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Prof. Dr. Alex da Rosa
LARA – ENE – UnB
www.ene.unb.br/alex
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Circuitos Elétricos
Tópico 6:
Desempenho dos Circuitos em
Função da Frequência
Introdução
• No estudo de circuitos em regime permanente senoidal, aanálise era realizada para um dada frequência.
• Agora vamos estudar o comportamento dos circuitosvariando-se sua frequência de operação.
• A resposta em frequência tem inúmeras aplicações naengenharia: projeto de sistemas de comunicação (filtros),amplificadores de áudio, robótica, etc.
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Introdução
• Relação de tensão em um circuito RC
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Função de Transferência
• Representa a relação entre uma variável de saída (tensão oucorrente) e uma variável de entrada (fonte de tensão ou decorrente), sendo expressa em função da frequência.
• Usaremos 𝑠 = 𝑗𝜔, que terá um significado mais relevantequando estudarmos a transformada de Laplace.
𝐻 𝑠 =𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)=𝑎𝑚𝑠
𝑚 + 𝑎𝑚−1𝑠𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0
𝑏𝑛𝑠𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑠
𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0
• Raízes do numerador: zeros da função de transferência.
• Raízes do denominador: polos da função de transferência.4
Exemplo 12.2
• Determine a função de transferência 𝐺 𝑠 = 𝐼2(𝑠)/𝑉(𝑠) docircuito abaixo.
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Avaliação do Aprendizado E12.2
• Determine a função de transferência 𝐻 𝑠 = 𝑉𝑜(𝑠)/𝑉𝑠(𝑠) docircuito abaixo e calcule seus polos e zeros.
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Diagramas de Bode
• Hendrik Bode (1905-1982)
• Dada uma função de transferência 𝐻 𝑗𝜔 , os diagramas deBode consistem em representar seu módulo (magnitude) efase como função da frequência.
• Para representar um amplo valor de frequências, osdiagramas são plotados em escala logarítmica.
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Diagramas de Bode
• Bel (B) é uma unidade utilizada para representar grandezasrelativas, como ganho de potência:
ganho = log𝑃2
𝑃1B = 10log
𝑃2
𝑃1(dB)
ganho = 10log𝑅𝐼2
2
𝑅𝐼12 = 20log
𝐼2
𝐼1(dB)
• Com estas considerações, os diagramas de Bode poderão sertraçados de forma aproximada mais facilmente.
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Diagramas de Bode
• Considere a função de transferência:
𝐻 𝑠 =𝑎𝑚𝑠
𝑚 + 𝑎𝑚−1𝑠𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0
𝑏𝑛𝑠𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑠
𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0
𝐻 𝑗𝜔 =𝐾 𝑗𝜔 + 𝑧1 𝑗𝜔 + 𝑧2 ⋯(𝑗𝜔 + 𝑧𝑚)
𝑗𝜔 + 𝑝1 𝑗𝜔 + 𝑝2 ⋯(𝑗𝜔 + 𝑝𝑛)
• Magnitude:
• Fase:9
Diagramas de Bode
• Função de transferência com termo constante: 𝐻 𝑠 = 𝐾
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Diagramas de Bode
• Função de transferência com zero na origem: 𝐻 𝑠 = 𝑠
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Diagramas de Bode
• Função de transferência com zero real: 𝐻 𝑠 = 𝑠 + 𝑧1
12
Avaliação do Aprendizado E12.4
• Esboce o diagrama de Bode de magnitude de:
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Avaliação do Aprendizado E12.5
• Esboce o diagrama de Bode de magnitude de:
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Diagramas de Bode
• Função de transferência com polo (ou zero) complexo
𝐻 𝑠 =1
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
15
Avaliação do Aprendizado E12.8
• Esboce o diagrama de Bode de magnitude de
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Ressonância
• Ressonância é um importante fenômeno presente emdiversas áreas da engenharia, como projeto de sistemas decomunicação, veículos espaciais, construção de pontes.
• Vibração e colapso de uma ponte em Washington (1940)devido a uma rajada de vento na frequência de 0.2 Hz. 17
Ressonância
• Ressonância é um importante fenômeno presente eminúmeras situações na engenharia, como projeto de sistemasde comunicação, veículos espaciais, construção de pontes.
• Vibração e colapso de uma taça de vidro devido a uma ondasonora emitida na frequência natural da taça. 18
Ressonância
• Em circuitos elétricos, a ressonância ocorre quando a fontefor sintonizada em uma frequência próxima à frequêncianatural do circuito.
• Função de transferência com polos complexos conjugados.
• Observa-se um pico no diagrama de Bode de magnitude.
• Analogia: quando somos estimulados a fazer o quegostamos, geralmente respondemos com entusiasmo.
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Ressonância
• Circuito RLC série
• A frequência de ressonância é dada por 𝜔0 = 1/ 𝐿𝐶, sendoa impedância resultante puramente real.
• As tensões no capacitor e no indutor podem ser muitomaiores que a tensão da fonte.
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Ressonância
• Exemplo 12.7
21
Ressonância
• Exemplo 12.7
22
Ressonância
• Frequências de meia potência são aquelas em que a potênciadissipada no circuito é igual à metade de seu valor máximo.
• Largura de banda ou banda passante é a diferença entre asfrequências de meia potência: 𝐵 = 𝜔2 −𝜔1
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Para o Exemplo 12.7:
Ressonância
• Fator de qualidade de um circuito ressonante é a razão entrea frequência de ressonância e a largura de banda.
24
Para o Exemplo 12.7:
Exemplo 12.16
• Calcule a frequência de ressonância do circuito abaixo para𝑅 = 5Ω e 𝑅 = 50Ω.
25
Exemplo 12.16
• R = 50 Ω
26
Exemplo 12.16
• R = 5 Ω
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Filtros
• Filtros são circuitos projetados de modo a permitir apassagem de sinais com frequências desejadas e rejeitarsinais com frequências indesejadas.
• Sua aplicação é importante em sistemas de telefonia,sintonia de estações de rádio, eliminação de ruídos.
• Os filtros mais comuns são:
passa-baixa
passa-alta
passa-faixa
rejeita-faixa 28
Filtros
• Passa-baixa: permite a passagem de baixas frequências erejeita altas frequências.
29
Filtros
• Passa-alta: permite a passagem de altas frequências e rejeitabaixas frequências.
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• Passa-faixa: permite a passagem de apenas uma faixa defrequências, rejeitando baixas e altas frequências.
Filtros
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• Rejeita-faixa ou notch: permite a passagem de baixas e altasfrequências, rejeitando frequências dentro de uma faixa.
Filtros
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• Obtenha a função de transferência 𝐺 𝑠 = 𝑉𝑜(𝑠)/𝑉𝑖(𝑠) docircuito abaixo e determine o tipo de filtro que elerepresenta.
Avaliação do Aprendizado E12.24
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• Para 𝑅1 = 𝑅2 = 10 Ω e 𝐿 = 1 H, temos 𝐺 𝑠 =𝑠
2𝑠+10
Avaliação do Aprendizado E12.24
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• A antena de um aparelho de rádio FM capta estações nafaixa de 88 MHz a 108 MHz. O circuito do aparelho deverejeitar as frequências de todas as estações, exceto aquelaque se deseja ouvir, bem como amplificar o sinal da antena.
• Projete o capacitor do circuito abaixo de modo a sintonizara rádio Antena 1 de Brasília (93,7 MHz).
Exemplo 12.21
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• Sistemas de transmissão de telefonia podem sofrerinterferência das linhas de transmissão de energia, queoperam em 60 Hz. Projete os elementos do filtro notchabaixo para eliminar essa interferência.
Exemplo 12.19
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• Os filtros apresentados anteriormente são chamadospassivos, pois utilizam apenas resistores, capacitores eindutores.
• Filtros passivos são limitados: possuem ganho máximoigual a 1 e baixo desempenho em baixas frequências.
• Filtros ativos, que utilizam amplificadores operacionais,podem ter ganhos maiores que 1 e serão estudadosposteriormente.
Observações
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