Circulo de Mohr

FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA

E.A.P DE INGENIERIA CIVIL

Circulo de Mohr• Breve reseña:

Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico

para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que

existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones,

importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos

planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el

estudio de la resistencia mecánica de una pieza.

Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.

• Teoría del círculo de Mohr para dos dimensiones:

Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano de

carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan esfuerzos en el

sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se

supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas.

Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la matemática siendo el objeto de

este desarrollo conocer el desarrollo matemático a fin de ser asociado con el modelo físico:

En la figura 1, además de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales han

sido rotados un ángulo θ respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son normal y

tangente al plano Aθ respectivamente.

Queremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas Ax , Ay y Aθ.

CURSO: MECANICA DE SUELOS II



Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:

Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje y:

Considerando que Ax =Aθ.cosθ y que Ay =Aθ.senθ, re escribimos las ecuaciones 1 y 2:

Multiplicando la ecuación (1-1) por cosθ, la (2-2) por senθ y sumando ambas se llega a:

Y considerando las relaciones trigonométricas:

Se llega a:

Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano θ:




Multiplicando la ecuación (1-1) por senθ, la (2-2) por cosθ, sumando ambas y considerando las

relaciones trigonométricas (4) se llega a:

Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son mas que las componentes cartesianas de los puntos

correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuación de la circunferencia se obtiene

considerando la relación trigonométrica , entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene:

Esta circunferencia es lo que denominamos “Círculo de Mohr” para dos dimensiones. En esta

circunferencia el ángulo formado por la recta con origen en el centro de la misma.

y un punto cualquiera perteneciente al perímetro de la circunferencia, tiene valor 2θ, siendo θ el

ángulo de inclinación del plano para el cuál las tensiones sobre esa superficie valen σθ y τθ.

Consideremos σx< σy.

Así como se calculó el estado tensional en el plano θ a partir de las tensiones principales, el

proceso se puede hacer de manera inversa. Conociendo el estado de carga para una cierta terna

de ejes se pueden conocer las tensiones principales de un sistema dado.




D

x

τxy

y

x

EτyxBA

y

τxyC

τyx

y y´

x

x´

a

a

El estudio hecho hasta aquí es similar al que haremos para un estado tridimensional de tensiones.

CONSTRUCCIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR

La representación gráfica de la transformación de los estados bidimensionales de esfuerzo de un conjunto

de coordenadas a otro rotado usando un círculo de Mohr ofrece una vista de conjunto de una solución y es

útil en algunas aplicaciones.

Se dan a continuación dos procedimientos relativos para obtener tales soluciones. En el primer

procedimiento se muestran claramente los planos físicos sobre los que actúan los esfuerzos transformados;

en el segundo, la deducción de la transformación del esfuerzo es más sencilla, aunque la determinación de la

dirección del esfuerzo transformado es algo menos conveniente. Escoger un método u otro es asunto de

preferencia.

Método 1: El problema consiste en construir el circulo de Mohr para los esfuerzos x, y y τxy y luego

determinar el estado de esfuerzos sobre un plano arbitrario

El centro C de un círculo de Mohr se localiza sobre el eje a una distancia σ x+σ y2

del origen. El punto A

sobre el círculo tiene la coordenadas (x,-τxy) correspondientes a los esfuerzos que actúan sobre la cara




O 13

(x,-τxy)

(y,τxy)

τ

A

B

O 13

(x,-τxy)

(y,τxy)

τ

A

B

J21

derecha del elemento en la dirección positiva de los ejes coordenadas. El punto A se le llamará origen de los

planos. Esta información es suficiente para dibujar un círculo de Mohr

El

siguiente paso consiste en dibujar sobre el círculo una línea por A paralela al plano a-a en el plano físico del

elemento infinitesimal. La intersección de esta línea con el círculo entrega el esfuerzo que actúa sobre el

plano a-a (punto J).


Estado de esfuerzos original. Se ilustra además el sentido de esfuerzos positivos



Para comprobar esto revisaremos en detalle la construcción geométrica del círculo de Mohr.

De acuerdo a la figura:

2 ∙θ1+θ+α=360

α+γ=θ

R ∙cos (θ+α )=¿ R ∙cos¿¿

R ∙ sen (θ+α )=R ∙ sen¿

Y se tiene además:

σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cosγ

σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cos (θ−α )

σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cos (−360+θ+2∙ θ1+θ )

σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cos (2 ∙θ+2∙ θ1 )

σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙ [cos2θ ∙cos2θ1−sen2θ ∙ sen2θ1 ]

τ j=R ∙ sen γ

τ j=R ∙ sen (−360+θ+2 ∙θ1+θ )

τ j=R ∙ (sen (2 ∙θ1+2 ∙θ ))


σ j=( σ x+σ y2 )+( σx−σ y2 ) ∙cos2θ−¿ τ xy ∙ sen2θ¿



O 13

τ

A

B

J

212

τxy<0

τ j=R ∙ (sen (2 ∙θ1 )cos (2 ∙θ)+cos (2 ∙θ1)∙ sen(2 ∙ θ))

Estas expresiones son idénticas a las deducidas analíticamente. Sin embargo, se debe considerar que

consideramos que los esfuerzos cortantes positivos, en el círculo se dibujan como negativos.

Método 2: Igual que antes, el centro C del círculo de Mohr se localiza en σ x+σ y2

. De nuevo, la cara derecha

del elemento define a x y τxy, usados para localizar un punto sobre el círculo. Sin embargo,

Si τ xy>0, éste se dibuja hacia abajo en el eje τ y

Si τ xy<0, éste se dibuja hacia arriba en el eje τ

Las coordenadas x y τxy localizan el punto gobernante A sobre el círculo. El punto B dado por y y -τxy, puede

localizarse sobre el círculo mediante las mismas reglas que las enunciadas anteriormente para el esfuerzo de

corte.

A continuación la recta AB es girada un ángulo 2 en el mismo sentido que el eje x´ con respecto al eje x. El

nuevo punto J determina los esfuerzos que actúan en el plano inclinado. Si τx´y´ está por sobre el eje τ el

esfuerzo cortante es negativo y viceversa


τ j=τ xy ∙cos2θ+( σ x−σ y2 )∙ sen2θ



En estas nuevas coordenadas, una longitud OA que tiene dx´ de largo, puede imaginarse como una diagonal

de un elemento diferencial rectangular de dimensiones dx por dy en las coordenadas iníciales.

Para comprobar esto revisaremos en detalle la construcción geométrica del círculo de Mohr.

De acuerdo a la figura:

2 ∙θ1+θ+α=360

α+γ=θ

R ∙cos (θ+α )=¿ R ∙cos¿¿

R ∙ sen (θ+α )=R ∙ sen¿

Y se tiene además:

σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cosγ

σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cos (θ−α )

σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cos (−360+θ+2∙ θ1+θ )

σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙cos (2 ∙θ+2∙ θ1 )

σ j=( σ x+σ y2 )+R ∙ [cos2θ ∙cos2θ1−sen2θ ∙ sen2θ1 ]

τ j=R ∙ sen γ


σ j=( σ x+σ y2 )+( σx−σ y2 ) ∙cos2θ−¿ τ xy ∙ sen2θ ¿



O 13

τ

A

B

J

212

τxy<0

τ j=R ∙ sen (−360+θ+2 ∙θ1+θ )

τ j=R ∙ (sen (2 ∙θ1+2 ∙θ ))

τ j=R ∙ (sen (2 ∙θ1 )cos (2 ∙θ)+cos (2 ∙θ1)∙ sen(2 ∙ θ))

Estas expresiones son idénticas a las deducidas analíticamente. Sin embargo, se debe considerar que

consideramos que los esfuerzos cortantes positivos, en el círculo se dibujan como negativos.

Método 2: Igual que antes, el centro C del círculo de Mohr se localiza en σ x+σ y2

. De nuevo, la cara derecha

del elemento define a x y τxy, usados para localizar un punto sobre el círculo. Sin embargo,

Si τ xy>0, éste se dibuja hacia abajo en el eje τ y

Si τ xy<0, éste se dibuja hacia arriba en el eje τ

Las coordenadas x y τxy localizan el punto gobernante A sobre el círculo. El punto B dado por y y -τxy, puede

localizarse sobre el círculo mediante las mismas reglas que las enunciadas anteriormente para el esfuerzo de

corte.

A continuación la recta AB es girada un ángulo 2 en el mismo sentido que el eje x´ con respecto al eje x. El

nuevo punto J determina los esfuerzos que actúan en el plano inclinado. Si τx´y´ está por sobre el eje τ el

esfuerzo cortante es negativo y viceversa


τ j=τ xy ∙cos2θ+( σ x−σ y2 )∙ sen2θ



En estas nuevas coordenadas, una longitud OA que tiene dx´ de largo, puede imaginarse como una diagonal

de un elemento diferencial rectangular de dimensiones dx por dy en las coordenadas iníciales.


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Circulo de Mohr