richiedono più di un singolo numero per essere completamente definite; esempi sono la posizione nello spazio, lo spostamento, la velocità, l’accelerazione, la forza
Come conseguenza di questa classificazione in ogni legge fisica del tipo:
Il vettoreGraficamente un vettore si rappresenta mediante una freccia. Il vettore è definito da 3 proprietà:
✓ lunghezza o modulo ✓ direzione ovvero la retta su cui il vettore giace✓ verso indicato dalla punta della freccia
La freccetta sopra il simbolo v indica che si tratta di un vettore e non di uno scalare
A volte nelle formule invece della freccetta si usa indicare il vettore scrivendo il simbolo in grassetto: in tal caso v indica il vettore, mentre v indica il suo modulo
Per rappresentare concretamente un vettore in 2D o 3D è necessario specificare un sistema di riferimento cartesiano
Il vettore
Esempio #1: le forze (frecce rosse) che agiscono sulla sfera blu hanno stesso modulo (ovvero stessa lunghezza) ma diversa direzione, una verticale e l’altra orizzontale; dunque sono vettori diversi
F
F
FF
Esempio #2: adesso le due sono uguali in modulo e anche in direzione, ma hanno verso opposto; dunque sono ancora diverse tra loro
Rappresentazione del vettore in componenti cartesiane
Un vettore può essere decomposto in componenti usando un sistema di riferimento, detto anche riferimento Cartesiano(dal grande matematico francese René Descartés)
✓ In 2D un sistema di riferimento è rappresentato da due assi x e y ortogonali (ovvero perpendicolari) che si incrociano in un punto detto origine
✓ il vettore si indica mediante le sue componenti (o coordinate cartesiane) vx, vy, ovvero le proiezioni del vettore lungo gli assi, nel modo seguente:
La Haye en Touraine 1569
( )v , x yv v=
x
y
v
v y
vx
Dalla punta del vettore, tracciamo due rette parallele agli assi: l’intersezione di queste rette con i due assi cartesiani ci dà il valore delle componenti vx, vy, ovvero le proiezioni del vettore lungo gli assi
Rappresentazione del vettore in componenti cartesiane
In 3 dimensioni (3D) un sistema di riferimento è rappresentato da tre assi ortogonali x, y, z
La Haye en Touraine 1569
x
y
z
vv y
vx
vz
( )v , , x y zv v v=
✓ dalla punta del vettore, tracciamo due rette (in rosso), una retta parallela al piano (x,y) ed una ortogonale al piano (x,y); la prima interseca l’asse z e dà la proiezione vz, la seconda interseca il piano x,y e dà la componente planare del vettore vp
✓ la componente planare vp ovvero è semplicemente un vettore 2D nel piano (x,y), dunque possiamo procedere come in precedenza per scomporre vp nelle sue componenti vx, vy
v p
Indipendenza dei vettori dall’origine del riferimento cartesiano
Un vettore NON dipende dall’origine del sistema di riferimento: può essere traslato nello spazio, rimanendo del tutto uguale a sé stesso esempio: consideriamo un vettore nello spazio 2D: v = (vx, vy)
Supponiamo che inizialmente la coda del vettore sia sull’origine del riferimento (vettore blu); le coordinate del vettore sono:
Trasliamo (ovvero spostiamo rigidamente) il vettore nello spazio; sia v’ (in rosso) il vettore traslato; calcolando le proiezioni di v’ lungo gli assi, si vede facilmente che:
v
4
2
2
4
6
6
'v
1
3
5
0 1 3 5 x
y
v = (4, 2)
V’ = (4, 2)
Il vettore è lo stesso, prima e dopo la traslazione; v e v’ sono del tutto identici, poiché uguali in modulo, direzione e verso
Somma dei vettori
x x x
y y y
S F G
S F G
= +
= +
Siano dati 2 vettori F = (Fx, Fy) e G = (Gx, Gy). Calcolariamo il vettore somma dei due vettori; chiamiamolo S = (Sx, Sy)
( ) G , x x y yS F F G F G= + = + +
La somma di F e G è un vettore S le cui componenti sono la somma delle componenti corrispondenti di F e G
F
4
2G
2
4
6
6
S
ESERCIZIO in 2D: dati F e G, calcolare il vettore somma S = F + G
F = (4, 2)G = (2, 3)S = (6, 5)1
3
5
01 3 5
Differenza di vettori
F
xF
yF G
xG
yGD
Notiamo che la componente Dy è negativa: infatti, il vettore D punta verso le coordinate negative dell’asse y
( )
( )
( ) ( )
G
,
G ,
, ,
x y
x y
x y x x y y
D F
F F F
G G
D S S F G F G
= −
=
=
= = − −
F = (4, 2)G = (2, 3)D = (2, -1)
La differenza di F e G è un vettore D le cui componenti sono la differenza delle componenti corrispondenti di F e G:
Esempio numerico:
Modulo del vettore
222
zyx FFFF ++=
38.5299164342 222 ==++=++=F
Ad esempio, nel caso in figura si ha Fx = 2, Fy = 4, Fz = 3 ; il modulo è dato da:
F
6
3Nel caso bidimensionale a fianco F = (6,3)
7.645936 ==+=F
x
y
z
F
2
4
3
Il modulo di un vettore è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti lungo gli assi.
Calcolo vettoriale e cinematica del punto materiale
❑ Le grandezze fondamentali della cinematica sono:✓ spostamento✓ velocità✓ accelerazione
❑ Queste grandezze sono vettori, dunque sempre definiti rispetto a un sistema di riferimento
❑ Dal punto vista cinematico tutti i sistemi di riferimento sono ugualmente validi. Esempio: una persona siede in un treno ed una è ferma sul binario; se il sistema di riferimento è solidale col binario, la persona sul treno si muove; ma se il sistema di riferimento è solidale col treno, è la persona ferma sulla banchina a muoversi !!
Spostamento✓ Consideriamo un oggetto puntiforme in moto nello spazio; il
punto si trova inizialmente nella posizione A, e successivamente si sposta in B
✓ Si dice spostamento il vettore che connette A con B, avente la coda in A e la punta in B
✓ Lo spostamento è una lunghezza, dunque si misura in metri
xs
4
2
2
4
6
6
s
1
3
5
0 1 3 5( )x m
A
B
ys
( )y m
S = (4 m, 2 m)
Nell’esempio 2D in figura:
Velocità in 1 dimensioneSi consideri un moto unidimensionale, nel quale un punto P è in posizione x = 0 all’istante iniziale t = 0, e raggiunge x =5 m all’istante t = 2 s
35 102.5 2.5 3600 9
2
m m Km Kmv
s s h h
−
= = = =
✓ In un intervallo di tempo Dt =2 s il corpo ha effettuato uno
spostamento s = 5 m✓ Il segno positivo dello spostamento dice che è stato realizzato nel verso concorde alla freccia. La direzione è quella della retta✓ Definiamo velocità all’istante t=0 il rapporto tra lo spostamento (spazio percorso) ed il tempo impiegato
( )x m0 5
P P5s m=
sv
t=D
nel S.I. la velocità si misura in metri al secondo (m/s)
Moto rettilineo uniforme in 2DEsempio: costruire la traiettoria dei punti P relativi alla seguente tabella oraria del moto:
0
50
10
0
15
0
2
00
0P
1P
2P
3P
( )x m
( )y m
0 50 100 150
è un moto rettilineo uniforme: rettilineo poiché percorre una linea retta; uniforme perché ogni secondo, P percorre un segmento di uguale lunghezza, ovvero lo spostamento di P è lo stesso ad ogni istante; in questo caso la velocità di P è costante
t(s) x(m) y(m)
0 0 50
1 50 100
2 100 150
3 150 200
Velocità uniforme in 2DIn 2D la velocità è un vettore a 2 componenti:vx: rapporto tra spostamento Dx ed intervallo di tempo Dtvy: rapporto tra spostamento Dy ed intervallo di tempo Dt
la velocità è costante nel tempo: MOTO RETTILINEO UNIFORME
( ), ,x y
x yv v v
t t
D D = =
D D Nel moto descritto dalla tabella oraria precedente sia ha che ad ogni istante è sempre Dx = 50 m, Dy = 50 m, per cui:
0
50
1
00
1
50
20
0
0P
1P
2P
3P
x
y
0 50 100 15050 ,50
m mv
s s
=
Se P fosse un’automobile, che velocità segnerebbe il tachimetro ? Il tachimetro misura il MODULO v della velocità:
2 250 50 70 70 3.6 252m m Km Km
vs s h h
= + = =
Esercizio: velocità dell’aereo in 3DData la tabella oraria seguente, calcolare le componenti cartesiane ed il modulo della velocità dell’aereo
xv
yv
zv
x
y
zt(s) X(m) Y(m) Z(m)
10 100 100 100
15 600 600 200
500100 100 3.6 360
5x
x m m Km Kmv
t s s h h
D= = = = =D
100 360y x
m Kmv v
s h= = =
10020 72
5z
z m m Kmv
t s s h
D= = = =D
h
Kmvvv xxp
51022 +=
h
Kmvvvv zyx 514222 ++=
pv
v
3.6m Km
s h=
Velocità della luce nel vuoto
La luce nel vuoto viaggia ad una velocità costante (si indica con c)
t
xc
D
D=
c
xt
D=D
6
5
150 10500
3 10
Km st s s
Km
D = =
s
m
s
Kmc 8103300000 ==velocità della luce:
Kmx 610150=Ddistanza Terra-Sole:
Esercizio: calcolare il tempo impiegato dalla luce ad arrivare sulla Terra partendo dal Sole. E’ un problema inverso in 1 D: conosco la velocità e la distanza percorsa e voglio calcolare il tempo impiegato
Il tempo impiegato dalla luce:
ATTENZIONE: questo passaggio algebrico è corretto solo se la velocità è costante nel tempo
Velocità della luce nel vuoto
t
xc
D
D= tcx D=D
Kmss
Kmx 95 101.13600103 ==D
Esercizio: calcolare la distanza percorsa dalla luce in 1 ora
In un’ora la luce percorre un miliardo di Km ! Plutone, il pianeta più esterno del Sistema Solare, dista circa 6 miliardi di Km, dunque la luce che parte dal Sole impiega circa 6 ore per raggiungerlo
ATTENZIONE: questo passaggio algebrico è corretto solo se la velocità è costante nel tempo
Velocità del suono
❑ Un fulmine colpisce il suolo; da lontano mi
accorgo che il rumore arriva alcuni secondi dopo il lampo
h
Km
h
Km
s
Km
t
Lv 1200
3
3600
3
1====
❑ il suono viaggia nello spazio molto più lentamente della luce. Ipotizzando che la luce si propaghi istantaneamente, calcoliamo la velocità del suono: ci poniamo a distanza L=1 Km dal punto in cui cade il fulmine, e misuriamo il tempo t tra la vista del fulmine ed il suono: aspetteremo circa 3 secondi:
I moderni caccia militari superano abbondantemente la velocità del suono (infatti si dicono supersonici); quando ciò accade producono un rumore spaventoso, udibile a centinaia di Km di distanza (si dice che abbattono il muro del suono)
Velocità del suono❑ la velocità del suono è una costante universale ? NO !! Se
ripetiamo la misura in condizioni di temperatura ed altitudine differente scopriremo che la velocità di propagazione cambia sensibilmente
✓ Nell'aria a T= 0 °C vs = 1 191 km/h
✓ Nell’aria a T= 20 °C vs = 1 238 km/h✓ Nell’acqua a T= 20 °C vs è circa 4 volte maggiore che in aria!!
❑ Al contrario della luce, il suono non è un’entità fisica a sé stante, ma una proprietà del mezzo in cui si propaga, e dipende dalla densità e dalla temperatura del mezzo. Il suono è un’onda di pressione longitudinale, che si propaga attraverso il moto degli atomi e delle molecole che compongono il mezzo di propagazione
EsercizioLa maestra parla alla classe; la distanza tra cattedra ed ultimi banchi è di 10 m; in classe c’è una temperatura di 20 °C; la velocità del suono in aria è di vs = 1 238 km/h. Quanto tempo impiega la voce della maestra a raggiungere l’ultimo banco ?
Problema inverso: conosco la velocità e lo spazio percorso, devo calcolare il tempo
10 10 3600 10 3.60.03
1238 1000 12381238
m m st s s
Km m
h
= = =
s
sv
Lt
t
Lv ==
La voce della maestra impiega circa 3 centesimi di secondo per raggiungere il fondo della classe
Velocità uniforme e istantaneaLa velocità si dice uniforme se è costante in modulo, direzione e verso; ovvero se il moto è RETTILINEO UNIFORME; in tal caso essa si calcola come:
Consideriamo la traiettoria del punto P in figura: la direzione della velocità cambia istante per istante; anche se in modulo la velocità rimanesse costante, il moto NON sarebbe comunque uniforme.
Se calcolassimo la velocità dividendo lo spostamento Ds tra punto iniziale e punto
finale della traiettoria per il tempo Dtfaremmo un errore grossolano … quando la velocità non è costante dobbiamo ricorrere
al concetto di velocità istantanea
sv
t=D
s v t= D
Se la velocità è nota, possiamo calcolare lo spostamento dalla formula inversa:
s
D
x
yP
Velocità istantaneaPer calcolare la velocità istantanea, decomponiamo la traiettoria in piccolissimi segmenti dS, percorsi dal punto P in un piccolissimo intervallo di tempo dt; durante quell’intervallino la velocità si può considerare costante in modulo, direzione e verso. La velocità istantanea è il rapporto tra spostamento e tempo impiegato, ma nel limite di piccolissimi intervalli di tempo.
In generale la velocità istantanea (chiamiamola velocità) varia istante per istante in modulo, direzione e verso; dunque la esprimiamo come un vettore dipendente dal tempo v(t)
In ogni punto della traiettoria i vettori v e ds hanno sempre stessa direzione e verso; dunque la velocità è sempre tangenziale (ovvero diretta tangenzialmente) alla traiettoria in ogni suo punto
x
y
dt
sdtv
=)(
sd
Velocità media del tragitto
Se misuriamo N volte la velocità durante il percorso, il valor medio è la somma dei valori misurati diviso il numero di misure
N
tvtvtvtvv
...)()()()( 4321 ++++=
)( 4tv
)( 1tv
)( 3tv
)( 2tv
x
y
In generale la velocità cambia continuamente in modulo e direzione lungo un percorso; si dice velocità media, indicata con <v>, il valor medio del modulo della velocità calcolato istante per istante durante il tragitto
)( 1tv
)( 3tv
)( 2tv
)( 4tvNel caso del moto rettilineo uniforme, la
velocità media coincide con la velocità istantanea in un istante qualsiasi
)()()()( 4321 tvtvtvtvv ====
Accelerazione
si misura in:
t
va
D
D=
2s
m
Esercizio in 1 dimensione: data la legge oraria di un treno in fase di partenza, si calcoli la velocità e l’accelerazione in funzione del tempo
t(s) X(m)
0 0
5 20
10 100
15 200
20 400
25 600
v(m/s) v(Km/h)
0 0
4 14.4
16 57.6
20 72
40 144
40 144
a(m/s2)
0
0.8
2.4
0.8
4
0
Se la velocità cambia in modulo, direzione, o verso significa che il moto è ACCELERATO; si definisce accelerazione (si indica con a) il rapporto tra la variazione di velocità ed il tempo
Tipologie generali di moto
)( 1tv
)( 3tv
)( 2tv
)( 4tv
0=Dv
1) MOTO RETTILINEO UNIFORME: ad ogni istante di tempo la velocità è uniforme, per cui la variazione della velocità è sempre nulla
0=a
2) MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO: ad ogni istante l’accelerazione è uniforme, ovvero costante in modulo, direzione e verso
3) MOTO ACCELERATO con accelerazione variabile: velocità e accelerazione variano liberamente nel tempo, e si calcolano nel limite di spostamento infinitesimo in un determinato istante di tempo
dt
tvdta
)()(
=
costante=D
D=
t
va
tav D=DSe a è costante
si ha che:
