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Circulacin de fluidos a travs de lechos porososEl flujo a travs de lechos de partculas slidas aparece en numerosos procesos tcnicos: Filtracin, flujo a travs de columnas de relleno (Destilacin, Absorcin, Adsorcin e Intercambio Inico) Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera Agroindustrial125/08/2014Permeabilidad (Ley de Darcy)Darcy demostr que la velocidad media, en una seccin del lecho, era directamente proporcional a la cada de presin que experimenta el fluido al atravesar dicho lecho e inversamente al espesor del mismo.

(-p)= cada de presin a travs del lechoL= Espesor o altura del lechoK= Constante de proporcionalidad (depende de las propiedades fsicas del lecho y del fluido que circula a travs del lecho)

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialPermeabilidad (Ley de Darcy)Suponiendo un rgimen laminar (ya que la velocidad a travs de los intersticios del lecho granular es baja y adems la seccin de cada uno de ellos es pequea: por lo que el valor del mdulo de Reynolds no es elevado) la relacin entre la velocidad de circulacin del fluido y la cada de presin que experimenta es lineal.

Todo ello presupone que la resistencia que ofrece el lecho al flujo de fluido es debida principalmente a rozamientos viscosos

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera Agroindustrialpermeabilidad

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialSuperficie especfica

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialEsfericidad de partculasForma de la partculaEsfericidad ()Esfera1Cubo0.81Cilindrosh= dh=5dh=10d0.870.700.58Discosh= d/3h=d/6h=d/100.760.600.47Arena de playaTan alta como 0.86Arena de roTan baja como 0.53Distintos tipos de arena0.75Slidos triturados0.5 0.7Partculas granulares0.7 0.8Trigo0.85Anillos Rasching0.26 0.53Sillas Berl0.30 0.37

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialPorosidad ()

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialVariables caractersticas de un lecho

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialValores de las superficies especficasCorrelacin entre superficie especfica del lecho y la de la partcula

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialCaractersticas de un canal

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera Agroindustrial25/08/201410Ecuaciones para el flujo a travs de lechos porosos

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialFlujo en Rgimen LaminarSi el flujo del fluido a travs de los canales es laminar se podr aplicar la ecuacin de Fanning para cada uno de ellos:

Pero si se tiene presente que el mdulo de Reynolds es:

Y que la velocidad de circulacin del fluido a travs de una canal vC viene dada por la siguiente expresin

Se obtiene

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialSe observa que la prdida de presin depende, entre otros, de las longitudes de cada canal y del lecho. La longitud de cada canal L es superior a la del lecho.Si se supone que dichas longitudes son proporcionales L=KL, y definiendo una constante K=2(K)2, resulta:

De la que se obtiene la Ec. de Kozeny-Carman

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialAl comparar la ecuacin de Kozeny-Carman con la de Darcy, se obtiene que la permeabilidad ser:

La constante K se denomina constante de Kozeny. En lechos en los que la porosidad y superficie especfica no varan con el espesor del lecho, se han encontrado experimentalmente que esta constante posee un valor de 50,5. En realidad su valor depende del tipo de relleno y de la porosidad, tomando distintos valores segn sea la forma de las partculas y porosidad del lecho.En el caso que las partculas sean de forma esfrica, el valor de esta constante es de 4,80,3.

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialLa constante de Kozeny (K)El valor de la constante de Kozeny no es el mismo para todos los tipos de relleno, sino que depende de la relacin L/L

Carman ha demostrado que:La relacin L/L recibe el nombre de tortuosidadK0 es un factor que depende de la seccin transversal del canal.

A pesar de que la tortuosidad y el factor K0 pueden variar, esta variacin es tal que cuando una aumenta la otra disminuye, y viceversa, de forma que su producto posee valores prximos a 5

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialCorrecciones por efectos de la paredEn los lechos de partculas, las que se hallan en contacto con la pared estn menos compactadas, lo que implica que la resistencia que ofrece el lecho al flujo es menor que el dado por la ecuacin de Kozeny-CarmanCoulson ha obtenido un factor de correccin KP de modo que se tenga presente este defecto.

En la que AP es la superficie de la pared de la columna que contiene el lecho por unidad de volumen de dicho lechoPara el clculo de la cada real de presin, deber multiplicarse la calculada a partir de la ecuacin de Kozeny-Carman por el valor de este factor KP

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialFlujo en Rgimen TurbulentoSi el rgimen de circulacin es turbulento puede pensarse en aplicar la ecuacin de Fanning a la circulacin del fluido por un canal, as:

Teniendo en cuenta las expresiones del dimetro equivalente y de la velocidad por un canal:

Se obtiene lo siguiente

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialAl igual que antes, si se supone que L=KL, y que la superficie especfica esta relacionada con el dimetro de la misma por la expresin aS0=6/dP se obtiene:

Si se define un factor de friccin modificado f=(K)3f se obtiene la ecuacin de Burke-Plummer:

El valor de se obtiene a partir de experimentacin, dependiendo del nmero de Reynolds

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialFlujo Global Laminar-TurbulentoObservando las Ecuaciones de Kozeny-Carman y de Burke-Plummer, puede pensarse que la prdida de presin por unidad de longitud del lecho ser una expresin del tipo:

O bien una combinacin lineal de dichas ecuaciones:

Para la obtencin de las distintas constantes y que aparecen en esta ecuacin se recurre a datos obtenidos por experimentacin, ajustndolos a ella

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialNmero de ReynoldsEn la circulacin de fluidos por el exterior de slidos, no slo se utiliza el mdulo de Reynolds para un canal, sino que en algunos casos se suele modificar, o bien se utiliza el mdulo de Reynolds de partculaReynolds para 1 canal:

Reynolds modificado:

Reynolds de partcula:

Rgimen de circulacin en funcin del ReP(ReP40) el rgimen se considera turbulento.

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialFactor de friccin (f)De la Ecuacin

Es fcil obtener la expresin para el factor de friccin modificado:

A partir de una serie de datos experimentales, de valores del factor de friccin modificado [3f ], calculados a partir de la ecuacin de Burke-Plummer, se obtiene los valores correspondientes de sus Reynolds de partcula.Se busca una funcin que correlacione 3f con RePDel ajuste de los datos experimentales la ecuacin obtenida es la siguiente:

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialSi en esta ecuacin se sustituyen los valores de 3f, dados por las ecuaciones que expresan al factor de friccin y la correspondiente al mdulo de Reynolds de partcula,

se puede obtener la siguiente expresin denominada ecuacin de Ergun, y puede utilizarse para el clculo de la prdida de presin que experimenta el fluido al atravesar un lecho relleno, independientemente de cual sea el tipo de rgimen de circulacin

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialComparaciones finalesAl comparar la Ecuacin de Ergun con la linealizada inicial

se observa lo siguiente:

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialCASO ESPECIAL: Flujo en contracorriente de gas y lquidoCuando en una columna rellena de partculas circulan en contracorriente un gas con un lquido, es conveniente utilizar la denominada Ecuacin de Chilton-Colburn, que es una ecuacin emprica basada en la de Fanning

El factor de friccin modificado (f) puede calcularse a partir de las graficas que relacionan

o bien pueden utilizarse las siguientes expresiones:

Para rgimen Laminar (ReP40):

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialCondiciones para el uso de la Ec. Chilton-ColburnSe puede utilizar cuando el lecho est formado por partculas macizasSi las partculas son huecas debe multiplicarse el segundo miembro de la Ecuacin por un factor Kr que viene dado por la ecuacin:

dP es el dimetro nominal de las partculas expresado en pulgadas.Los huecos creados en las inmediaciones de la pared pueden afectar la cada de presin, para lo que se introduce el factor de correccin de pared KPKP: depende del rgimen de circulacin y de la relacin dimetro partcula a dimetro del lecho (dP/D)En el caso de que: dP/D < 1,6 no se considera el efecto de la pared.En general la cada real que experimenta el fluido se obtendr multiplicando la cada de presin calculada a partir de la ecuacin de Chilton-Colburn por estos dos factores; es decir:

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialFLUIDIZACINCuando un fluido circula a travs de un lecho de partculas:si su velocidad de circulacin es baja, el lecho permanece esttico,pero si su velocidad aumenta puede ocurrir que el lecho se expanda, existiendo una reordenacin de las partculas, con el consiguiente aumento de la porosidad del lecho

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialSi se supone un lecho de partculas, a travs de las cuales circula un fluido al que se le va aumentando paulatinamente la velocidad de circulacin. A velocidades bajas el lecho permanece esttico, sin aumento de su altura, por lo que al representar en coordenadas doble logartmicas la cada de presin frente a velocidad de circulacin se obtiene una recta tal como lo muestra el segmento 0A de la grfica

log(-p)log (v)0vmfvaFluidizacin discontinuaFluidizacin continuaABCD Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialSi se aumenta ms la velocidad, las partculas empiezan a separarse, pero todava permanecen en contacto, aunque la relacin entre la cada de presin y la velocidad continua siendo lineal, pero la pendiente es menor (segmento AB). En el punto B en el que las partculas no se hallan en contacto se dice que el lecho es fluidizado. A partir de este punto, si se aumenta la velocidad puede haber una pequea cada de presin (segmento BC), pero si se sigue aumentando la velocidad, la cada de presin aumentara linealmente con la velocidad, esta vez con menor pendiente, hasta que la velocidad es lo suficiente mente elevada como para arrastrar las partculas, cosa que ocurre a partir del punto Dlog(-p)log (v)0vmfvaFluidizacin discontinuaFluidizacin continuaABCD Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialCaractersticas de la fluidizacinLa velocidad a la cual ocurre la fluidizacin se conoce como: mnima de fluidizacin;La velocidad correspondiente al punto de arrastre es la velocidad de arrastre.En el tramo en que el lecho esta fluidizado, la velocidad del fluido en contacto con las partculas es superior a cuando las ha superado, ello hace que las partculas no queden arrastradas, sino que vuelvan a caer al lecho.El conjunto de partculas poseen un movimiento desordenado, presentando un aspecto como si las partculas estuvieran en ebullicin, denominndose lechos hirvientes o fluidizacin discontinua a este tipo de proceso.Cuando las partculas son arrastradas, el tipo de fluidizacin se denomina continua, y es un tipo de circulacin de dos fases, que es la base del transporte neumtico Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialVELOCIDAD MINIMA DE FLUIDIZACIONLa velocidad a la que empieza la fluidizacin del lecho se conoce como velocidad mnima de fluidizacin. En este punto existe un equilibrio dinmico entre la fuerza que el campo gravitatorio y el fluido ejercen sobre las partculasLa fuerza gravitatoria ejercida sobre las partculas viene dad por la expresin:

En la que P y son las densidades de las partculas y del fluido, respectivamente; S la seccin de paso de la columna que contiene las partculas; L la altura del lecho su porosidadg la constante de gravedad

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialRelacin de fuerzasLa fuerza que el fluido ejerce sobre el lecho de partculas es la de presin, y que se calcula por la expresin

En la que (-p) es la cada de la presin que experimenta el fluido al atravesar el lecho, y cuya expresin depende del rgimen de circulacin del fluidoPor tanto, para el clculo de la velocidad mnima de fluidizacin deben igualarse las so fuerzas, la de gravedad y la de presin

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialLa expresin de la cada de presin viene dad por la ecuacin de ErgunA pesar que esta es la ecuacin general para el clculo de la cada de presin, segn sea el rgimen de circulacin del fluido, podr simplificarse.

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialPOROSIDAD MNIMA DE FLUIDIZACINLo mismo que ocurra con la cada de presin del fluido, que variaba con la velocidad de circulacin, la porosidad del lecho tambin experimenta variacin.Para velocidades bajas, la fuerza de presin no es suficiente para variar la estructura del lecho, y su porosidad no varia, pero a velocidades ms altas, el lecho se expansiona aumentando el volumen de huecos. Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialSi se representa en coordenadas doble logartmica las variaciones de la porosidad con la velocidad lineal de circulacin se obtiene una grfica como por ejemplolog()log (v)10vmfvamf Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialClculo de la porosidadA velocidades bajas la porosidad no vara, pero llega un momento en que aumenta con la velocidad, siendo esta variacin tipo lineal. La porosidad en el momento que empieza la fluidizacin no se corresponde al punto en que la porosidad empieza aumentar, sino que ocurre a una velocidad ms alta, que es la mnima de fluidizacin.

Ecuacin en la que el dimetro de partculas debe expresarse en micrones (10-6m) y es vlida para valores de dP comprendidos entre 50 y 500 micrones

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialALTURA DEL LECHOEvidentemente, al aumentar la velocidad de circulacin del fluido a travs del lecho poroso, no slo aumenta la cada de presin, sino que el aumento de la porosidad es debido a que la altura del lecho tambin aumenta. Este aumento de altura de lecho esta ntimamente ligado al aumento de porosidad, de forma que las porosidades correspondientes a dos alturas cualesquiera estn relacionadas por la expresin

De forma particular, si para el lecho fijo le corresponde una porosidad 0 y una altura de lecho L0, la altura y porosidad para otro instante estn relacionadas con sta por la ecuacin:

Si el lecho fuese compacto, las partculas ocuparan todo el lecho y no existiran huecos, por lo que la expresin que correlaciona las alturas se simplificara, en la que es la altura del lecho compacto:

Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera AgroindustrialGRACIAS Jess A. Snchez -GonzlezIngeniera Agroindustrial