CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de todos aquellos puntos que equidistan de un punto fijo “O” llamado centro.

Elementos asociados

O: Centro T: Pto. De tangencia

OP : Radio TL : Recta tangente

R: Long. Del radio TL : Recta secante

MN : Cuerda PB : Arco

AB : Diámetro EF : Flecha o sagita

PROPIEDADES BÁSICAS En los 3 primeros casos, por lo general, el alumno debe realizar el trazo de la línea punteada, con la finalidad de aprovechar los datos gráficos y numéricos que existan. Teorema de Poncelet Teorema de Pitot

2a + b = c + r a + c = b + d

POSICIONES RELATIVAS DE 2 CIRCUNFERENCIAS

C. Exteriores C. Secantes

C. Interiores Tangentes exteriores

Tangentes interiores ortogonales

Rectas tangentes comunes

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Ángulo central Ángulo inscrito

Semi inscrito Ángulo interior

2 2

a bx

ÁNGULO EXTERIOR EX – INSCRITO

2

a bx

2

a bx

ARCO CAPAZ

Es un arco de circunferencia que contiene los vértices de los ángulos inscritos cuyos lados pasan por los extremos de dicho arco.

APB Arco capaz

AB Cuerda capaz

PROPIEDADES

180x m ATP m PTB

CUADRILÁTERO INSCRITO E INSCRIPTIBLE

C. Inscrito C. Inscriptible

Recuerda

El cuadrilátero es llamado Inscrito (CICLICO) si

por sus 4 vértices pasa una circunferencia. Y será llamado Inscriptible si por sus 4 vértices

puede pasar una circunferencia.

PROPIEDADES

180

PRACTICA DE CLASE

01. “O” es centro del diámetro AB , hallar “”

A) 30º B) 37º C) 45º D) 60º E) 75º

02. Si “O” es centro y AO = NT, hallar “x” A) 21º B) 22º C) 23º D) 24º E) 27º

A O B

J

N

A O B T

x 81º

03. En la semicircunferencia mostrada “O” es

centro, AO = MN, hallar “” A) 10º B) 15º C) 20º D) 5º E) 30º

04. En la figura "O" es centro, T es un punto de

tangencia y mTC = 40°. Calcular "x".

A) 35º B) 50º C) 40º D) 70º E) 80º

05. Del gráfico m AED = 260º; calcular “x” si A, B y D son puntos de tangencia. A) 50º B) 40º C) 30º D) 20º E) 45º

06. En la figura AB = BC, hallar “x” A) 71º B) 72º C) 73º D) 74º E) 76º

07. Si P y T son puntos de tangencia calcule mAT.

A) 140° B) 120° C) 135° D) 110° E) 70°

08. Dos cuerdas AB y CD de un círculo se cortan

en un punto P. El ángulo ADC mide 40°, el arco

ADB mide 180° y el arco DBC mide 220°. La

medida del ángulo DPB, es:

a) 70° b) 100° c) 90° d) 80° e) 75°

09. Desde un punto exterior a “P” se traza la

tangente PA a una circunferencia y la secante

PBC que forma en P un ángulo de 50°, el arco

BC mide 120°. El valor del ángulo formado por

AC y BC, es: a) 35° b) 40° c) 45° d) 50° e) 60°

10. Del punto “P” (exterior) se trazan las secantes

PFA y PHB de manera que AB es el diámetro

del circulo siendo “O” el centro del circulo tal

que P = 50°. El valor del ángulo FOH, es:

a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 90°

11. De acuerdo a la figura; los puntos A, B, C y D

son puntos de tangencia. Calcular el doble de “x”.

a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 60°

12. En la semicircunferencia de diámetro AC y

centro O, se traza el radio OB perpendicular al

diámetro. En el arco AB se toma un punto D de

modo que los ángulos DAO y DBO son iguales.

El valor del ángulo DCA son iguales. El valor

del ángulo DCA es: a) 20°30ˈ b) 22°30ˈ c) 25°5ˈ d) 28°30ˈ e) 26,5°

13. En la circunferencia de centro O y diámetro DE

se trazan dos rectas tangentes PA y PB

perpendiculares entre sí en el punto P; de

modo que A y B son puntos de tangencia con

la circunferencia. Luego se traza una paralela a AP pasando por E y cortando a BP en el punto

F de modo que BF = FP, el valor del arco MD

es: (M pertenece a la circunferencia).

M

N

A O B L 70º

B

A

E C

D x

B

A D

C

x

78º

50º 102º

4x

x A

B C

D

A

B

C

T

O

x

A

P

T 35°

a) 30° b) 45° c) 60° d) 75° e) 55°

14. Del gráfico, hallar “x”. (D, R, O → puntos de

tangencia) a) 27°30ʹ b) 26°30ʹ c) 45°30ʹ d) 53° e) 75°

15. En la figura mostrada, al calcular el valor de “x”,

se obtiene: a) 9° b) 10° c) 12° d) 14° e) 15°

16. Del gráfico calcular “x” si: AC ∥ ME . A) 30º B) 15º C) 45º D) 26,5º E) 22,5º

17. En la figura mostrada, mAB = 𝛽 y C, E y G son

puntos de tangencia. Calcule x.

A) 90º - /4 B) 75º - /2 C) 90º - /2

D) 90º - /3 E) 45º - /2

18. Dado un cuadrante AOB de centro O y una

circunferencia tangente a OB en B que intersecta a dicho cuadrante en C, tal que la

prolongación de AC intersecta a la

circunferencia en E. Además OE intersecta a la circunferencia y al cuadrante en G y F

respectivamente. Calcule la mGB, si mBF =18°. A) 65º B) 75º C) 53º D) 60º E) 54º

19. En la figura hallar: 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 + 𝛼4 + 𝛼5 , si:

mAB = 𝛼1; mBC = 𝛼2; mCD = 𝛼3; mDE = 𝛼4 y

mEF = 𝛼5.

A) 360º B) 540º C) 720º D) 900º E) 450º

20. Del gráfico hallar “x” si: QM = MT y HN = NJ

(M, N, P puntos de tangencia) A) 30º B) 45º C) 53º D) 60º E) 75º

21. Del grafico calcule 𝛼 + 𝛽 + 𝜔 + 𝜃

A) 180° B) 270° C) 360° D) 540° E) 7200°

36° 2x

B

A C O D

x

D

R

O

E

D C

A O M

F

B

2x

x

A

B

C

D

F

G E x

A

B

C D

E

F 𝛼1

𝛼2 𝛼3

𝛼4 𝛼5

A

B

C

T J

N

H F E Q

M

x

P

𝛼

𝛽

𝜔

𝜃

22. De la figura mostrada calcular “x” A) 30º B) 40º C) 45º D) 50º E) 60º

23. En el gráfico, calcular el valor de “x”.

a) 25° b) 30° c) 45° d) 60° e) 75°

24. A y B son puntos de tangencia. Hallar “x” A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 35º

25. Se tienen dos circunferencias congruentes y secantes en B y M; por B se traza la recta secante a las circunferencias en los puntos A y C, luego en la circunferencia que contiene el punto A se traza la cuerda BQ que interseca a la otra circunferencia en P; si AQ = 7 cm; calcule PC. A) 6,5 cm B) 7 cm C) 6 cm D) 5,5 cm E) 5 cm

26. En el lado BC de un cuadrado se ubica el punto M; luego con centro en B, se traza una

circunferencia tangente a 𝐴𝑀 y a 𝐷𝑀 en Q y T

respectivamente. Calcular m 𝑄��.

A) 45º B) 92º C) 53º D) 74º E) 75º

27. En una circunferencia de diámetro AB se ubica

el punto E y luego se traza 𝐸𝐻 ⊥ 𝐴𝐵, tal que AH = 2 y HB = 8; luego se ubica en dicha

semicircunferencia el punto F, tal que EF = 5. Calcule la medida del arco FB. A) 72º B) 69º C) 68º D) 67º E) 70º

28. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan las rectas tangentes PA y PB (A y B puntos de tangencia) tal que m ∢ APB = 40º;

en el mayor arco AB se ubica un punto R, siendo M y N los puntos medios de los menores arcos AR y RB respectivamente. Calcule la medida del ángulo determinado por los segmentos AM y BN. A) 15º B) 18º C) 20º D) 16º E) 19º

29. En el gráfico mostrado √5 r = 2R, calcule m EG.

A) 45º B) 53º C) 56º D) 60º E) 65º

30. Según el gráfico, calcule x si A, B y C son puntos de tangencia.

A) 45º B) 60º C) 53º D) 40º E) 37º

31. En una semicircunferencia de diámetro AB, se

ubican los puntos P y Q tal que m 𝐴�� = 90º y

𝐴𝑄 intersecta a 𝑃𝐵 en M; luego en 𝐴𝐵 se ubica

el punto L, tal que m ∢ AQL = 45º y AM = 2(LB).

Calcule m ∢PAM.

A) 19º B) 18º C) 14º D) 16º E) 15º

32. En el lado AD de un cuadrilátero ABCD se

ubican los puntos M, N y T (M 𝐴𝑁 y T 𝑁𝐷),

tal que 𝐵𝑀 y 𝐶𝑇 son perpendiculares a 𝐴𝐷. Si m ∢ NBC = m ∢ NDC, m ∢ NCB = m ∢ BAD y

AD = 8 cm, calcule TM. A) 3,5 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 4,5 cm

x

4x

𝛼 𝛼

𝑥

𝜃 𝜃 𝑥

A

B

50

x

20

100° 𝑥

A B

E

F

G

R

r

33. Según la figura m CBD = 200º y CP = R, calcule

m MAB A) 220° B) 210° C) 212° D) 216° E) 215°

34. En la figura: T es punto de tangencia y m TE = 80º, calcular “x” A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º

35. En la figura: m AB = 80º y m, DEG = 100º Hallar la m BFC

A) 20º B) 15º C) 30º D) 10º E) 25º 36. Calcular “x” A) 10º B) 15º C) 18º D) 20º E) 24º 37. Si ABCD es un cuadrado, calcular “x” sabiendo

que P y Q son puntos de tangencia.

A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º 38. El triángulo ABC es equilátero, AM = MB, BN =

NC, el angulo “x” mide:

A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60° 39. De la figura A, B, C, D, E y F son puntos de

tangencia. Si: mEL = m LF, calcule x. A) 38º B) 42º C) 45º D) 49º E) 53º 40. En el gráfico, B y D son puntos de tangencia y

ABCD es un paralelogramo. El valor de 𝑥, es:

A) 20° B) 25° C) 30° D) 35° E) 40° 41. De la figura AB = c, BC = a y AC = b. Calcule

BL.

A

B

C

M

N

H

𝑥

40°

𝑥

A B

C D

A

E

B F

C

T

x

A B C

G

D E F

x

A

O D B

E

x 35

B C

D A

P x Q

x

L

E D

A

B

120

º

F

C P

M

A

R

B

D

A) b+c−a

2 B)

a+b−c

2 C)

a+c−b

2

D) a+b−2c

2 E) 2a + b + 2c

42. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en

B, en el cual las bisectrices de los ángulos

internos A y C cortan a los catetos BC y AB en

E y F respectivamente. Si la proyección de EF sobre la hipotenusa mide 5,4, hallar la medida del inradio del triángulo ABC.

A) 1,8 B) 2,7 C) 1,35 D) 5,4 E) 3,6 43. Calcular AB. Si AP = PB. A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26 44. De la figura, calcular AB. A) 26 B) 30 C) 32 D) 34 E) 40 45. Hallar TC, si BE = DP y los perímetros de los

triángulos ABC y ADE mide 40 y 24 respectivamente.

A) 9 B) 8 C) 6 D) 5 E) 4

46. Calcular “x + y + z” si: mAM = mMB, mBN =mNC y mAP = mPC

A) 28 B) 20 C) 32 D) 35 E) 36 47. La mediana de un trapecio rectángulo

circunscrito a una circunferencia mide 18 y su ángulo agudo mide 53º. Hallar el radio de la circunferencia inscrita.

A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8 48. Si AB = 13 y BC = 6. Calcular AE sabiendo que

el trapecio ABCD es isósceles y MF ∥ CD . (M,

E, N, P, Q puntos de tangencia)

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

49. En la figura, calcular “r” siendo H punto de tangencia y CH– BC = 6.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 50. Si ABCD es cuadrado y AM = MB; hallar “x”. (T

punto de tangencia)

C

L

B

A

C

D

A P B

4 3

A D C

12

5

B

B

F

E

D

P

A T C

B N

1

0

4

M

A

P

C x

y

x

B M C

Q P

A E N F D

B C

A H D

r

A) 70º B) 60º C) 56º D) 45º E) 42º

51. En una circunferencia que es tangente a tres

lados de un romboide se tiene que sus alturas miden 8 y 10. Hallar la longitud de la cuerda determinada en la circunferencia por el cuarto lado.

A) 6 B) 12 C) 9 D) 10 E) 8

52. Calcular “x” si ABCD es un cuadrado, BE =

EA = 5 y CG = 2.

A) 45º B) 50º C) 53º D) 59º E) 60º

53. En la figura se cumple que: AB + DC = 24 y

BC + AD = 40. Calcular MN.

A) 7 B) 6 C) 12 D) 16 E) 8 54. Calcular GH si AB = 6, CD = 9 y EF = 10 (A, B,

C, D, E, F, G, H puntos de tangencia)

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 55. Calcular “r” si: AC = AB + 12.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

B C

D A E

P

Q

M T

x

B C G

D A

E F

x

B

A

N C

D

M

F H

E G

D C

A B

A

B O

C

16

r